2023届福建省泉州一中南安一中高三年级上册期中考试数学试题

2023届福建省泉州一中、南安一中高三上学期期中考试数学试题

一、单选题

1.设全集U是实数集R,屈={小2>4},N={x|14x43},如图，则阴影部分所表示的集合为()

A.{x|-2<x<11B.{x|-2<x<3}

C.{x|x4-2或x>3}D.{x|-2<x<2)

【答案】A

【分析】分别求解集合"，N,又韦恩图阴影部分表示N),按照并集与补集运算即可.

【详解】解：M={x[x<-2或x>2},?/={A-|1<X<3},则A/uN={x|x<-2或x2:l},

阴影部分所表示的集合为乐(MUN)={X|-24X<1}.

故选：A.

2.已知复数z满足z(2-i)=6+2i,则同=()

A.2非B.4C.2#)D.2>/2

【答案】D

【分析】根据复数的除法运算求出z,则可求得同.

【详解】解：z==(彳2?；+?J。？5=2+2i,所以国=j2?+22=29.

2-1+511

故选：D.

3.若非零实数。泊满足则()

A.ac2>be2B.—+y>2C.-"D.\na>\nb

ab

【答案】C

【分析】通过反例可说明ABD错误；由力-。<0,利用基函数的单调性，可得C正确.

【详解】对于A,当c=()时，ac2=bc2=0,A错；

对于B,当a>0>b时，-+y<0,B错；

ab

对于C,a>h,:.h-a<0,、=产"在为(0,”)减函数，；./">7?-",C正确；

对于D,当()>a>b时，Inajn"无意义，D错误.

故选：C

4.函数f(x)=xcosx的图像大致是()

【答案】A

【分析】先根据函数奇偶性的概念可知/(-x)=-/(x),即函数f(x)为奇函数，排除选项D；再利用

三角函数的性质排除BC即得.

【详解】/(-X)=-xcos(-x)=-xcosX=-/(x),

••・函数〃X)为奇函数，排除选项D；

TT

当XE(0,—)时，X>0,0<COSX<1,

2

,-.0</(x)<x,排除选项BC.

故选：A.

5.已知函数/(xbcos5jsin5+cos、)，当》=夕时，/(x)取得最大值，则cos/?=()

【答案】A

【分析】由三角恒等变换公式化简与三角函数性质求解，

.、“叼、XAXXX„.11

【详解】f[x)\=cos—(J4si-n—+cos—I=4sin—cos—+cos'—=2sinx+—cosx+—,

i1i47./、i/廿上4i、

-f=^cosxH——-----sin(x+(p)H—,(其中cos(p-—1,sin(p-—,

717122、,2V17V17

当犬=/时，〃x)取得最大值，此时£+9=^+2版■(萩Z),

得至I」夕•一9+2ATT(AeZ),cosf3=s\n(p=.

故选：A

6.足球起源于中国古代的蹴鞠游戏.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球,

因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，如图所示.已知某“鞠”的表面上有四个点P,AB,C,

2

满足PA=1,PA_L而ABCAC1BC,若匕>..="则该“鞠”的体积的最小值为（）

2599

A.一九B.9乃C.-71D.-71

628

【答案】C

【分析】根据三棱锥的外接球的球心到所有顶点距离相等，且都为球半径，即可找到球心的位置，

然后在直角三角形ABC中，根据基本不等式即可求解A8最小值，进而可得球半径的最小值.

【详解】取AB中点为。，过。作OD//PA,S.OD=^PA=^，因为PA，平面ABC,所以8，平面ABC.

由于AC1BC,故DA=£>5=£）C,进而可知。4=03=0。=0「,所以。是球心,04为球的半径.

112

由=-x-ACCBPA=-=>AC.CB=4,又AB2=AC2+BC2>2AC-BC=8,当且仅当

40=80=2,等号成立,故此时43=2&,所以球半径尺=04=,0。2+（^48）>JW+（血/=|

故&1广■1，体积最小值为g兀=g兀=2兀

故选:C

7.已知定义在R上的奇函数/（“满足"2—x）=/（x）,当04x41时，7（力=2*,则/（1+1脸2022）=

()

