天津市2019届中考数学复习《旋转问题》专项训练含答案

天津市2019年中考数学题型专项训练：旋转问题1.如图,在平面直角坐标系中,已知点A的坐标为(0,2),△ABO为等边三角形,P是x轴上的一个动点(不与O点重合),将线段AP绕A点按逆时针方向旋转60°,P点的对应点为点Q.

(Ⅰ)求点B的坐标;

(Ⅱ)当点P在x轴负半轴运动时,求证:∠ABQ=90°;

(Ⅲ)连接OQ,在点P运动的过程中,当OQ平行AB时,求点P的坐标.第1题图解:(Ⅰ)如解图①,过点B作BC⊥x轴于点C,

∵△AOB为等边三角形,且OA=2,

∴∠AOB=60°,OB=OA=2,

∴∠BOC=30°,而∠OCB=90°,

∴BC=OB=1,OC=,

∴点B的坐标为B(,1);

(Ⅱ)∵△APQ、△AOB均为等边三角形,

∴AP=AQ,AO=AB,∠PAQ=∠OAB,

∴∠PAO=∠QAB,

在△APO与△AQB中,,

∴△APO≌△AQB,

∴∠ABQ=∠AOP=90°;

(Ⅲ)当点P在x轴正半轴上时,

∵∠OAB=60°,

∴将AP绕点A逆时针旋转60°时,点Q在点B上方,

∴OQ和AB必相交,

当点P在x轴负半轴上时,点Q在点B的下方,

∵AB∥OQ,∠BQO=90°,∠BOQ=∠ABO=60°.

在Rt△BOQ中,OB=2,∠OBQ=90°－∠BOQ=30°,

∴BQ=,

由(Ⅱ)可知,△APO≌△AQB,

∴OP=BQ=,

∴此时点P的坐标为(－,0).图①图②第1题解图2.在直角坐标系中,OA=CD,OB=OD,CD⊥x轴于D,E、F分别是OB、OD中点,连接EF交AC于点G.

(Ⅰ)如图①,若点A的坐标为(－2,0),S△OCD=5,求点B的坐标;

(Ⅱ)如图②,当OB=2OA时,求证:点G为AC的中点;

(Ⅲ)如图③,当OB＞2OA,△ABO绕原点O顺时针旋转α(0°＜α＜45°),(Ⅱ)中的结论是否还成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.

第2题图解:(Ⅰ)∵A(－2,0),

∴OA=2,

∵CD⊥OD,CD=OA=2,

又∵S△OCD=5,

∴×OD×2=5,

∴OD=5,

∴OB=OD=5,

∴B(0,5);

(Ⅱ)如解图①,连接EC、AE、CF.

∵OB=2OA,CD=OA,OD=OB,

∴CD=OB,

∵EB=EO,OF=DF,

∴OE∥CD,OE=CD,

∴四边形OECD是平行四边形,

∴EC=OD,

∵AF=OD=EC,

∴EC=AF,EC∥AF,

∴四边形AECF是平行四边形,

∴AG=CG,即点G为AC的中点;

(Ⅲ)成立.

理由:如解图②,连接AE、CF,在FE上取一点H,使得CH=CF.∵OB=OD,OE=EB,OF=DF,

∴OE=DF,∵∠AOE=∠FDC,OA=CD,

∴△AOE≌△CDF,

∴AE=CF=CH,∠AEO=∠CFD,

∵OE=OF,

∴∠OEF=∠OFE,

∵∠AEG=∠AEO＋∠OEF,∠CHG=180°－∠CHF=180°－∠CFH=180°－(180°－∠OFE－∠CFD)=∠OFE＋∠CFD,

∴∠AEG=∠CHG,

∵∠AGE=∠CGH,

∴△AEG≌△CHG,

∴AG=CG,即点G为AC的中点.图①图②第2题解图

3.如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(－8,0),直线BC经过点B(－8,6),C(0,6),将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转角度α得到四边形OA′B′C′,此时边OA′与边BC交于点P,边B′C′与BC的延长线交于点Q,连接AP.

(Ⅰ)求证:四边形OABC是矩形;

(Ⅱ)在旋转过程中,当∠PAO=∠POA,求P点坐标.

(Ⅲ)在旋转过程中,当P为线段BQ中点时,连接OQ,求△OPQ的面积.第3题图(Ⅰ)证明:∵点A的坐标为(－8,0),点B(－8,6),C(0,6),

∴∠COA=∠OAB=∠B=90°,

∴四边形OABC是矩形.

(Ⅱ)解:如解图①,过点P作PE⊥AO于点E,

∵∠PAO=∠POA,

∴PA=PO,

∵PE⊥AO,

∴AE=EO=4,

∴P(－4,6);

(Ⅲ)解:如解图②,在Rt△OCQ和Rt△OC'Q中,

,

∴Rt△OCQ≌Rt△OC'Q,∴∠OQC=∠OQC',

又∵OP∥C'Q,

∵∠POQ=∠OQC',

∴∠POQ=∠PQO,∴PO=PQ,

∵BP=QP,∴BP=OP=x,

在Rt△OPC中,x2=(8－x)2＋62,解得:x=.

故S△OPQ=×CO×PQ=×6×=.图①图②第3题解图4.如图,在平面直角坐标系中A(,0),B(0,1),点P为△OAB内任一点,连接PO、PA、PB,将△ABP绕着点A顺时针旋转60°得到△AB′P′,连接PP′.

