九年级数学上册同步讲义（人教版）：第二十四章 圆单元检测二

第30课圆单元检测（二）

一、单选题

1.如图，AB是。的切线，A切点，连接OA,OB,若NB=20。，则NAO8的度数为（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】D

【分析】

根据切线的性质可得NQ4B=90?,再根据三角形内角和求出

【详解】

；AB是O的切线

,Nft4B=90?

ZB=20°

二ZAOB=1800-ZOAB—NB=70°

故选D.

【点睛】

本题考查切线的性质，由切线得到直角是解题的关键.

2.设计一个商标图案，如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC,且AB=8cm,以A为圆心、AD的长为半

径作半圆，则商标图案（阴影部分）的面积等于（）

C.(3兀+8)cn?D.(37t+16)cm2

【答案】A

【分析】

图中阴影部分的面积可分为扇形、矩形、三角形的面积和与差，分别进行计算后即可得出结论.

【详解】

解：,/矩形ABCD中，AB=2BC,AB=8cm,

・♦・AD=BC=4cm,ZDAF=90°,

S同形ADF=—TTAD2=4zr（cm2）,SII；ABCD=AB-AD=4x8=32（cm2）,

4

乂AF=AD=4cm,

/.SABCF=-»F-BC=-X12X4=24（cm2）,

22

S%.=S财）KADF+S加彩ABCD-SABCF=（4兀+8）cm2.

即商标图案（阴影部分）的面积等于（4兀+8）cm2.

故选：A.

【点睛】

本题考查了扇形面积计算、矩形的性质等知识，掌握扇形面积计算公式及矩形的性质是解题的关键.

3.如图，。。的半径为5,弦A3的长为8,点M在线段A3（包括端点AB）上移动，则QW的取值范

围是（）

A.3<OM<5B.3<OM<5C.3<OM<5D.3<OM<5

【答案】A

【解析】

试题分析：仔细分析图形特征可得：当M与A或B重合时，达到最大值；当OMLAB时，为最小.

当M与A或B重合时，达到最大值，即圆的半径5

当OMLAB时，为最小值=次二/=3

故0M的取值范围是鬻上房*上£

故选A.

考点：垂径定理，勾股定理

点评：本题容易出现错误的地方是对点M的运动状态不清楚，无法判断什么时候会为最大值，什么时候为

最小值.

4.如图所示，“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，

不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，间径几何？”用现代的数学语言表述是：“C。为：。的直径，

弦垂足为点E,CE=2寸，A8=8寸，求直径8的长？”依题意。的长为（）

z>

B、-----J

A.6寸B.8寸C.10寸D.12寸

【答案】C

【分析】

连接AO,设直径CD的长为2x寸，则半径OA=OC=x寸，然后利用垂径定理得出AE,最后根据勾股定理

进一步求解即可.

【详解】

如图，连接AO,设直径CD的长为2x寸,则半径OA=OC=x寸,

「CD为。O的直径，弦AB_LCD,垂足为E,AB=8寸，

.•.AE=BE=gAB=4寸，

在Rt^AOE中，根据勾股定理可知:

AO2^AE2+EO2，

X2-42+(X-2)2,

解得：x=5,

二2x=10,

即CD长为10寸.

【点睛】

本题主要考查了垂径定理与勾股定理的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.

5.如图，已知P是。O外一点，Q是。O上的动点，线段PQ的中点为M,连接OP,OM.若。O的半径

为2,OP=4,则线段OM的最小值是（）

o

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【详解】

试题分析：取OP的中点N,连结MN,0Q,如图，；M为PQ的中点，；.MN为APOQ的中位线，，

MN=g0Q=gx2=1,.•.点M在以N为圆心，1为半径的圆上，在AOMN中，1<OM<3,当点M在ON

上时，OM最小，最小值为1,.•.线段OM的最小值为I.故选B.

考点：1.点与圆的位置关系；2.三角形中位线定理；3.最值问题；4.轨迹.

6.一条弦把圆周分成1:4两部分，则这条弦所对的圆周角为()

A.36B.144C.15()D.36或144

【答案】D

【分析】

根据圆周角定理，可证NAOB=72。,又由圆内接四边形的对角互补知，Z£=180°-ZF=144°.

【详解】

如图，A8把圆分成1:4两部分,则/4。8=上、360=72。，

4+1

由圆周角定理知，ZF=1ZAOB=36°,

由圆内接四边形的对角互补知,/E=l80。-/尸=144°

E

故选D.

【点睛】

本题利用了圆内接四边形的性质和圆周角定理，同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半；

圆的内接四边形的对角互补.

