函数的极值高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.2函数的极值与最大(小)值

第一课时(函数的极值)一、知识回顾1.一般地，函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间具有如下

的关系:

在某个区间(a，b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区

间(a，b)上单调递增；

在某个区间(a，b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区

间(a，b)上单调递减.2.导数研究函数单调性的解题步骤：①求函数的定义域.②求导函数f'(x).③解f'(x)>0、f'(x)<0.④写出单调性.二、探究新知

在用导数研究函数的单调性时,我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减．如果函数在某些点的导数为0,那么在这些点处函数有什么性质呢?

我们还是来研究前面学习过的高台跳水问题.

观察下图，我们发现，当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大.

那么，函数h(t)在此点的导数是多少呢?此点附近的图象有什么特点?相应地，导数的正负性有什么变化规律?二、探究新知thaOh´(a)=?h´(t)的正负性？h´(t)的正负性？二、探究新知thaOh´(a)=0单调递增h´(t)>0单调递减h´(t)<0

放大t=a附近函数h(t)的图象，如上图，可以看出，h'(a)=0;在t=a的附近，当t<a时，函数h(t)单调递增，h'(t)>0;当t<a时，函数h(t)单调递减，h'(t)<0.这就是说，在t=a附近，函数值先增(当t<a时，h'(t)>0)后减(当t>a时，h'(t)<0).这样，当t在a的附近从小到大经过a时，h'(t)先正后负，且h'(t)连续变化，于是有h'(a)=0.

对于一般的函数y=f(t)，是否也有同样的性质呢?

如下图，函数y=f(x)在x=a、b、c、d、e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?

y=f(x)在这些点的导数值是多少?在这些点附近，y=f(x)的导数的正负性有什么规律?二、探究新知

以x=a、b两点为例，可以发现，函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0；而且在点x=α附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0.类似地，函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0;而且在点x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0.abcdexyy=f(x)O

我们就把a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值；b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.

极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质.abcdexyy=f(x)O二、探究新知一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有

f(x)<f(x0)，则f(x0)是f(x)的一个极大值，点x0是y=f(x)的一个极大值点.Ox0xy一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有

f(x)>f(x0)，则f(x0)是f(x)的一个极小值，点x0是y=f(x)的一个极小值点.Ox0xy

极大值极小值统称为极值,极小值点极大值点统称为极值点.三、函数的极值四、函数的极值与导数(1)若f'(x0)=0，并且在x0附近的左侧f'(x)>0，

右侧f'(x)<0，那么f(x0)是极大值.(2)若f'(x0)=0，并且在x0附近的左侧f'(x)<0，

右侧f'(x)>0，那么f(x0)是极小值.xx0左侧x0x0右侧f

(x)

f(x)f

(x)>0f

(x)<0f

(x0)=0极小值xx0左侧x0x0右侧f

(x)

f(x)f

(x)<0f

(x)>0f

(x0)=0递增极大值左正右负极大值，左负右正极小值递增递减递减Ox0xyf

(x0)=0f

(x)>0f

(x)<0Ox0xyf

(x0)=0f

(x)>0f

(x)<0

观察图象,指出函数的极大、小值点,极大、小值.极大值一定比极小值大吗？abcdexyy=f(x)O

导数值为0的点一定是函数的极值点吗?四、函数的极值与导数五、典型例题例1

求函数f(x)=

x3-4x+4的极值.

五、典型例题例2

若函数y=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,求a、b的值.五、典型例题例3

已知f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1既有极大值又有极小值，求a的

取值范围.五、典型例题例4

已知函数f(x)=

x3+ax2-bx(a,b∈R).若y=f(x)图象上的点

(1,-)处的切线斜率为-4,求y=f(x)的极大值.六、课堂小结

(1)一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所

有的点，都有f(x)<f(x0)，则f(x0)是f(x)的一个极大值，点

x0是y=f(x)的一个极大值点.

(2)一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所

有的点，都有f(x)>f(x0)，则f(x0)是f(x)的一个极小值，点

x0是y=f(x)的一个极小值点.

极大值和极小值统称为极值,极小值点和极大值点统称

为极值点.1.函数的极值的定义2.函数的极值与导数(1)若f'(x0)=0，并且在x0附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，

那么f(x0)是极大值.(2)若f'(x0)=0，并且在x0附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，

那么f(x0)是极小值.左正右负极大值，左负右正极小值六、课堂小结3.求函数的极值的方法

一般地,可按如下方法求函数y=f(x)的极值:

解方程f'(x)=0，当f'(x)=0时:

(1)如果在x0附近的左侧f'(