(Ⅰ)求点B′的坐标;

(Ⅱ)当△OPA与△APB满足什么条件时,PO＋PA＋PB的值最小,并求出此最小值;

(Ⅲ)试直接写出(Ⅱ)中的点P坐标.

解:(Ⅰ)∵A(,0),B(0,1),

∴AB=2,∠BAO=30°,

∵将△ABP绕着点A顺时针旋转60°得到△AB′P′,

∴AB′=2,∠B′AO=90°,

∴B′(,2);

(Ⅱ)由旋转可得,△APP′是等边三角形,

∴PP′=PA,

又∵P′B′=PB,∴PO＋PA＋PB=PO＋PP′＋P′B′,

∴如解图①,当O、P、P′、B′四点共线时,PO＋PA＋PB的值最小,

∴当∠OPA=∠APB=∠AP′B′=120°时,PO＋PA＋PB的值最小,

此时,PO＋PA＋PB=OB′==;

(Ⅲ)如解图②,将(Ⅱ)中的△OPB绕着点O逆时针旋转60°得到△OB″P″,则∠BOB″=60°,OB″=OB=1

∴点B″的坐标为(－,),

由(Ⅱ)可知A、P、P″、B″四点共线,

∴点P为OB′与AB″的交点,

根据A、B″两点的坐标可得直线AB″的解析式为y=－x＋,

根据B′的坐标可得直线OB′的解析式为y=x,

联立方程组,解得P(,).图①图②第4题解图5.如图,将两块直角三角板摆放在平面直角坐标系中,有∠COD=∠ABO=90°,∠OCD=45°,∠AOB=60°,且AO=CD=8.现将Rt△AOB绕点O逆时针旋转,旋转角为β(0°≤β≤180°).在旋转过程中,直线CD分别与直线AB,OA交于点F,G.

(Ⅰ)当旋转角β=45°时,求点B的坐标;

(Ⅱ)在旋转过程中,当GF=AF,求β的值;(Ⅲ)在旋转过程中,当∠BOD=60°时,求直线AB的解析式.

第5题图解:(Ⅰ)如解图①,过点B

作BH⊥x轴于点H,

在Rt△AOB中,∠AOB=60°,OA=8,

∴OB=OA=4,

当β=45°时,即∠BOC=45°,

∴OH=BH,

∴OH2＋BH2=42

∴OH=BH=2,

∴B(2,2);

(Ⅱ)当75°＜β＜180°时,存在FA=FG(如解图④),

∴∠A=∠FGA=30°,

∴∠COG=45°－30°=15°=∠AOM,

∴β=∠BOC=180°－15°－60°=105°,

∴当FG=AF时，β=105°;

(Ⅲ)①当点B在第一象限时(如解图②),过点B作BM⊥OC于点M,∵∠BOD=60°,

∴∠BOC=30°,

∴OM=OB•cos∠BOC＝4×＝2,BM=OB•sin∠BOC＝4×＝2,

∴B(2,2),

∵点A在y轴上

∴A(0,8),

设直线AB的解析式为y=kx＋b,

∴,

解得:,

∴直线AB的解析式为:y=－x＋8;

②当点B在第二象限时,(如解图③),

过点B作

BE⊥x轴于点E,过点A作AH⊥BE于H,

∵∠BOD=60°,

∴∠BOE=30°,

∴∠EBO=60°,

∴∠ABH=30°,

又∵OB=4,

∴OE=OB•cos∠BOE＝4×＝2,BE=OB•cos∠BOE＝4×＝2,

∴B(－2,2),

∵∠BEO=∠AHB=90°,∠ABH=∠BOE,

∴△OBE∽△BAH,

∴,

∴AH=2,BH=6

∴A(－4,－4)

设直线AB的解析式为y=kx＋b,

∴,

解得,∴直线AB的解析式为:y=x＋8.

图①图②图③图④第5题解图6.如图.在平面直角坐标系中,点A(3,0),B(0,－4),C是x轴上一动点,过C作CD∥AB交y轴于点D.

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)若以A,B,C,D为顶点的四边形的面积等于54,求点C的坐标;

(Ⅲ)将△AOB绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AO′B′,设D的坐标为(0,n),当点D落在△AO′B′内部(包括边界)时,求n的取值范围.(直接写出答案即可)

第6题图解:(Ⅰ)∵点A的坐标是(3,0),B的坐标是(0,－4),

∴OA=3,OB=4.

∵CD∥AB,

∴△AOB∽△COD,

∴;

(Ⅱ)设OC=3x,则OD=4x,

则AC=3＋3x,BD=4＋4x,

当点C在x轴负半轴上时:

∵四边形ABCD的面积是54,

∴AC•BD=54,即(3＋3x)(4＋4x)=54,

解得:x=2或－4(舍去).

则点C的坐标是(－6,0);

当点C在x轴的正半轴上时,S四边形ABCD=×3x•4x－×3×4=54,

解得:x=或x=－(舍去).

则点C的坐标是(3,0);

(Ⅲ)O′的坐标是(3,3),

则O′B′与y轴的交点坐标是(0,3);

则B′的坐标是(－1,3).

