正确认识数学

关于正确认识数学一：数学是什么（数学的特征）二：数学教学中的几对关系1、教师的角色与地位2、我们应持什么样的学生观3、现代数学教学观4、录像观摩与讨论第2页,共48页，2024年2月25日，星期天一、数学是什么一、数学是什么

二、数学的特点第3页,共48页，2024年2月25日，星期天一、数学是什么数学是什么？这是任何一个数学教育工作者都必须认真思考的问题，也是数学教师的数学观问题。

在不同的历史时期，随着数学本身的发展与人们对数学认识的深入，对“数学是什么”这一问题有着各种不同的论述，数学内涵也越来越丰富。第4页,共48页，2024年2月25日，星期天1.古代中国认为数学是术，是用来解决生产与生活问题的计算方法。2.古希腊亚里士多德（公元前4世纪）：数学是量的科学。3.恩格斯（19世纪）：数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。背景:19世纪以前古典数学的主要成就就是算术、几何学、代数学、微积分。这些学科研究的都是客观事物的空间形式和数量，这一定义优于亚里士多德的定义，受到数学家的普遍赞成，至今仍被经常采用。<一>数学发展史上的各种观点第5页,共48页，2024年2月25日，星期天局限:由于近、现代数学的发展，数学的研究对象如今已超越出数量关系和空间形式的最初意义的理解。如“n维向量空间”、“函数空间”等只是形式上与一般空间概念有某些类似的模拟物。另一方面由于各种抽象结构、形式体系和一般关系等都已成为现代数学的研究对象。法国布尔巴基学派就认为，一切数学都建立在代数结构、序结构、和拓扑结构这三种母结构之上。而近几十年发现了许多新的数学领域，应用数学的问题类型以空前的速度增长，其中最显著的是计算机及其应用的爆炸性发展，计算机技术和广泛应用统一的概念处理现实世界的各种模式已成为当今数学发展的一个决定性特点。

第6页,共48页，2024年2月25日，星期天4.前苏联学者（20世纪50年代）：现代数学是各种量之间的可能的、一般说是各种变化着的量的关系和相互联系的科学。5.美国学者（20世纪80年代）：数学是模式的科学。数学中的概念和命题，或是问题和方法，都应看作是一种具有普遍意义的模式。因此数学是研究一种广义的量——模式结构的科学。第7页,共48页，2024年2月25日，星期天<二>现代数学观1.数学是一门科学数学是一门科学，观察、实验、发现和猜想等是数学的重要实践，尝试和错误、假说和调研及度量和分类是常用的数学技巧。数学是客观世界模式和秩序的科学。在数学中通过模式的建构，并以此为直接对象来从事客观世界量性、规律性的研究。数学理论是由数学模式组成的逻辑有序的系统结构，数学问题解决时从已知到目标的逻辑推理、演算的有序过程。第8页,共48页，2024年2月25日，星期天2.数学是一门技术计算机的出现使数学成为普适性的技术，现代高科技从本质上讲是数学技术。从航天到家庭，从宇宙到原子，从大型工程到工商管理，无一不受惠于数学技术。计算机的发展导致对数学和数学活动内容的看法有所改变，更加突出了数学实验，把探索和发现看成数学教学过程的重要组成部分。第9页,共48页，2024年2月25日，星期天3.数学是一种文化数学是传播人类思想的一种基本方式，是人类的一种高级语言，就业是自然与社会联系的一种工具。数学从思维和技术的角度为人类文化提供方法论基础和技术手段，推动人类文化的进步。数学可帮助人们认识自然和社会，理解周围世界，可以促进人们又条理的思考，有效地进行表达和交流，培养实事求是的科学态度和用于探索的创新精神，是人们的一种高尚的文化素养。第10页,共48页，2024年2月25日，星期天1评述：.这正好反映了数学是一个多元的综合产物，不能简单地将数学等同于命题、法则和公式汇集成的逻辑体系，而应被看作一个由理论、问题、方法、语言等多种成分所组成的复合体。2.如果从哲学的观点来刻画数学的本质，不外乎以下两种看法：一种是动态的，将数学描述为处于成长发展中因而是不断变化的研究领域；另一种则是静态的，将数学定义为具有一整套已知的确定的概念、原理和技能体系。第11页,共48页，2024年2月25日，星期天<三>中学数学课程改革下的数学