7.如图，AB.AC是。。的切线，B、C为切点，ZA=50°,点尸是圆上异于8、C的点，则NBPC的度数

是（）

A.65°B.115°C.115°或65°D.130°或65°

【答案】c

【分

根据切线的性质得到OBLAB,OC1AC,求出/BOC,分点P在优弧BC上、点P在劣弧BC上两种情况,

根据圆周角定理、圆内接四边形的性质计算即可.

【详解】

解：:/18、AC是。。的切线，

：.OB.LAB,OC±AC,

AZOBA=90°,ZOCA=90°

VZA=50°,

・・・ZBOC=360°-90°一90°-50°=130°,

如图，

＞公＞,

当点。在优弧8PC上时，N8PC=g/8OC=65。，

当点P在劣弧BC上时，NBPC=180。-65。=115°,

故选：C.

【点睛】

本题考查的是切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质,掌握圆的切线垂直于经过切点的半径及圆

周角定理是解题的关键.

二、填空题

8.如图，。的半径为5,A8C为0的内接三角形，且AC=BC,AB=8,点P在劣弧BC上运动（不与

点C、3重合）,连接P3并延长，在P3的延长线上取一点E,使得NPAE=NC4B,则黑腔的最大值是

【答案】40

【详解】

ZC=ZP,ZPAE=ZCAB.Z£=ZABC,'：AC=BC,：.NCAB=ZABC,：.NPAE=ZE，：.AP=PE,

要使V"E的面积最大，则PE与PE边上的高最大即可，当AP为直径时PE=AP最大，且PE边上的高最

大，最大值为AB，如图，为。的直径，，。的半径为5,.•.AB_LPE,AP=10,

S”版大=gA8/E=gx8xl0=4°・

C

9.如图，EB,EC是。O的两条切线，与。O相切于B,C两点，点A,D在圆上.若/E=46。，NDCF=32。,

【答案】99

【解析】

试题分析：；EB,EC是。O的两条切线,

.♦.EB=EC,

/ECB=NEBC,

.\ZECB=1(180°-ZE)=gx(180°-46°)=67°,

/BCD=180°-ZECB-ZDCF=180。-67。-32。=81°,

四边形ABCD为。O的内接四边形，

ZA+ZBCD=180°,

.♦.NA=180°-81°=99°.

故答案为99.

考点：切线的性质.

10.已知00/与002的半径4、弓分别是方程X2-6*+8=()的两实根，若00/与。02的圆心距d=5.则

00,与002的位置关系是.

【答案】相交

【解析】略

11.如图，AB为。。的直径，AB=AC,BC交。O于点D,AC交。。于点E,NBAC=45。，给出以下五个

结论：①/EBC=22.5。；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧片£是劣弧30的2倍；⑤AE=BC,其中正确的序

号是.

【详解】

连接AD,AB是直径，则AD_LBC,乂:△ABC是等腰三角形，故点D是BC的中点，即BD=CD,故②

正确；

：AD是NBAC的平分线，由圆周角定理知，ZEBC=ZDAC=|ZBAC=22.5°,故①正确；

■:ZABE=90°-ZEBC-ZBAD=45°=2ZCAD,故④正确；

VZEBC=22.5°,2EC/BE,AE=BE,/.AE/2CE,③不正确；

：AE=BE,BE是直角边，BC是斜边，肯定不等，故⑤错误.

综上所述，正确的结论是：①②④.

故答案为①②④.

【点睛】

本题考查了1.圆周角定理；2.等腰三角形的判定与性质；3.弧长的计算.

12.（2016广西贺州市第25题）如图，在AABC中，E是AC边上的一点，且AE=AB,

/BAC=2NCBE,以AB为直径作。O交AC于点D,交BE于点F.

（1）求证：BC是。O的切线；

（2）若AB=8,BC=6,求DE的长.

【答案】（1）、证明过程见解析；（2）、1.6

【解析】

1

试题分析：（1）、由AE=AB,可得/ABE=90。-2/BAC,又由/BAC=2NCBE,可求得NABC=/ABE+

NCBE=90。，继而证得结论；（2）、首先连接BD,易证得AABDs^ACB,然后由相似三角形的对应边成比

例，求得答案.

