函数的奇偶性和周期性

关于函数的奇偶性和周期性第2页,共34页，2024年2月25日，星期天第二单元函数、导数及其应用理科第3页,共34页，2024年2月25日，星期天第七讲函数的奇偶性性和周期性第4页,共34页，2024年2月25日，星期天考纲解读1.了解奇函数、偶函数的定义，会判断一些简单函数的奇偶性，并能够用函数的奇偶性解决一些函数问题.2.了解周期函数的定义，并能够用函数的周期性解决一些函数问题.

第5页,共34页，2024年2月25日，星期天主干知识整合知识回顾（1）函数的奇偶性概念：1、定义：对于定义域内的

，总有

成立，则f(x)是偶函数；总有

成立，则f(x)是奇函数。

任意x

f(-x)=f(x)

f(-x)=-f(x)理解：①任意x；

②定义域是否关于原点对称；

③恒有

④当函数是偶函数是恒有：成立

⑤f(x)=0既是奇函数又是偶函数。第6页,共34页，2024年2月25日，星期天（2）利用定义判断函数的奇偶性的步骤为：1、首先确定函数的

，并判断其定义域是否关于

对称；定义域

原点

2、确定

和f(x)的关系；f(-x)3、作出相应的结论。（3）函数的奇偶性的作用：

1、作图：f(x)为偶函数f(x)的图像关于y轴对称；f(x)为奇函数f(x)的图像关于原点成中心对称。2、函数的奇偶性的判定方法：①定义法；②图像法；③性质法。第7页,共34页，2024年2月25日，星期天（4）．函数的奇偶性的性质和常用结论：

奇函数与奇函数奇函数与偶函数偶函数与偶函数和差积商注意：以上结论是在两函数的公共定义域内才成立；并且只能在选择题、填空题中直接应用，解答题须先证明再利用．奇函数奇函数偶函数偶函数奇函数奇函数偶函数偶函数偶函数偶函数第8页,共34页，2024年2月25日，星期天

2、奇函数在对称的两个区间上有

的单调性；偶函数在对称的两个区间上有

的单调性。相同

相反3、奇函数f(x)在x=0处有定义，则一定有f(0)=

;偶函数满足等式

.0

4、函数的定义域关于原点对称是：

函数具有奇偶性的必要不充分条件．第9页,共34页，2024年2月25日，星期天（5）一些重要类型的奇偶函数：

1、函数为

函数，

偶

函数为

函数，

奇2、函数为

函数，

奇3、函数为

函数，

奇第10页,共34页，2024年2月25日，星期天一般地，对于函数f(x)，如果

一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有

，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．存在f(x＋T)＝f(x)

2、求函数周期的基本方法：

①定义法；②图像法；

③转化为同一个函数的形式（如，）。(6)、周期性：1.定义：第11页,共34页，2024年2月25日，星期天课前训练：1、已知，若，则的值为（）

A、

B、

C、

D、答案：B.

解答：自变量互为相反数，必定考查函数的奇偶性。

f(x)是奇函数，所以f(-a)=-b.第12页,共34页，2024年2月25日，星期天2、已知是定义在上的偶函数,那么的值是()

A、

B、

C、

D、答案：C.解答：由f(x)是偶函数知b=0.因为f(x)的定义域为[a-1,2a]，

所以a-1+2a=0，则第13页,共34页，2024年2月25日，星期天3、已知圆O：及以下三个函数：①；②；③．其中图象能等分圆O面积的函数个数为（）

A．3B．2C．1D．0答案：B.

解答：图象能等分圆O面积的函数等价于这个函数是奇函数。

第14页,共34页，2024年2月25日，星期天若，则＝

。4、已知为常数，17

解答：法一：由f(-7)=-(a7+b7+c7+d7)+5=-7,可得：a7+b7+c7+d7=12.f(7)=(a7+b7+c7+d7)+5=12+5=17.753775533法二：令h(x)=f(x)-5=ax+bx+cx+dx,

显然h(x)是奇函数。

h(-7)=f(-7)-5=-12,则h(7)=12=f(7)-5,∴f(7)=17.753第15页,共34页，2024年2月25日，星期天5、设f(x)在R上有定义，下列函数①

