17.1 勾股定理（解析版）

八年级下册数学《第十七章勾股定理》17.1勾股定理知识点一勾股定理知识点一勾股定理●勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.◆1、勾股定理的应用条件：勾股定理只适用于直角三角形；◆2、勾股定理揭示的是直角三角形三边的关系，已知直角三角形中的任意两边可以求出第三边.◆3、勾股定理的几种变形式：勾股定理将“数”与“形”联系起来，体现了直角三角形三边之间的等量关系.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，则a2+b2=c2、a2=c2-b2、b2=c2-a2；、、.【拓展】◎1、锐角三角形的三边关系是：在锐角三角形中，若三边长分别为a，b，c，其中c为最大边，则a2+b2＞c2.◎2、钝角三角形的三边关系是：在钝角三角形中，若三边长分别为a，b，c，其中c为最大边，则a2+b2＜c2.知识点二知识点二勾股定理的证明●通过拼图证明勾股定理的思路：（1）图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不会改变.（2）根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式.（3）利用等式性质变化验证结论成立，即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导命题结论.●下面列举几种证明方法：◆1、“赵爽弦图”证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即c2=12ab×4+（b﹣a）化简得：a2+b2＝c2．◆2、我国数学家邹元治的证明方法证明：在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即（a+b）2＝c2+12ab化简得：a2+b2＝c2．◆3、美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”证明：在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即12（a+b）（a+b）=12ab×2+化简得：a2+b2＝c2．知识点三知识点三勾股定理的应用利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明题，在解决过程中，往往利用勾股定理列方程（组），有时需要通过作辅助线来构造直角三角形，化非直角三角形为直角三角形来解决.◆勾股定理应用的类型：（1）已知直角三角形的任意两边长求第三边长；（2）已知直角三角形的一边长确定另两边长的关系；（3）证明包含平方（算术平方根）关系的几何问题；（4)作长为n(n＞1，且n为整数)的线段；（5）对于一些非直角三角形的几何问题和日常生活中的实际问题，首先要建立直角三角形的模型，然后利用勾股定理构建方程或方程组解决.【注意】勾股定理的应用的前提条件必须是直角三角形，所以要应用勾股定理必须构造直角三角形.知识点四知识点四利用勾股定理作长为n的线段(n＞1，且n为整数)实数与数轴上的点是一一对应的，有理数在数轴较易找到它对应的点，但要在数轴上直接标出无理数对应的点则较难，因此，我们可以利用勾股定理作长为n(n＞1，且n为整数)的线段，进而在数轴上画出表示n(n＞1，且n为整数)的点.◆在数轴上表示n的步骤：①利用勾股定理求出长为n的线段；②在数轴上以原点为圆心，以长为n的线段长为半径画弧与数轴的正方向相交，则交点为表示n的点.题型一利用勾股定理求直角三角形的边长题型一利用勾股定理求直角三角形的边长【例题1】已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（）A．5 B．7 C．5或7 D．以上都不对【分析】分4是直角边、4是斜边，根据勾股定理计算即可．【解答】解：当4是直角边时，斜边=32当4是斜边时，另一条直角边=4故选：C．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．解题技巧提炼利用勾股定理求直角三角形的边长的步骤：一分，即分清哪条边是斜边，哪条边是直角边；二代，即将已知边长代入a2+b2=c2（c为斜边）；三化简求值，若已知的两边可能都是直角边，也可能是直角边与斜边，则应利用分类讨论思想分两种情况讨论.【变式1-1】在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）若a＝b＝5，求c；（2）若a＝5，∠A＝30°，求b，c．【分析】（1）根据勾股定理解答即可；（2）根据勾股定理和含30°的直角三角形的性质解答即可．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝b＝5，∴c=5（2）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝5，∠A＝30°，∴c＝10，b=1【点评】此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理进行计算．【变式1-2】（2021秋•桐城市校级期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B＝60°，∠C＝45°．（1）求∠BAC的度数．（2）若AC＝2，求AD的长．【分析】（1）根据三角形内角和定理计算；（2）根据勾股定理计算．【解答】解：（1）∵∠B＝60°，∠C＝45°，∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝75°；（2）在Rt△ADC中，∠C＝45°，∴AD＝DC，由勾股定理得，AD2+CD2＝AC2，∴AD＝DC=22AC【点评】本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．