人教A版高中数学必修5课件2.5等比数列前n项和的应用课件

知识点——

等比数列前n项和的应用

2021/10/10星期日1等比数列前n项和的应用【公式】2021/10/10星期日2等比数列前n项和的应用【性质】(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{an}中，公比为q.①若共有2n项，则S偶∶S奇＝q；②若共有2n＋1项，则S奇－S偶＝(q≠1且q≠－1)．(2)“片断和”性质：等比数列{an}中，公比为q，前m项和为Sm(Sm≠0)，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，Skm－S(k－1)m，…构成公比为qm的等比数列．

2021/10/10星期日3等比数列前n项和的应用【典型例题】1、数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且S3＝3a3，则公比q的值为()A． B.C．1或 D．－1或【答案】C【解析】∵S3＝3a3，∴a1＋a2＋a3＝3a3，∴a1＋a2＝2a3，∴a1＋a1q＝2a1q2即2q2－q－1＝0，∴q＝1或.2021/10/10星期日4等比数列前n项和的应用【典型例题】2、设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，则()A．Sn＝2an－1B．Sn＝3an－2C．Sn＝4－3anD．Sn＝3－2an2021/10/10星期日5等比数列前n项和的应用【典型例题】【答案】D【解析】本题考查等比数列前n项和Sn与通项an之间的关系，由题意得，

选D，熟记公式是解答此类问题的关键．2021/10/10星期日6等比数列前n项和的应用【典型例题】3、已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝(

)A．16(1－4－n) B．16(1－2－n)C.(1－4－n) D.(1－2－n)【答案】C2021/10/10星期日7等比数列前n项和的应用【典型例题】【解析】由条件先求公比q，再由等比数列的前n项和公式求解．∵＝q3＝，∴q＝，∴a1＝4，∴an•an＋1＝故a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋anan＋1＝23＋21＋2－1＋2－3＋…＋25－2n＝＝(1－4－n)．2021/10/10星期日8等比数列前n项和的应用【典型例题】【答案】

4n－1【解析】设前三项为，a，aq，∴＋a＋4a＝21，∴a＝4，an＝4•4n－2＝4n－1.2021/10/10星期日9等比数列前n项和的应用【典型例题】4、设等比数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.【答案】

3【解析】设公比为q，由S6＝4S3知q≠1，由S6＝4S3得得q3＝3.∴a4＝1×q3＝1×3＝3.2021/10/10星期日10等比数列前n项和的应用【典型例题】5、已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和，若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________.【答案】

63【解析】本题考查等比数列的通项公式及前n项和公式，由x2－5x＋4＝0的两根为1和4，又{an}为递增数列，∴a1＝1，a3＝4，q＝2，∴S6＝63.2021/10/10星期日11等比数列前n项和的应用【变式训练】1、在等比数列{an}中，S3＝S6＝求an.【解析】解法一：由已知S6≠2S3，则q≠1，又S3=S6=即①②②÷①得1＋q3＝9，所以q＝2.可求出a1＝因此an＝a1qn－1＝2n－2.2021/10/10星期日12等比数列前n项和的应用【变式训练】解法二：已知等比数列{an}中Sm与Sn，求q，还可利用性质Sn＋m＝Sn＋qnSm转化为qn＝求得，∴q＝2，再代入求得a1＝∴an＝a1qn－1＝2n－2.

【点评】使用等比数列的前n项和公式要注意公比q＝1和q≠1情况的区别，而在解方程组的过程中，一般采用两式相除的方法．2021/10/10星期日13等比数列前n项和的应用【变式训练】2、设等比数列{an}的公比q<1，前n项和为Sn.已知a3＝2，S4＝5S2，求{an}的通项公式．【解析】由题设知a1≠0，q≠1，故①②由②得1－q4＝5(1－q2)，(q2－4)(q2－1)＝0，(q－2)(q＋2)(q－1)(q＋1)＝0，2021/10/10星期日14等比数列前n项和的应用【变式训练】因为q<1，解得q＝－1或q＝－2.当q＝－1时，代入①得a1＝2，通项公式an＝2×(－1)n－1；当q＝－2时，代入①得a1＝，通项公式an＝×(－2)n－1.【点评】给出“知三求二”型等比数列问题，解决时要注意适当选用公式，以提高解题速度．抓住首项与公比是解决这类等比数列问题的关键所在．2021/10/10星期日15等比数列前n项和的应用【变式训练】3、已知数列{an}是等差数列，且a1＝2，a1＋a2＋a3＝12.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝anxn(x∈R)，求数列{bn}的前n项和．【解析】

(1)设{an}的公差为d，则a1＋a2＋a3＝3a1＋3d＝12，又a1＝2，∴d＝2，∴an＝2n.2021/10/10星期日16等比数列前n项和的应用【变式训练】(2)Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝2x＋4x2＋…＋(2n－2)xn－1＋2nxn.①