中考数学一轮复习课件二次函数的应用

二次函数的应用命题点

二次函数的应用考向1：利润问题1.为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植了“千亩桃园”.2022年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为4千元/t时，每天可售出12t；每吨涨1千元，每天销量将减少2t.据测算，每吨平均投入成本2千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于4千元，不高于5.5千元.请解答以下问题：（1）求每天的销量y（t）与批发价x（千元/t）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；解：（1）根据题意，得y＝12－2（x－4）＝－2x＋20（4≤x≤5.5）.考点训练（2）当批发价定为多少时，每天所获利润最大？最大利润是多少？解：（2）设每天获得的利润是w千元.根据题意，得w＝（－2x＋20）（x－2）＝－2x2＋24x－40＝－2（x－6）2＋32.∵－2＜0，∴当x＜6，w随x的增大而增大.∵4≤x≤5.5，∴当x＝5.5时，w有最大值，最大值为－2×（5.5－6）2＋32＝31.5.答：将批发价定为5.5千元/t时，每天获得的利润最大，最大利润是31.5千元.2.为增加农民收入，助力乡村振兴.某驻村干部指导农户进行草莓种植和销售，已知草莓的种植成本为8元/kg，经市场调查发现，今年五一期间草莓的销售量y（单位：kg）与销售单价x（单元：元/kg，8≤x≤40）满足的函数图象如图所示.（1）根据图象信息，求y与x的函数关系式；

（2）求五一期间销售草莓获得的最大利润.解：（2）设利润为w元.当8≤x≤32时，w＝（x－8）y＝（x－8）（－3x＋216）＝－3（x－40）2＋3072.∵图象开口向下，对称轴为直线x＝40，∴当8≤x≤32时，w随x的增大而增大，∴当x＝32时，w最大，w最大＝2880；当32＜x≤40时，w＝（x－8）y＝120（x－8）＝120x－960.∵120＞0，∴w随x的增大而增大，∴当x＝40时，w最大，w最大＝3840.∵3840＞2880，∴五一期间销售草莓获得的最大利润为3840元.考向2：抛物线型问题3.小华酷爱足球运动.一次训练时，他将足球从地面向上踢出，足球距地面的高度h（m）与足球被踢出后经过的时间t（s）之间的关系为h＝－5t2＋12t，则足球距地面的最大高度是

7.2

⁠m.

7.2105.六盘水市梅花山国际滑雪自建成以来，吸引大批滑雪爱好者，一滑雪者从山坡滑下，测得滑行距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的关系可以近似的用二次函数来表示.滑行时间x/s0123…滑行距离y/m041224…

（1）根据表中数据求出二次函数的解析式.现测量出滑雪者的出发点与终点的距

离大约为800m，他需要多长时间才能到达终点？（2）将得到的二次函数图象补充完整后，向左平移2个单位长度，再向上平移5

个单位长度，求平移后的函数解析式.

6.（2023·贵州）如图1是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图2所示），抛物线的顶点在C处，对称轴OC与水平线OA垂直，OC＝9，点A在抛物线上，且点A到对称轴的距离OA＝3，点B在抛物线上，点B到对称轴的距离是1.图1（1）求抛物线的解析式；解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2＋9，把点A（3，0）代入，得9a＋9＝0，解得a＝－1，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋9.

（2）如图2，为更加稳固，小星想在OC上找一点P，加装拉杆PA，PB，同时使拉

杆的长度之和最短，请你帮小星找到点P的位置并求出坐标；（3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其解析式为y＝－x2＋2bx＋b－1

（b＞0），当4≤x≤6时，函数y的值总大于等于9，求b的取值范围.图2

图2

⁠

⁠张师傅在市民广场内制作并销售竹雕小摆件，每件成本为10元，物价部门规定销售单价不高于成本价的1.8倍，在销售过程中发现，日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.（1）求y与x之间的函数解析式；（2）当销售单价定为16元时，每天获得的利润为多少？（3）当销售单价定为多少时，每天获得的利润最大，最大利润为多少？【思路引导】（1）利用待定系数法求出一次函数的解析式，进而得出答案；（2）把x＝16直接代入（1）中所求解析式得出销售量，再根据“总利润＝每件的利润×销售量”求解；（3）根据“总利润＝每件的利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得.【自主解答】