1.数学课程标准一方面采用了一系列对数学的描述性的语言：“数学是人类生活的工具”；“数学是人类用于交流的语言”；“数学能赋予人创造性”；“数学是一种文化”；2.另一方面又首先沿用了恩格斯的定义：数学是现实世界的空间形式和数量关系的科学。(因为这个定位在今天对中小学数学研究的主要对象来说仍然是适用的)3.义务教育课程标准把数学的定位阐释为：“数学是人们对客观世界的定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程”。第12页,共48页，2024年2月25日，星期天评述:(1)这样定义考虑到:20世纪中叶以来数学自身发生的巨大变化，特别是与计算机的结合，数学的研究领域、研究方式和应用范围得到空前的拓展。(2)这一阐释使数学的内涵更丰富，更为广阔。它从发展的观点出发，突出了数学不应该只注重结果，而更应该注重过程.4.高中数学课程标准进一步指出“数学也是研究模式和秩序的科学。”评述:体现了对数学本质特征的现代认识，具有时代性。也强调高中了高中数学教学应当以模式的观念为核心来组织教学，即应当把帮助学生逐步建立与发展分析模式、应用模式、建构模式与鉴赏模式的能力作为数学教学的基本目标。

第13页,共48页，2024年2月25日，星期天综上所述:(1)对数学的本质的认识是发展变化的，它的对象思想方法无时不处在发展变化之中。因此，只能在各个历史时期对其对象和方法的本质特征加以概括，给出描述性的观点或定义，使人们有一个整体的数学观。(2)同时，由于数学家的哲学观不同、角度不同、出发点不同，同一时期也会出现对数学不同的描述，既带有主观成分，又具有时代烙印，但它们都从某一侧面反映了数学的本质，为我们全面认识数学提供了一个视角。(3)从中学的角度看，对数学本质的认识，采取现象与本质并重，结果与过程并重，形式与内容并重，无疑具有重要的指导意义。

