考研数学二(矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷18(题后含答案及解析)

考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷18(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题3.解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1．已知A是四阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若A*的特征值是1，一1，2，4，那么不可逆矩阵是()A．A—E。B．2A—E。C．A+2E。D．A一4E。正确答案：C解析：因为A*的特征值是1，一1，2，4，所以｜A*｜=一8，又｜A*｜=｜A｜4－1，因此｜A｜3=一8，于是｜A｜=一2。那么，矩阵A的特征值是：一2，2，一1，一。因此，A一E的特征值是一3，1，一2，一。因为特征值非零，故矩阵A—E可逆。同理可知，矩阵A＋2E的特征值中含有0，所以矩阵A+2E不可逆。所以应选C。知识模块：矩阵的特征值和特征向量2．已知A是三阶矩阵，r(A)=1，则λ=0()A．必是A的二重特征值。B．至少是A的二重特征值。C．至多是A的二重特征值。D．一重、二重、三重特征值都有可能。正确答案：B解析：A的对应λ的线性无关特征向量的个数小于或等于特征值的重数。r(A)=l，即r(OE—A)=1，(OE—A)x=0必有两个线性无关的特征向量，故λ=0的重数大于等于2。至少是二重特征值，也可能是三重。例如A=，r(A)=1，但λ=0是三重特征值。所以应选B。知识模块：矩阵的特征值和特征向量3．设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是()A．λ1≠0。B．λ2≠0。C．λ1=0。D．λ2=0。正确答案：B解析：令k1α1+k2A(α1+α2)=0，则(k1+k2λ1)α1+k2λ2α2=0。因为α1，α2线性无关，所以k1+k2λ1=0，且k2λ2=0。当λ2≠0时，显然有k1=0，k2=0，此时α1，A(α1+α2)线性无关；反过来，若α1，A(α1+α2)线性无关，则必然有λ2≠0(否则，α1与A(α1+α2)=λ1α1线性相关)，故应选B。知识模块：矩阵的特征值和特征向量4．已知三阶矩阵A与三维非零列向量α，若向量组α，Aα，A2α线性无关，而A3α=3Aα一2A2α，那么矩阵A属于特征值λ=一3的特征向量是()A．α。B．Aα＋2α。C．A2α一Aα。D．A2α+2Aα一3α。正确答案：C解析：因为A3α+2A2α一3Aα=0。故(A+3E)(A2α一Aα)=0=0(A2α一Aα)。因为α，Aα，A2α线性无关，必有A2α一Aα≠0，所以A2α一Aα是矩阵A+3E属于特征值λ=0的特征向量，即矩阵A属于特征值λ=一3的特征向量。所以应选C。知识模块：矩阵的特征值和特征向量5．设n阶矩阵A与B相似，E为n阶单位矩阵，则()A．λE—A=λE—B。B．A与B有相同的特征值和特征向量。C．A和B都相似于一个对角矩阵。D．对任意常数t，tE一A与tE一B相似。正确答案：D解析：因为由A与B相似不能推得A=B，所以选项A不正确。相似矩阵具有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，但不一定具有相同的特征向量，故选项B也不正确。对于选项C，因为根据题设不能推知A，B是否相似于对角阵，故选项C也不正确。综上可知选项D正确。事实上，因A与B相似，故存在可逆矩阵P，使P－1AP=B。于是P－1(tE—A)P=tE一P－1AP=tE一B，可见对任意常数t，矩阵tE一A与tE一B相似。所以应选D。知识模块：矩阵的特征值和特征向量6．下列选项中矩阵A和B相似的是()A．B．C．D．正确答案：C解析：选项A中，r(A)=1，r(B)=2，故A和B不相似。选项B中，tr(A)=9，tr(B)=6，故A、和B不相似。选项D中，矩阵A的特征值为2，2，一3，而矩阵B的特征值为1，3，一3，故A和B不相似。由排除法可知应选C。事实上，在选项C中，矩阵A和B的特征值均为2，0，0。由于A和B均可相似对角化，也即A和B均相似于对角矩阵，故由矩阵相似的传递性可知A和B相似。所以选C。知识模块：矩阵的特征值和特征向量7．设A是三阶矩阵，其特征值是1，3，一2，相应的特征向量依次是α1，α2，α3，若P=(α1，2α3，一α2)，则P－1AP=()A．B．C．D．正确答案：A解析：由Aα2=3α2，有A(一α2)=3(一α2)，即当α2是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量时，一α2仍是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量。同理，2α3仍是矩阵A属于特征值λ=一2的特征向量。当P－1AP=时，P由A的特征向量构成，由A的特征值构成，且P与的位置是对应一致的，已知矩阵A的特征值是1，3，一2，故对角矩阵应当由1，3，一2构成，因此排除选项B、C。