高等数学不定积分课件

第四章微分法:积分法:互逆运算不定积分

1二、基本积分表三、不定积分的性质一、原函数与不定积分的概念第一节机动目录上页下页返回结束不定积分的概念与性质2一、原函数与不定积分的概念引例:

一个质量为m

的质点,下沿直线运动,在变力试求质点的运动速度机动目录上页下页返回结束根据牛顿第二定律,加速度因此问题转化为:已知求3机动目录上页下页返回结束在区间

I

上的一个原函数.定义1.

若在区间I

上定义的两个函数F(x)及f(x)满足则称F(x)为f(x)问题:

1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.若原函数存在,它如何表示?4

定理.

存在原函数.初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数机动目录上页下页返回结束5定理.

原函数都在函数族(C为任意常数)内.机动目录上页下页返回结束—积分号;—被积函数;—被积表达式.—积分变量;定义2.

在区间

I上的原函数全体称为上的不定积分,其中记作常数C不能丢掉若则(C为任意常数)6不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.机动目录上页下页返回结束的积分曲线

.7例1.设曲线通过点(1,2),

且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解:所求曲线过点(1,2),故有因此所求曲线为机动目录上页下页返回结束8第二节不定积分的概念与性质9二、基本积分表p170-171从不定积分定义可知:或或机动目录上页下页返回结束10例2.求例3.

求机动目录上页下页返回结束11三、不定积分的性质推论:

若则机动目录上页下页返回结束12例4.求解:

原式

=机动目录上页下页返回结束13例5.

求解:

原式=例6.

求解:

原式=机动目录上页下页返回结束14例7.

求解:

原式

=机动目录上页下页返回结束15内容小结1.不定积分的概念•原函数与不定积分的定义•不定积分的性质•基本积分表2.直接积分法:利用恒等变形,及基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分性质机动目录上页下页返回结束16思考与练习1.

若提示:机动目录上页下页返回结束172.

若是的原函数,则提示:已知机动目录上页下页返回结束183.

若的导函数为则的一个原函数是().提示:已知求即B??或由题意其原函数为机动目录上页下页返回结束194.

求下列积分:提示:机动目录上页下页返回结束205.

求不定积分解：机动目录上页下页返回结束216.

已知求A,B.解:

等式两边对x

求导,得机动目录上页下页返回结束22二、第二类换元法第三节一、第一类换元法机动目录上页下页返回结束换元积分法

第四章

23第二类换元法第一类换元法基本思路

机动目录上页下页返回结束设可导,则有24一、第一类换元法定理1.则有换元公式(也称配元法即,凑微分法)机动目录上页下页返回结束25例1.

求解:

令则故原式

=注:

当时机动目录上页下页返回结束26例2.求解:令则机动目录上页下页返回结束27例3.求解:机动目录上页下页返回结束28例4.求解:机动目录上页下页返回结束类似29例5.求解:∴原式=机动目录上页下页返回结束3031例6.求解:

原式=机动目录上页下页返回结束32例7.求解:

原式=例8.

求解:

原式=机动目录上页下页返回结束33例9.求解法1解法2两法结果一样机动目录上页下页返回结束34例10.

求机动目录上页下页返回结束35例11.

求解:

原式

=机动目录上页下页返回结束36例12.求解:机动目录上页下页返回结束37例13.

求解:∴原式=机动目录上页下页返回结束38例14.求解:原式=机动目录上页下页返回结束分析:

391.

求提示:法1法2法3作业目录上页下页返回结束思考与练习40二、第二类换元法机动目录上页下页返回结束第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则得第二类换元积分法.难求，41定理2.

设是单调可导函数,且具有原函数,机动目录上页下页返回结束则有换元公式42例16.求解:

令则∴原式机动目录上页下页返回结束43例17.求解:

令则∴原式机动目录上页下页返回结束44例18.求解:令则∴原式机动目录上页下页返回结束45令于是机动目录上页下页返回结束46原式例19.求解:

令则原式当

x<0时,类似可得同样结果.机动目录上页下页返回结束47解:

原式机动目录上页下页返回结束例20.

求48例21.求解:

原式=机动目录上页下页返回结束49例22.求解:

令得原式机动目录上页下页返回结束50思考与练习下列积分应如何换元才使积分简便?令令令机动目录上页下页返回结束51第三节由导数公式积分得:分部积分公式或1)v容易求得;容易计算.机动目录上页下页返回结束分部积分法

第四章

52例1.求解:

令则∴原式思考:

如何求提示:

令则原式机动目录上页下页返回结束53例2.

求解:

令则原式

=机动目录上页下页返回结束54例3.求解:

令则∴原式机动目录上页下页返回结束55例4.求解:

令,则∴原式再令,则故原式=机动目录上页下页返回结束56解题技巧:把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三”的顺序,前者为后者为例5.

求解:

令,则原式=机动目录上页下页返回结束反:反三角函数对:对数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数57例6.求解:

令则原式机动目录上页下页返回结束令58例7.已知的一个原函数是求解:说明:

此题若先求出再求积分反而复杂.机动目录上页下页返回结束5960思考与练习下述运算错在哪里?应如何改正?得

0=1答:

不定积分是原函数族,相减不应为0.求此积分的正确作法是用换元法.机动目录上页下页返回结束61第四节机动目录上页下页返回结束有理函数的积分

第四章

62一、有理函数的积分有理函数:时,为假分式;时,为真分式有理函数相除多项式+真分式分解其中部分分式的形式为若干部分分式之和机动目录上页下页返回结束63例1.将下列真分式分解为部分分式:解:(1)用拼凑法机动目录上页下页返回结束64(2)用赋值法故机动目录上页下页返回结束65(3)混合法机动目录上页下页返回结束原式=66四种典型部分分式的积分:

机动目录上页下页返回结束变分子为再分项积分67例2.求解:

已知例1(3)目录上页下页返回结束68例3.求解:

原式机动目录上页下页返回结束69例4.求解:机动目录上页下页返回结束说明:

将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法.70例5.求解:原式机动目录上页下页返回结束71二.简单无理函数的积分被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换化为有理函数的积分.例如:机动目录上页下页返回结束令令令72例6.求解:

令则原式机动目录上页下页返回结束73例7.求解:

为去掉被积函数分母中的根式,取根指数2,3的最小公倍数6,则有原式令机动目录