第14页,共48页，2024年2月25日，星期天二、数学的特点

一般的，数学的特点被归纳为三性：抽象性、精确性、应用的广泛性。(一)数学的抽象性特征1、数学对象的抽象性研究对象：抽象的形式化的思想材料。思想材料：即她所研究的对象不是客观世界的具体物化形式或具体运动形态，实验观测不到。如：数、式、方程、函数；点、线、面、体；群、环、域；欧氏空间、线性空间等数学对象都是人类思想抽象的产物，虽可以找到它们形成的客观背景，但现实世界中没有这些对象物化形式的实际存在。数学的抽象是从事物的量和形上的抽象第15页,共48页，2024年2月25日，星期天二、数学的特点形式化：既指这些思想材料是用数学的特殊符号语言组织起来的，我们能见到只是符号的表面形式，其内涵、内容、抽象的思想是隐藏在形式之下的。例如：”sinx”直观上只是符号、形式，其内涵是直角坐标系下，角x终边上任意一点到Ｙ轴的距离与到原点距离的比值。第16页,共48页，2024年2月25日，星期天二、数学的特点(一)数学的抽象性特征２、数学理论的抽象性（一般性模式）一个数学模型反映的往往是不同领域、不同学科内不同现象、不同问题的共同本质。例如：这个最简单的一介微分方程可以描述：放射性同位素的衰变过程（化学）；某种细菌的繁殖过程（生物）；某个条件下的热传导过程（物理）；某个地区人口的变化过程（社会）等等第17页,共48页，2024年2月25日，星期天二、数学的特点(一)数学的抽象性特征３、数学方法的抽象性数学的主要研究方式：思辨。数学活动是人类抽象的思想活动，是一种思想实验。数学的两种抽象方法：弱抽象与强抽象４、数学抽象的两个特点（１）理想化（２）形式化有独特的符号系统；由假设推出结论第18页,共48页，2024年2月25日，星期天二、数学的特点(二)数学的确定性特征1、数学的确定性由数学的抽象性决定数学的抽象舍弃了事物个别的性质和具体的内容，保留了事物的共同的本质，这些本质的东西是稳定的、确定的，数学正是研究在一定数学运动变换下的不变性质。变化中的不变性数学方法的抽象性使得数学结论具有普适性、稳定性。例如：数学概念一定是明晰的，数学方法是可重复的第19页,共48页，2024年2月25日，星期天二、数学的特点(二)数学的确定性特征2、数学的确定性是由逻辑方法本身的精确性确定。数学推理的逻辑性确保了数学结论的确定性、精确性。逻辑推理的基础是概念，概念必须是明晰的、给概念下定义必须遵循规则。逻辑推理要遵循逻辑规则。任何数学结论都是在概念的基础上、或原始命题的基础上，遵循逻辑的推理规则推导出来的，这样推出的结论具有客观性、可靠性，令人信服（可重复性）第20页,共48页，2024年2月25日，星期天二、数学的特点(二)数学的确定性特征3、数学的确定性由公理化的结构决定。公理化方法就是在原始概念、公理的基础上通过逻辑的方法（精确定义、逻辑论证等）建立学科系统的过程。数学科学是通过公理化的方法建立起来的一个逻辑体系，逻辑推理是一个传递真值的过程，这就保证了在某一数学理论体系内的结论具有逻辑相容性，不会互相矛盾。第21页,共48页，2024年2月25日，星期天二、数学的特点(三)数学的广泛应用性特征1、数学提供了特有的思维训练数学一直是学校教育的主要课程，因为数学是训练推理能力的最佳学科，她教你思考。数学提供的特有思维训练有：数学化—建立数学模型；抽象化—为人类学习抽象思维提供最有效的途径；最优化—寻求最有效、最经济的最优解；符号化—用一种紧凑检阅的形式把自然语言推广到抽象概念的符号表示；随机化—从各种不完全和不一致的原始资料进行估计和猜测；逻辑分析—寻求前提中所蕴含着的东西以及寻求能结实所观测到的现象的基本原理第22页,共48页，2024年2月25日，星期天二、数学的特点(三)数学的广泛应用性特征2、数学提供了科学的表达语言枷利略：世界的奥秘是本巨大的书，而这本书是用数学语言写的。爱因斯坦：理论物理学家在描述各种关系时，要尽可能达到最高标准的严格精确性，这种标准只有用数学语言才能做到。数学是各种科学的通用语言。也是世界各民族的共同语言。数学语言（在教育中）分为：自然语言、图形语言、符号语言。第23页,共48页，2024年2月25日，星期天二、数学的特点(三)数学的广泛应用性特征3、数学提供了抽象思维的模式数学为解决实际的和科学理论的非数学问题提供了抽象思维的模式，例如为非数学问题转化为数学问题提供具体的数学模型，为构造数学模型提供抽象方法。4、数学提供了科学理论的示范作用数学公理化方法的成功为其他学科的发展提供了示范，很多学科都把本学科的公理化作为发展的目标，数学所提供的这种示范导致“科学数学化”的趋势。5、数学提供了不可思议的实践领域的应用著名数学家华罗庚在《大哉数学之为用》一文中精彩的指出“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁”无不是显现数学的身影，数学已成为一切技术发展和现实问题解决的最重要工具第24页,共48页，2024年2月25日，星期天二、数学的特点(四)数学活动的探索性特征数学活动包括：数学研究活动，数学认识活动，数学实践活动。数学的探索性特征：指数学活动要运用一般科学的探索方法，包括：观察、实验、想象、直觉、猜测、验证、反驳。数学活动都要经历发现问题，提出假设，验证猜想三个阶段，每个阶段都离不开探索。数学探索活动的特点：①不是运用逻辑推理的论证方法，而是运用合情推理的探索方法；②可以获得发现发明的内容；③可以寻找解决问题的思路；④可以预测可能性结论的正确程度；⑤其结果必须通过严格的论证才是可靠的、最终的结论。启示：数学活动的探索性特征有利于培养学生数学发现、发明的方法；学校的数学教育不应该只教论证，还要教会学生去发现、去猜想。第25页,共48页，2024年2月25日，星期天义务教育数学课程标准中对数学的基本认识：