试题解析：（1）、：AE=AB,.•.△ABE是等腰三角形，

111

/.ZABE=2（180°-ZBAC=）=90°-2ZBAC,=ZBAC=2ZCBE,ZCBE=2ZBAC,

11

/.ZABC=ZABE+ZCBE=（90°-2ZBAC）+2/BAC=90。，即AB_LBC,；.BC是（DO的切线：

（2）、连接BD,：AB是。O的直径，.,.ZADB=90°,VZABC=90°,AZADB=ZABC,

ADAB,--------

VZA=ZA,.•.△ABD^AACB,AAB=AC,•在RIAABC中，AB=8,BC=6,AAC=VAB2+BC=10,

AD_8

A8-10,解得：AD=6.4,：AE=AB=8,.*.DE=AE-AD=8-6.4=1.6.

考点：切线的判定

13.两圆内切，其中一个圆的半径为5,两圆的圆心距为2,则另一个圆的半径是.

【答案】3或7

【解析】

试题分析：当半径为5的圆是大圆时，此时小圆半径为「=5-2=3,当半径为5的圆是小圆时，此时大圆

半径为「=5+2=7

考点：两圆内切的掌握

点评：题目难度不大，考查学生对于两圆内切时的认识和掌握，两元内切时，圆心距等于大圆半径与小圆

半径之差，做此题时.，学生要注意，题目中没有说明哪个是大圆哪个是小圆，所以需要分类讨论

14.如图中（1）、（2）、…（加）分别是边长均大于2的三角形、四边形...凸〃边形.分别以它们的各

顶点为圆心，以1为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧、4条弧…、〃条弧.

（1）3条弧的弧长的和为：

（2）4条弧的弧长的和为

（3）求图（〃?）中〃条弧的弧长的和（用〃表示）.

4

【答案】兀2兀（n-2）it

【解析】

【分析】

（1）（2）利用弧长公式和三角形和四边形的内角和公式代入计算;

（3）利用多边形的内角和公式和弧长公式计算.

【详解】

解：(1)•.•也+〃2+〃3=180°

利用弧长公式可得：+%四+乌四=

n

180180180

（2）•.•因为四边形的内角和为360度;

・E、lTT/〃「乃J凡•乃J"a•乃J

..四边形：—----+工-----+—-----+-----=2万

180180180180

,〜、qrm&皿1?•万n,•TTA(〃一2)・汗・1

(3)n条弧=-^----+d---+—---+----十一+------(-〃-------2--)乃

180180180180180

故答案为：it；27t；(n-2)n.

【点睛】

本题综合考查了多边形的内角和和弧长公式的应用.关键是掌握多边形的内角和公式和弧长计算公式.

三、解答题

15.如图，。。是^ABC的外接圆，FH是。0的切线，切点为F,FH〃BC,连结AF交BC于E,ZABC

的平分线BD交AF于D,连结BF.

(1)证明：AF平分NBAC：

(2)证明：BF=FD；

(3)若EF=4,DE=3,求AD的长.

21

【答案】⑴见解析；⑵见解析；⑶彳

【详解】

证明(1)连结OF

H

・・・FH是。0的切线

.\OF±FH

,.，FH〃BC,

・,・OF垂直平分BC

:.BF=FC

AZ1=Z2,

；・AF平分NBAC

(2)证明：:NABC的平分线BD交AF『D,

・♦.Z4=Z3,

Z1=Z2,

/.Z1+Z4=Z2+Z3

Z5=Z2

AZ1+Z4=Z5+Z3

.\ZFDB=ZFBD

:.BF=FD

(3)解：在^BFE和AAFB中

VZ5=Z2=Z1,ZAFB=ZEFB

二△BFES/XAFB

.BFAF

'•标一定'

・・・BF?=FE-FA

；.FA=Q

FE

,:BF=DF=EF+DE=7

di

44

4921

・・・AD=——7=—

44

16.如图，四边形ABCD是。。的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E,且DC=DE.

（2）连接OE,交CD于点F,OE1CD,求证：AABE是等边三角形.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据圆内接四边形的性质可得44+=180。，根据邻补角互补可得

LDCE+/.BCD=180°,进而得到=然后利用等边对等角可得/CCE=进而可得

Z.A=Z.AEB.

（2）首先证明△赤£是等边三角形，进而可得〃EB=60。，再根据"1=44醺，可得AABE是等腰三角

形，进而可得4ABE是等边三角形.

试题解析：（1）・・•四边形ABCD是。O的内接四边形,

.♦・LA+LBCD=180°,

•/ZDCE+ZBCD=180°,

/.LA=乙DCE,

VDC=DE,

/.£.DCE=乙AEB,

/.LA=LAEB.

