求函数的值域

关于求函数的值域知识回顾

函数y=f(x)因变量自变量对应法则自变量x的取值范围为___________________因变量y的取值范围为___________________定义域值域函数的值域第2页,共17页，2024年2月25日，星期天1:在初中我们学习了哪几种函数?函数表达式是什么?它们的定义域各是什么?

一次函数:反比例函数:

二次函数:y=ax+b(a≠0)

定义域为R定义域为{x|x≠0}f(x)=ax2+bx+c(a≠0)定义域为R

值域

呢?值域为{y|y≠0}

当a>0时，值域为:

{

}当a<0时，值域为:

{

}值域为R第3页,共17页，2024年2月25日，星期天常用的求函数的值域的方法有以下几种：1.直接法2.配方法3.换元法4.分离系数法5.图像法*判别式法第4页,共17页，2024年2月25日，星期天1.直接法：有的函数的结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质直接观察求出函数的值域。

例1：求函数的值域第5页,共17页，2024年2月25日，星期天二、配方法：形如

y=ax2+bx+c(a≠0)

的函数常用配方法求函数的值域,要注意

f(x)

的取值范围.例1(1)求函数

y=x2+2x+3

在下面给定闭区间上的值域:①[-4,-3];②[-4,1];③[-2,1]第6页,共17页，2024年2月25日，星期天三：换元法通过代数换元法或者三角函数换元法,把无理函数化为代数函数来求函数值域的方法(关注新元的取值范围).例2

求函数的值域:注：换元法是一种非常重工的数学解题方法，它可以使复杂问题简单化，但是在解题的过程中一定要注意换元后新元的取值范围。

y=x+

1-x第7页,共17页，2024年2月25日，星期天求下列函数的值域：（1）y=x+解：设t=则x=1－t2

且t≥0y=1－t2+txyo1由图知：故函数的值域为第8页,共17页，2024年2月25日，星期天1、求下列函数的值域：（1）y=1－2x（2）y=|x|－1x∈{－2,－1,0,1,2}（3）y=（4）y=值域为________________值域为_________值域为________________________值域为____________R{－1,0,1}(－∞,0)∪(0,+∞)[0,+∞)直接法-由常见函数的值域或不等式的性质求出第9页,共17页，2024年2月25日，星期天例2、求下列函数的值域:

(1)y=解：由故函数的值域为分离常数法-可将其分离出一个常数第10页,共17页，2024年2月25日，星期天练习．求下列函数的值域(1)y=3x+2(-1≤x≤1)

(2)解:(1)

∴-3≤3x≤3∴-1≤3x+2≤5即-1≤y≤5∴值域是[-1，5]∵y=∵-1≤x≤1解:(2)∵∴y≠1即函数的值域是{y|y

R且y

1}第11页,共17页，2024年2月25日，星期天课堂作业求下列函数的值域：（1）y=（2）y=（3）y=x2+4x+3(-3≤x≤1)（4）y=3-2x-x2x∈[-3,1]第12页,共17页，2024年2月25日，星期天练习：1.求下列函数的值域（2）y=（1）y=（3）y=x2-4x+3x∈[-1,4]第13页,共17页，2024年2月25日，星期天（2）y=2x－3+解：设t=

xyo由图知：故函数的值域为：第14页,共17页，2024年2月25日，星期天四、判别式法例5

求函数y

=

的值域.

主要适用于形如

y

=(a,d不同时为零)的函数(最好是满足分母恒不为零).ax2+bx+c

dx2+ex+f

能转化为

A(y)x2+B(y)x+C(y)=0

的函数常用判别式法求函数的值域.

第15页,共17页，2024年2月25日，星期天4*、求函数y=的值域解：由题知x∈R，则有2yx2+2yx+y=x2

－2x－3(2y－1)x2+2(