【变式1-3】（2022秋•东方期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC，则AD等于（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】根据等腰三角形的三线合一得到AD⊥BC，BD＝DC=12BC＝【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD＝DC=12BC＝在Rt△ABD中，AD=AB故选：C．【点评】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．【变式1-4】（2022秋•新泰市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，则点C到直线AB的距离是（）A．185 B．3 C．125 D【分析】作CD⊥AB于点D，根据勾股定理可以求得AB的长，然后根据面积法，可以求得CD的长．【解答】解：作CD⊥AB于点D，如右图所示，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB=AC∵AC⋅BC2∴3×42解得CD＝2.4，故选：C．【点评】本题考查勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用勾股定理和面积法解答．【变式1-5】（2021春•连州市期中）如图所示，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE＝∠DEC＝60°，AB＝3，CE＝4，则AD等于（）A．10 B．12 C．24 D．48【分析】本题主要考查勾股定理运用，解答时要灵活运用直角三角形的性质．【解答】解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∠BAE＝∠DEC＝60°∴∠AEB＝∠CDE＝30°∵30°所对的直角边是斜边的一半∴AE＝6，DE＝8又∵∠AED＝90°根据勾股定理∴AD＝10．故选：A．【点评】解决此类题目的关键是熟练掌握运用直角三角形两个锐角互余，30°所对的直角边是斜边的一半，勾股定理的性质．【变式1-6】（2022春•河北区期末）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，CD＝12，BD＝9．求AB与BC的长．【分析】根据勾股定理求出BC即可；根据勾股定理求出AD，求出AB即可．【解答】解：∵CD⊥AB，AC＝20，CD＝12，BD＝9，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，在Rt△CDB中，由勾股定理得：BC=CD在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD=AC∴AB＝AD+DB＝16+9＝25．答：AB的长为25，BC的长为15．【点评】本题考查了勾股定理的应用，关键是对定理的掌握和运用．【变式1-7】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，AP平分∠BAC，与DE的延长线交于点P．（1）求PD的长度；（2）连接PC，求PC的长度．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质解答；（2）作PF⊥AC于F，根据角平分线的性质定理求出PF，根据勾股定理计算即可．【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB，∴AD=12AB＝∵AP平分∠BAC，∴∠PAD=12∠BAC＝∴DP＝AD＝2；（2）作PF⊥AC于F，∵AP平分∠BAC，PD⊥AB，PF⊥AC，∴PF＝PD＝2，∠PAC＝45°，∴AF＝PF＝2，∴FC＝AC﹣AF＝1，在Rt△PFC中，PC=P【点评】本题考查的是勾股定理，角平分线的性质，线段垂直平分线的概念，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．题型二勾股定理的证明题型二勾股定理的证明【例题2】勾股定理的验证方法很多，用面积（拼图）证明是最常见的一种方法．如图所示，一个直立的长方体在桌面上慢慢地倒下，启发人们想到勾股定理的证明方法，设AB＝c，BC＝a，AC＝b，证明中用到的面积相等关系是（）A．S△ABC+S△ABD＝S△AFG+S△AEF B．S梯形BCEF＝S△ABC+S△ABF+S△AEF C．S△BDH＝S△FGH D．S梯形BCEF＝S△ABC+S△ABF+S△AEF+S△FGH【分析】通过用两种方法计算梯形BCEF的面积即可证明勾股定理．【解答】解：∵矩形ACBD旋转得出矩形AGFE，∴△ABC≌△FAE，∴AB＝AF，∠BAC＝∠AFE，∵∠AFE+∠EAF＝90°，∴∠BAC+∠EAF＝90°，∴△ABF是等腰直角三角形，由题意知：S梯形BCEF=12（a+b）•（a+b）S△ABC+S△ABF+S△AEF=12ab+12ab∴12a2∴a2+b2＝c2，故选：B．【点评】本题主要考查了勾股定理的证明，等腰直角三角形的判定，表示出图形面积的不同表达形式，建立等量关系是解题的关键．解题技巧提炼勾股定理的证明主要是通过拼图，利用面积的关系完成的，拼图常用补拼法和叠合法两种方法，补拼时要无重叠，叠合时要无空隙；而用面积关系验证勾股定理时的关键是要找到一些特殊图形（如直角三角形，正方形等）的面积之和等于整个图形的面积，从而达到验证的目的.【变式2-1】（2022春•三门峡期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明．古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B． C．D．