（2）=Z-AEB,

•••△ABE是等腰三角形,

VEO±CD,

/.CF=DF,

・・・EO是CD的垂宜平分线,

:.ED=EC,

•:DODE,

ADC=DE=EC,

••・△DCE是等边三角形，

/.ZJ1=ZJ1EB,

•••△ABE是等边三角形.

考点：（1）圆内接四边形的性质；（2）等边三角形的判定与性质；（3）圆周角定理.

17.如图，相交两圆的公共弦AB长为120cm,它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边,

求两圆相交弧间的阴影部分的面积.

【答案】420071-3600-3600^

【解析】

试题分析：

如图，连接OQ?，OiA,OBO2A,ChB,则可得OQ2垂直平分AB,由题意可得AC=BC=60,ZAOiB=60°,

NAC）2B=90°,由此可得AAOIB是等边三角形，AAOZB是等腰直角三角形，再由S*g=S切AOIB+S*巾

AO2B-SAAOIB-SAAO2B»即可求得所求面积.

试题解析：

如图，连接OQ2,OiA,OiB,O2A,O?B；

则O1O2垂直平分AB,

VAB=120,

/.AC=BC=60；

由题意得：ZAOiB=360*1=60,NAChB=90°,

XVOIA=OIB,02A=ChB,

AAOiAB,AO2AB分别是等边三角形和等腰直角三角形,

/.OiA=AB=120,C)2C=AC=60,O2A=&ChC=60五

2

.c607rxi2()2..nn090^-x(60>/2)1onn

♦・'质形AOlB=---------------------=24UU4,b而形AO2B=------------------------------=1800乃,

360360

S,\OIB=—3600A/3,AO2B=—XX

Axl20xl20xsin60=SA12060=3600,

22

•*«S明帝二S扇形AO1B+S或形AO2B・S^AOIB-SAAO2B

=2400乃+1800万-3600石-3600

=42001-3600-3600夜(cm2).

点睛：本题的解题要点是：SBU；=SM®AO1B+SAO2B-SA/\OIB-SAAO2B.然后根据已知条件围绕这四个图形的面

积进行计算即可.

18.如图，AC是00的直径，BC是OO的弦，点尸是OO外一点，连接PB,AB,NPBA=NC.

(1)求证：PB是。。的切线;

【分析】

(1)连接OB,由圆周角定理得出乙48c=90。，得出NC+/BAC=90。，再由04=03,得出NH4c=NO8A,

证出NP84+NOBA=90。，即可得出结论;

(2)由勾股定理即可求。8的长.

【详解】

(1)证明：连接08,如图所示:

〈AC是。。的直径，

・・・乙480=90。，

・・・NC+NB4C=90。，

•.・04=03,

，/BAC=NOBA,

■:4PBA=4C,

：.ZPBA+ZOBA=90%

即PBLOB,

・・・P8是。。的切线；

(2)解：・・・。0的半径为2,

・・・。8=2,

■:PB10B,

・♦・NOBP=90。,

,:0P=6,

,PB=yloP2-OB2=A/62-22=472•

【点睛】

本题考查了圆周角定理，切线的判定，等腰三角形的性质，以及勾股定理等知识，熟练掌握切线的证明方

法是解答本题的关键.

19.如图，已知〈。的半径为1,AC是。的直径，过点。作。的切线8C,£是8C的中点，A8交

于。点.

(1)直接写出ED和EC的数量关系：；

(2)DE是：。的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由；

(3)填空：当BC=时，四边形是平行四边形，同时以点。、。、E、C为顶点的四边

形是.

【答案】(1)ED=EC；(2)是，理由见解析；(3)2,正方形

【分析】

(1)如图，连接8,由圆周角定理得到WC=90。，然后根据直角三角形斜边上的中线直线得到

DE=CE=BE；

(2)如图，连接利用切线性质得N2+N4=90。，再利用等腰三角形的性质得4=N2,Z3=Z4,所

以Nl+N3=N2+N4=90。，根据切线的判定定理知OE是］。的切线；

(3)要判断四边形4OED是平行四边形，DE=OA=\,BC=2,当5c=2B寸，八48为等腰直角三角形,

则N8=45。，又可判断△BCD为等腰直角三角形，得到E)E_L8C,DE=；BC=1,四边形AOEQ是平行

四边形，OD=OC=CE=DE,NXE=90°判断四边形OCED为正方形.

【详解】

解：(1)如图，连接CD,

：AC是1。的直径，

ZADC=90°,

：.ZBDC=90°,

；E是的中点，

DE=CE=BE；

故答案为：ED=EC；

(2)OE是〈。的切线.

理由如下：如图，连接。。,