2023-2024学年广西钦州市灵山县天山中学高一（上）入学数学试卷（含解析）

2023-2024学年广西钦州市灵山县天山中学高一（上）入学数学

试卷

一、单选题（本大题共6小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.若％—y=-1,则/—y3+3%y=（）

A.-2B.-1C.1D.2

2.已知。是△4BC的边AB上的一点，过点。作DE〃BC交4c于E,若4D：DB=2：3,则SUOE：

S四边^BCED=（）

A.2：3B.4：9C.4：5D.4：21

3.若，~^-上=2,则/+妥=（）

A.4B.6C.34D.36

4.我们知道，在RtaABC中，Z.C=90°,sinA=cosA=tanA=77,由此发现：

1

即=吗.根据此结论解题：若为锐角，且cos2a--

t4a2-8

2smacosa+sina

A.-4B.2C.8D.16

5.有一块橡皮泥的体积为2,起初做成一个长，宽，高依次为a,b,1的长方体,现要将它的

长增加1,宽增加2,做成一个新的长方体，体积保持不变，则新长方体高的最大值为（）

1111

Bc

---

A.84D.2

16

6.在△ABC中，AB=AC=13,BC=10,且G为重心，。为内心，贝心。=（）

A；23B.7c.1D.2

34

二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。在每小题有多项符合题目要求）

7.下列命题正确的有（）

A.若a>b>0,则！>-B.若Q>b,则ac?>be2

ba

QQ3

C.若>b,c>df贝!Jac>bdD.若>b,则a，>ft

8.将下列多项式因式分解，结果中含因式（％+1）的有（）

A.x2+12%4-11B.x3—%24-%—1

C.x3+2x2+5%+4D.（%2—3x）2_2（%2—3%）—8

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

9.不等式|2%—1|的解为.

10.把二次函数y=/+必+©的图象向下平移1个单位，再向左平移3个单位，得到函数丫=

一的图像，则b+c=.

11.黎锦有着悠久的历史，已被列入世界非物质文化遗产名录,如图是黎锦上的图案，每个图

案都是由相同菱形构成的，若按照第1个图至第4个图中的规律编织图案，则第8个图中有

个菱形.

第1个图第2个图第3个图第4个图

12.如图，在Rt△力BC中，AACB=90°,CB=4,CA=6,0C的

半径为2,P为圆上一动点，连接AP,BP,则AP+^BP的最小值为

四、解答题（本大题共4小题，共40.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

13.（本小题小.0分）

11

己知关于x的方程式+（21一3）久+--3=0有两个实数根%1，x2,且与+久2=元+石，求

k的值.

14.（本小题10.0分）

已知a>0,b>0,a+2b=1.

（1）求5+£的最小值；

（2）求a?+6ab+4炉的最大值.

15.（本小题10.0分）

解关于％的不等式a/-（a+2）x+2>0.

16.（本小题10.0分）

《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，在《几何原本》第六卷给出了

内角平分线定理，其内容为：在一个三角形中，三角形一个内角的角平分线内分对边所成的

两条线段，与这个角的两邻边对应成比例.例如，在△4BC中（图1）,4D为MAC的平分线，则

有AB：AC=BD：DC.

(1)试证明角平分线定理；

(2)如图2,已知△ABC的重心为G,内心为/,若G,/的连线G/〃BC.求证：AB+AC=2BC.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：丫％-丫=-1,

•••x3—y3+3xy=(x—y)(x2+xy+y2)+3xy=-x2—xy-y2+3xy=—x2—y2+2xy=

—(%—y)2——(—I)2=—1.

故选：B.

直接利用立方差公式展开化简，再整体代入即可.

本题考查了多项式的化简，立方差公式，是基础题.

2.【答案】D

【解析】解：作DE〃BC交4C于E,若AD：DB=2：3,

可得△AOEsA/lBC,

目SAADE：S4ABe=AD2：AB2—4：25,

即有SAADE：S四边形BCED=4：21.

故选：D.

由题意可得△ACE-△力BC,可得面积比为相似比的平方，即可得到所求面积的比.

本题考查三角形的相似和性质，考查面积比喻边长的比的关系，考查运算能力，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：由题意(C—专)2=4,

即％—2+-=4,

x

1

%+-=6,

x

而％2+?=(%+―)2—2=36—2=34.

故选：C,

直接利用完全平方公式，整体代入即可.

本题考查了指数幕的运算，完全平方公式，是基础题.

4.【答案】B

【解析】解：一cos2a="左边算式同时除以cos2a可得，

2sinacosa+sinay

则T；------2-=o，BP(tana+4)(tana-2)=0,

2tana+tan"a8'，'"

a为锐角，

则tana>0,

则tana=2.

故选:B.

左边算式同时除以cos?。，再结合a的范围，即可求解.

本题主要考查三角函数的同角公式，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：依题意ab=2,设新长方体高为九，

则(a+l)(b+2)/i=2,

健福h=----2----=-----2----=----2--V,-2---,=_2=—1,

g1J(a+l)(b+2)ab+2a+b+24+2a+b-4+2>T2ab84’

当且仅当2a=b,即Q=1,b=2时取等号，

・•.九的最大值为;.

4

故选：C.

由体积公式得ab=2,长宽高变化后，根据条件得到(a+l)(b+2)/i=2,得到九=：

I(XIX)I"I乙J

再利用基本不等式能求出结果.

