项目二 复杂直流电阻电路分析及应用

电工技术及应用谢娟任务2.1基尔霍夫定律的验证一、常用电路术语支路：电路中流过同一电流的每一个分支。通过支路的电流称为支路电流,支路两个端点之间的电压称为支路电压。节点：3条或3条以上支路的联接点。回路：电路中任意闭合的路径。网孔：内部不含支路的回路。该图中含有三条支路、两个节点、三个回路、两个网孔例支路：共？条回路：共？个节点：共？个6条4个网孔：？个7个有几个网眼就有几个网孔abcdI3I1I2I5I6I4R3US4US3_+R6+R4R5R1R2_电路中的独立结点数为4个，独立回路数=网孔数。二、基尔霍夫电流定律（KCL）对于电路中任意一个节点，在任意瞬时，流进的总电流等于流出的总电流。汇集于电路任意节点的各支路电流的代数和等于零。表述一表述二可假定流入节点的电流为正，流出节点的电流为负；也可以作相反的假定。对节点a基氏电流定律的推广I=?I1I2I3例例I1+I2=I3I=0IU2+_U1+_RU3+_RRR广义节点电流定律还可以扩展到电路的任意封闭面。广义节点思考两网络N1和N2之间只有一条导线相连，连线上的电流I等于多少呢？对封闭面列写KCL为：

I=0解：对虚线所示封闭面列KCL方程，得:i1+i2+i3=0求下图所示电路中的I1+I2+I3的数值。【例2.1.1】KCL不仅用于节点，还适用于假想的封闭面。求图2.1-6所示电路中的电流I1和I2KCL的推广：【例2.1.2】对于节点a有:I1+2-7=0对封闭面有:I1+I2+2=0I1=7-2=5(A),I2=-5-2=-7(A)三、基尔霍夫电压定律（KVL）表述在任何时刻，沿回路绕行一周（顺时针方向或逆时针方向），各段电压的代数和恒等于零。先选绕行方向，回路内元件电压参考方向与绕行方向一致时取正（或负）号，相反时取负（或正）号。

基尔霍夫电压定律（KVL）是用来确定回路中各段电压之间关系的电压定律。回路电压定律依据“电位的单值性原理”，它指出：

任一瞬间，沿任一回路参考绕行方向，回路中各段电压的代数和恒等于零。数学表达式为：ΣU=0然后根据：

U=0I1+US1R1I4US4R4I3R3R2I2_U3U1U2U4得：-U1-US1+U2+U3+U4+US4=0–R1I1–US1+R2I2+R3I3+R4I4+US4=0–R1I1+R2I2+R3I3+R4I4=US1–US4电阻压降可得KVL另一形式：∑IR=∑US电源压升先标绕行方向R1

I1-R2I2+us2+us1=0

R

I+R2I2-us2=0例2.1.3：列出下图中闭合回路的KVL方程。KVL用于闭合回路，也可推广应用到假想的闭合回路。例：列出下图的KVL方程KVL的推广：虚拟回路abca

U1-U2+Uca=0虚拟回路acda

Uac+U3-U4=0电路中任意两点间的电压，等于该两点间任一路径上各段电压的代数和

在图所示电路中，若以f点作为参考点，试计算c、d两点的电位。解：【例2.1.4】在图示电路中，us1=12V，us2=6V，us3=3V，R1=3Ω，R2=2Ω，R3=1Ω，试求u。

解：对回路a应用KVL，求得

对闭合路径b应用KVL，求得【例2.1.5】

基尔霍夫定律具有普遍的适用性，它适合于有任何元件所构成的任何结构的电路，电路中的电压和电流可以是恒定的也可以是任意变化的。使用基尔霍夫定律列写方程时应该注意的要点：1、n个节点可以列写出n个KCL方程，但只有n-1个方程具有独立性。2、L个回路可以列写L个KVL方程，但只有b-n+1个KVL方程具有独立性（b为支路数）。3、基尔霍夫定律用于集总参数的线性和非线性电路。定律列写的方程仅与电路结构有关，与元件性质无关。四、支路电流法及应用