前言中的描述：数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。20世纪中叶以来，数学自身发生了巨大的变化，特别是与计算机的结合，使得数学在研究领域、研究方式和应用范围等方面得到了空前的拓展。数学可以帮助人们更好地探求客观世界的规律，并对现代社会中大量纷繁复杂的信息作出恰当的选择与判断，同时为人们交流信息提供了一种有效、简捷的手段。数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会创造价值。第26页,共48页，2024年2月25日，星期天基本理念2中的描述：数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具,能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学在提高人的推理能力、抽象能力、想像力和创造力等方面有着独特的作用；数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。第27页,共48页，2024年2月25日，星期天高中数学课程标准中前言部分对数学的定位：数学是研究空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。数学科学是自然科学、技术科学等科学的基础，并在经济科学、社会科学、人文科学的发展中发挥越来越大的作用。数学的应用越来越广泛，正在不断地渗透到社会生活的方方面面，它与计算机技术的结合在许多方面直接为社会创造价值，推动着社会生产力的发展。数学在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用。数学是人类文化的重要组成部分，数学素质是公民所必须具备的一种基本素质。

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数学教育作为教育的组成部分，在发展和完善人的教育活动中、在形成人们认识世界的态度和思想方法方面、在推动社会进步和发展的进程中起着重要的作用。在现代社会中，数学教育又是终身教育的重要方面，它是公民进一步深造的基础，是终身发展的需要。数学教育在学校教育中占有特殊的地位，它使学生掌握数学的基础知识、基本技能、基本思想，使学生表达清晰、思考有条理，使学生具有实事求是的态度、锲而不舍的精神，使学生学会用数学的思考方式解决问题、认识世界。第29页,共48页，2024年2月25日，星期天三、几种数学观下的数学教学“数学是一堆绝对真理的总集”，“学生的头脑是贮存知识的仓库”，“数学学习就是往学生的头脑里不断增加定理的数目，是反复刺激的镜面反映，是学生对教师授予的知识的被动接受”，“学习数学主要在于背诵”，教师只注重学生得到数学知识的数量，只想把大量的数学结论尽快高密度地传授给学生，就会实施猛增乱补的教学法，其表现为：第30页,共48页，2024年2月25日，星期天一是尽量缩短学生思考理解数学知识的时间，不考虑学生能否接受，不研究学生认知结构的合理性与组织性，不调动学生的学习主动性，只是自己单边的教学活动，使学生处于被动地接受状态。二是讲课中有意忽略知识产生的过程，讲概念不去建立概念与概念之间的联系，只讲概念的表达式，对概念的形成过程，定理的发现过程，证明与解题的探索过程一带而过（甚至省略），不讲解（或不注重）知识与知识之间的逻辑关系，不引导学生进行类比和归纳，只把结论直接给学生。第31页,共48页，2024年2月25日，星期天三是把教学的重点放在解题上，但也是只讲算法不讲算理，不引导学生通过归纳、分析、综合去理解解题思路，抓住解题实质，一味生搬算法，硬套公式。四是学生灌输“数学解题的方法就是死记硬背公式、定理和法则，然后直接应用”、“学习的目的就是记忆‘标准答案’”。五是通过重复刺激和反复训练的方法以达到熟练掌握的程度，毫不顾忌脑力承受能力的极限，加班加点把学生困在过度训练的题海战中。第32页,共48页，2024年2月25日，星期天这种教学使学生得到的是：1、缺乏理解、僵化、无序的一大堆零散的数学结论。2、死记硬背的学习方法，思路单一狭窄的思维方法，缺乏可利用性，可辨别性和稳定性的数学认知结构，这种认知结构不具有抽象、概括、迁移、逻辑推理红证明的功能，一些须逆向思维与发散思维的问题则无能为力解决。3、缺乏数学语言的表达能力，缺乏学习的主动性、独立性和批判性。4、熟记了公式定理却不会推导证明，学了的结论到用的时候却调不出来。5、超过脑力承受极限的题海战，使学生过度疲劳，缺乏充足的睡眠和休息，造成思维混乱，反应迟钝，导致本掌握的知识与方法也错误应用。