1011102410111024

-----

1024lOH1024Toil

【答案】B

【分析】由奇函数〃力满足〃2-力=/（劝,推导出〃2-力=〃-%-2）,得到函数的周期为4,

由log?2022-10=log2前6（0,1）,结合函数的周期性和奇偶性，得到

-/^l-log2022t2…彘:1024

/(l+log2022)=2

21024)1011

【详解】因为.f（x）为奇函数

所以〃X)=一〃T),

又/(2-x)=/(x),

将x替换为x+2得：/(2-x-2)=-/(-x-2),g|J/(-x)=-/(-x-2),

故"2-X)"(T-2),

所以f(x)的周期T=4x(l-o)=4,

因为1024<2022<2048,所以log?2022e(10,11),

2022

则log22022-10=log.We(0Jb

2022.2022

则/(1+1呜2022)==-1-1Og2

他吓10244Kj24

故选:B.

8.设数列｛〃.｝的通项公式为4=(-1)〃(2〃-l>cos学-1,其前〃项和为5〃，则邑。22=()

A.4041B.-5C.-2021D.-4()45

【答案】D

【分析】由并项求和法求解，

【详解】当〃=4%—3或〃=4左一1,ZwN,时，cos拳=0,。伏-3==T；

当〃=4%-2,ZwN*时，cos学=-1,a4k_2=[2x(4Z:-2)-1]x(-1)-1=-Sk+4.

njr

当〃=4Z,ZeN*时，cos—=1,4=2x4"1-l=8X-2.

,,”4*-3+a4k-2+aAk-\+a4k=°>

,・$2022=$2020+出⑶+“2022=°202102022=-1+(2x2022—1)•(—1)—1=—4045.

故选：D

二、多选题

9.已知等差数列｛《J的公差为d,前〃项和为S,,且Sg=九<跖，则()

A.d<0B.alo=OC.Sl8<0D.58>5,

【答案】BCD

【分析】根据等差数列的知识确定正确选项.

【详解】由于$9=$0=59+40,所以为)=0,B选项正确.

由于S“><S”=Eo+a”，所以a”〉。，所以4>0,A选项错误.

由于">0,ain=0,所以当时，a„<0,所以&>S9=+的，D选项正确.

兀=牝券*18=9(4+40)=9为<0,C选项正确.

故选：BCD

10.已知函数/(》)=$诂0匹-\/5£：0$0匠(。>0,》€1<)的图象与》轴交点的横坐标构成一个公差为5的

等差数列，把函数“X)的图象沿X轴向左平移上个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到函数g(x)的

图象，则下列关于函数g(x)的结论正确的是()

A.函数g(x)是偶函数B.g(x)的图象关于点(4,0卜寸称

jrrrrr-jr

c.g(x)在上是增函数D.当时，函数g(x)的值域是“，2]

【答案】BD

【分析】先根据辅助角公式化简f(x),然后利用已知条件求解出。的值，再根据图象的变换求解出

g(x)的解析式，最后利用正弦函数的性质逐项分析判断作答.

【详解】因为/(x)=sin(wx--73cos(yx=2sin^«x--^j,

又y=/(x)的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，

所以!=[==，所以0=2,所以〃x)=2sin(2x-91,

222co\3J

所以“X)向左平移g个单位得到y=2sin(2x+,

y=2sin(2x+5)横坐标伸长至IJ原来2倍得至Ug(x)=2sin[x+：｝

A,g(x)=2sin(x+[)为非奇非偶函数，故错误；

B,g(-£|=2而(4+幻=2疝0=0,所以g(x)的图象关于点卜?。)对称，故正确;

C,因为xe-py,所以卜+0,-y,

2冗7T7T

又因为y=2sinr在0,y上先增后减，所以g(x)在上不是增函数，故错误；

,,「兀兀],(兀、「兀兀

D,当尤e-T'T时，|x+三卜，

L66」<5)L62J

所以g(x)max=2$呜=2,此时X=；g(x)min=2siq=1,此时X=,

所以g(x)的值域为[1,2],故正确.

故选：BD

11.在正方体ABCD-ASGR中，P为棱GA上的动点，例,N分别为线段4C-*上的动点，且

需=箱则以下结论中正确的是()

A.MV〃平面ABCDB.三棱锥P-ADN的体积为定值

C.PM±A£>D.平面MNC,"L平面BBC。

【答案】ABC

【分析】由面面平行的判定定理与性质定理，线面垂直的判定定理与性质定理，棱锥的体积公式，

对选项逐一判断，

【详解】对于A,在A4上取点E,使得等=瞿=翌.