网络方程法：通过建立电路方程、求解电路方程来求解电路的一种方法。支路电流法网孔电流法节点电压法方程未知变量不同网络方程法

不能直接判断各支路电流方向的电路称为复杂电路。（不能用电阻串并联等效化简的电路）支路电流法复杂电路

以支路电流为待求量，应用基尔霍夫两个定律列出电路的方程式，从而求解支路电流的方法。节点a：I1+I2-I3=0

节点b:-I1-I2+I3=0

左网孔:R1I1-R2I2=Us1-Us2右网孔:R2I2+R3I3=Us2大回路:R1I1+R3I3=Us1

对具有b条支路、n个节点的电路应用KVL，能够且只能够列出b-(n-1)个独立的KVL方程。对于平面电路，选择网孔作为独立回路。对于具有n个节点的电路，其独立KCL方程的数目为（n－1）个

支路电流法的解题步骤：（1）设出各支路电流，选定其参考方向并标于电路图中；（2）对电路中（n－1）个独立节点应用KCL，列出节点电流方程；（3）选取（b－n＋1）个独立回路（网孔），应用KVL列出回路电压方程；（4）联立求解上述b个独立方程，求得各支路电流；（5）根据计算的需要，由支路电流再求出其他待求变量。（6）代入原方程组，检验计算结果。支路电流法的优点在于思路清晰,方法简单;缺点在于当支路数较多的时候,方程数量多,计算繁琐。现举例说明解题过程。【例2.1.5】解：

如图所示，已知：其中E1=15V，E2=65V，R1=5Ω，R2=R3=10Ω。试用支路电流法求R1、R2和R3三个电阻上的电压。

Il+12-I3=0I1R1+I3R3=E1I2R2+I3R3=E2

I1=-7/4(A)I2=33/8(A)I3=19/8A)三个电阻上的电压电流方向选取一致，则三个电阻上的电压分别为：U1=I1R1=-35/4（V）U2=I2R2=165/4（V）U3=I3R3=95/4（V）含有电流源的电路应用支路电流法：方法一：增设电流源电压为未知变量。设出电流源电压，并作为未知变量列入KVL方程。（独立方程数仍等于未知变量数）方法二：将电流源和与之并联的电阻构成的并联组合等效变换成电压源与电阻的串联组合，然后再用支路电流法来求解。（对于含有无伴电流源的电路须另选方法来求解）方法三：避开电流源所在支路，选择不含电流源的独立回路，应用KVL，建立KVL方程。（独立方程数仍等于未知变量数）【例2.1-6】用支路电流法求示图示电路中各支路电流。解：方法一，增设电流源电压为未知变量（1）设电路中的电流源电压为U，支路电流分别为I1、I2、I3；选择它们的参考方向选择如图所示。（2）根据电流的参考方向，确定电流源所在支路的电流为（3）对电路中的独立节点b应用KCL，得（4）选择网孔作为独立回路，选择回路绕行方向如图所示，对两网孔应用KVL，得（5）联立求解上述方程求得：方法二：避开电流源所在支路，选择不含电流源的回路作为独立回路，列写KVL方程。（1）根据电流的参考方向，确定电流源所在支路的电流为（2）对电路中独立节点b应用KCL，列写KCL方程为（3）对电路中不含电流源的独立回路abcda应用KVL，列写KVL方程为

