第19讲 相似三角形专题之母子三角形 (原卷版)

第19讲相似三角形之母子三角形【知识点睛】其中：∠A是公共角其中：∠A是公共角AB是公共边BD与BC是对应边当∠ABD=∠ACB时△ABD∽△ACB性质：联系应用：切割线定理：如图，PB为圆O切线，B为切点，则：△PAB∽△PBC得：在Rt△在Rt△ACB与Rt△ADC中，当∠ABC=∠ACD时，有Rt△ACB∽Rt△ADC∽Rt△CDB射影定理：☆：有关射影定理图形常见的三个应用方向：☆：有关射影定理图形常见的三个应用方向：等积法（求斜边上的高）同角的余角相等（得∠A=∠BCD）射影定理在圆中因为直径所对圆周角=90°，转化得此图形，进而利用以上3个结论！☆：“母子△”与“阿氏圆”☆：“母子△”与“阿氏圆”阿氏圆的基本原理就是构造母子三角形，之后再结合两点之间线段最短求解最后结果。母子相似证明题一般思路方法：由线段乘积相等转化成线段比例式相等；分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第三步；【类题训练】1．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，有下列条件：①∠A＝∠BCD；②∠A+∠BCD＝∠ADC；③；④BC2＝BD•BA．其中能判断△ABC是直角三角形的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个2．如图，在矩形ABCD中，BD＝2．对角线AC与BD相交于点O，过点D作AC的垂线，交AC于点E，AE＝3CE．则DE2的值为（）A．4 B．2 C． D．43．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠ACD＝3∠BCD，E为斜边AB的中点，则＝（）A． B． C． D．4．在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，点E在BC上，且BE＝DE，若EC＝4，，则⊙O的半径为（）A． B．2 C． D．5．如图，∠DCB＝∠A，CD＝4，BD＝2，∠CDB＝120°，则△ABC的面积为．6．如图，在△ABC中，∠A＝90°，点D、E分别在AC、BC边上，BD＝CD＝2DE，且∠C+∠CDE＝45°，若AD＝6，则BC的长为．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝．（1）求证△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是斜边AC的中点，连接DB，线段AE⊥线段BD交BC于点E，交DB于点G，垂足为点G．（1）求证：EB2＝EG•EA；（2）联结CG，若∠CGE＝∠DBC，求证：BE＝CE．9．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E，F分别在线段BD，AC上，连结AD，EF交于点G，∠CEF＝2∠CAD．（1）求证：△ABC∽△EFC．（2）若BE＝2DE，＝，求的值．10．已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE∥BC，BE与AD、AC分别相交于点F、G，AF2＝FG•FE．（1）求证：△CAD∽△CBG；（2）联结DG，求证：DG•AE＝AB•AG．11．已知：如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，BD⊥DC，且BD2＝AD•BC，点M是边BC的中点．（1）求证：AD∥BC；（2）作BE⊥DM，垂足为点E，并交CD于点F．求证：2AD•DM＝DF•DC．12．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O交AC于点D，取BC中点E，连接DE并延长，与AB的延长线交于点F，连接BD．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）如果，求tanA．13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠B＝90°，AD＝16，AB＝6，BC＝24．点P从点A沿AD运动到点D，每秒移动a个单位，同时点Q从点C沿CB运动到点B，每秒移动b个单位．运动时间为x秒．若其中一点到达终点，另一点也停止．（1）请求出CD的值；（2）若存在某时刻使DQ垂直平分PC，求a：b的值；（3）若a＝1，b＝3，何时PQ上存在点M，使得∠AMB＝90°．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，点D在边AC上，将线段DA绕点D按顺时针方向旋转90°得到DA′，线段DA′交AB于点E，作A′F⊥AB于点F