EAMANC

所以EMHB\C\〃BC,ENI/AC,£M,EN<Z平面ABC。，8C,ACu平面ABC。

所以£^,硒〃平面488,EMEN-E,所以平面MEN//平面ABC£),

MVu平面MEN,所以反V//平面ABC。，故A正确；

对于B,因为4力//用。，所以点N到A。的距离是一个定值，所以A。'的面积是定值，

又因为GQ//平面A4C3,所以点P到平面的距离为定值，即点P到平面AON的距离为定

值，

所以三棱锥P-4QN的体积为定值，故B正确；

对于C,由题意得AQJ_A2，AO_LGQ,ARCQ、=D、,

A£\u平面A£>CB,GAu平面AAGB,所以AOJ■平面AAGB,

因为PMU平面AAGB,所以AQJLPM,故c正确；

对于D,因为当点M无限靠近点A时，点N无限靠近点C,此时平面无限趋近于平面AAGC,

平面AAGC与平面BBCC不垂直，故D错误，

故选：ABC

12.己知函数/(x)=e'+asinx,xe(—兀,内)，则下列说法正确的是()

A.对任意”>(),“X)均存在零点B.当a=-1时，"X)有两条与x轴平行的切线

C.存在a<0,“X)有唯一零点D.当”=1时，“X)存在唯一极小值点工,且

【答案】BCD

【分析】对于A,C,由已知得，-2=卑，令/(x)=W，xe(-7r,0),利用导数的相关性质，即

aee

可对A,C选项进行判断；

对于B,/(x)=e”-sinx,/f(x)=ev-cosx=0,即可得到e*=cosx,由函数y=e*、y=cosx的图像

可知方程有两个根，进而可以判断B选项;

对于D,当。=1时，/(x)=e、+cosx=0=e'=-cosx,由图像可知此方程的根的情况，进而可以

判断D选项.

【详解】对于A,令/(x)=e'+asinx=。，则--=詈，

令(一兀，0),,\_cosx-sinx__0sm(x-a),

eP(x)=-K—=£

令F(x)=0,得x=E+二,Z之一1次£Z,

4

当xe(二+2E,2+2E)时，>/2sin(x--)>0,F\x)<0,F(x)递减，当工£(2+2版，工+2兀+2E)时，

44444

V2sin(x--)<0,F(x)>0,2(x)递增，所以当x=2E+手,八T,%eZ时，F⑶取到极小值，即当

44

.(3兀1.5兀

3兀5兀sin]-sin—3冗5兀

工=一芋，¥，时，尸⑺取到极小值，又I4J—£<，即尸(—多〈尸(?)<,又因

44一包244

e4e4

为在(一兀,一个]上，尸(X)递减，故尸(x)2F(-型)=-变泼，当X=2E+E，%N(U€Z时，F&)取到

4424

,7T.9兀

jrQjrsinsin冗g兀

极大值，即当x=；，9，时，尸⑴取到极大值，又」!>一£>,即尸(：)"(r)>,

442*44

e4e4

故尸。)"6)=1,当xe(Tt,yo)时，-朱丁"(》)44|,所以当」<_与?即

42e“22-"2

°<a<F，时，/(力在(―兀,小)上无零点，故A错误；

2e4

而当4=乌，即一加时，>=一与尸竽的图像只有一个交点，即存在a<0J(x)在

(-兀,水»)上有唯一零点，故C正确，

v,x

对于B,f(x)=e-sinxff(x)=e-cosx=0,即e*=cosx,由函数y=e"、y=cosx的图像可知方

t

程有两个根：占€(-],()),々=°，/(x2)=-l,/(xl)=sinx,-e'<0,即斜率为0的切线共有两条,

其切点均不在x轴上，故切线均与x轴平行，故B正确；

对于D,当a=l时，/(x)=e"+cosx=0u>e，=-cosx,由图像可知此方程有唯一实根小,因为

f(x0)=e"+sinA-0=sinjc0-cosx0=^sin^x0-^j,可知-1<f(/)<0,故D正确.