五、节点电压法以节点电压为待求未知量,列出节点电压方程,然后再计算支路电流的方法叫节点电压法。在电路中任选一个节点为参考点(零电位点),则其余各节点对参考点的电压叫做节点电压节点电压法适用于支路数很多而节点个数相对较少的电路,尤其是当电路只有两个节点时,用节点电压法尤为方便快捷。对于只有两个节点的电路可用弥尔曼定理求解。如图所示的电路,只有两个节点①和②,选②为参考点,则①的节点电压Un1=U12(n表示节点)。在给定电源电压和电阻的情况下,如果求出节点电压Un1,再计算各支路电流就很容易。节点电压与支路电流的关系是I1=（Us1-Un1）/R1I2=（Us2-Un1）/R2I3=（Us3+Un1）/R3I4=Un1/R4I1+I2-I3-I4=0Un1=(Us1/R1+Us2/R2-Us3/R3)/(1/R1+1/R2+1/R3+1/R4)

推广到一般情况Un1=∑(UsG)+∑IS/∑G弥尔曼定理：各理想电压源方向与节点电压方向一致取正，反之取负；各IS的参考方向与节点电压相反取正，反之取负。【例2.1-7】应用弥尔曼定理计算图示电路中各支路电流。应用弥尔曼定理计算图示电路中各支路电流。【例2.1-8】退出任务2.2叠加定理及验证在几个电源共同作用的线性电路中任一支路的电流或电压，等于各个电源单独作用时在该支路上产生的电流或电压的代数和。这就是叠加定理。说明：当某一独立源单独作用时，其他独立源置零。+BI2R1I1U1R2AU2I3R3+_+_原电路I2''R1I1''R2ABU2I3''R3+_U2单独作用+_AU1BI2'R1I1'R2I3'R3U1单独作用叠加原理“恒压源不起作用”或“令其等于0”，即是将此恒压源去掉，代之以导线连接。

在多个电源同时作用的线性电路中，任何支路的电流或任意两点间的电压，都是各个电源单独作用时所得结果的代数和。叠加定理内容：计算功率时不能应用叠加原理！I=I

I+

=IR1+–R2ISUS*当恒流源不作用时应视为开路I'R1+–R2US+I"R1R2IS*当恒压源不作用时应视为短路应用叠加定理的步骤（1）原电路中标明各支路电流和电压的参考方向。（2）画出各电源单独作用时的电路图,并标明各支路电流分量和电压分量的参考方向。（3）在各电压源或电流源单独作用的电路中,求出与待求量对应的电压或电流分量。（4）将各对应分量叠加,求出电源共同作用时的电压或电流。应用叠加定理分析电路时应注意的问题：（1）叠加定理只适用于线性电路。（2）线性电路的电流、电压均可用叠加定理计算,但功率不能用叠加定理计算,只能先计算总电压和总电流后,再根据功率表达式计算电路的功率。（3）不作用电源的处理:将不作用的电压源以短路代替,将不作用的电流源以开路代替，注意其余部分不变。（4）叠加时要注意电压和电流的参考方向,如果分量参考方向与原电路中该量参考方向一致,则该电压或电流取正号,反之取负号。（5）应用叠加定理时,可把电源分组求解,即每个分电路中的电源个数可以多于一个。【例2.2-1】已知条件如图所示，用叠加定理求电路中的电流I1、I2及36Ω电阻消耗的电功率P。解：各电源单独作用时如图2.2-2：（1）先计算90V电压源单独作用时的电流和电压，电路如图

(b)所示。（A）（A）（A）（2）再计算60V电压源单独作用时的电流和电压，电路如图(c)所示。（3）两电源同时作用的电流和电压为电源分别作用时的叠加。（4）36Ω电阻消耗的电功率为【例2.2-2】图1.2-33（a）所示桥形电路中，R1=2Ω，R2=3Ω，R3=2Ω，R4=1Ω，US=12V，IS=5A。试用叠加定理计算电路中电压U和电流I。电压源US单独作用时：电流源IS单独作用时：将各独立电源单独作用时所产生的电流或电压叠加解：各电源单独作用时如图：将对应电流叠加得：退出12V+_7.2V电源单独作用时：用叠加原理求下图所示电路中的I2。根据叠加原理:I2=I2´+I2=1+(－1)=0例BAI23Ω7.2V+_2Ω12V+_6Ω12V电源单独作用时：

解BA3Ω7.2V+_2Ω6ΩI2′I2″用叠加定理求：I=?I=I′+I″=2+（－1）=1A“恒流源不起作用”或“令其等于0”，即是将此恒流源去掉，使原恒流源处开路。例+-I4A20V10

10

10

I′4A10

10

10

+-I″20V10

10

10

20V电压源单独作用时：4A电流源单独作用时：应用叠加定理要注意的问题1.叠加定理只适用于线性电路（电路参数不随电压、电流的变化而改变）。

2.

