江西省上饶市某中学2023-2024学年高一年级上册期中考试数学试题

江西省上饶市某中学2023-2024学年高一上学期期中考试

数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知全集。=1|04*<5,》€产},集合P={1,2,3},。={2,4},则（4，P）uQ=（）

A.{0,2,3,4}B.{2,4}

C.{2,3,4}D.{1,2,4）

2.命题“heR,使丁+》-1=0”的否定是（）

A.3XGR,使f+x-iwoB.不存在XER,+x-l=0

C.VxwR,使d+x-iwoD.VXER,使f+xT，。

3.对于任意实数〃，b,c,d,下列结论正确的是（）

A.若42Vb一则B.若c>d,则a-cv。一d

C.若a+cvb+d,c<d,贝（D.若c<d,则acv比

f2x+l,x>0

4.函数f（x）=9八，若/（〃）=〃，则实数。的值为（）

—,x<0

lx

A.±3B.—1或±3C.—3D.—3或一1

5.如果函数/■（力=；（相一2）/+（〃-8.+1（,*0,〃*0）在区间1，2上单调递减，则

mn的最大值为

Q]

A.16B.18C.25D.—

2

6.函数y=/（》）是定义在[-2,2]的偶函数，当04x42时，/（x）=min{x,2-x2},下列

说法正确的是()

A.函数y=/(x)的图象与X轴有四个不同的交点

x,-l<x<0

B.当x<OH寸，/（x）=

2-x2,-2<x<-1

C.不等式/(x)>0的解集为{x|-&<x(伪

D.对于任意A，x2e[-2,2],若|5-超|=2,则"&)-/(%)I的最大值为2

7.己知函数=若对任意的正数。、b,满足“。)+/(力-2)=0,贝哈+：

的最小值为()

A.2B.4C.6D.8

8.已知a=log20.8,b=2a2,c=0.2°',贝！J()

A.b>c>aB.c>b>aC.b>a>cD.a>c>b

二、多选题

9.下列选项中正确的有()

A.｛[x是质数｝a｛x|x是奇数｝

B.集合｛1,2｝与集合｛(1,2)｝非空子集的个数相同

C.空集是非空集合的真子集

D.若A=BGC,则A=C

10.下列选项中正确的是()

r।9

A.函数>=二石在(Y°，T)(-1，+°°)上是减函数

B.函数+i(〃>0且"1)的图像一定经过点(2023,2)

C.命题“HreR,V+内+140”的否定是“VxeR,^2+0¥+1>0,5

D.函数y=2*+”在(-8,1)上单调递增，则a的取值范围是(2,+8)

11.下列说法正确的是()

A.若函数/(x)的定义域为02],则函数/(2x+2)的定义域为[-1,0]

B.y=的最大值为:

c.y=Vjr4-1的图象关于(-2,1)成中心对称

x+2

D./(x)=log,仁一4x-5)的递减区间是(-8,2)

2

12.®/(x)=x,,g(x)=2\h(x)=log2x,当xw(4,”o)时，对这三个函数的增长速度进

行比较，下列结论中，错误的是()

A.“X)的增长速度最快,h｛x｝的增长速度最慢

B.g(x)的增长速度最快,h｛x｝的增长速度最慢

C.g(x)的增长速度最快,/(x)的增长速度最慢

D.7(x)的增长速度最快,g(x)的增长速度最慢

试卷第2页，共4页

三、填空题

13.若集合M=卜|(机+1)-—tnx+m—\=0)的所有子集个数是2,则加的值是一

14.已知"x)为偶函数,g(x)为奇函数，且满足f(x)-g(x)=2*若方程

何'(x)=[g(x)丁+2加+9有解，则实数m的取值范围是.

15.J©》+(1)-'+(；)。=

16.若In”，In》是方程4f_8x+3=0的两个根，则.

四、问答题

17.设集合A={闻*2+以-3=。},B={4丫-4x+b=0},AcB={l},C={-3,2}.

(1)求。，b的值及A,B；

⑵求(AC)(8C).

五、解答题

18.已知幕函数/(x)=(m2+4m+4)xra+2在(O,+a＞)上单调递减.

⑴求m的值;

(2)若(2a-1尸＜(a+3尸,求a的取值范围.

19.已知xeR,我们定义函数表示不小于x的最小整数，例如：〃兀)=4,

/(-o.i)=o.