设AB′的解析式是y=kx＋b,

根据题意得:,

解得:,

则函数的解析式是y=－x＋,

当x=0时,y=.即直线AB′与y轴的交点是(0,).

则n的范围是≤n≤3.第6题解图7.如图,OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O为坐标原点,点A在x轴上,点C在y轴上,OA=9,OC=15,将矩形纸片OABC绕O点顺时针旋转90°得到矩形OA1B1C1.将矩形OA1B1C1折叠,使得点B1落在x轴上,并与x轴上的点B2重合,折痕为A1D.

(Ⅰ)求点B2的坐标;

(Ⅱ)求折痕A1D所在直线的解析式;

(Ⅲ)在x轴上是否存在点P,使得∠BPB1为直角？若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.第7题图解:(Ⅰ)由条件知,B2A1=B1A1=BA=15,A1O=B1C1=BC=9,

∴在Rt△A1OB2中,OB2＝＝12,

∴点B2坐标为(12,0);

(Ⅱ)B2C1=15－12=3,DC1=m,则B1D=9－m,

∵B1D=B2D,

∴＝9−m,

解得m=4,

∴D点的坐标为(15,4),

又∵A1(0,9),

设折痕A1D所在直线的解析式为y=kx＋b(k≠0),

∴,

解得,

即折痕A1D所在直线的解析式为y＝−x＋9;

(Ⅲ)假设存在P点,

∵∠BPA＋∠BPB1＋∠B1PC1=180°,∠BPB1=90°,

∴∠BPA＋∠B1PC1=90°,

∵∠BAP=90°,∠ABP＋∠BPA=90°,

∴∠ABP=∠B1PC1.

在△BAP和△PC1B1中,,

∴△BAP∽△PC1B1.

∴,

∵AB=15,C1B1=9,AC1=24,设PC1的长为m,

∴,

解得m1=15或m2=9.

经检验m1=15或m2=9是方程的两根,

当PC1=15时,P点坐标为(0,0);

当PC1=9时,P点坐标为(6,0).

综上所述,P点坐标为(0,0),(6,0).第7题解图8.如图,在平面直角坐标系中,已知△AOB是等边三角形,点A的坐标是(0,4),点B在第一象限,点P是x轴上的一个动点,连接AP,并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转,使边AO与AB重合,得到△ABD.

(Ⅰ)求点B的坐标及直线AB的解析式;

(Ⅱ)当点P运动到点(t,0)时,试用含t的式子表示点D的坐标;

(Ⅲ)是否存在点P,使△OPD的面积等于,若存在,请求出符合条件的点P的坐标(直接写出结果即可)

第8题图解:(Ⅰ)如解图①,过点B作BE⊥y轴于点E,作BF⊥x轴于点F.

由已知得:BF=OE=2,∴OF==2,

∴点B的坐标是(2,2).

设直线AB的解析式是y=kx＋b(k≠0),

则有,∴.

∴直线AB的解析式是y=－x＋4;

(Ⅱ)∵△ABD由△AOP旋转得到,

∴△ABD≌△AOP.∴AP=AD,∠DAB=∠PAO.

∴∠DAP=∠BAO=60°,∴△ADP是等边三角形.

如解图②,过点D作DH⊥x轴于点H,延长EB交DH于点G,则BG⊥DH.

在Rt△BDG中,∠BGD=90°,∠DBG=60°,

∴BG=BD•cos60°=t×=.DG=BD•sin60°=t.

∴OH=EG=2＋t,DH=2＋t.

∴点D的坐标为(2＋t,2＋t);

(Ⅲ)存在.

假设存在点P,在它的运动过程中,使△OPD的面积等于,设点P为(t,0),下面分三种情况讨论:

①当t＞0时,如解图②,BD=OP=t,DG=t,

∴DH=2＋t.

∵△OPD的面积等于,∴t(2＋t)=,

∴t1=,t2=(舍去).

∴点P1的坐标为(,0).

②∵当D在x轴上时,如解图③,

根据锐角三角函数求出BD=OP=,

∴当－＜t≤0时,如解图①,BD=OP=－t,BG=－t,

∴DH=GF=2－(－t)=2＋t.

∵△OPD的面积等于,∴－t(2＋t)=,

∴t1=－,t2=－,

∴点P2的坐标为(－,0),点P3的坐标为(－,0).

③当t≤－时,BD=OP=－t,BG=－t,∴DH=－t－2.

∵△OPD的面积等于,

∴(－t)(－2－t)=,

∴t1=,t2=(舍去).

∴点P4的坐标为(,0).

综上所述,点P的坐标分别为P1(,0),P2(－,0),P3(－,0),P4(,0).图①图②图③第8题解图9.在平面直角坐标系中,点

A(－2,0),B(2,0),C(0,2),点

D,点E分别是

AC,BC的中点,将△CDE绕点C逆时针旋转得到△CD′E′,旋转角为α,连接

AD′,BE′.