叠加时只将电源分别考虑，电路的结构和参数不变。暂时不予考虑的电压源应予以短路，即令U=0；暂时不予考虑的恒流源应予以开路，即令Is=0。3.

解题时要标明各支路电流、电压的正方向。原电路中各电压、电流的最后结果是各分电压、分电流的代数和。4.

叠加定理只能用于电压或电流的计算，不能用来求功率，即功率不能叠加。如：5.运用叠加定理时也可以把电源分组求解，每个分支电路的电源个数可能不止一个。

设：则：R3I3=+2－28

用叠加定理求图2－36所示电路中电流源的电压。+图2－36=+解电流源的电压U的参考方向如图中所示，根据叠加定理将原电路分解为三个分电路，有：2－29

应用叠加定理求图2－44所示电路中的电流I和电压U。解=+（1）电流源单独作用时，有图2－44（2）电压源单独作用时，有（3）叠加，得任务2.3电源的等效变换一、理想电源元件特点：输出电压不随输出电流的变化而变化，即输出电压恒定。理想电压源又称恒压源。内阻可忽略的电池可看作理想电压源。1.理想电压源特点：输出电流不随输出电压的变化而变化，即输出电流恒定。它的端电压则是任意的。理想电流源也叫恒流源。光电池在一定光照下能产生恒定电流，可看作理想的电流源2.理想电流源思考如果理想电流源与理想电压源相连，其电压电流如何确定？理想电流源的端电压完全由理想电压源的电压来确定；理想电压源流过的电流完全由理想电流源的电流来确定3.实际电源特点：输出电压随输出电流的增大而降低。二.电压源与电流源的等效变换实际电源：存在内阻，可用理想电源元件和电阻组合表示。等效电压源：理想电压源Us和内阻Ro串联；

U=Us-R0I

等效电流源：理想电流源Is和内阻Ro并联。U=Us-R0I

I=Us/R0-U/R0=Isc-U/R0

两种等效电源模型对外电路是等效的。但对电源内部，则是不等效的。两种等效电源模型可以等效互换，互换时内阻R0是相等的，即：

Is=Us/R0

，

Us=R0Is两种电源之间的等效互换Us=IsR0内阻改并联Is=

UsR0

两种电源模型之间等效变换时，电压源的数和电流源的数值遵循欧姆定律的数值关系，但变换过程中内阻不变。bIR0Uab+_US+_aIS

R0US

bIR0Uab+_a

等效互换的原则：当外接负载相同时，两种电源模型对外部电路的电压、电流相等。内阻改串联变换时应注意:1)两种模型的极性必须一致,即电流源流出电流的一端必须与电压源正极端相对应。2)在等效电压源中,内阻R与电压源串联；在等效电流源中,内阻R与电流源并联。3)理想电压源与理想电流源本身不能等效变换。4)两种电源模型的变换只对外电路等效，两种电源模型内部并不等效。5）多个理想电压源串联时，可用一个等效的理想电压源来代替。多个理想电流源并联时，可用一个等效的理想电流源来代替。电压源串联：电流源并联：