故选：BCD

三、填空题

13.己知某圆锥的底面周长为4万，侧面积为2石兀，则该圆锥的体积为

47r4

【答案】y##|^r

271T-44

【分析】设圆锥的底面半径为r，母线为/,则由题意可得乃2石万，求出二/，从而可求出高〃,

进而可求出三棱锥的体积

24尸=44

【详解】设圆锥的底面半径为r,母线为/,则

兀ri=2旧几

叫r:=26

则该圆锥的高〃=〃_/=],

故该圆锥的体积为当，

故答案为：

3x-3

14.函数।在(L*o)上的最大值为_____________.

2x-x+1

3

【答案】~

【分析】令x-l=f,贝卜>0,则”‘)=27+3+2,利用基本不等式计算可得•

、t

【详解】解：因为『a)'?"xe(l,+8),令x-l=f,贝卜>0,

2厂7+1

f(t}=------------.............=———=——-——<―=2=—=-

-7

则八'2(f+l)2-(f+l)+l2/+3r+22r+3+|2O+3>

2

当且仅当2=±,f=l即x=2时，等号成立.

t

3

故/(x)的最大值为

3

故答案为：—

15.边长为1的正方形内有一内切圆，MN是内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦

MN的长度最大时，PM-PN的取值范围是.

【答案】[o，1

【分析】设正方形ABC。的内切圆为圆。，当弦的长度最大时，为圆。的一条直径，计算

可得出=计算出|PO|的取值范围，即可得解.

【详解】如下图所示：

设正方形的内切圆为圆。，当弦MN的长度最大时，MN为圆O的一条直径，

PMPN=（PO+OM>（PO-OM）=|PO『一|OM『=\p（^

当产为正方形ABCD的某边的中点时，|。尸|=!，

IImin2

当产与正方形A8CD的顶点重合时，|OP|=正，即上40同4受，

IImax221।2

IP1rr

因此，PM-PN=\PO\一一Go,-.

4[_4_

故答案为：10=.

16.剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一.如图，纸片为一圆形,

直径钻=20cm,需要剪去四边形CEG。，可以经过对折、沿。C,EC裁剪、展开就可以得到.

已知点C在圆上且AC=10cm,NEC。=30°.要使得该剪纸作品面积最大，AZ）的长应为cm.

【答案】20-10V3

【分析】结合基本不等式，根据三角形CEO面积的最小值，求得剪纸作品面积最大时，的长.

【详解】如图，连接AC,作CGLA3于G,由题意，AC=AO=OC=10cm,故NOAC=60°,

所以CG=C4sin60°=5氐m.

设CE=a,CD="EQ=c,则由面积公式，SVC£O=^Z?sin30°=1C-CG,即必=iogc.

由余弦定理且,结合基本不等式居人=/+从-d122。人-",

22ab300300

即m2300（2-e），当且仅当a=b=j300（2—时取等号.

故SvC££>取最小值时"=0，

此时NGDC=（180。-30。）+2=75。.

故AO=GA-GO=5--^-=5-------~-

tan75°tan（45°+30°）

<56

5-5^(2-^)=20-10A/3.

5~^

故答案为：20-1073

四、解答题

17.已知等差数列｛叫的前”项和为S"，其中生=5,且&=35.

（1）求数歹的通项公式a2n-\；

⑵设％=—1—+2%,求数列｛2｝的前〃项和7；.

anan+t

【答案】（1）-=4"-1

n8(4"-1)

(2)7；,6〃+9-

【分析】（1）由等差数列的性质及前“项和公式，得的，求出公差"后，可得通项公式;

（2）用分组求和法、裂项相消法求和.

【详解】（1）由题设，S5=5^=35,可得%=7,又。2=5,所以公差d=2,

所以““=%+(〃-2)1=5+2(〃-2)=2〃+1,

所以｛外e｝的通项公式%1T=2(2〃-1)+1=4〃—1.

b„=------------+22,,+|=-[—-------]—]+2-4",

(2)由(1)知:

(2〃+1)(2”+3)2(2〃+12n+3)

令人唯一—+」_一_二]邛__

2(35572〃+12n+3)2(32n+3)6〃+9

8(1-4")8(4"-1)

N=2-4+2-42+...+2-4"

1-4-3-

〃8(4"-1)

所以7；=M+N=6〃+9+-

18.如图，在四棱锥P-A3C。中，底面ABC。为菱形，E,尸分别为PABC的中点.

⑴证明：EF.，平面PCD；

（2）若ZA0C=120。，且PZ）=2AD=4,PA=PB=2&,求直线AF与平面OE尸所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；

⑵噤

【分析】（1）证明四边形EGCF为平行四边形即可证得所〃CG,从而证得EF,平面PC£＞；

（2）由向量法即可求得线面角的正弦值.