(Ⅰ)如图①,若

0°＜α＜90°,当

AD′∥CE′时,求α的大小;

(Ⅱ)如图②,若

90°＜α＜180°,当点

D′落在线段

BE′上时,求

sin∠CBE′的值;

(Ⅲ)若直线AD′与直线BE′相交于点P,求点P的横坐标m的取值范围.第9题图解:(Ⅰ)如解图①,∵A(-2,0),B(2,0),C(0,2),∴OA=OB=OC,∴∠ACB=90°,∵△CD′E′是△CDE旋转得到的,∴∠D′CE′=90°,

∵AD′∥CE′,∴∠AD′C=∠D′CE′=90°,∵D为AC的中点,∴CD=AC,∵CD=CD′,∴CD′=AC,

在Rt△ACD′中,cosα==,

∴α=60°;

(Ⅱ)设F为D′E′的中点，连接CF,如解图②,∵CD′=CE′,∠E′CD′=90°,∴CF⊥BE′,CF=D′E′=1,

又∵BC==2,

∴在Rt△BCF中,sin∠CBE′=;

(Ⅲ)如解图③中,以C为圆心,CD′为半径作⊙C,当BE′与⊙C相切时AP最长,则四边形CD′PE′是正方形,作PH⊥AB于H.

∵CD′=CD=AC=,∴⊙C的半径为,∵在Rt△ACD′中,AD′=,∴AP=AD′＋PD′=＋,

∵cos∠PAB=,∴AH=2＋,

∴点P横坐标的最大值为.

如解图④中,当BE′与⊙C相切时AP最短,则四边形CD′PE′是正方形,作PH⊥AB于H.

根据对称性可知OH=,

∴点P横坐标的最小值为－,

∴点P横坐标的取值范围为－≤m≤.图①图②图③图④第9题解图10.如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A、B、C、D的坐标分别为(3,0)、(0,3)、(－3,0)、(0,－3),点M为AB上一点,AM:BM=2:1,∠EMF在AB的下方以M为中心旋转且∠EMF=45°,ME交y轴于点P,MF交x轴于点Q.

(Ⅰ)求点M的坐标;

(Ⅱ)设AQ的长为y,BP的长为x.求y与x的函数关系式;

(Ⅲ)当P为OB的中点时,求四边形OQMP的面积.第10题图解:(Ⅰ)∵正方形ABCD的顶点A、B、C、D的坐标分别为(3,0)、(0,3)、(－3,0)、(0,－3),

∴OA=OB=OC=OD=3,在Rt△AOB中由勾股定理,得

AB=3.

∵AM:BM=2:1,

∴AM=2,

∴BM=,

作MG⊥AC于点G,

∴MG∥BD,

∴△AMG∽△ABO,

∴,

∴,

∴MG=2,

∴AG=2,

∴OG=1,

∴M(1,2);

(Ⅱ)∵四边形ABCD是正方形,且AC、BD是对角线,

∴∠1=∠5=45°,

∴∠3＋∠4=135°,

∵∠EMF=45°,

∴∠2＋∠4=135°,

∴∠2=∠3,有∠1=∠5,

∴△BMP∽△AQM,∴,

∴,解得:y=;

(Ⅲ)∵P为OB的中点,

∴BP=OB=,∴y=AQ==.