⑴若〃X)=2O23,求实数x的取值范围；

⑵求函数g(x)=3+皿6])+]的值域，并求满足〃4x+/(x))=〃g(x))的实数x的

取值范围；

36

⑶设,"(x)=x+〃•△立-5,h(x)=-2^若对于任意的与七、为e(2,4],都有

xx—2x+9

加(否)＞风电)-刈三)|,求实数a的取值范围.

六、问答题

20.已知函数/(x)是定义在R上的偶函数，且当x40时，f(x)=x2+2x,现已画出函

数“X)在y轴左侧的图象(如图所示)，请根据图象解答下列问题.

⑴作出x>0时，函数f(x)的图象，并写出函数f(x)的增区间;

⑵用定义法证明函数/(x)在(YO，T)上单调递减.

(3)若函数y=/(x)在区间[a,a+1]上具有单调性，求实数a的取值范围.

21.已知定义在R上的函数=

(1)判断函数f(x)的奇偶性；

⑵解不等式/(4*+8)+/(-3,2力<0；

(3)设函数g(x)=4、+2，"+s,若％eR,3x2e[0,l],使得/㈤常汁),求实数机的

取值范围.

22.己知函数/(力=定，g(x)=/(x)(3v+l)+3-\

⑴当a=5,6=—3时，求满足/("=3'的x的值；

(2)当a=-l,b=l时,若对任意xeR且x#0,不等式8(2x)2mg(x)-10恒成立,求实

数m的最大值.

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参考答案：

1.B

【分析】由集合的运算求解即可.

【详解】因为U={X[04X<5,XGN*}=U={1,2,3,4},

所以g/)uQ={4}u{2,4}={2,4}.

故选：B

2.D

【分析】由存在命题的否定是全称命题即可得出答案.

【详解】命题“HrwR,使f+x-l=O”的否定是VxwR,使V+x-iwo.

故选：D.

3.B

【分析】由不等式的性质可判断B；特值法可判断ACD.

【详解】对于A,取〃=21=一3,满足/<〃，但心力，故A错误；

对于B,因为所以—c<—d.又因为。<〃，所以a—cv力—d,故B正确；

对于C,若a+c<b+d,c<d,取。=l,〃=0,c=10,d=2(),但。>力，故C错误；

对于D,若Q<b,c<d,取a=0,b=3,c=-5,d=-4,ac=0,bd=-12,

ac>bd,故D错误.

故选：B.

4.C

【分析】由题意分类讨论“20,a<0,解方程即可得出答案.

【详解】当时，令2a+l=a,a--\,与矛盾，不合题意；

9

当a<0时，令—=〃，。=±3,取々=—3,符合题意.

a

故选：C.

5.B

【详解】帆/2时，抛物线的对称轴为x=―n―—8.据题意，当m>2时，n—822即2加+〃412.

m-2m-2

\j2m-n<2"+弓<6,;.V18.由2，〃=〃且2«7+〃=12得m=3,〃=6.当机<2时，抛物线开

2

口向下，据题意得，-"立4,即加+2〃418.42n.4%”49,v”4里.由2〃=”且

m-2222

〃z+2〃=18得加=9>2,故应舍去.要使得加7取得最大值，应有加+2〃=18(m(2,〃)8).所以

答案第1页，共13页

wi=(18-2n)n<(18-2x8)x8=16,所以最大值为18.选B..

考点：函数与不等式的综合应用.

6.D

【分析1A选项，令/意)=0,解方程求出零点;B选项，利用奇偶性求解析式;C选项，令/(X)>0,

解不等式，得到解集；D选项,分段讨论演，求出，再的范围.

f(x)=min<{x,2Tf}x=,O*<lx<­1

【详解】当0Vx<2时,

10<x<114x42

对于A,当X20时，令/。)=0可得《八或

［x=02-x2=0

所以x=0或x=V5,

由函数y=/(X)是定义在［-2,2］的偶函数可得，/(-V2)=0,

故函数y=/(x)的图像与X轴有三个不同的交点，A不正确;

对于B,设一l<x<0,贝/(x)=/(—X)=-x,

设-2Vx4-l,贝IJ14—x42,/(x)=/(-x)=2-x2,

,、[—x,一[<x<0

二当XV。时，/(x)={c、c//jB不正确；

,A[0<x<1[1<x<2

对于C,当xNO时，令/⑴>0,贝IJ八或02八，

[x>0\2-x>0

所以0<x<l或XS(0,72),

由函数y=/(x)是定义在[-2,2]的偶函数可得，当XW(-夜,())时，/(%)>0,

综上:不等式不好>。的解集为(-应,0)5。,点)，C错误;

