奇偶性的应用

关于奇偶性的应用21．函数奇偶性的概念(1)偶函数的定义如果对于函数f(x)的定义域内的

一个x，都有

，那么称函数y＝f(x)是偶函数．(2)奇函数的定义如果对于函数f(x)的定义域内的

一个x，都有____________，那么称函数y＝f(x)是奇函数．任意f(－x)＝f(x)任意f(－x)＝－f(x)一.复习旧知：第2页,共16页，2024年2月25日，星期天32．奇、偶函数的图象(1)偶函数的图象关于

对称．(2)奇函数的图象关于

对称．3．函数奇偶性与单调性(最值)之间的关系(1)若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是

，且有

.(2)若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则f(x)在(0，＋∞)上是．y轴原点最小值－M增函数增函数第3页,共16页，2024年2月25日，星期天41．奇函数的图象一定过原点吗？【提示】不一定．若0在定义域内，则图象一定过原点，否则不过原点．2．由奇(偶)函数图象的对称性，在作函数图象时你能想到什么简便方法？【提示】若函数具有奇偶性，作函数图象时可以先画出x>0部分，再根据奇偶函数图象的对称性画出另一部分图象．二.思考：第4页,共16页，2024年2月25日，星期天5例3.若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x·(1－x)，求函数f(x)的解析式．【思路点拨】由题目可获取以下主要信息：①函数f(x)是R上的奇函数；②x>0时f(x)的解析式已知．解答本题可将x<0的解析式转化到x>0上求解．第5页,共16页，2024年2月25日，星期天6第6页,共16页，2024年2月25日，星期天7此类问题的一般做法是：①“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内．②要利用已知区间的解析式进行代入．③利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．思考.若将题设中的“f(x)是奇函数”改为“f(x)是偶函数，且f(0)＝0”，其他条件不变，则函数f(x)的解析式是什么？第7页,共16页，2024年2月25日，星期天8第8页,共16页，2024年2月25日，星期天9例4.已知奇函数f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－1)＋f(1－2x)<0，求实数x的取值范围．【思路点拨】

f(x－1)＋f(1－2x)<0―→f(x－1)<f(2x－1)―→根据单调性列不等式组―→解得实数x的取值范围第9页,共16页，2024年2月25日，星期天10第10页,共16页，2024年2月25日，星期天11解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再根据奇函数在对称区间上单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响．例5.若偶函数f(x)的定义域为[－1,1]，且在[0,1]上单调递减，若f(1－m)<f(m)成立，求m的取值范围．第11页,共16页，2024年2月25日，星期天12第12页,共16页，2024年2月25日，星期天13四.课堂小结：1.例1例2题型根据奇偶函数的图象性质，知道一个区间的图象可以画出另外一个区间的图象解答2.求关于奇偶函数的解析式一般做法：①“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内．②要利用已知区间的解析式进行代入．③利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．3.奇偶性与单调性结合的题目：充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再根据奇函数在对称区间上单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响．第13页,共16页，2024年2月25日，星期天14练习1：已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－3，求函数f(x)的解析式．五.课堂练习：第14页,共