作MH⊥BD于H,MS⊥AC于S,

由勾股定理可以求得:MH=1,MS=2,

∴S四边形OQMP=.图①图②图③第10题解图

2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，半径为3的扇形AOB，∠AOB=120°，以AB为边作矩形ABCD交弧AB于点E，F，且点E，F为弧AB的四等分点，矩形ABCD与弧AB形成如图所示的三个阴影区域，其面积分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为（）（SKIPIF1<0取SKIPIF1<0）A．SKIPIF1<0SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦SKIPIF1<0．若BD＝2，CD＝6，则BC的长为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<03．如图，CE，BF分别是△ABC的高线，连接EF，EF=6，BC=10，D、G分别是EF、BC的中点，则DG的长为（）A.6 B.5 C.4 D.34．如图，□DEFG内接于SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的面积为1、3、1，那么□DEFG的面积为（）A．4 B．SKIPIF1<0 C．3 D．25．已知反比例函数y＝﹣SKIPIF1<0，下列结论中错误的是（）A.图象在二，四象限内 B.图象必经过（﹣2，4）C.当﹣1＜x＜0时，y＞8 D.y随x的增大而减小6．如图，矩形ABCD的边AB＝1，BC＝2，以点B为圆心，BC为半径画弧，交AD于点E，则图中阴影部分的面积是()A．SKIPIF1<0SKIPIF1<0 B．2SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0SKIPIF1<0 D．2﹣SKIPIF1<07．如图，直线l与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y＝SKIPIF1<0的图象在第一象限相交于点C．若AB＝BC，△AOB的面积为3，则k的值为（）A．6 B．9 C．12 D．188．定义一种新的运算：a•b=SKIPIF1<0，如2•1=SKIPIF1<0=2，则（2•3）•1=（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上DE∥BC，点B、C、F在一条直线上，若∠ACF＝140°，∠ADE＝105°，则∠A的大小为（）A．75° B．50° C．35° D．30°10．已知关于SKIPIF1<0的一元二次方程SKIPIF1<0有两个不相等的实数根，则满足条件的最小整数SKIPIF1<0的值为()A．-1 B．0 C．2 D．111．如图，矩形ABCD中，AB＝7，BC＝4，按以下步骤作图：以点B为圆心，适当长为半径画弧，交AB，BC于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于SKIPIF1<0EF的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部相交于点H，作射线BH，交DC于点G，则DG的长为（）A．2 B．3 C．4 D．512．（11·丹东）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D，若AC=9，则AE的值是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．6 D．4二、填空题13．将一次函数y＝x﹣1的图象向下平移3个单位得到的函数关系式为_____．14．已知SKIPIF1<0，则xy=_____．15．已知α，β是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根，则α2+αβ﹣3α的值为_____．16．如图，▱ABCD中，AD＝2AB，AH⊥CD于点H，N为BC中点，若∠D＝68°，则∠NAH＝_____．17．抛物线y=-xSKIPIF1<0+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程-xSKIPIF1<0+bx+c=0的解为____________18．将一个四边形的纸片一刀剪去一个角后，所得的多边形的内角之和是_____．三、解答题19．（1）化简求值：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.；（2）计算：﹣22+SKIPIF1<0+（SKIPIF1<0﹣2007）0﹣4sin45°20．计算：SKIPIF1<021．解不等式组：SKIPIF1<0；并在数轴上把解集表示出来，并判断﹣1、SKIPIF1<0这两个数是否为该不等式组的解．22．传统文化与我们生活息息相关，中华传统文化包括古文古诗、词语、乐曲、赋、民族音乐、民族戏剧、曲艺、国画、书法、对联、灯谜、射覆、酒令、歇后语等．在中华优秀传统文化进校园活动中，某校为学生请“戏曲进校园”和民族音乐”做节目演出，其中一场“戏曲进校园”的价格比一场“民族音乐”节目演出的价格贵600元，用20000元购买“戏曲进校园”的场数是用8800元购买“民族音乐节目演出场数的2倍，求一场“民族音乐”节目演出的价格．23．已知抛物线C1：y＝﹣x2+bx+3与x轴的一个交点为（1，0），顶点记为A，抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称．（1）求抛物线C2的函数表达式；（2）若抛物线C2与x轴正半轴的交点记作B，在x轴上是否存在一点P，使△PAB为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．24．（1）△ABC和△CDE是两个等腰直角三角形，如图1，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，连结AD、BE，求证：△ACD≌△BCE．（2）△ABC和△CDE是两个含30°的直角三角形，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝30°，CD＜AC，△CDE从边CD与AC重合开始绕点C逆时针旋转一定角度α（0°＜α＜180°）；①如图2，DE与BC交于点F，与AB交于点G，连结AD，若四边形ADEC为平行四边形，求SKIPIF1<0的值；②若AB＝10，DE＝8，连结BD、BE，当以点B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，求BE的长．25．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，BD＝BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E．（1）若∠BAD＝70°，则∠BCA＝°；（2）若AB＝12，BC＝5，求DE的长：（3）求证：BE是⊙O的切线．

【参考答案】***一、选择题题号123456789101112答案ABCADACBCDBC二、填空题13．y＝x﹣414．615．016．34°17．x1=1，x2=SKIPIF1<0318．180°或360°或540°三、解答题19．（1）SKIPIF1<0；（2）-3.【解析】【分析】（1）先将括号内的部分通分，再将分子、分母因式分解，然后根据分式的乘除法运算法则进行解答；