【分析】由正方形面积公式、三角形面积公式以及梯形面积公式分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A、大正方形的面积为：c2，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：12ab×4+（b﹣a）2＝a2+b2∴a2+b2＝c2，故A选项能证明勾股定理；B、大正方形的面积为：（a+b）2，也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2+b2+2ab，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，∴B选项不能证明勾股定理．C、大正方形的面积为：（a+b）2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：12ab×4+c2＝2ab+c2∴（a+b）2＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2，故C选项能证明勾股定理；D、梯形的面积为：12（a+b）（a+b）=12（a2+b2）也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：12ab×2+12c2＝ab+∴12（a2+b2）+ab＝ab+12∴a2+b2＝c2，故D选项能证明勾股定理；故选：B．【点评】本题考查了勾股定理的证明、正方形面积公式、三角形面积公式以及梯形面积公式，熟练掌握内弦图、外弦图是解题的关键．【变式2-2】如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】根据面积的差得出a+b的值，再利用a﹣b＝2，解得a，b的值代入即可．【解答】解：∵AB＝10，EF＝2，∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，∴四个直角三角形面积和为100﹣4＝96，设AE为a，DE为b，即4×12ab＝∴2ab＝96，a2+b2＝100，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100+96＝196，∴a+b＝14，∵a﹣b＝2，解得：a＝8，b＝6，∴AE＝8，DE＝6，∴AH＝8﹣2＝6．故选：C．【点评】此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得ab的值．【变式2-3】（2022春•高安市期中）勾股定理被誉为“几何明珠”，如图是我国古代著名的“赵爽弦图”，它由4个全等的直角三角形拼成，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用a、b表示直角三角形的两直角边（a＞b），则下列说法：①a2+b2＝25，②a﹣b＝1，③ab＝12，④a+b＝7．正确的是（）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【分析】根据勾股定理和大正方形面积为25，可以判断①；根据小正方形面积为1，可以判断②；根据大正方形面积为25，小正方形面积为1，可以得到四个直角三角形的面积，从而可以得到ab的值，即可判断③；根据完全平方公式可以判断④．【解答】解：由图可得，a2+b2＝c2＝25，故①正确；∵小正方形面积为1，∴小正方形的边长为1，∴a﹣b＝1，故②正确；∵大正方形面积为25，小正方形面积为1，∴12ab＝（25﹣1）÷4解得ab＝12，故③正确；∵a2+b2＝25，ab＝12，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝49，∴a+b＝7，故④正确；故选：D．【点评】本题考查勾股定理的证明、正方形的性质、直角三角形的面积，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．【变式2-4】如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．36 B．76 C．66 D．12【分析】由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则x2＝122+52＝169，所以x＝13，所以这个风车的外围周长是：（13+6）×4＝76．故选：B．【点评】此题考查了勾股定理的证明，本题是勾股定理在实际情况中的应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．【变式2-5】将四块全等的直角三角纸板拼成如图1所示的图案，你能由此确定出直角三角形三边长a，b，c之间的关系吗？试试看．（1）大正方形的面积可以表示为，又可以表示为，从而可得到．（2）若将这四块纸板拼成如图2所示的图案，你能通过对比图1与图2，换一种方法证明勾股定理吗？【分析】（1）由拼图可以得出图中正方形的面积有几种不同的表示方法，正方形边长为（a+b）；（2）通过两个图形的对比，两个正方形边长均为（a+b），得到两个正方形的面积相等关系，据此证明．【解答】解：（1）由图形可知，大正方形的边长为a+b，所以面积为（a+b）2，还可以表示为四个全等的直角三角形的面积与一个边长是c的正方形的面积和：4×12ab+c所以（a+b）2＝4×12ab+c故答案为：（a+b）2；4×12ab+c2）；a2+b2＝c（2）能，理由如下：图2中大正方形的面积为（a+b）2，两个小正方形的面积之和为（a+b）2﹣4×12ab＝a2+b2，图1中小正方形的面积为（a+b）2﹣4×12ab＝a2+b2所以图1中两个小正方形的面积之和等于图2中小正方形的面积，用关系式可表示为a2+b2＝c2．【点评】本题考查了勾股定理的知识，掌握利用拼图结合面积相等法来证明勾股定理是关键．【变式2-6】（2022春•巢湖市校级期中）学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法．某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1点B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB，得到直角三角形ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如图2所示，该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程．