第33页,共48页，2024年2月25日，星期天“数学是一种处理数量问题的工具，是有益于生计的问题解决的一招一式的技术”，“数学学习是各种算法和技术的机械记忆和应用”，则教师会采用认套题型的教学法。认套题型的教学观的表现：1、只注重实际应用操作程序的教学，注重技法训练和方法培训，削弱基本概念的教学，不进行抽象概括能力的培养，不注重推理论证训练。2、只注重可以直接应用于日常生活的数学，削弱抽象数学的教学。第34页,共48页，2024年2月25日，星期天3、不把精力放在完善学生的认知结构上，不讲解题的思路和方法是怎样得来的，而是把更多的注意力放在题型上，有的重点高中重点班甚至不讲教材，完全搞题型教学，搞全面网尽的题型训练，讲课就是讲题型和难题，一节课讲十几个题型，笔记十几页，要求学生记下来。4、新课刚授完（或根本不讲基础知识）就要求学生解难题，由于学生缺乏基础知识而无法理解，难题解不了，只有用强行记忆来弥补，学生被迫进行机械学习。5、大量搜集题型和难题，要求学生加班加点地做类型题和难题，用题海战达到学生对各种题型的熟悉套用。第35页,共48页，2024年2月25日，星期天认套题型的教学观的结果这种教学使学生得到的是：1、具有表明性、形式化特点的零散的数学方法。2、“识别类型，死套方法，强化练习”的学习方式，对解题步骤的机械记忆和程式化步骤的模仿的解题方法。3、僵化机械的认知结构。这种认知结构，缺乏理性思维、抽象概括、推理论证、信息解读等功能。思维方式机械、解题能力差。只能解做过的类型题和难题，对没做过、没见过，或稍作一点改变的题就无法解或错解。4、由于教师包办代替了学生的数学学习思维过程，使学生长期滞留在经验型的直观感悟上，抽象逻辑思维能力差，超越不了直观经验和具体计算，不能上升到理性认识。5、对教师极大的依赖性，无创新意识与思维探究能力。第36页,共48页，2024年2月25日，星期天“数学是通过对概念的分析、生成和组织，对命题的严密逻辑推理而形成的互相联系的系统化的有机整体。反映的是概念命题的客观逻辑结构”，“数学是用数学经验规则组成的体系，其组织的活力依赖于各部分之间的联系，结构决定体系的功能”，“数学认知结构的形成过程是学生对数学知识的逻辑结构进行加工的心理活动过程”，“构建概念体系和命题体系是促进学生建立完善认知结构是有效途径”，“数学学习实质上是学习者的生理——心理系统对数学知识系统的（部分）纳入”，“数学学习是注重知识内在关联中加深理解，把握知识的来龙去脉，只有这样才能形成良好的数学认知结构第37页,共48页，2024年2月25日，星期天“知识结构不仅是知识的固着点，也是从不同侧面认识事物的一条途径，学生头脑积累的知识只有做到条件化、成熟化、结构化，才会有效地同化，巩固和迁移，才能成功地解决问题”，“学生从已知的整体知识中掌握分化的部分，比从已知的分化部分中掌握整体的难度要低一些”，则教师就会施行结构教学法。结构教学法的表现：1、注重对概念进行分析、抽象、概括的生成组成过程的教学，注重命题的逻辑推理证明，对学生进行抽象、概括能力和逻辑思维能力的训练。

