2023-2024学年北京市怀柔区高二年级上册期末检测数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年北京市怀柔区高二上册期末检测数学

模拟试题

一、单选题

1.若直线的倾斜角为60。，则直线的斜率为（）

A.百B._币C.也D.一比

33

【正确答案】A

【详解】因为直线的倾斜角为60。，所以直线的斜率A=tan60,=J5,故选A.

2.若直线2x+y-l=0与直线x-机y=0垂直，则5=（）

A.-2B.-一C.2D.v

22

【正确答案】C

【分析】利用两直线垂直，斜率相乘为-1,列出方程求解即可.

【详解】；直线2x+y-l=0与直线一叩=0垂直，

/.-2x—=-1（加工0）

m

;.m=2

故选：C

3.已知抛物线C:/=4y,则焦点坐标为（）

A.B.（仇总C.（1,0）D.（0,1）

【正确答案】D

【分析】根据抛物线的方程直接求出焦点即可.

【详解】由抛物线C：f=4y可得其焦点在V轴上，其焦点坐标为（0』）.

故选:D.

4.若点4（1,2,3）,点8（4,-1,0）,且启2宿,则点C的坐标为（）

A.（3,0,1）B.（2,1,2）

【正确答案】A

【分析】设C（x,y,z）,根据2c方列方程组即可求解.

【详解】设C（x,%z）,则/d'（xTy_2,z_3）,C）:（4_%T_y,_@,

x-1=2（4-x）x=3

因为4C=2C8，所以＜y-2=2（-1一日,解得，y=0.

z-3=2（-z）z=1

故点C的坐标为（3,0,1）.

故选:A.

5.若圆qd+r='与圆a：（x-2『+「=9相内切，贝V为（）

A.1B.2C.5D.1或5

【正确答案】D

【分析】根究两圆内切满足的圆心距和半径差的关系即可求解.

【详解】圆。1：/+/=『的圆心和半径为q（o,o）/,圆a：（x-2）2+y2=9的圆心和半径

为Q（2,0）,R=3,由两圆内切，所以DQ|=|R-Hn2=|3-Hnr=l或厂=5,

故选：D

6.将单位圆/+/=1上所有点的横坐标变为原来的3倍，再将纵坐标变为原来的2倍，得

到的曲线方程为（）

x2

A.9x2+4y2=1B.—+4?/=1

9.

D.9/+或=1

4

【正确答案】C

x'=3x

【分析】由题意可知：单位圆/+/=1经过伸缩变换,将其整理代入圆的方程即

y'=2y

可求解.

【详解】设得到曲线上任意一点（X'/'）,由题意可知：单位圆/+/=1经过伸缩变换

x=3x3,

,c,整理可得：，，又（x,y）在单位圆/+/=1上,

口=2了匕

I2

所以（!>+（4）2=1,整理变形可得：—+^=1,

3294

所以单位圆x2+j?=i上所有点的横坐标变为原来的3倍，再将纵坐标变为原来的2倍，得

到的曲线方程为《+.=1,

故选.C

7.已知双曲线C:x2-，=10>O）的离心率是2,则其渐近线的方程为（）

A.x±yf3y=0B.-fix土y=0

C.x±3y=0D.3x±y=0

【正确答案】B

【分析】根据双曲线的离心率求出b的值，进而可得答案.

【详解】由双曲线C:X，-"^7=10>0）口J得a=l,c=

b

cyjl+b2n

e=—=-----=2=>b=小

a1

所以双曲线的渐近线方程为y=士乎，

即gx士y=0.

故选：B

8.在长方体力BCD-44GA中，AB=^3,BC=C，=1，则直线与平面880。

内直线所成的角中最小角为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【正确答案】B

【分析】设/是平面88CC内任一直线，；是/的一个方向向量.

当///2C或/与2C重合时，40/即等于线线角，在Rt△明G中，求出即可；当/与BC

不平行且不重合时.设K二，BC^b,BBt'=c,贝IJ｛我：4可以作为空间向量的一个基底.