【分析】连接BF，由图1可得正方形ACDE的面积为b2，由图2可得四边形ABDF的面积为三角形ABF与三角形BDF面积之和，再利用正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等即可证明．【解答】证明：如图，连接BF，∵AC＝b，∴正方形ACDE的面积为b2，∵CD＝DE＝AC＝b，BC＝a，EF＝BC＝a，∴BD＝CD﹣BC＝b﹣a，DF＝DE+EF＝a+b，∵∠CAE＝90°，∴∠BAC+∠BAE＝90°，∵∠BAC＝∠EAF，∴∠EAF+∠BAE＝90°，∴△BAE为等腰直角三角形，∴四边形ABDF的面积为：12c2+12（b﹣a）（a+b）=12c2+12∵正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等，∴b2=12c2+12（b2∴b2=12c2+12b2∴12a2+12b2=∴a2+b2＝c2．【点评】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练掌握勾股定理的证明方法，一般利用拼图的方法，再利用面积相等证明．题型三构造直角三角形求线段的长题型三构造直角三角形求线段的长【例题3】【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据等腰三角形的性质求出BD=12BC＝4，根据勾股定理求出【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，∵AB＝AC＝5，BC＝8，AD⊥BC，∴BD＝CD=12BC＝∴AD=AB即BC边上的高的长为3．【点评】此题考查了等腰三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、勾股定理是解题的关键．解题技巧提炼利用勾股定理求非直角三角形中线段长的方法：作三角形一边上的高，将其转化为两个直角三角形，然后利用勾股定理并结合已知条件，采用推理或列方程的方法解决问题.【变式3-1】（2021春•齐齐哈尔月考）已知：△ABC中，AC＝2，∠C＝30°，∠B＝45°，求AB和BC的长．【分析】作AD⊥BC，得∠ADC＝∠ADB＝90°，根据勾股定理和直角三角形30°所对的直角边是斜边的一半计算即可．【解答】解：作AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∵∠C＝30°，∴AD=12AC＝在Rt△ACD，根据勾股定理得，CD=3∵∠B＝45°，∴∠DAB＝∠B＝45°，∴BD＝AD＝1，则BC＝1+3∴AB=2【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握勾股定理和直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半，这两个定理的应用是解题关键．【变式3-2】（2022春•阳新县期末）△ABC中，AB＝13，AC＝15，高AD＝12，则BC的长为（）A．14 B．4 C．14或4 D．以上都不对【分析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC＝BD+CD，在钝角三角形中，BC＝CD﹣BD．【解答】解：（1）如图，锐角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上高AD＝12，在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，则BD＝5，在Rt△ABD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，则CD＝9，故BC＝BD+DC＝9+5＝14；（2）钝角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上高AD＝12，在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，则BD＝5，在Rt△ACD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，则CD＝9，故BC的长为DC﹣BD＝9﹣5＝4．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理，把三角形边的问题转化到直角三角形中用勾股定理解答．【变式3-3】（2022秋•齐齐哈尔月考）如图，在△ABC中，AC＝12，∠C＝45°，∠B＝120°，求BC的长．【分析】过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，则∠ADC＝90°，由∠C＝45°，可知△ADC为等腰直角三角形，根据勾股定理即可求出AD=DC=62，在Rt△ABD中，同理根据勾股定理可求出BD=26，再利用BC＝DC﹣【解答】解：过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，则∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，∠C＝45°，∴AD＝DC，根据勾股定理可得：AD2+DC2＝AC2，即2AD2＝AC2＝122，解得AD=DC=62∵∠ABC＝120°，∴∠ABD＝60°，在Rt△ABD中，设BD＝x，则AB＝2x，根据勾股定理可得：AD2+DB2＝AB2，即(62解得x=26即BD=26∴BC=DC-DB=62【点评】本题考查了解直角三角形，解题的关键是能作辅助线构造出直角三角形．题型四利用勾股定理作长为题型四利用勾股定理作长为n的线段【例题4】小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝1；再以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，那么点P表示的数是（）A．