对于D,不妨设玉>%,则%=%+2,

①当占[0,1)时，X2€[-2,-1)

/■(不)一/心)=占-2+X；=%2+2-2+片=三+*e(0,2J,

②当占=1时，x2=-l,/(x,)-/(x2)=0;

③当占e(l,2)时，Xje(-1,0),

答案第2页，共13页

f(X1)-/U2)=2-xf-(-x2)=-x；+X|e(-2,0);

④当内=2时，x2=0,/（%）-/（々）=一2;

综上：对于任意的4,x2e[-2,2],若|百-马|=2,则"&）一〃％）区2,D正确,

故选：D

7.B

711

【分析】分析函数/（X的单调性和奇偶性，可得出〃+2）=2,将代数式；与《4+2。）相

ab2

乘，展开后利用基本不等式可求2得；1的最小值.

ab

【详解】对任意的XER,eA+l>0,所以，函数/（%）="的定义域为R，

因为/（r）=二二二三与一^二¥三=一/（工），即函数”X）为奇函数，

e+1cIc4~111+e

又因为〃x）=e'+l-2=]一2；且函数y=e'+l在R上为增函数，

e+1e+1

所以，函数/（月=亨在R上为增函数，

e+1

对任意的正数。、b,满足/（4）+/（力—2）=0,贝lJ/（a）=-/（2/.2）=/（2—»）,

所以，a=2—2b,即〃+2〃=2,

…2117a竺

所以，Z+g=5(">-

一2

a_4b

ba

当且仅当。+2。=2时，即当，1时;等号成立，故*2+；1的最小值为4.

a>0"[b=2°b

故选：B.

8.A

【分析】利用指数函数与对数函数的单调性比较大小.

【详解】由已知〃=1幅0.8<1幅1=0,

/?=2a2>2°=b

c=0.201<0.2°=b即0<c<l,

所以〃>c>a,

答案第3页，共13页

故选：A.

9.CD

【分析】根据集合间的基本关系及子集的个数求法一一判定即可.

【详解】对于A,因为2是质数，但2不是奇数，所以A错误；

对于B,集合｛1,2｝有两个元素，其非空子集的个数为2?-1=3个，集合｛(1,2)｝有一个元素,

其非空子集个数为)-1=1个，所以B错误；

对于C,因为空集是任何集合的子集，也是任何非空集合的真子集，所以C正确；

对于D,因为=所以A=C,所以D正确.

故选：CD

10.BC

【分析】对于A：根据函数单调性的定义和性质分析判断；对于B：根据指数函数的定点分

析判断；对于C：根据特称命题的否定是全称命题分析判断；对于D：根据复合函数单调性

结合指数函数单调性可得>=-丁+如在(3,1)上单调递增，利用二次函数性质分析求解.

【详解】对于选项A：因为x+1/0,可得XN-1,即尸省的定义域为，

又因为丫=号=1+—、，可知y=X在(-双-1),(7,+8)上是减函数，

x+\x+1X+1

又因为y「2=0,yL产2,即-2<0,0<2,

可知函数在(0,-1).(-1,物)上不是减函数，故A错误；

对于选项B：令X—2023=0,则x=2023,可得〃2023)=。°+1=2,

函数“x"，-20，1(0>0且"1)的图像一定经过点(2023,2),故B正确；

对于选项C：命题“HxeR,》2+6+140，，的否定是“心€1<,x2+ax+\>0'',故C正确；

对于选项D：因为y=2"在定义域R内单调递增，

由题意可得：y=-x2+or在(7,1)上单调递增，则解得“N2,

所以。的取值范围是［2,用)，故D错误；

故选：BC.

11.AC

【分析】对于A,由复合函数的定义域的求法判断；对于B,根据指数函数的单调性进行判

答案第4页，共13页

1r+1

断；对于c,通过平移函数y=—-的图象判断函数丁=一的图象的对称中心；对于D,

xx+2

根据对数函数的定义域即可判断..

【详解】对于A,函数的定义域为[0,2],

由042x+2W2得-1WxW0,

则函数〃2x)的定义域为[-1,0],A正确;

对于B,函数)，=6)在R上单调递减，且-好+2W2,

则y=即当x=0时，

函数取得最小值；，无最大值，B错误；

对于C,函数y=-^的图象的对称中心为(0,0),

将函数的图象先向左平移2个单位，

X

1X+1

再向上平移1个单位得到函数)=-一的图象，

x+2x+2

Y_1_1

则函数丫=言的图象的对称中心为(-2,1),C正确，

F(x)=log2(x2-4x—5)定义域(f,—1)(5,y),D错误.