由于2α3是属于λ=一2的特征向量，所以一2在对角矩阵中应当是第二列，所以应选A。知识模块：矩阵的特征值和特征向量8．已知三阶矩阵A的特征值为0，1，2。设B=A3一2A2，则r(B)=()A．1。B．2。C．3。D．不能确定。正确答案：A解析：因为矩阵A有三个不同的特征值，所以A必能相似对角化，即存在可逆矩阵P，使得P－1AP=，于是P－1BP=P－1(A3一2A2)P=P－1A3P一2P－1A2P=(P－1AP)3一2(P－1AP)2则矩阵B的三个特征值分别为0，0，一1，故r(B)=1。所以选A。知识模块：矩阵的特征值和特征向量填空题9．矩阵的非零特征值为________。正确答案：4解析：矩阵A的特征多项式为｜λE一A｜==λ2(λ一4)，所以非零特征值为4。知识模块：矩阵的特征值和特征向量10．已知λ=12是A=的特征值，则a=_________。正确答案：4解析：因为λ=12是A的特征值，因此｜12E—A｜=0，即｜12E—A｜==9(4一a)=0，所以a=4。知识模块：矩阵的特征值和特征向量11．已知α=(1，3，2)T，β=(1，一1，一2)T，A=E一αBT，则A的最大的特征值为_________。正确答案：7解析：因为非零列向量α，β的秩均为1，所以矩阵αβT的秩也为1，于是αβT的特征值为0，0，tr(αβT)，其中tr(αβT)=βTα=一6。所以A=E一αβT的特征值为1，1，7，则A的最大的特征值为7。知识模块：矩阵的特征值和特征向量12．若三维列向量α，β满足αTβ=2，其中αT为α的转置，则矩阵βαT的非零特征值为_________。正确答案：2解析：因为αTβ=2，所以(βαT)β=β(αTβ)=2β，故βαT的非零特征值为2。知识模块：矩阵的特征值和特征向量13．设A是三阶矩阵，且各行元素的和都是5，则矩阵A一定有特征值_________。正确答案：5解析：已知各行元素的和都是5，即化为矩阵形式，可得满足，故矩阵A一定有一个特征值为5。知识模块：矩阵的特征值和特征向量14．已知矩阵A=只有一个线性无关的特征向量，那么A的三个特征值是_________。正确答案：2，2，2解析：因为矩阵A只有一个线性无关的特征向量，所以A的特征值必定是三重根，否则A至少应该有两个不同的特征值，同时也会有两个线性无关的特征向量。由主对角元素的和等于所有特征值的和可知1+2+3=3λ，故λ1=λ2=λ3=2。知识模块：矩阵的特征值和特征向量15．设矩阵A与B=相似，则r(A)+r(A一2E)=_________。正确答案：3解析：矩阵A与B相似，则A一2E与B一2E相似，而相似矩阵具有相同的秩，所以r(A)+r(A一2E)=r(B)+r(B一2E)=2+1=3。知识模块：矩阵的特征值和特征向量16．设三阶方阵A的特征值是1，2，3，它们所对应的特征向量依次为α1，α2，α3，令P=(3α1，α2，2α2)，则P－1AP=________。正确答案：解析：因为3α3，α1，2α2分别为A的对应特征值3，1，2的特征向量，所以P－1AP=。知识模块：矩阵的特征值和特征向量17．设二阶实对称矩阵A的一个特征值为λi=1，属于λ1的特征向量为(1，一1)T，若｜A｜=一2，则A=________。正确答案：解析：设矩阵A的特征值λ1=1和λ2对应的特征向量分别为α1=(1，一1)T和α2=(x1，x2)T。实对称矩阵必可相似对角化，即存在可逆矩阵Q，使得Q－1AQ=。而相似矩阵的行列式相等，所以一2=｜A｜==λ2，即λ2=一2。又实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量正交，所以α1Tα2=0，即x1一x2=0。方程组x1一x2=0的基础解系为α2=(1，1)T。令Q=(α1，α2)=，则知识模块：矩阵的特征值和特征向量解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18．设矩阵A=，行列式｜A｜=一1，又A*的属于特征值λ0的一个特征向量为α=(一1，一1，1)T，求a，b，c及λ0的值。正确答案：AA*=｜A｜E=一E。对于A*α=λ0α，用A左乘等式两端，得λ0Aα=一α，即，由此可得(1)一(3)得λ0=1。将λ0=1代入(2)和(1)，得b=一3，a=c。由｜A｜=一1和a=c，有=a—3=一1，即得a=c=2。故a=2，b=一3，c=2，λ0=1。涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量已知的一个特征向量。19．求参数a，b及特征向量p所对应的特征值；正确答案：设λ是特征向量p所对应的特征值，根据特征值的定义，有(A—λE)p=0，即从而有方程组解得a=一3，b=0，且p所对应的特征值λ=一1。涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量20．问A能不能相似对角化?并说明理由。正确答案：A的特征多项式｜A—λE｜==一(λ+1)3，得A的特征值为λ=一1(三重)。