2.2 B．5 C．1+2 D．【分析】根据勾股定理可计算出OB的长度，即点P在数轴正半轴表示的数．【解答】解：在Rt△OAB中，OA＝2，AB＝1，∴OB=O∴以点O为圆心，OB为半径与正半轴交点P表示的数为5．故选：B．【点评】本题考查勾股定理的应用及数轴上点的坐标的表示，根据题意先计算OB的长度，注意以点O为圆心以5为半径画弧与数轴由两个交点即5和5，题目要求与数轴正半轴交点，故需要舍去-5解题技巧提炼作长为n的线段的步骤：（1）设法将n表示成两个整数的平方和；（2）构造直角三角形，使直角三角形的两条直角边等于第一步得出的两个整数的值，斜边即为长为n的线段.【变式4-1】（2021秋•招远市期末）如图，点O为数轴的原点，点A和B分别对应的实数是﹣1和1．过点B作BC⊥AB，以点B为圆心，OB长为半径画弧，交BC于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交数轴的正半轴于点E，则点E对应的实数是．【分析】根据勾股定理求出AD，进而得到OE的长，根据实数与数轴的对应关系解答即可．【解答】解：由题意得，BD＝OB＝1，在Rt△ABD中，AD=A∴OE＝AE﹣1=5-∴点E对应的实数是5-1故答案为：5-1【点评】本题考查的是勾股定理、实数与数轴，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．【变式4-2】（2021春•崆峒区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝1，BC在数轴上，以B点为圆心，AB长为半径画弧，交数轴于点D，则D点表示的数是．【分析】利用勾股定理可求得AB的长度，从而可确定点D表示的数．【解答】解：∵∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝1，∴AB=B∵以B点为圆心，AB长为半径画弧，交数轴于点D，∴BD＝BA=5∴点D表示的数为：3-5故答案为：3-5【点评】本题主要考查勾股定理，实数与数轴，解答的关键是由勾股定理求得AB的长度．【变式4-3】（2022秋•鄞州区校级期中）如图，2×2方格的每一方格的边长为1个单位，依次连接各边的中点A，B，C，D，则数轴上点C对应的数是，线段CD长是，以顶点C为圆心，CD长为半径画圆交数轴于点P，则数轴上点P对应的无理数是．【分析】求得点P到原点的距离即可．【解答】解：根据题意，数轴上点C对应的数是1，线段CD长是12∴CP＝CD=2∴数轴上点P对应的无理数是1+2故答案为：1，2，1+2【点评】本题考查的是勾股定理，有理数在数轴上的表示方法，解题关键是计算出点到原点的距离．【变式4-4】（2022秋•鄞州区校级月考）如图（1）在4×4的方格中，每个小正方形的边长均为1．（1）求图（1）中正方形ABCD的面积为；边长为．（2）如图（2），若点A在数轴上表示的数是﹣1，以A为圆心，AD长为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，求点E表示的数为．【分析】（1）取小正方形的顶点F，构造Rt△ABF，根据勾股定理求得AB2＝10，则AB=10，S正方形ABCD＝10（2）由OA＝1，AE＝AB=10，得OE=10-1，因为点E在数轴的正半轴上，所以点E表示的数是【解答】解：（1）如图（1），取小正方形的顶点F，∵∠F＝90°，AF＝1，BF＝3，∴AB2＝AF2+BF2＝12+32＝10，∴S正方形ABCD＝AB2＝10，AB=10故答案为：10，10．（2）∵点A表示的数是﹣1，∴OA＝1，∵AE＝AB=10∴OE=10-∵点E在数轴的正半轴上，∴点E表示的数是10-1故答案为：10-1【点评】此题重点考查勾股定理的应用、正方形的性质、实数与数轴上的点一一对应等知识，根据勾股定理求出AB2的值是解题的关键．题型五利用勾股定理直接求图形的面积题型五利用勾股定理直接求图形的面积【例题5】（2022春•范县期中）如图，正方形ABCD中，AE⊥BE，且AE＝3，AB＝5，则阴影部分的面积是（）A．13 B．15 C．18 D．19【分析】利用正方形的面积减去三角形的面积即可求出阴影部分的面积．【解答】解：∵AE⊥BE，且AE＝3，AB＝5，∴BE=A∴S△ABE∵四边形ABCD是正方形，AB＝5，∴S正＝5×5＝25，∴S阴影＝S正﹣S△ABE＝25﹣6＝19．故选：D．【点评】本题主要考查正方形的性质与勾股定理，解题的关键是用割补法求阴影部分的面积．解题技巧提炼求不规则图形的面积的方法：首先通过添加辅助线，将不规则图形转化为规则图形（如直角三角形，长方形等），然后利用规则图形的特殊性质，求出相应线段的长，最后求出面积.【变式5-1】（2021秋•桓台县期中）如图，求等腰三角形ABC的面积．【分析】求三角形ABC的面积，要先求出BC边上的高，求高我们可以利用勾股定理解决，过点A作BC的垂线，垂足为D，利用勾股定理求出AD的长是8，再利用三角形的面积公式即可求出面积．【解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为D，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC=1在Rt△ABD中，AD=A则等腰三角形ABC的面积S=1答：等腰三角形ABC的面积是48．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是作垂线构造直角三角形求出三角形的高．【变式5-2】（2022春•桐城市期末）如图2，在△ABC中，AC＝8，AB＝4，∠BAC＝120°，求△ABC的面积．【分析】过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，由勾股定理求出CD的长，利用三角形面积公式可求出答案．【解答】解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，∵∠BAC＝120°，∴∠DAC＝60°，∴∠ACD＝30°，∵AC＝8，∴AD=12AC＝∴CD=AC2∴S△ABC=12AB•CD=12×【点评】此题主要考查了勾股定理，三角形面积公式，求得出AB，CD的长是解题的关键．