【详解】（1）证明：取9的中点G,连接CG,EG,如图所示：

因为E,尸分别为的中点，所以EGaADEGn彳AO,

又底面ABC。为菱形，所以CF〃ADCF='A£>,

2

所以EG〃CF,EG=CF,

所以四边形EGB为平行四边形，所以EF〃CG,

又CGu平面PCD,砂。平面PCD,

所以£尸平面尸C£).

(2)连接BO,因为四边形ABCQ为菱形，乙40c=120,

所以△88为等边三角形，所以60=8=2,

又PD=4,PA=PB=2亚,所以PB?=PD2+BD2,PA1=PD2+AD2,

故P£)J.8£),P£)_LA。，又BD?ADD,BD,ADu平面ABCD,

所以P£>_L平面48CD

又尸为8c的中点，所以DF工BC,所以OF_LD4,

以。为原点，。尸,£以。「分别为达丫,2轴建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz.

所以尸(石,0,0),A(0,2,0),£(0,1,2),

则DE=(0,1,2),DF=("0,0),AF=(6,-2,0).

设平面。第7的法向量加=(九,y,z),

m-DE=y+2z=0

则｛l,令Z=l,得利=(0,-2,1).

m-DF=>j3x=0

设直线4r与平面DEb所成的角为仇

I/.^1\m-AF\|4|4居

则sin0=H犯人尸六方丽=瓦"=*

故直线4尸与平面DEF所成角的正弦值为生匡.

35

19.在①cos?A+sinAsin8=sin?8+cos2C;②一^7+—=1：③ccosA-acosC=6-a这三个条

c+bc+a

件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.

在.ABC中，角A,B,C的对边分别为a,6,c.已知AB=26，且

⑴求角C；

⑵若满足条件的ABC恰有两个，求边〃的取值范围;

(3)若。为A8中点，CD=E,求."C的面积.

【答案】(1)C=]

(2)2A/3<O<4

⑶26

【分析】(1)分别选择条件①，②，③，根据边角转化即可求解角C；

(2)根据三角形有两个解，根据边角关系列不等式即可得边。的取值范围；

(3)根据向量之间的运算，结合数量积的运算可得而的值，即可求ABC的面积.

【详解】(1)解：若选①，；cos,A+sinAsinBusin?B+cos?C,

1-sin2>4+sinAsinB=sin2B+l-sin2C，

即sinAsinB-sin2A=sin2B-sin2C>由正弦定理得ab-a?=从-c?,

即cosC="+"-c=LV0<C<7T,：.C=~.

lab23

若选②，:“‘+b=1,/.a(c+a)+b(c+b)=(c+b)(c+a)

c+bc+a

〃21z_2_21

EPac+a2+bc+b2=c2+ac+bc+ab,整理得。？+/?2-c2=abcosC=---------=—,*/0<C<n,

lab2

：.C=-.

3

若选③，,•*ccosA—acosC=b-a,由正弦定理得sinCssA-sinAcosC=sin笈一sinA,

sinB=sin(A+C)=sinCcosA+cosCsinA,故sinCcosA-sinAcosC=sinCcosA+sinAcosC-sinA,

即2sinAcosC=sinA,*.*0<A<7T,sinAW0

故cosC=—,"/0<C<7C,<*.C=—.

23

a_c_25/3_A

(2)解：由正弦定理，^7=^C=7/T=，所以sinA=?,故即〃<4,

又满足条件的•:ABC有两个，则角A有两个解，由大边对大角，应有“>c=26，

故边”的取值范围是2石<a<4.

(3)解：

由图可得ZM=-DB，而C4=CD+DA,CB=CD+DB=CD-DA,

所以CACB=|c4|c@cosC="cosC=gab=(CO+DA)(CO-£)A)=CO2-ZM2=7-3=4,

ab=8,S.=—a/?sinC=—^!]8—=2\[3.

AKBC222

20.已知数列㈤｝的前〃项和为S“，且卜是公差为g的等差数列.

(1)求证：｛“,｝是等差数列；

⑵用max｛p,q｝表示p,17中的最大值，若4=1,2=max｛2"”,a：｝,求数列｛4也｝的前"项和7；.