（2）当x＝16时，y＝120，∴每天获得的利润为（16－10）×120＝720（元）.（3）设每天获得的利润为w元.由题意，得w＝（x－10）（－5x＋200）＝－5（x－25）2＋1125.∵10≤x≤10（1＋80%），∴10≤x≤18，∴当x＝18时，w最大，w最大＝－5×（18－25）2＋1125＝880.答：当销售单价定为18元时，每天获得的利润最大，最大利润为880元.【夺分宝典】1.如何求关于利润的二次函数解析式：（1）若题目给出销售量与销售单价之间的函数解析式，以及销售单价与进价之间的关系时，则可直接根据销售利润＝销售总额－成本＝销售量×销售单价－销售量×进价＝销售量×（销售单价－进价）来解决；（2）若题目中未给出销售量与销售单价之间的函数解析式，则要先求出销售量与销售单价之间的函数解析式，解析式一般是一次函数关系，再根据销售利润＝销售量×（销售单价－进价）来解决.

图1

x＝5

（11，0）

【自主解答】（2）若需要在OB上的点E处竖立雕塑EF，OE＝10m，EF＝1.8m，EF⊥OB，则雕塑顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明；

【自主解答】

（3）如图2，为保证游客安全，现对该圆形喷水池喷出的水柱范围进行改造，保证改造前后的水柱喷洒的开口大小不变，且喷出的水柱最远距离OC为6m，求改造后喷出的水柱所在抛物线的解析式及改造后喷出水柱的最高处到雕塑OA的水平距离.图2【思路引导】改造前后的水柱喷洒的开口大小不变，说明抛物线的解析式中的二次项系数不变，根据题意知OC的长度为6m，由A，C两点的坐标可求出改造后抛物线的解析式，进而求出改造后喷出水柱的最高处到雕塑OA的水平距离.【自主解答】

【对点训练】1.某大型超市购进一款热销的消毒洗衣液，由于原材料价格上涨，今年每瓶洗衣液的进价比去年每瓶洗衣液的进价上涨4元，今年用1440元购进这款洗衣液的数量与去年用1200元购进这款洗衣液的数量相同，当每瓶洗衣液的现售价为36元时，每周可卖出600瓶，为了能薄利多销，该超市决定降价销售，经市场调查发现，这种洗衣液的售价每降价1元，每周的销量可增加100瓶，规定这种消毒洗衣液每瓶的售价不低于进价.

（1）求今年这款消毒洗衣液每瓶进价是多少元；（2）当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为多少元时，这款洗衣液每周的销售利润

最大？最大利润是多少元？解：（2）设消毒洗衣液每瓶的售价为x元，每周的销售利润为w元.根据题意，得w＝（x－24）[600＋100（36－x）]＝－100x2＋6600x－100800＝－100（x－33）2＋8100.∵－100＜0，∴当x＝33时，w取最大值，最大值为8100.答：当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为33元时，这款洗衣液每周的销售利润最大，最大利润是8100元.2.一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y（m）与离起跳点A的水平距离x（m）之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时，离水面的距离为7m.（1）求y关于x的函数解析式；

（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长.

1.一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10m/s，经过t（单位：s）时球距离地面的高度h（单位：m）适用公式h＝10t－5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t（单位：s）是（

D

）A.5B.10C.1D.2D巩固训练

103.商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程中发现，月销量y（单位：台）与销售单价x（单位：元）之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应数据如下表所示：销售单价x/元…506070…月销量y/台…908070…（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当护眼灯销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月利润为多少元？解：（2）∵规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，∴40≤x≤80.设每月出售这种护眼灯所获的利润为w元.根据题意，得w＝（x－40）y＝（x－40）（－x＋140）＝－（x－90）2＋2500，∴易得当护眼灯销售单价定为80元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大，最大月利润为2400元.4.一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m.已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系.

（1）求抛物线的解析式，并通过计算判断球能否射进球门；（忽略其他因素）（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？

5.如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD是篱笆，且这三边的和为40m，有下列结论：①AB的长可以为6m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD的面积为192m；③菜园ABCD面积的最大值为200m2.其中，正确结论的个数是（

C

）A.0B.1C.2D.3C6.某商店销售某种商品的进价为每件30元，这种商品在近60天中的日销售价与日销售量的相关信息如下表：时间：第x（天）1≤x≤3031≤x≤60日销售价/（元·件－1）0.5x＋3550日销售量/件124－2x（1≤x≤60，x为整数）设该商品的日销售利润为w元.

（2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？解：当1≤x≤30时，w＝－x2＋52x＋620＝－（x－26）2＋1296.∵－1＜0，∴当x＝26时，w有最大值，最大值为1296；当31≤x≤60时，w＝－40x＋2480.∵－