【变式5-3】（2021春•拱墅区校级月考）如图在四边形ABCD中，∠ABC＝120°，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝4，CD＝5，求该四边形的面积．【分析】延长DA和CB交于O，求出∠O＝30°，根据含30度角的直角三角形性质求出OB和OD，根据勾股定理求出OA和OC，根据三角形面积公式求出即可．【解答】解：延长DA和CB交于O，∵AB⊥AD，BC⊥CD，∴∠DAB＝∠C＝∠OAB＝90°，∵∠D＝60°，∴∠O＝30°，∵AB＝4，DC＝5，∴OB＝2AB＝8，OD＝2DC＝10，由勾股定理得：OA=82-42=43∴四边形ABCD的面积是:S△OCD﹣S△OAB=12×OC×CD-12×OA×AB=1【点评】本题考查了含30度角的直角三角形性质，勾股定理，三角形的面积的应用，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．题型六利用图形面积之间的关系求图形的面积题型六利用图形面积之间的关系求图形的面积【例题6】（2022秋•渠县期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为（）A．8 B．9 C．10 D．12【分析】根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可．【解答】解：由勾股定理，得正方形E的面积＝正方形C的面积+正方形D的面积，正方形E的面积＝正方形A的面积+正方形B的面积，则正方形B的面积＝18﹣6﹣4＝8，故选：A．【点评】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．解题技巧提炼与直角三角形三边相连的正方形、半圆及正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上的图形之和等于斜边上的图形的面积.【变式6-1】（2022秋•南京期末）如图，在等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，且AB＝22，以边AB、AC、BC为直径画半圆，其中所得两个月形图案AFCD和BGCE（图中阴影部分）的面积之和等于（）A．8 B．4 C．2 D．42【分析】由等腰三角形的性质及勾股定理可求解AC＝CB＝2，进而可求得S△ACB＝2，再利用阴影部分的面积＝以AC为直径的圆的面积+△ACB的面积﹣以AB为直径的半圆的面积计算可求解．【解答】解：在等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝22，∴AC2+BC2＝AB2＝8，∴AC＝CB＝2，∴S△ACB=12AC•BC＝∴S阴影＝π（AC2）2+S△ACB-12π（＝π+2﹣π＝2，故选：C．【点评】本题主要考查等腰直角三角形，勾股定理，理清阴影部分的面积＝以AC为直径的圆的面积+△ACB的面积﹣以AB为直径的半圆的面积是解题的关键．【变式6-2】（2022秋•泗洪县期中）如图，S1、S2、S3分别是以Rt△ABC的三边为直径所画半圆的面积，其中S1＝10π，S2＝6π，则S3＝．【分析】根据△ABC是直角三角形，得出AC2＝AB2+BC2，再结合半圆的面积表达式可判断出S1＝S2+S3，从而可得出S3．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，所以AC2＝AB2+BC2，∴π（AC2）2＝（AB2）2+（AB2即S1＝S2+S3，又∵S1＝10π，S2＝6π，所以S3＝10π﹣6π＝4π．故答案为：4π．【点评】本题考查的是勾股定理，注意根据圆面积公式结合勾股定理证明：S2+S3＝S1，即直角三角形中，以直角边为直径的两个半圆面积的和等于以斜边为直径的半圆面积．【变式6-3】（2022秋•绿园区校级期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为16cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为cm2．【分析】如图根据勾股定理有S正方形2+S正方形3＝S正方形1，S正方形C+S正方形D＝S正方形3，S正方形A+S正方形B＝S正方形2，等量代换即可求四个小正方形的面积之和．【解答】解：如右图所示，根据勾股定理可知，S正方形2+S正方形3＝S正方形1，S正方形C+S正方形D＝S正方形3，S正方形A+S正方形B＝S正方形2，∴S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B＝S正方形2+S正方形3＝S正方形1＝162＝256（cm2）．故答案为：256．【点评】本题考查了勾股定理的几何意义，关键是掌握两直角边的平方和等于斜边的平方．【变式6-4】下图是英国牧师佩里加尔证明勾股定理的“水车翼轮法”，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，互相垂直的线段MN，PQ将正方形BFHC分为面积相等的四部分，这四个部分和以AC为边的正方形恰好拼成一个以AB为边的正方形．若正方形ACDE的面积为5，△CQM的面积为1，则正方形CBFH的面积为（）A．11 B．12 C．13 D．14【分析】观察图形可知，正方形PMQN的面积＝5+1×4＝9，再加上4个1可求正方形CBFH的面积．【解答】解：连接PM，PN，NQ，在最大正方形中作出小正方形，观察图形可知，正方形PMQN的面积＝作出小正方形的面积＝5+1×4＝9，则正方形CBFH的面积9+1×4＝13．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．题型七用勾股定理进行证明题型七用勾股定理进行证明【例题7】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2+CD2＝2AB2．