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文档简介

第二章分离变量法分离变量法是解偏微分方程定解问题最常用、最基本的方法。分离变量法的物理背景是波动现象，由于一维波动可用波函数表示，它的结构特点是时间函数和位置函数的乘积形式。波动方程的解是否具有变量分离形式的解（时、空分离）。分离变量法的基本思想是：利用变量分离形式的解，将求解偏微分方程的定解问题化为求解常微分方程的问题。分离变量法的核心是变量分离，因此，此方法要求方程和边界条件都是齐次的。另外：使用分离变量法要根据求解域的形状，选择适当坐标系。§2.1分离变量先考察齐次方程的分离变量。任何二阶线性常系数齐次方程（含两个自变量）总可以化为标准形式且知A=-B双曲型A=0或B=0抛物型A=B椭圆形设（2.1.1）解的形式为：代入方程(2.1.1)两端同除以X(x)Y(y),得可以看出，方程中变量已被分离。左边仅是x的函数，右边仅是y的函数，因此，要相等必为常数，记为，从而得到两个常微分方程：可见齐次偏微分方程经变量分离可化为两个常微分方程。任何二阶线性常系数齐次方程（含两个变量）都可以分离变量。

再考察齐次边界条件的变量分离，对于一维空间内，常见的齐次边界条件为

其中表示边界点a或b。假设解为若给定边界条件为由于有

欲求非零解u，只需，得X(x

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