则=根据平面向量基本定理以及共线向量可得到/的一个方向向量

%=〃仍+c.设线线角为。，则cosO=|cos,.令f=

|逐J2"j+11d2m2+1

判别式法求出04f«!，即可得到04cos。4也，从而求出结果.

22

【详解】如图，连接力耳.

设/是平面内任一直线，；是/的一个方向向量.

①当///8C或/与BC重合时，N4G4即等于直线力G和/所成的角.

又8£1AS,,AG=6,AB,=^AB-+BB-=2,

AB/—

则在Rt△叫G中，tanN，C/=vU=&；

②当/与5C不平行且不重合时.

设8Z=a，BC=h,BB1=c,贝U｛。也cj可以作为空间向量的一个基底,

且,]=0，忖=也，,卜1,a,6,c两两垂直，

则北二8石庭；88；1二：，二，且附卜卡.

根据平面向量基本定理，可知回2,〃eR,n=2.BC+HB艮,显然〃#0,

.............."/Ff

则〃=28C+〃84与向量4=Z5C+5A共线，

所以〃i=,8C+8瓦也是/的一个方向向量.

,、•、，、，、,、

设加=7，则〃I=〃?8C+BB、=mb+c.

设直线/C1和/所成的角为。，则cos。=卜。s.

▼▼▼ZNVN/N✓>ZXZNZN个…

AC}•/?!=(-a+/?+c)-(inb+c)=mb+c=2n+1,JCj=V6,

»人入2AA।T[---------

=(mb+c)=m2b+c=2ni24-1,所以=,2加？+1,

2m+1

风2m2+1

令_27+l]=4/+4"i+l,整理可得(12/-4)田-4m+6f-l=0,

VV6-S/2/M2+1)12m2+6

该方程有解，即A=(7)2一4(12/-4)(&-1)=一144»T)>C,

W-WO<z<-,即0/「2,+1]<1,

2(2M+1)2

5

所以0WcosO<——.

2

因为必解90。cos。在［。彳90］上单调递减,

所以当cos6="时，。取最小值为45%.

2

又tanN8C/=应>1，即

综上所述，直线"G与平面88CC内直线所成的角中最小角为45".

故选：B.

AC

9.在平面内，A、8是两个不同的定点，C是动点，若言=2,则点C的轨迹为()

£>C

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

【正确答案】A

【分析】建系设出A、8、C的坐标，利用已知条件，转化求解C的轨迹方程，推出结果即

可.

【详解】在平面内，A,8是两个定点，C是动点，以“京方向为x正方向，线段48的中点

为原点，

建立平面直角坐标系，设|48|=2”，

则4(-。,0),8(4,0),设点C的坐标为(x,y),

所以4c=(x+a,y),BC=(x-a,y)

••y、

ACcg

因为y=2,即1=2,

BCBC

所以++,2=外工—4+外2,gp2x2+3y2—1Qax+3tz2=0,

化简得+/=11,

所以点。的轨迹为圆.

故选：A.

10.从7个人中选4人负责元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排2人，第二天和第三

天均安排1人，且人员不重复，则不同安排方式的种数可表示为()

A.C；A；B.C；A：C.D.C；A；

【正确答案】D

【分析】用分步计数原理.先选出2人安排在第一天，再选出2人安排在后两天，将结果乘

起来即可.

【详解】用分步计数原理.

第一步，从7个人中选2人的负责值班第一天，不同安排方式的种数C；；

第二步，剩余5人选取2人安排在第二天和第三天，不同安排方式的种数A；.

所以，不同安排方式的种数可表示为C；A；.

故选：D.

二、双空题

11.圆x2+/-2x=0的圆心为,半径为.

【正确答案】(1,0)1

【分析】先对圆的一般方程进行配方转化为标准方程，从而得到圆心的坐标与半径.

【详解】因为圆一+丁―2x=o可化为(x-iy+产=1，

所以所求圆心为(LO),半径为1.