若A能相似对角化，则特征值λ=一1有三个线性无关的特征向量，而A+E=，故r(A+E)=2，所以齐次线性方程组(A+E)x=0的基础解系只有一个解向量，A不能相似对角化。涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量21．设矩阵A=的特征值有一个二重根，求a的值，并讨论矩阵A是否可相似对角化。正确答案：矩阵A的特征多项式为｜λE一A｜==(λ一2)(λ2一8λ+18+3a)。如果λ=2是单根，则λ2一8λ+18+3a是完全平方，必有18+3a=16，即a=。则矩阵A的特征值是2，4，4，而r(4E—A)=2，故λ=4只有一个线性无关的特征向量，从而A不能相似对角化。如果λ=2是二重特征值，则将λ=2代入λ2一8λ+18+3a=0可得a=一2。于是λ2一8λ+18+3a=(λ一2)(λ一6)。则矩阵A的特征值是2，2，6，而r(2E—A)=l，故λ=2有两个线性无关的特征向量，从而A可以相似对角化。涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量22．设矩阵A=。当k为何值时，存在可逆矩阵P，使得P－1AP为对角矩阵?并求出P和相应的对角矩阵。正确答案：矩阵A的特征多项式为｜λE—A｜==(λ+1)2(λ一1)，则A的特征值为λ1=λ2=一1，λ3=1。矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是属于特征值λ=一1的线性无关的特征向量有两个，即线性方程组(一E—A)x=0有两个线性无关的解向量，则r(A+E)=1。对矩阵A+E作初等行变换得当k=0时，r(A+E)=1。此时，由(一E一A)x=0解得属于特征值一1的两个线性无关的特征向量为α1=(一1，2，0)T，α2=(1，0，2)T；由(E—A)x=0解得属于特征值1的特征向量为α3=(1，0，1)T。令可逆矩阵P=(α1，α2，α3)，则P－1AP=。涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量设A是三阶方阵，α1，α2，α3是三维线性无关的列向量组，且Aα1=α2+α3，Aα2=α3+α1，Aα3=α1+α2。23．求A的全部特征值；正确答案：α1，α2，α3线性无关，则α1+α2+α3≠0，α2一α1≠0，α3一α1≠0，且由A(α1+α2+α3)=2(α1+α2+α3)，A(α2一α1)=一(α2一α1)，A(α3一α1)=一(α3一α1)可知矩阵A的特征值为2和一1。又由α1，α2，α3线性无关可知α2一α1，α3一α1也线性无关，所以一1是矩阵A的二重特征值，即A的全部特征值为2，一1，一1。涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量24．A是否可对角化?正确答案：因为α1，α2，α3线性无关，而(α1+α2+α3，α2一α1，α3一α1)=(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)P，且｜p｜=3≠0，所以α2一α1，α3一α1，α1+α2+α3线性无关，即矩阵A有三个线性无关的特征向量，所以矩阵A可相似对角化。涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量设三阶矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=3对应的特征向量依次为α1=(1，l，1)T，α2=(1，2，4)T，α3=(1，3，9)T。25．将向量β=(1，1，3)T用α1，α2，α3线性表示；正确答案：设x1α1+x2α2+x3α3=β，即解得x1=2，x2=一2，x3=1，故β=2α1—2α2+α3。涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量26．求Anβ。正确答案：Aβ=2Aα1一2Aα2+Aα3，则由题设条件及特征值与特征向量的定义可得Anβ=2Anα1一2Anα2+Anα3=2α1一2×2nα2+3nα3=。涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(一1，2，一1)T，α2=(0，一1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解。27．求A的特征值与特征向量；正确答案：因为矩阵A的各行元素之和均为3，所以有则λ=3是矩阵A的特征值，α=(1，1，1)T是对应的特征向量。对应λ=3的全部特征向量为kα=k(1，1，1)T，其中k是不为零的常数。又由题设知Aα1=0，Aα2=0，即Aα1=0．α1，Aα2=0．α2，而且α1，α2线性无关，所以λ=0是矩阵A的二重特征值，α1，α2是其对应的特征向量，因此对应λ=0的全部特征向量为k1α1+k2α2=k1(一1，2，一1)T+k2(0，一1，1)T，其中k1，k2是不全为零的常数。涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量28．求正交矩阵