第38页,共48页，2024年2月25日，星期天2、注重知识点之间的实质性联系，讲清来龙去脉，知识结构的建构方式，过程和结构图式；从知识结构的总体上把握概念、定理、公式、方法和技巧。3、注重核心概念体系与命题体系的建构过程，并揭示蕴涵于核心概念的概念体系、命题体系深层的数学思想方法。4、教授如何进行数学知识的理解，如何进行意义学习，如何构建良好的认知结构方法。5、解题教学的重点放在如何分析题意寻找解题思想、思路和方法上，放在具体问题具体分析的解题方法的引导上。6、注重演绎推理能力的训练。第39页,共48页，2024年2月25日，星期天这种教学使学生得到的是：1、有活力的条件化、结构化的数学知识、概念体系和命题体系。2、蕴涵于表层知识之中的数学思想方法。3、具有起固定作用的核心数学观念的数学认知结构。这种认知结构具有较高的信息解读能力，抽象、概括、类比、归纳、逻辑推理、论证等理性思维能力和思维探究能力。4、意义学习的学习方法，从总体上记忆、理解和把握数学知识的逻辑结构的方法、具体问题具体分析的解题方法。5、主干知识突出，既包括理论知识，又包括经验知识和数学前提性知识，脉络简明的“认知地图”。6、较强的数学语言表达与转换能力，不孤立地看问题，努力寻求综合地看待事物的的习惯。7、学习的有用功率高，不打疲劳战，减轻了脑力的过重负担。第40页,共48页，2024年2月25日，星期天“数学知识是无法传递的，传递的只是信息”，“信息必须被置于洞察、解释并与头脑认知结构中现有的知识发生联系的位置（即生长点），通过新旧制知识经验的互动，才能被理解而成为自己的知识”，“数学学习是学生自觉主动在心理上建造一个认知对象的‘建筑物’，其建筑材料，除了有关新知识的少量信息来源于外部，多数信息来源于心理内部——已有的知识、经验、方法和观念。建造的过程除最初少量外部活动外，主要的是内部的心理活动，是一系列思维活动的内部操作，是内部心理上的思维创造过程”，则教师就会采用建构主义的教学法。第41页,共48页，2024年2月25日，星期天建构主义教学法的表现1、把重心放在如何调动学生主动性、如何教学生学会学习方法上。培养学生的数学理解能力，自学能力，反思能力，思维自我调节与监控能力。2、注重对学生数学认知结构现有状况和进行当前数学学习的认知心理活动进行分析，对新旧知识的结合进行研究。3、不仅要以学生原有认知结构为出发点，而且以扩展和完善认知结构为归宿。4、既教学生如何进行数学认知，如何构建良好的数学认知结构，又教学生如何对自己的认知进行认知（元认知），还教不同学段的不同学习方法如何进行转化。5、教给学生“积极前进、循序上升”的学习观，在前进中巩固知识，用循环来巩固知识，加深认识，用循环来系统化知识，提高质量，解决问题。剖析、批判、摒弃“前不清，后不接”，在每个知识小点上进行反复讲、重复练，层层夯实。6、引导学生进行反思性学习，优化认知结构。第42页,共48页，2024年2月25日，星期天这种教学使学生得到的是：1、符合数学学习特殊的认识规律的学习方法。2、良好的数学认知结构，深刻的理解能力，较强的数学自学能力，反思能力，解题能力，思维探究能力。3、融会贯通数学知识体系与扎实的数学双基。4、数学学习的主动性、独立性、数学思想的深刻性，批判性，灵活性。5、高效率的学习效果，超前学习的欢乐。概言之，学生得到的是一个睿智的头脑和一把开启数学宝藏的金钥匙。第43页,共48页，2024年2月25日，星期天：“数学是一种探索精神，是一个动态的过程，是一个思维试验过程，是数学真理的抽象过程，”“数学是通过对简单事实的把握，建立思维体系，通过推理得出结果，”“数学是创建并运用公理化方法，通过严密的逻辑推理论证，把零散的数学经验规则汇集、发展，构建成系统化的逻辑体系”，“数学是通过建构模式来刻画自然规律和社会规律的，是一种模式的建构活动，而且模式本身就是研究的对象，是理想化量化模式的建构与研究”，“数学对人类的贡献不仅仅在于产生了一些有用的美妙的定理，更重要的是它孕育成熟理性的最佳载体”，“数学教学应该是数学理性精神的再根植第44页,共48页，2024年2月25日，星期天”，“数学学习是一种理性的认识过程，起决定作用的是理性因素”，“数学公理化和形式化有助于理性思维