（1）求证：AB＝BC；（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝AE+CD．【分析】（1）根据勾股定理AB2+BC2＝AC2，得出AB2+BC2＝2AB2，进而得出AB＝BC；（2）首先证明CDEF是矩形，再根据△BAE≌△CBF，得出AE＝BF，进而证明结论．【解答】证明：（1）连接AC．∵∠ABC＝90°，∴AB2+BC2＝AC2．∵CD⊥AD，∴AD2+CD2＝AC2．∵AD2+CD2＝2AB2，∴AB2+BC2＝2AB2，∴BC2＝AB2，∵AB＞0，BC＞0，∴AB＝BC．（2）过C作CF⊥BE于F．∵BE⊥AD，CF⊥BE，CD⊥AD，∴∠FED＝∠CFE＝∠D＝90°，∴四边形CDEF是矩形．∴CD＝EF．∵∠ABE+∠BAE＝90°，∠ABE+∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，∴在△BAE与△CBF中∴∠AEB=∠BFC∠BAE=∠CBF∴△BAE≌△CBF．（AAS）∴AE＝BF．∴BE＝BF+EF＝AE+CD．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及三角形的全等证明，根据已知得出四边形CDEF是矩形以及△BAE≌△CBF是解决问题的关键．解题技巧提炼证明线段的平方关系的方法：对于带有平方运算的问题，主要思路是找出或构造直角三角形，利用勾股定理并结合等量代换和代数中的恒等变形进行转化.【变式7-1】已知AD是△ABC的中线，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，试说明AC2＝AE2﹣BE2．【分析】根据直角三角形的性质和勾股定理可得AE2﹣BE2＝（AD2﹣DE2）﹣（BD2﹣DE2）＝AD2﹣BD2＝AD2﹣CD2＝AC2，从而证明结论．【解答】证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD．∵∠C＝90°，DE⊥AB于E，∴AE2﹣BE2＝（AD2﹣DE2）﹣（BD2﹣DE2）＝AD2﹣BD2＝AD2﹣CD2＝AC2．故AC2＝AE2﹣BE2．【点评】考查了直角三角形的性质和勾股定理，注意线段相互间的转化．【变式7-2】已知，如图，△ABC中，AB＞AC，AD为BC边上的高，M是AD边上任意一点．求证：AB2﹣AC2＝MB2﹣MC2．【分析】利用勾股定理列式表示出AD2、MD2，然后整理即可得证．【解答】证明：在Rt△ABD中，AB2﹣BD2＝AD2，在Rt△ACD中，AC2﹣CD2＝AD2，所以，AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，所以，AB2﹣AC2＝BD2﹣CD2，在Rt△MBD中，MB2﹣BD2＝MD2，在Rt△MCD中，MC2﹣CD2＝MD2，所以MB2﹣BD2＝MC2﹣CD2，所以MB2﹣MC2＝BD2﹣CD2，所以AB2﹣AC2＝MB2﹣MC2．【点评】本题考查了勾股定理，熟记定理并列出表示出AD2、MD2是解题的关键．【变式7-3】如图：在等腰直角三角形中，AB＝AC，点D是斜边BC上的中点，点E、F分别为AB，AC上的点，且DE⊥DF．（1）若设BE＝a，CF＝b，满足a-12+|b﹣5|=m-2+2-m，求（2）求证：BE2+CF2＝EF2．（3）在（1）的条件下，求△DEF的面积．【分析】（1）先根据二次根式的非负性求出m＝2，再由非负数的性质求出a、b的值，进而得到BE及CF的长；（2）延长ED到P，使DP＝DE，连接FP，CP，利用SAS得到三角形BED与三角形CPD全等，利用全等三角形对应边相等得到BE＝CP，再利用SAS得到△EDF和△PDF全等，利用全等三角形对应边相等得到EF＝FP，利用等角的余角相等得到∠FCP为直角，在直角三角形FCP中，利用勾股定理列出关系式，等量代换即可得证；（3）连接AD，由AB＝AC，且D为BC的中点，利用三线合一得到AD垂直于BC，AD为角平分线，再由三角形ABC为等腰直角三角形，得到一对角相等，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由AD＝CD，利用ASA得到三角形AED与三角形CFD全等，利用全等三角形对应边相等得到AE＝CF＝5，DE＝DF，由AE+EB求出AB的长，即为AC的长，再由AC﹣CF求出AF的长，在直角三角形AEF中，利用勾股定理求出EF的长，再根据三角形DEF为等腰直角三角形求出DE与DF的长，即可确定出三角形DEF的面积．【解答】（1）解：由题意得m-2≥02-m≥0解得m＝2，则a-12+|b﹣5|＝0所以a﹣12＝0，b﹣5＝0，a＝12，b＝5，即BE＝12，CF＝5；（2）证明：延长ED到P，使DP＝DE，连接FP，CP，在△BED和△CPD中，ED=PD∠EDB=∠PDC∴△BED≌△CPD（SAS），∴BE＝CP，∠B＝∠DCP，在△EDF和△PDF中，DE=DP∠EDF=∠PDE=90°∴△EDF≌△PDF（SAS），∴EF＝FP，∵∠B＝∠DCP，∠A＝90°，∴∠B+∠ACB＝90°，∴∠ACB+∠DCP＝90°，即∠FCP＝90°，在Rt△FCP中，根据勾股定理得：CF2+CP2＝PF2，∵BE＝CP，PF＝EF，∴BE2+CF2＝EF2；（3）解：连接AD，∵△ABC为等腰直角三角形，D为BC的中点，∴∠BAD＝∠FCD＝45°，AD＝BD＝CD，AD⊥BC，∵ED⊥FD，∴∠EDA+∠ADF＝90°，∠ADF+∠FDC＝90°，∴∠EDA＝∠FDC，在△AED和△CFD中，∠EAD=∠FCDAD=DC∴△AED≌△CFD（ASA），∴AE＝CF＝5，DE＝DF，即△EDF为等腰直角三角形，∴AB＝AE+EB＝5+12＝17，∴AF＝AC﹣FC＝AB﹣CF＝17﹣5＝12，在Rt△EAF中，根据勾股定理得：EF=AE设DE＝DF＝x，根据勾股定理得：x2+x2＝132，解得：x=1322，即DE＝则S△DEF=12DE•DF【点评】此题考查了非负数的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．