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2024/4/161无穷级数无穷级数是研究函数的工具表示函数研究性质数值计算常数项级数幂级数傅立叶级数第6章

无穷级数函数项级数一、常数项级数的概念

二、收敛级数的基本性质6.1常数项级数的概念和性质三、收敛级数的必要条件一、常数项级数的概念

引例.

用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正边形,这个和逼近于圆的面积A.设a0

表示即内接正三角形面积,ak

表示边数增加时增加的面积,则圆内接正1、定义：给定一个数列将各项依次相加，记为：称上式为常数项无穷级数，其中第

n

项叫做级数的一般项,如

以上均为常数项级数.这样,所给级数对应一个部分和数列:2.级数的收敛与发散为级数的称级数的前n项和部分和.常数项级数的概念则称无穷级数收敛，并称S

为级数的和,记作：则称无穷级数发散.解(重要)例讨论等比级数(几何级数)的收敛性.常数项级数的概念

收敛

发散

发散

发散

综上级数变为常数项级数的概念例2.

判别下列级数的敛散性:解:(1)所以级数(1)发散;技巧:利用“拆项相消”求和(2)所以级数(2)收敛,其和为1.技巧:利用“拆项相消”求和例3

证明调和级数发散.证明：假设调和级数收敛于S,则但矛盾!所以假设不真.二、无穷级数的基本性质性质1.

若级数收敛于S,则各项乘以常数

c

所得级数也收敛,即其和为cS.性质2.

设有两个收敛级数则级数也收敛,其和为发散.收敛,发散,均发散,敛散性不确定.结论:

收敛级数可以逐项相加与逐项相减.

例:都收敛,都发散.但收敛.例性质3

添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性.性质4设级数收敛,则对其各项任意加括号所得新级数仍收敛于原级数的和.①一个级数加括号后所得新级数发散,则原级数发散.注常数项级数的概念

收敛

发散②一个级数加括号后收敛,原级数不一定收敛.例4.判断级数的敛散性:解:

考虑加括号后的级数发散,从而原级数发散.三、级数收敛的必要条件设收敛级数则必有注1:若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.注2:并非级数收敛的充分条件.例如,调和级数虽然但此级数发散.常数项级数的基本概念基本审敛法3.按基本性质则级数收敛由定义,2.则级数发散一般项、部分和、收敛、发散及级数的性质常数项

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