（2）根据平方、二次根式的化简、0指数幂、特殊角的三角函数值进行解答．【详解】解：（1）SKIPIF1<0当x＝SKIPIF1<0时，原式＝SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0;【点睛】本题考查了分式的化简求值、实数的运算、0指数幂、特殊角的三角函数值，都是基础内容，要认真运算．20．6【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质、立方根的性质分别化简进而得出答案．【详解】原式＝SKIPIF1<0+2﹣SKIPIF1<0+4＝6．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．21．﹣2≤x＜1，﹣1是不等式的解，SKIPIF1<0不是不等式组的解．【解析】【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．【详解】解：SKIPIF1<0，解①得x＜1，解②得x≥﹣2．表示在数轴上如图：故不等式组的解集是﹣2≤x＜1．﹣1是不等式的解，SKIPIF1<0不是不等式组的解．【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．22．一场“民族音乐”节目演出的价格为4400元．【解析】【分析】设一场“民族音乐”节目演出的价格为x元，根据等量关系：用20000元购买“戏曲进校园”的场数是用8800元购买“民族音乐节目演出场数的2倍列出分式方程求解即可.【详解】设一场“民族音乐”节目演出的价格为x元，则一场“戏曲进校园”的价格为（x+600）元．由题意得：SKIPIF1<0解得：x＝4400经检验x＝4400是原分式方程的解．答：一场“民族音乐”节目演出的价格为4400元．【点睛】本题运用了分式方程解应用题，找准等量关系列出方程是解决问题的关键.23．（1）y＝﹣x2+2x+3；(2)点P坐标为（﹣5，0）或（3﹣4SKIPIF1<0，0）或（3+4SKIPIF1<0，0）或（﹣1，0）【解析】【分析】（1）把点（1，0）代入y＝﹣x2+bx+3，解得b＝﹣2，所以抛物线C1：y＝﹣x2﹣2x+3，由抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称．所以抛物线C2的函数表达式y＝﹣（x﹣1）2+4；（2）令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，所以B（3，0），OB＝3，A（﹣1，4），AB＝4SKIPIF1<0，①当AP＝AB＝4SKIPIF1<0时，PB＝8，P1（﹣5，0）②当BP＝AB＝4SKIPIF1<0时，P2（3﹣4SKIPIF1<0，0），P3（3+4SKIPIF1<0，0）③当AP＝BP时，点P在AB垂直平分线上，PA＝PB＝4，P4（﹣1，0）．【详解】解：（1）把点（1，0）代入y＝﹣x2+bx+3，﹣1+b+3＝0，解得b＝﹣2∴抛物线C1：y＝﹣x2﹣2x+3，∴抛物线C1顶点坐标A（﹣1，4），与y轴交点（0，3），∵抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称．∴抛物线C2的函数表达式y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；（2）令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，∴B（3，0），OB＝3，∵A（﹣1，4），∴AB＝4SKIPIF1<0，①当AP＝AB＝4SKIPIF1<0时，PB＝8，∴P1（﹣5，0）②当BP＝AB＝4SKIPIF1<0时，P2（3﹣4SKIPIF1<0，0），P3（3+4SKIPIF1<0，0）③当AP＝BP时，点P在AB垂直平分线上，∴PA＝PB＝4，∴P4（﹣1，0）综上，点P坐标为（﹣5，0）或（3﹣4SKIPIF1<0，0）或（3+4SKIPIF1<0，0）或（﹣1，0）时，△PAB为等腰三角形．【点睛】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．24．（1）见解析；（2）①SKIPIF1<0；②BE的长为﹣2SKIPIF1<0+SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE，证出∠ACD＝∠BCE，由SAS得出△ACD≌△BCE即可；（2）①连接CG，由平行四边形的性质得出∠ADE+∠CED＝180°，证出∠ADC＝∠ADE﹣∠CDE＝90°，A、D、G、C四点共圆，由圆周角定理得出∠AGC＝∠ADC＝90°，由直角三角形的性质得出CG＝SKIPIF1<0AC，AG＝SKIPIF1<0CG，CG＝SKIPIF1<0BG，即可得出结果；②分三种情况：当∠BED＝90°时，证明△ACD∽△BCE，得出SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，得出AD＝SKIPIF1<0BE，证出A、D、E共线，在Rt△ABE中，由勾股定理得出方程，解方程即可；当∠DBE＝90°时，作CF⊥AB于F，由勾股定理得出DF＝SKIPIF1<0，得出AD＝SKIPIF1<0，即可得出BE的长；当∠BDE＝90°时，作BG⊥CD于G，设DG＝x，则CG＝4SKIPIF1<0﹣x，BG＝SKIPIF1<0x，在Rt△BCG中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】（1）证明：∵△ABC和△CDE是两个等腰直角三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，SKIPIF1<0，∴△ACD≌△BCE（SAS）；（2）解：①连接CG，如图2所示：∵四边形ADEC为平行四边形，∴AD∥CE，∴∠ADE+∠CED＝180°，∵∠CED＝90°﹣∠CDE＝90°﹣30°＝60°，∴∠ADE＝120°，∴∠ADC＝∠ADE﹣∠CDE＝90°，∵∠CAB＝∠CDE＝30°，∴A、D、G、C四点共圆，∴∠AGC＝∠ADC＝90°，∵∠CAB＝30°，∴CG＝SKIPIF1<0AC，AG＝SKIPIF1<0CG，∠BCG＝30°，∴CG＝SKIPIF1<0BG，即BG＝SKIPIF1<0CG，∴SKIPIF1<0＝3；②分三种情况：当∠BED＝90°时，如图3所示：∵△ABC和△CDE是两个含30°的直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝30°，∴∠ACD＝∠BCE，SKIPIF1<0，∴△ACD∽△BCE，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∴AD＝SKIPIF1<0BE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°+∠CED＝90°+60°＝150°，∵∠CDE＝30°，∴∠CDE+∠ADC＝180°，∴A、D、E共线，在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2，即（SKIPIF1<0BE+8）2+BE2＝102，解得：BE＝﹣2SKIPIF1<0±SKIPIF1<0（负值舍去），∴BE＝﹣2SKIPIF1<0+SKIPIF1<0；当∠DBE＝90°时，如图4所示：作CF⊥AB于F，则∠BCF＝30°，∴BF＝SKIPIF1<0BC，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝30°，∴BC＝SKIPIF1<0AB＝5，CESKIPIF1<0DE＝4，∴CD＝SKIPIF1<0CE＝4SKIPIF1<0，∴BF＝SKIPIF1<0BC＝SKIPIF1<0，∴CF＝SKIPIF1<0BF＝SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴DF＝SKIPIF1<0，∵AB＝AD+DF+BF，∴AD＝10﹣SKIPIF1<0，∴BE＝SKIPIF1<0；当∠BDE＝90°时，如图5所示：作BG⊥CD于G，则∠BDG＝∠BDE﹣∠CDE＝60°，∴∠DBG＝30°，∴BD＝2DG，BG＝SKIPIF1<0DG，设DG＝x，则CG＝4SKIPIF1<0﹣x，BG＝SKIPIF1<0x，在Rt△BCG中，由勾股定理得：CG2+BG2＝BC2，即（4SKIPIF1<0﹣x）2+（SKIPIF1<0x）2＝52，整理得：4xSKIPIF1<0x+23＝0，∵△＝（﹣8SKIPIF1<0）2﹣4×4×23＜0，∴此方程无解；综上所述，当以点B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，BE的长为﹣2SKIPIF1<0+SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，解题关键在于作辅助线25．（1）70；（2）SKIPIF1<0；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质、圆周角定理解答；（2）根据勾股定理求出AC，证明△DEB∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算，得到答案；（3）连接OB，根据圆内接四边形的性质、圆周角定理、平行线的性质得到OB∥DE，根据平行线的性质得到BE⊥OB，根据切线的判定定理证明结论．【详解】（1）∵BD＝BA，∴∠BDA＝∠BAD＝70°，由圆周角定理得，∠BCA＝∠BDA＝70°，故答案为：70；（2）在Rt△ABC中，AC＝SKIPIF1<0＝13，∠BDE＝∠BAC，∠BED＝∠CBA＝90°，∴△DEB∽△ABC，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得，DE＝SKIPIF1<0；（3）连接OB，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠BCE+∠BCD＝180°，∴∠BCE＝∠BAD，∵BD＝BA，∴∠BDA＝∠BAD，∵∠BDA＝∠ACB，∴∠ACB＝∠BAD，∴∠OBC＝∠BCE，∴OB∥DE，∵BE⊥DC，∴BE⊥OB，∴BE是⊙O的切线．【点睛】本题考查的是圆周角定理、相似三角形的判定和性质、切线的判定，掌握切线的判定定理、圆周角定理是解题的关键．

