专题2-1 弦中点与第三定义（点差法）（原卷版）

专题2-1圆锥曲线——弦中点与第三定义（点差法）中点弦模型（圆锥曲线中的垂径定理） 椭圆垂径定理：已知A,B是椭圆上任意2点，且弦不平行轴，M为线段AB中点，则有证明（点差法）：设，，则，，，∵A，B在椭圆上，代入A，B坐标得① ②两式相减得：，整理得∴【思考】①椭圆焦点在轴上时，结论是否仍然成立？；②在双曲线中是否有类似的性质？设，，则，仍有，，∵A，B在椭圆上，代入A，B坐标得① ②两式相减得：，整理得∴可以看到，这一等式建立了二次曲线弦的斜率与弦的中点坐标之间关系式．也就是说，已知弦的中点，可求弦的斜率；已知斜率，可求弦的中点坐标．同时也不难得出这样的经验，当题目问题涉及到弦的斜率与弦的中点时，就可以考虑“点差法”．诸如求中点弦的方程，弦中点的轨迹，垂直平分线等等，这些都是较为常见题型．∵A，B在双曲线上，代入A，B坐标得 ① ②两式相减得：，整理得∴ 注：抛物线中同样存在类似性质： 第三定义 那么点差法是不是只能解决同时与中点和斜率有关的问题呢?其实不然．其实点差法的内核还是“设而不求、整体代换”的思想，建立的是曲线上两点横纵坐标和差之间的联系，这其实也是第三定义的体现.第三定义：平面内与两个定点，的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含两个顶点)．其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时．【第三定义推广】：平面内与两个关于原点对称的点，的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时．【证明】是椭圆上的一组对称点，P为椭圆上任意点，则有 证明（点差法）：设，，，，，∵P，A在椭圆上，代入坐标得① ②两式相减得：，整理得∴法二：通过椭圆的垂径定理转换 中点弦和第三定义本质上是一样的【思考1】在双曲线中是否有类似的性质？设，，，，，① ②两式相减得：，整理得∴法二：双曲线垂径定理设，∵P，B在双曲线上，代入双曲线方程得① ②两式相减得：，整理得∴2022年全国甲卷（理）T10——第三定义椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（

）A． B． C． D．2023全国乙卷·理11·文12设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（

）A． B． C． D．2022·新高考II卷T16——弦中点已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为．重点题型·归类精讲重点题型·归类精讲题型一中点弦人教A版（2019）选择性必修第一册习题3.1P14已知椭圆,一组平行直线的斜率是.(1)这组直线何时与椭圆相交?(2)当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上.给定双曲线，过点能否作直线m，使m与所给的双曲线相交于A、B两点，且P是线段AB的中点．这样的直线如果存在，求出它的方程，如果不存在．说明理由。已知中心在原点,焦点在轴上,焦距为4的椭圆被直线：截得的弦的中点的横坐标为-2,则此椭圆的方程为（

）A． B． C． D．已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为（），那么的取值范围是（

）A． B． C． D．，或2023届·安徽省“江南十校”3月一模已知直线与椭圆交于两点，线段中点在直线上，且线段的垂直平分线交轴于点，则椭圆的离心率是.2023·重庆巴蜀中学适应性月考（六）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线l与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，设P为线段AB的中点，若，则双曲线的离心率为．已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（

）A． B．C． D．2023·福建厦门二模不与x轴重合的直线l过点N（,0）（xN≠0），双曲线C：（a＞0，b＞0）上存在两点A、B关于l对称，AB中点M的横坐标为．若，则C的离心率为．2023届·湖北省八市高三下学期3月联考已知抛物线的焦点为，过点的直线与该抛物线交于两点，的中点纵坐标为，则.题型二第三定义课本习题设，两点的坐标分别为，．直线，相交于点.（1）若直线与的斜率之积是，求点的轨迹方程．（2）若直线与的斜率之积是，求点的轨迹方程已知双曲线的左､右顶点分别为，抛物线与双曲线交于两点，记直线，的斜率分别为，则为.已知椭圆的左、右焦点分别为，，A为椭圆C的左顶点，以为直径的圆与椭圆C在第一、二象限的交点分别为M，N，若直线AM，AN的斜率之积为，则椭圆C的标准方程为（

）A． B． C． D．2024届·湖北省腾云联盟高三联考（10月）已知，是椭圆的左右顶点，是双曲线在第一象限上的一点，直线，分别交椭圆于另外的点，．若直线过椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为．2023届宁波二模T7——2条焦点弦平行设椭圆的右焦点为，点在椭圆外，P，Q在椭圆上，且P是线段AQ的中点．若直线PQ，PF的斜率之积为，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．2023届·浙江省杭州市桐庐中学高三上学期1月期末已知椭圆C：，经过原点O的直线交C于A，B两点．P是C上一点（异于点A，B），直线BP交x轴于点D．若直线AB，AP的斜率之积为，且，则椭圆C的离心率为．2023届·八省（T8）第一次联考已知椭圆，直线l过坐标原点并交椭圆于两点（P在第一象限），点A是x轴正半轴上一点，其横坐标是点P横坐标的2倍，直线交椭圆于点B，若直线恰好是以为直径的圆的切线，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．2023届·武汉华中师大一附中校考期末已知双曲线，直线过坐标原点并与双曲线交于两点（在第一象限），过点作的垂线与双曲线交于另一个点，直线交轴于点，若点的横坐标为点横坐标的两倍，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．山东省青岛莱西市2023届高三上学期质量检测（二）已知双曲线与直线相交于，两点，点为双曲线上的一个动点，记直线，的斜率分别为，，若，且双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离为1，则双曲线的离心率为．江苏省盐城中学2023届高三三模数学试题已知、是椭圆与双曲线的公共顶点，是双曲线上一点，，交椭圆于，.若过椭圆的焦点，且，则双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．2023届·武汉市二月调研——斜率大乱斗设F为双曲线的右焦点，A，B分别为双曲线E的左右顶点，点P为双曲线E上异于A，B的动点，直线l：x＝t使得过F作直线AP的垂线交直线l于点Q时总有B，P，Q三点共线，则的最大值为.题型三曲线