【变式7-4】（2022秋•金湖县期中）在△ABC中，BC＝a，CA＝b，AB＝c．若∠C为直角，则a2+b2＝c2；若∠C为锐角或钝角，则a2+b2与c2之间有怎样的大小关系呢？我们一起进行探究吧．（1）阅读并填空：如图1，若∠C为锐角，则a2+b2＞c2．证明：如图2，过点A作AD⊥BC于点D，则BD＝BC﹣CD＝a﹣CD．在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，在Rt△ACD中，AD2＝，∴．即c2﹣（a﹣CD）2＝b2﹣CD2，∴a2+b2﹣c2＝2a•CD．∵a＞0，CD＞0，∴a2+b2﹣c2＞0，∴a2+b2＞c2．（2）解答问题：如图3，若∠C为钝角，试推导a2+b2与c2的大小关系．【分析】（1）作AD⊥BC于D，则BD＝BC﹣CD＝a﹣CD，由勾股定理得出AB2﹣BD2＝AD2，AC2﹣CD2＝AD2，得出AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，整理得出a2+b2＝c2+2a•CD，即可得出结论；（2）作AD⊥BC于D，则BD＝BC+CD＝a+CD，由勾股定理得出AD2＝AB2＝BD2，AD2＝AC2﹣CD2，得出AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，整理即可得出结论．【解答】（1）证明：作AD⊥BC于D，如图2所示：则BD＝BC﹣CD＝a﹣CD，在△ABD中，AB2﹣BD2＝AD2，在△ACD中，AC2﹣CD2＝AD2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，∴c2﹣（a﹣CD）2＝b2﹣CD2，整理得：a2+b2＝c2+2a•CD∵a＞0，CD＞0，∴a2+b2＞c2；故答案为：AC2﹣CD2；AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2；（2）解：a2+b2＜c2.理由如下：作AD⊥BC于D，如图3所示：则BD＝BC+CD＝a+CD，在△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，在△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，∴c2﹣（a+CD）2＝b2﹣CD2，整理得：a2+b2＝c2﹣2a•CD，∵a＞0，CD＞0，∴a2+b2＜c2．【点评】本题考查了勾股定理的综合运用、完全平方公式；熟练掌握勾股定理，通过作辅助线运用勾股定理是解决问题的关键．题型八利用勾股定理解决实际问题题型八利用勾股定理解决实际问题【例题8】（2021秋•峨边县期末）如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞行（）A．6m B．8m C．10m D．18m【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．【解答】解：两棵树的高度差为8﹣2＝6（m），间距为8米，根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离=82+6故选：C．【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解．解题技巧提炼生活中的一些实际问题常常通过构建数学模型（直角三角形）来求解，勾股定理在生活中应用广泛，建立的模型有时并不是已知两边求三边，而只是告诉了其中一些关系，一般可设未知数，用未知数表示它们之间的关系，然后根据勾股定理列方程解决问题.【变式8-1】（2021秋•高新区校级月考）如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，则水深尺．【分析】仔细分析该题，可画出草图，关键是水深、红莲移动的水平距离及红莲的高度构成一直角三角形，解此直角三角形即可．【解答】解：红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即AC为红莲的长．设水深h尺，由题意得：Rt△ABC中，AB＝h尺，AC＝（h+3）尺，BC＝6尺，由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2，即（h+3）2＝h2+62，解得：h＝4.5．答：水深4.5尺，故答案为：4.5．【点评】本题考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，领会数形结合的思想的应用．【变式8-2】（2022秋•南关区校级期末）如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（）A．5米 B．6米 C．7米 D．8米【分析】先求出AC的长，利用平移的知识可得出地毯的长度．【解答】解：在Rt△ABC中，AC=AB故可得地毯长度＝AC+BC＝7米，故选：C．【点评】此题考查了勾股定理的应用及平移的知识，属于基础题，利用勾股定理求出AC的长度是解答本题的关键．【变式8-3】（2022秋•东营区校级期末）如图，一棵大树被台风挂断，若树在离地面3m处折断，树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前高（）A．5m B．7m C．8m D．10m【分析】在折断的大树与地面构成的直角三角形中，由勾股定理易求得斜边的长，进而可求出大树折断之前的高度．【解答】解：如图；．在Rt△ABC中，AB＝3米，BC＝4米，由勾股定理，得：AC=AB∴AC+AB＝3+5＝8米，即大树折断之前有8米高．故选：C．【点评】此题考查了勾股定理的应用，属于基础题，解答本题的关键是在直角三角形ABC中运用勾股定理求出AC的长．【变式8-4】（2021秋•泌阳县期末）如图，∠AOB＝90°，OA＝36cm，OB＝12cm，一个小球从点A出发沿着AO方向滚向点O，另一