正弦定理 高一下学期数学人教A版（2019）必修二_第1页
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文档简介

正弦定理教学目标1.掌握正弦定理的内容及其证明方法；2.掌握正弦定理的变式；3.熟练应用正弦定理解三角形.1.余弦定理文字语言三角形中任何一边的

，等于其他两边

，减去这两边与它们夹角的

。符号语言a2＝b2＋c2－2bccosAb2＝a2＋c2－2accosBc2＝a2＋b2－2abcosC平方平方的和余弦的积的两倍复习回顾2.余弦定理的推论（变形式）cosA＝

；

cosB＝

；

cosC＝

．预习教材P45－P48的内容，思考以下问题：1.正弦定理的内容是什么？2.如何证明正弦定理？3.正弦定理有哪些推论？

在直角三角形ABC中，由锐角三角函数，再根据正弦函数的定义，ABCabc探究：余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角，已知三边直接解三角形的公式。如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？思考：那么对于一般的三角形,以上关系式是否仍然成立？?可分为锐角三角形，钝角三角形两种情况分析.证明：过A作单位向量垂直于∴asinC=csinA.同理，过点C作与垂直的单位向量，可得BCA则两边同乘以单位向量当是钝角三角形时，不妨设A为钝角。如图过点A作与垂直的单位向量，则与的夹角为

与的夹角为

同理可得

1．正弦定理条件在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c结论===2R（R为△ABC外接圆的半径）文字叙述在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等2.定理解读(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．(3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与其对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系．3.正弦定理的证明题型1已知两角及任意一边解三角形例1在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形．

跟踪训练1

在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，c的值．

答案：B

【方法归纳】已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理解三角形的步骤(1)利用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角．(2)利用三角形内角和为180°求出第三个角．(3)根据正弦定理求出第三条边．其中进行(1)时要注意讨论该角是否可能有两个值．

【方法归纳】判断三角形的形状就是根据已知条件判断三角形是否为某些三角形(如锐角、直角、钝角、等腰、等边三角形等)．这类题目的解答通常有以下两种思路：(1)化边为角：根据正弦定理把已知条件中边和角的混合关系转化为角的关系，再进行三角恒等变换，得到角的三角函数值或角的三角函数值之间的关系，进而得到三角形的角或角的关系，从而确定三角形的形状；(2)化角为边：根据正弦定理把已知条件中边和角的混合关系转化为边的关系，然后通过整理得到边与边之间的数量关系，从而确定三角形的形状．

【方法归纳】通过正弦定理或余弦定理进行边角互化，综合利用三角恒等变换等知识推出三角形的边角

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