②③④其中必为奇函数的有

。②④解答：令g(x)=-|f(x)|,则g(-x)=-|f(-x)|≠g(x),g(-x)≠-g(x),

所以g(x)既不是奇函数也不是偶函数。令h(x)=xf(x),则h(-x)=-xf[(-x)]=-xf(x)=-h(x),

所以h(x)是奇函数；同理可知：y=-f(-x)既不是奇函数也不是偶函数；

y=f(x)-f(-x)是奇函数.22第16页,共34页，2024年2月25日，星期天6、已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数．若方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x，x，x，x，则x＋x＋x＋x＝________.12341234解答：由已知f(x－4)＝f(－x)，则函数f(x)的图象关于x＝－2对称，由f(x)在[0,2]上是增函数，则f(x)在[－2,0]上递增，函数f(x)的图象如图所示：－8f(x)＝m在区间[－8,8]上四个不同实根x，x，x，x.x＋x＋x＋x＝－12＋4＝－8.12341234第17页,共34页，2024年2月25日，星期天7、设函数f(x)(x∈R)为奇函数，则（）A．0 B．1 C． D．5答案：C.解答：因为f(x)是奇函数，所以f(-1)=-f(1)。令x=-1得：f(2)=1,则：

f(5)=f(3)+1=f(1)+2=第18页,共34页，2024年2月25日，星期天典型例题例1、判断下列函数的奇偶性:第19页,共34页，2024年2月25日，星期天解答：①函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，其关于原点对称，并且有：

∴f(x)是奇函数。第20页,共34页，2024年2月25日，星期天第21页,共34页，2024年2月25日，星期天例2、①若函数是奇函数，则a=

.。法一：利用f(-1)=-f(1),解得：法二：因为f(x)是奇函数，所以有：而

对照比较知：

解得：

思考：改分母呢？第22页,共34页，2024年2月25日，星期天

②已知函数的最大值为M，最小值是m，则M+m的值为

。2

解答：令h(x)=f(x)-1=，显然h(x)是奇函数。

设f(a)=M=h(a)+1，则f(-a)=m=h(-a)+1∴h(a)+h(-a)=0=M+m-2，∴M+m=2第23页,共34页，2024年2月25日，星期天③设x,y∈R,且满足：则x+y=()A．1 B．2 C．3 D．4答案：D.第24页,共34页，2024年2月25日，星期天④已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足当时，，则函数f(x)在区间[0,6]上的零点个数是（）A．3B．5C．7D．9D第25页,共34页，2024年2月25日，星期天例3、已知函数f(x)满足，且f(x)为偶函数，当x∈[3,4]时，,试求当x∈[-1,1]时，f(x)的解析式。解答：由可得：所以函数f(x)是周期为2的周期函数。设-1≤x≤0,则3≤x+4≤4,∴f(x+4)=log(x+4)3∵f(x)是周期为2的周期函数，∴f(x+4)=f(x)=log(x+4).3第26页,共34页，2024年2月25日，星期天再令0≤x≤1,则-1≤-x≤0，又∵函数f(x)为偶函数，∴f(-x)=f(x)=log(4-x).3综上所述：∴f(-x)=log(4-x).3第27页,共34页，2024年2月25日，星期天例4、已知定义域为R的偶函数f(x)在（-∞，0]是减函数，且，求不等式的解集。解答：因为f(x)是偶函数，所以f(logx)=f(|logx|).44由偶函数f(x)在(-∞，0]上是减函数知：f(x)在[0，+∞)上是增函数。

∴

解得：

故原不等式的解集为第28页,共34页，2024年2月25日，星期天例5、定义在实数集上的函数f(x),对于任意x,y∈R且⑴求证：f(0)=1；(2)求证：f(x)是偶函数；⑶若存在常数c,使得：①求证：对任意x∈R，有f(x=c)=-f(x)成立；②试问函数f(x)是不是周期函数？如果是，找出它的一个周期；如果不是，请说明理由。第29页,共34页，2024年2月25日，星期天解答：（1）令x=y=0，则得：2f(0)=2f(0).2因为f(0)≠0,所以f(0)=1(2)令x=0,得f(y)+f(-y)=2f(0)f(y).由（1）知f(0)=1，∴f(-y)=f(y)（3）①∵∴即f(x+c)=-f(x)②函数y=f(x)是周期为2c的周期函数。证明如下：f(x+2c)=f[(x+c)+c]=-f(x+c)=f(x)∴函数y=f(x)是周期为2c的周期函数。第30页,共34页，2024年2月25日，星期天例6、

①f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)=2,且f(x+1)=f(x+5)那么f(144)+f(3)=

.

-2解答：由f(x+1)=f(x+5)知函数f(x)是周期为4的周期函数