故选：AC

12.ACD

【分析】做出三个函数/(x)=Y,g(x)=2'，Mx)=log2X的图象，结合图象，即可求解

【详解】画出函数〃X)=x2,g(X)=2；Mx)=log2X的图象,如图所示，

结合图象，可得三个函数/(x)=f,g(x)=2*,〃(x)=bg2X中，

当xe(4,x)时，函数g(x)=2,增长速度最快，Z/(x)=log2X增长速度最慢.

所以选项B正确；选项ACD不正确.

故选：ACD.

答案第5页，共13页

3

【分析】首先将题目等价转换为方程(〃2+l)f-，nr+m-1=0只有一个解，从而对，〃分类讨

论即可求解.

【详解】由题意M只含有一个元素，当且仅当方程(加+1)幺-如+加-1=()只有一个解，

情形一：当机=-1时，方程变为了X-2=0,此时方程只有一个解x=2满足题意；

情形二：当,“工-1时，若一元二次方程(m+l)x2-/nr+〃?-l=0只有一个解，

贝1]只能八二机？一4(m一1)(m+1)=4—3加之=0,

解得"z=±2“.

3

综上所述，满足题意的"?的值是-1或土越.

3

故答案为：-1或士空.

3

14.[10,+co)

【分析】先将“x)-g(x)=2修的“替换为f,然后解方程组求出/(%)和g(x),带入

3.(x)=[g(x)于+2〃?+9,然后将，”表示出来，通过换元法，利用基本不等式求最值即可得

答案.

【详解】f(x)为偶函数，，/(x)=f(T),

又,g(x)为奇函数，，-g(x)=g(-x),

由/(x)-g(x)=2i①得/(r)-g(T)=25

即f(x)+g(x)=**②,

答案第6页，共13页

由①@得/(司=2-'+2',g(x)=2,-2T

则方程时(x)=[g(x)]2+2%+9为〃?(2-*+2*)=(2*-2T?+2，〃+9,

整理得m[rx+2*-2)=(2'+27)2+5

当2一*+2'—2=0,即x=0时，方程为0=9,方程无解；

当2-*+2*-240,即XW0时，方程为相=仅+2')+5,

2r+2、-2

令2一*+2*-2=f,且i=2-x+2X-2>2\l2-sx2x-2=0-

inii(f+2)+59

贝！J相=--------------1-4»

tt

因为f+后=6,当且仅当,=3时等号成立,

所以机210.

故答案为：［10,”).

15.兀

【分析】利用根式及指数运算计算即得.

［详解］43-兀尸+(1)-'+(；)。=(兀-3)+2+1=限

故答案为：兀

16.1

【分析】由对数运算法则利用韦达定理即可求得结果.

【详解】根据题意由根与系数的关系可知，lnq+lnb=2,lna-ln6=g,

所以(in2)=(lnZ?-ln«)2=(ln/?+lna)2-41na-lni»=22-4x^=1,

故答案为：1

17.(l)a=2,b=3,A={-3,1},B={1,3}

⑵{一3,1,2}

答案第7页，共13页

【分析】(1)利用交集的结果可求得。，%的值，再计算集合A,8即可；

(2)根据(1)的结果结合交、并集合运算即可.

+[l+a-3=0{a=2

【详解】(1)由题意可得leA,leB,则〈“,八0,〜，

[1-4+6=0也=3

贝！1*2+依-3=X2+2%-3=0=>*=1或x=-3,BPA={-3,1},

j?-4X+〃=J?-4x+3=0=x=l或x=3,即B={1,3},

则Ac8={l},满足题意.

综上所述，a=2,b=3,A={-3,1},B={1,3}；

(2)由AcB={l}可知,(AUC)(BC)=(AB)C={-3,1,2}.

18.(l)m=-3

⑵y,4)

【分析】(i)由基函数的定义以及单调性得出〃，的值；

(2)由g(x)=d解不等式得出。的取值范围.

【详解】(1)解:由募函数的定义可得+4m+4=I,即nr+4m+3=0,解得机=-1或"?=-3.

因为F(X)在(0,40上单调递减，所以m+2v0,即加<一2,

则加=—3.

(2)设g(x)=/,g(x)是R上的增函数.

由(1)可知(2a-l)T”<(a+3)-'",HP(2a-l)3<(a+3)3,

则2a-1<a+3,解得a<4,

即a的取值范围为(-8,4).

