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5.2导数的运算5.2.3简单复合函数的导数1.理解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则；2.能用复合函数的求导法则求简单复合函数的导数.知识点1：复合函数的概念及求导法则

思考：该如何求函数y=ln(2x–1)的导数呢？因为函数y=ln(2x–1)不是由基本初等函数通过四则运算得到的，所以无法用现有的基本初等函数的求导公式直接求出它的导数.分析：函数y=ln(2x–1)的特征：

y=f(u)=lnu复合y=f(u)=

f(g(x))=ln

(2x–1)复合函数的概念：一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u，y可表示成x

的函数那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=

f(g(x)).问题2：说说函数

y=sin2x

是由哪两个函数复合而成的，并求出y=sin2x的导数.函数y=sin2x由y=sinu和

u=2x

复合而成；以y´x表示y

对x

的导数，y´u表示y

对u

的导数，u´x表示u

对x

的导数；则y´x

=(sin2x)´=(2sinx·cosx)´=2[(sinx)´·cosx

+sinx·(cosx)´]=2[cosx·cosx

+sinx·(–sinx)]=2[cos2x·cosx

–sin2x)]=2cos2x；又y´u

=(sinu)´=cosu，u´x

=(2x)´=2，所以y´x=2cos2x=cosu·2=y´u·u´x

.一般地，对于函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=

f(g(x))，它的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为：y´x=y´u·u´x

即：y

对x

的导数等于y

对u

的导数与u

对x

的导数的乘积.归纳小结复合函数求导法则例1：求下列函数的导数.（1）y=(3x+5)3；（2）y=e–0.05x+1；（3）y=ln(2x–1).典例剖析解：（1）函数y=(3x+5)3可看做函数y=u3和

u=3x+5的复合函数，根据复合函数求导法则得：y´x=y´u·u´x

=(u3)´·(3x+5)´=3u2×3=9(3x+5)2；

（2）函数y=e–0.05x+1可看做函数y=eu

和

u=–0.05x+1的复合函数，根据复合函数求导法则得：y´x=(eu)´·(–0.05x+1)´=–0.05eu=–0.05e–0.05x+1；

归纳小结求复合函数导数的步骤练一练1.求下列函数的导数.（1）y=log2(2x+1)；（2）y=22x+1

.

（2）函数y=22x+1可看做函数y=2u

和

u=2x+1的复合函数，∴y´x=(2u)´·(2x+1)´=2·2u·ln2=2·22x+1·ln2=22x+2·ln2.

典例剖析

它表示当t=3s时，弹簧振子

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