2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2＋（b－1）x＋c的图象可能是（）A. B. C. D.2．若数a使关于x的不等式组至少有3个整数解，且使关于y的分式方程＝2有非负整数解，则满足条件的所有整数a的和是()A.14 B.15 C.23 D.243．在一个不透明的口袋里装有2个红球，1个黄球和1个白球，它们除颜色不同外其余都相同．从口袋中随机摸出2个球，则摸到的两个球是一白一黄的概率是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．如图，点A、B、C在圆O的圆周上，连OA、OC，OD⊥AB于点D，若AO平分∠CAB，∠CAB＝50°，则∠OCB＝()A.40° B.35° C.30° D.25°5．如图，半径为3的⊙O经过等边△ABO的顶点A、B，点P为半径OB上的动点，连接AP，过点P作PC⊥AP交⊙O于点C，当∠ACP=30°时，AP的长为（）A．3 B．3或SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．3或SKIPIF1<06．2018年，淮南市经济运行总体保持平稳增长，全年GDP约为1130亿元，GDP在全省排名第十三.将1130亿用科学记数法表示为（）A．11.3×1010 B．1.13×1010 C．1.13×1011 D．1.13×10127．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是SKIPIF1<0边上的三等分点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0边上的中线，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分SKIPIF1<0为三段的长分别是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若这三段有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．已知二次函数SKIPIF1<0的图像如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论中：①abc>0，②2a+b=0，③SKIPIF1<0<0，④4a+2b+c>0,其中正确的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．②④9．下列各式变形中，正确的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．如图，DE∥MN，Rt△ABC的直角顶点C在DE上，顶点B在MN上，且BC平分∠ABM，若∠A＝58°，则∠BCE的度数为（）A．29° B．32° C．58° D．64°11．如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C,分别以点A、C为圆心，以BC、AB的长为半径画弧，两弧交于点D,分别连接AD、CD,得到的四边形ABCD是平行四边形.根据上述作法，能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（）A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形C．两组对角分别相等的四边形是平行四边形D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形12．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十.问甲乙持钱各几何？”其大意是：今有甲、乙两人各带了若干钱.如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱；如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有.问甲、乙两人各带了多少钱？设甲带钱为，乙带钱为，根据题意，可列方程组为（）A. B. C. D.二、填空题13．化简﹣（﹣SKIPIF1<0）的结果是_____．14．使式子SKIPIF1<0有意义的SKIPIF1<0的值是_____.15．若代数式SKIPIF1<0的值为SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的值为__________.16．如图，在四边形ABCD中，E为AB的中点，DE⊥AB于点E，∠A＝66°，∠ABC＝90°，BC＝AD，∠C的度数________．17．二次函数y＝SKIPIF1<0（x-2）2+3的顶点坐标是_____．18．如图，在△ABC中，∠CAB＝75°，在同一平面内将△ABC绕点A旋转到△AB'C'位置，使得CC′∥AB，则∠BAB'＝_____．三、解答题19．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点G在弧BD上，连接AG，交CD于点K，过点G的直线交CD的延长线于点E，交AB的延长线于点F，且EG＝EK．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为13，CH＝12，SKIPIF1<0，求FG的长．20．结合湖州创建文明城市要求，某小区业主委员会觉定把一块长80m，宽60m的矩形空地建成花园小广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区(四块绿化区为全等的直角三角形)，空白区域为活动区，且四周出口宽度一样，其宽度不小于36m，不大于44m，预计活动区造价60元/m2，绿化区造价50元/m2，设绿化区域较长直角边为xm.(1)用含x的代数式表示出口的宽度.(2)求工程造价y与x的函数表达式，并直接写出x的取值范围.(3)如果业主委员会投资28.4万元，能否完成全部工程？若能，请写出x为整数的方案有多少种；若不能，请说明理由.(4)业主委员会决定在(3)设计的方案中，按最省钱的一种方案，先对四个绿化区域进行绿化，在完成了工作量的SKIPIF1<0后，施工方进行了技术改进，每天的绿化面积是原计划的两倍，结果提前4天完成四个区域的绿化任务.问：原计划每天绿化多少平方米？21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BA＝BC，BD平分∠ABC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于点E，若BC＝5，BD＝8，求四边形ABED的周长．22．如图，将正方形ABCD折叠，使点C与点D重合于正方形内点P处，折痕分别为AF、BE，如果正方形ABCD的边长是2，那么△EPF的面积是_____．23．解不等式组SKIPIF1<024．在△ABC中，∠ABC＝90°（1）如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为点M，N，求证：△ABM∽△BCN；（2）如图2，P是BC边上一点，∠BAP＝∠C，tan∠PAC＝SKIPIF1<0，BP＝2cm，求CP的长．25．如图，在平面直角坐标系中，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴正半轴上，SKIPIF1<0轴，点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的横坐标都是3，且SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，若反比例函数SKIPIF1<0的图象经过点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的值及点SKIPIF1<0的坐标；（2）将SKIPIF1<0沿着SKIPIF1<0折叠，设顶点SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0的坐标是SKIPIF1<0，求代数式SKIPIF1<0的值．