【答案】(1)证明见解析

'(n-l)-2n+l+2,n<2

(2)Tn=<37,n=3

(n-l)-2rt+I+5,n>4

【分析】(1)由等差数列的通项公式，。“与5〃的关系求解，

2,l,n<2

(2)由题意得a=卜,〃=3,分段讨论后由错位相减法求解，

2\n>4

【详解】(1)因为,是以g为公差的等差数列，其首项为4-｝=0,

所以a

n22

整理得5,=陷,一4〃5-1)①当〃22时，Sn_1=(n-l)a„_,-1(«-l)(«-2)②

①一②得a,,=na“-(〃一1),即，-(〃-1"“一]一(〃-1)=0，

"一14()，所以｛a“｝是以1为公差的等差数列.

2",n<2

(2)4=1,又｛%｝的公差为1,所以％=“，所以=max｛2",〃2｝=储,”=3,

2n,n>4

当“24时，7；=1X2I+2X22+3X32++n-2"=lx2'+2x22+3x23++n-2"+3

令E,=lx2i+2x22+3x2、+n-2",2/；=lx22+2x23+3x24++n-2"+l,

所以-工=2,+2?+23++2--小2"”=当二

所以g=5-1)-2向+2,

所以当〃24时，7],=(»-1)-2"+,+5,

当〃42时，(=£,=(〃-1)-2”“+2,

当n=3时，4=37,

(«-l)-2n+l+2,n<2

综上，(=<37,〃=3

(n-l)-2n+l+5,n>4

21.在斜三棱柱ABC-中，ABC为等腰直角三角形，AB=AC,侧面88©。为菱形，且

NB|8C=60。，点E为棱AA的中点，EBX=EC,平面与CE，平面叫C。.设平面与平面48c

的交线为/.

(1)作出交线/,并说明作法；

(2)证明：平面8与GCL平面43C；

(3)求二面角AA的大小.

【答案】(1)答案见详解

(2)证明过程见详解

八%

⑶5

【分析】(1)延长与£34交于点G,连接CG,则直线CG即为交线/；

(2)分别取8C，4C的中点。，尸，连接OA,OF,EF,根据中位线定理得出四边形AOFE是平行四边

形，然后根据面面垂直的性质即可求解；

(3)以。为原点，OAOC,。用分别为X,%z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求解二面角.

【详解】(1)如图，延长与E,8A交于点G,连接CG,

则直线CG即为交线/；

(2)分别取BC,BC的中点O,广，连接04,OF,EF,所以FO//BB-

且尸。=义84，点E为棱的中点，所以AE//B4,且AE=；BB,,

所以尸O〃AE,且尸0=A£,

所以四边形AOFE是平行四边形，所以斯〃AO.

因为EA=EC,尸是的中点，所以EF_LBC，

又因为平面，平面BBC。且交线为B,C,

所以所立平面B8CC，所以AOL平面B8CC，

因为4Ou平面ABC,所以平面■平面ABC.

(3)因为侧面BBCC为菱形，且NB|BC=60。，

所以△BBC为正三角形，所以BQLBC,

由(2)知平面BBCC，平面ABC且交线为BC,所以与。，平面ABC,

又由A3=4C,故OA,OC,。耳两两垂直，设43=2,则/%=3C=2&,

以。为原点，OC。用分别为苍Xz轴建立空间直角坐标系如图

则A(也0,0),B(0,-V2,0),C(0,V2,0),以(0,0的,

GAAE1

由(I)知通=函=5,故G(2夜，应,0),

二面角A-/-A即二面角A-CG-A,

CG=(272,0,0),C4,=C4+C6=C4+8B1=(夜,0,街),

,、m-CG=2\f2x=0®

设平面ACG的法向量为〃?=(x,y,z),则｛,取〃2=(01,0).

m-CA,=V2x+V6z=0」)

取平面ACG的法向量为”=(0,0,1),则>方=0,即机，〃，故平面ACG,平面ACG,

TT

即二面角A-/-4的大小为

22.已知函数/(力=当?.

(1)证明：函数/(x)的图象与直线y=x只有一个公共点；

34ri-4-1

(2)证明：对任意的2+=+八+…+1->ln(〃+l)；

49n

⑶若/(x)Kae'T恒成立，求。的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

⑵证明见解析

(3)a>l

【分析】通过构造函数判断单调性，证明方程/(x)=x只有一个根即可.

利用第(1)问结论通