19.(1)(2022,2023]

⑵值域为(3,4],(另]

(3)a>3

【分析】(1)根据给定定义，直接列式求解作答.

(2)由对数函数的单调性求出g(x)的值域，进而列出不等式，求出x值范围作答.

答案第8页，共13页

(3)利用对勾函数求出网x)在(2,4］上的值域，再建立恒成立的不等式，借助二次函数性

质分类讨论求解作答.

【详解】(1)由“X)表示不小于x的最小整数，/(力=2023,得2022<xV2023,

所以实数x的取值范围是(2022,2023］.

(2)函数g(x)定义域为［0,+0，而函数y=ln(V7+1)+1在［0,m)上单调递增，值域为口,内>),

因此0<1“&］］)+［-41，即有3<3+皿热币44,所以函数g(x)的值域为(3,4］；

显然xe［0,+oo),f(g(x))=4,由/(4x+f(x))=/(g(x)),得f(4x+f(x))=4,

则有3<4x+/(x)44,而x=0时，不等式不成立，则/(x)>0,必有4x<4,即0<x<l,

因此/(x)=l,3<4x+l<4,解得!所以实数%的取值范围(!，口.

2424

h(\=__—__Q

(3)当了€(2,4］时，，wr-9),函数丫=》+—-2在(2,3］上单调递减，在［3,4］是单调

XH-------2x

X

递增，

因此函数〃(X)在(2,3］上单调递增，在［3,4］是单调递减，%(x)11m="(3)=9,而

144

/7(2)-8,/J(4)=—,

于是〃(x)在(2,4］上的值域为(8,9］,Vx2,x36(2,4］,|/J(X2)-/Z(X3)|<9-8=1,

依题意，Wxe(2,4］,m(x)>1,即VXG(2,4］,x+a-—5S1<=>af(x)>6x—x2,

x

22

当xe(2,3］时,3a>-(x-3)+9,显然当x=3时,(6x-%)max=9,则3a29,a>3,

9

当XG(3,4］时，4a>-(x-3)2+9,而6x-/<9恒成立，则4a29,心一，

4

所以实数。的取值范围aN3.

【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的

数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.

20.(1)图象见解析,增区间为［T0］,［l,+oo)

(2)证明见解析；

⑶y,-2］{T,O}口,2)

【分析】(1)根据题意，结合二次函数的图象与性质，即可求解；

答案第9页，共13页

(2)根据函数单调性的定义和判定方法，即可得证；

(3)根据函数f(x)的单调区间，结合函数/(x)在区间［a,a+1］上具有单调性，分离讨论,

即可求解.

【详解】(1)由函数/(X)是定义在R上的偶函数，且当xVO时，fM=x2+2x,

当x>0时，函数/(力的图象，如图所示,

结合函数/(X)的图象,

可得函数/(x)的单调递增区间为E，0］，U，+8).

22

则/(X,)-/(x2)=xj+2%,--2x2=(X,-)+2(X,-x2)=(%)-x2)(%)+x2+2),

因为4,七e(-oo,-l)且x,<x?,可得为-x?<0且X[+W<-2,所以％+*2+2<0,

所以f(%)-f(%)>0，即f(以〉f⑷，

所以函数/(x)在区间上为单调递减函数.

(3)由(1)中，函数“X)的图象，

可得函数/(X)的单调递减区间为(—,T］，［0,1］,递增区间为［-1,0］,口,物),

要使得函数y=〃x)在区间［。,。+1］上具有单调性，

若函数y=/(幻在区间［a,a+1］上单调递减，则满足a+14—1或j：<］，

解得。W—2或。=0；

答案第10页，共13页

a>-\

若函数y=fM在区间[见。+1]上单调递增，则满足。21或

a+\<09

解得。N1或Q=—1,

综上可得，实数〃的取值范围为（-8,-2]{-1,0}l[l,-HX））.

21.⑴/（x）是奇函数

(2){x|x<l或x>2}

(3)m>-7

【分析】（1）根据奇函数的定义分析证明；

（2）根据单调性的性质可得/'（x）是R上减函数，利用奇偶性结合单调性分析求解；

（3）根据指数函数性质结合不等式运算可得/（x）的值域，由恒成立问题可得14[g（%）]_,

换元设r=23结合二次函数的最值运算求解.

【详解】（1）因为f（x）定义域是R，且/（—）=士上1=二叶=-/（月，

所以/（力是奇函数.

2

（2）设〃=3*>0,则y=-1■1-----,

。+1

因为4=3'在