理想电压源US是电压源模型中内阻R0为零特例；理想电流源IS是电流源中内阻R0为无穷大特例。理想电源元件不存在等效互换问题。先把电路中电源等效变换的原则给你叙述一下，这样的题目就很好理解了：1、理想电压源与理想电流源并联，等效为理想电压源；2、理想电压源与理想电流源串联，等效为理想电流源；3、理想电压源Us串联电阻R，等效为理想电流源Us/R、并联电阻R；4、理想电流源Is1并联理想电流源Is2，等效为理想电流源：Is1+Is2；5、理想电压源Us1串联理想电压源Us2，等效为理想电压源：Us1+Us2；6、理想电压源Us并连连电阻R，等效为理想电压源Us；7、理想电流源Is串联电阻R，等效为理想电流源Is。——以上所有的“等效”，指的是针对外部电路的“等效”，对内部并不等效。基于以上原则（2、）可以看出，左边的电路1A串联10V，等效为1A电流源，所以Is=1A，R=2Ω。【例2.3-1】试用电源等效变换方法求图所示（a）中的电压及图（b）中的电流。解：（a）等效电路如图：

（b）等效电路如图：利用等效变换法求图所示电路中的电流I。已知Us1=12V，Us2=36V，R1=2Ω，R2=3Ω，R=6Ω。【例2.3-2】解：先将电压源与电阻串联的支路变换为电流源与电阻并联的支路，变换后的电路如图1.2-20（b）所示，其中再将图（b）中并联的两个电流源用一个等效电源来替代，其值为：图（b）中电阻R1、R2并联，它们的等效电阻为：简化后的电路如图（c）所示。应用分流公式，求得支路电流I为：2－13用等效变换法化简图2－32所示各网络。图2－32（a）图2－32（b）2－14用电源的等效变换法求图2－33所示电路中的电流I和电压U。解图2－33

任务2.4戴维南定理的验证戴维南定理概念：任何一个线性有源二端网络，对外电路来说，都可以用一个理想电压源和一个电阻串联的电路模型来等效替代，该理想电压源的电压等于原有源二端网络的开路电压UOC，电阻等于线性有源二端网络去源后变成无源二端网络的等效电阻Ro。说明：当去源时，应用戴维南定理的步骤将待求支路移去，得有源二端网络，并求出开路电压将所得有源二端网络去源得无源二端网络，求等效电阻根据已求得的有源二端网络的开路电压Uoc和等效电阻Req，构成戴维南等效电路，并替代对应的有源二端网络，画出替代后的戴维南等效电路。接上待求支路，计算待求量。戴维南等效电阻的计算方法将有源二端网络中的所有独立电源置零，使之变为无源二端网络后，采用电阻串并联等效变换、Y－△等效变换等等效变换的方法求得等效电阻。（对含有受控源的网络不适用）将有源二端网络中的所有独立电源置零后，在其端口处外施电压源uS或电流源iS，求得端口电流i或端口电压u，再用下列式计算戴维南等效电阻。计算出有源二端网络的开路电压uoc和短路电流isc，最大功率传输定理一个实际电源,当所接负载不同时,电源传输给负载的功率就不同,当负载电阻等于电源内阻时,负载能从电源获取最大功率。任何电能传输系统，其负载上获得最大功率的条件是：负载电阻等于电源的内阻（R=Ri），获得的最大功率为，这种工作状态称为负载与电源匹配。匹配概念负载获得最大功率条件：匹配：当电路中负载电阻等于电源内阻时，负载上获得功率最大，此时，称电路达到匹配。电路匹配时的功率为电路的效率负载功率与电源功率的比值当电路匹配时，负载与内阻上消耗的功率相等，此时，电路的效率只有50%。1）在电力系统中，由于输送的功率很大，必须减少内阻上的功损耗，电路不希望工作在匹配状态。2）在电子电路中，由于信本身功率很小，而要求负载获得尽可能大的功率，所以电子电路通常工作在匹配状态。应用无源二端网络：

二端网络中没有电源ABAB有源二端网络：

二端网络中含有电源

戴维南定理中的“等效代替”，是指对端口以外的部分“等效”，即对相同外接负载而言，端口电压和流出端口的电流在等效前后保持不变。注意：【例2.4.1】如图所示电路为一个有源二端网络外接一可调电阻R，其中US=38V，IS=2