【参考答案】***一、选择题题号123456789101112答案AADABCDDABDA二、填空题13．SKIPIF1<014．SKIPIF1<0且SKIPIF1<015．SKIPIF1<016．78°17．（2，3）18．30°三、解答题19．（1）详见解析；（2）2SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）连接OG，首先证明∠EGK=∠EKG，再证明∠HAK+∠KGE=90°，进而得到∠OGA+∠KGE=90°即GO⊥EF，进而证明EF是⊙O的切线；（2）连接CO，解直角三角形即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OG，∵弦CD⊥AB于点H，∴∠AHK＝90°，∴∠HKA+∠KAH＝90°，∵EG＝EK，∴∠EGK＝∠EKG，∵∠HKA＝∠GKE，∴∠HAK+∠KGE＝90°，∵AO＝GO，∴∠OAG＝∠OGA，∴∠OGA+∠KGE＝90°，∴GO⊥EF，∴EF是⊙O的切线；（2）连接CO，在Rt△OHC中，∵CO＝13，CH＝12，∴HO＝5，∴AH＝8，∵SKIPIF1<0，∴OF＝15，∴SKIPIF1<0．【点睛】此题主要考查了切线的判定，解直角三角形，关键是掌握切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．20．(1)80-2x；(2)y=-20x2+200x+288000，（18≤x≤22）；(3)能，有3种；(4)SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）根据图形可得结论；（2）根据面积×造价可得绿化区和活动区的费用，相加可得y与x的关系式，根据所有长度都是非负数列不等式组可得x的取值范围；（3）业主委员会投资28.4万元，列不等式，结合二次函数的增减性可得结论；（4）先计算设计的方案中，最省钱的一种方案为x=20时，计算绿化面积，根据题意列分式方程可得结论，注意方程要检验．【详解】(1)由题意得BC=EF=80-2x(2)AB=CD=x-10SKIPIF1<0=-20x2+200x+288000，（18≤x≤22）(3)令y=-20x2+200x+288000≤284000∵18≤x≤22∴20≤x≤22∵x为整数∴能否完成全部工程，x为整数的方案有3种(4)设原计划每天绿化a平方米∵y=-20x2+200x+288000∴对称轴x=50∴x=20时最省钱SKIPIF1<0，解得a=SKIPIF1<0∴原计划每天绿化SKIPIF1<0平方米【点睛】本题是有关几何图形的应用问题，考查了一元一次不等式、分式方程、二次函数的应用，此题关键是求得短边的长度，再利用矩形的面积求得各部分面积，进一步列不等式（组）解决问题．21．（1）详见解析；（2）26.【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ADB＝∠CBD，根据角平分线定义得到∠ABD＝∠CBD，等量代换得到∠ADB＝∠ABD，根据等腰三角形的判定定理得到AD＝AB，根据菱形的判定即可得到结论；（2）由垂直的定义得到∠BDE＝90°，等量代换得到∠CDE＝∠E，根据等腰三角形的判定得到CD＝CE＝BC，根据勾股定理得到DE＝SKIPIF1<0＝6，于是得到结论．【详解】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD，∴AD＝AB，∵BA＝BC，∴AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵BA＝BC，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵DE⊥BD，∴∠BDE＝90°，∴∠DBC+∠E＝∠BDC+∠CDE＝90°，∵CB＝CD，∴∠DBC＝∠BDC，∴∠CDE＝∠E，∴CD＝CE＝BC，∴BE＝2BC＝10，∵BD＝8，∴DE＝SKIPIF1<0＝6，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝BC＝5，∴四边形ABED的周长＝AD+AB+BE+DE＝26．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线定义，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．22．SKIPIF1<0【解析】【分析】过P作PH⊥DC于H，交AB于G，由正方形的性质得到AD＝AB＝BC＝DC＝2；∠D＝∠C＝90°；再根据折叠的性质有PA＝PB＝2，∠FPA＝∠EPB＝90°，可判断△PAB为等边三角形，利用等边三角形的性质得到∠APB＝60°，SKIPIF1<0，于是∠EPF＝120°，PH＝HG﹣PG＝2﹣SKIPIF1<0，得∠HEP＝30°，然后根据含30°的直角三角形三边可求出HE，得到EF，最后利用三角形的面积公式计