本题考查长方体的结构特征、体积公式、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

6.【答案】A

【解析】解：如图，在ZiABC中，AB=AC=13,BC=10,

取BC中点0,连接4。，

则8D=DC=5,AD1BC,

AD=VAC2-CD2=7132-52=12,

•••S4ABe=2xBCxAD=60,

vG为△ABC的重心，

GD=；AD=4,

v0为△ABC的内心，

二。到AABC的三边距离相等，设为d,

11

:.S〉ABC=/Q4B+AC+BC)xd=擀x(13+13+10)xd=60,

・・.d=孚即OD=y,

in2

GO=GD-OD=4-y=|.

故选：A.

由题意，△ABC中为等腰三角形，可得重心和内心在高线AD上，再由三角形的重心与外心的性质

可求解.

本题考查等腰三角形的性质，属于中档题，熟练掌握三角形的重心与外心的性质是解答本题的关

键.

7.【答案】AD

11

定有

一-<-

【解析】解：根据不等式的性质可知，若a>b>0时,ah

B.取c=0,则四2>比2不成立，故8错误；

C.根据a>b,c>d,取a=1,b=-1,c=2,d=-2,

则ac>bd不成立，故C错误；

。若a>b,则由幕函数y=/在R上单调递增可知，。3>人3成立，故。正确.

故选：AD.

根据各选项的条件取特殊值或利用不等式的基本性质，即可判断.

本题考查了不等式的基本性质，属基础题.

8.【答案】ACD

【解析】解：对于选项4,因为炉+12x+11=(x+l)(x+11),正确；

对于选项B,因为+X—1=/(X—])+久—1=(》—])。2+1),不正确；

对于选项C,因为炉+2x2+5x+4=x3+2%2+x+4尤+4=x(x+I)2+4(%+1)=(x+

l)(x2+x+4),正确；

对于选项D,因为(—-3x)2—2(%2—3x)—8=(%2—3x—4)(%2—3x+2)=(%+l)(x-

4)(x-2)(%-1),正确.

故选：ACD.

利用十字相乘法、配凑法等，逐一对各个选项分析判断即可求出结果.

本题考查因式分解，属于基础题.

9.【答案】｛x|x<，或%>1)

【解析】解：由—得到2%—1>%或2%—1V—%,

即%>1.或％<所以|2%-1|>%解集为<孑或%>1],

故答案为：｛x|x<：或X>1｝.

利用绝对值不等式的解法即可求出结果.

本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题.

10.【答案】4

【解析】解：先将二次函数y=/的图象向右平移3个单位，得到函数y=(x-3)2的图象，

再将所得图象向上平移1个单位，可得到函数y=(x-3y+1=/_6%+10的图象，

所以b=—6,c=10,则b+c=4.

故答案为：4.

利用函数的平移变换，逆向推得原二次函数的解析式，从而得解.

本题主要考查了二次函数图象的平移，属于基础题.

11.【答案】113

【解析】解：设第n(n6N)个图中有％个菱形，

则4—1,a2=5,a3—13>a4=25,

归纳得a；,=2n2-2n+1,

则a8=113,即第8个图中有113个菱形.

故答案为：113.

设第MneN)个图中有与个菱形，根据题干，可写出数列｛aj的前四项，进而归纳出数列｛即｝的

通项，由此得解.

本题考查归纳推理，属于基础题.

12.【答案】<37

【解析】解：如图，连接CP,在CB上取点。，使CO=1,则有保=若=£

又4PCD=ABCP,:.4PCD〜&BCP,

pn111

：,？=".・.PD=3BP,：.AP+3BP=AP+PD.

DrLLL

-1一

要使AP+加P最小，只要4P+P。最小，

当点力，P,。在同一条直线时，AP+PD最小，即4P+^BP最小值为4。，

在RM4CD中，CD=1,AC=6,

AD=VAC2+CD2=V_37>

所以AP+；8P的最小值为V■节.

故答案为：<37.

利用三角形相似，将问题转化为求4P+P。的最小值AD,从而得解.

本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属中档题.

2

13.【答案】解：关于%的方程/+(2k-3)x+k-3=0有两个实数根与，x2>

则与+x2=—(2k—3),%1%2=1-3,

•••/一3=1或-(2k-3)=0,解得k=±2或|,

当k=2时，/<0,不符合题意，

故k=-2或|.

【解析】根据已知条件，结合韦达定理，以及二次函数的判别式法，即可求解.

本题主要考查韦达定理的应用，是基础题.

14.【答案】解：(1)因为a+2b=1,

所以2+：=2+””=2+£+224,当且仅当a=b=:时取等号，

ababab3

所以:的最小值为4.

ab

(2)因为Q+2b=1,

所以M+6ab+4b2=(a+2b)2+2ab=14-2ab<1+(土产产=当且仅当a=2b,即b=

a=：时取等号，

所以M+6ab+4b2的最大值为"

4

【解析】(1)根据条件得到5+*=2+!+会再利用均值不值式即可求出结果；

(2)根据条件得到a?+6ab+4b2=1+2ab,再利用均值不值式即可求出结果.

本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题.

15.【答案】解：将原不等式化为(ax-2)(x-l)>0,

(1)当a=0时，有x<1：

(2)当a>0时，有-—1)>0,・・・(》-；)。-1)>0,

d2a-2

Vl-a=—

当a>2时2<1,.,・X<2或%>1；当a=2时，-=1,/.%G/?,且工。1；

aaa

当0<aV2时，有白>1,・•・％V1或X>?;

aa

(3)当a<0时，(x-|)(x-1)<0,.-.^<x<l.

综上，a=0时，不等式的解集为｛x|x<1｝；0<a<2时，不等式的解集为｛x|x<1或x>勺；当

Q=2时，不等式的解集为｛%|xCR,且x。1｝；

当Q>2时，不等式的解集为｛%[%<1或%>1｝；当a<0时，不等式的解集为｛%|[<