故(1,0)；1.

12.设双曲线9-/=i的左右焦点分别是耳，巴，点P在双曲线上，则

忸周一|朋卜；若&FK为直角,则点P的纵坐标的是.

【正确答案】±1

【分析】根据双曲线的方程及定义可求出|1尸61Tp尸，设P(%,%)，再利用向量数量积为

零求解即可.

【详解】由《一r=1可知a=6,c=2,

3

故|lW|-|Pg||=2a=2V3,片(-2,0),6(2,0),

设P(x0,y0),则内=(x。+2/。),6P=(x0-2,%)，

因为/月尸名为直角，

所以港•6p=x()2-4+yo2=o，

因为1■•-疗=1,

所以3坊2+3_4+%2=4%2-1=0,

解得为=_g或

故2百；±-.

三、填空题

13.过点(T,2)且与直线/:x+y+l=0平行的直线方程为.

【正确答案】x+y-]=0

【分析】根据平行直线系设直线方程为X+V+C=0,(CH1)，代入(T，2)即可求解.

【详解】设与与直线/：x+y+l=0平行的直线方程为x+y+c=0,(c"),将点(T,2)代入得

c=-l,所以所求方程为x+y—1=0,

故x+y-1=0

14.在(2x-l)5的展开式中，x的系数为.

【正确答案】10

【分析】写出(2x-l)s展开式的通项为&|=(-1)'X25，C”5T,令5f=1,解出，•代入即

可得到结果.

【详解】(2x-l)s展开式的通项为A=C〉(2X)"'X(_1)'=(_1)'X2~C*5T,

r=0,1,2,3,4,5.

令5f=1,可得尸=4.

所以，%的系数为(T)4X25-4.C；=10.

故10.

15.数学中有许多美丽的曲线，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法

等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.如曲线C：x2+/=k|+3,(如图所示)，给

出下列三个结论

①曲线c关于直线y=x对称；

②曲线c上任意一点到原点的距离都小于VI；

③曲线C围成的图形的面积是2+兀.

其中，正确结论的序号是.

【正确答案】①③

【分析】根据点的对称性可判断①，由曲线方程知曲线关于原点，X,y轴对称，当X20,

了20时，^x2+y2-x-y=0,可得卜J,所以可得曲线为为圆

心，『=更为半径的半圆，由此可作出曲线C的图象，从而通过运算可判断命题②③的真

2

假.

【详解】设点/(xj)在曲线c上，则/+/=k|+3，/(xj)关于直线y=x对称的点

A\y,x),将H(y,x)代入曲线C中得V+X2=M+M，因此H(y,x)在曲线C上，故①正确,

曲线C:/+/0x|+|川可知曲线。关于原点，%,夕轴对称，

当x^O,yzo时，^x2+y2-x-y=0,可得(x-gjJ=g,所以可得曲线为

为圆心，厂=孝为半径的半圆，曲线上任意点到原点的距离的最大值为

|OC[+,.=*+孝=&,曲线C上任意一点到原点的距离都小于或等于0,故命题②错误；

根据对称性可知曲线C围成的图形的面积为4个半圆的面积加上边长为收的正方形的面

积，即收x7I+4xgx7tx[¥J=2+n,故命题③正确；

故①③

四、解答题

16.在平面直角坐标系中，已知圆M的圆心在直线y=-2x上，且与直线x+y-l=O相切于

点尸(2,-1).

(1)求圆M的方程；

(2)若定点为(3,0),点8在圆上，求|/却的最小值.

【正确答案】⑴(x-l)2+(y+2『=2

⑵蚯

【分析】(1)利用待定系数法设得圆M(x-a)2+(y-b)2=〃，再根据题意得到关于a1的

方程，进而求得『，由此得到圆M的方程；

(2)利用定点到圆上动点的最小距离的求法求解即可.

【详解】(1)设圆M为(x—4=户,则“(9),半径为"，

因为圆心〃(a,6)在直线y=-2x上，所以6=-2a,

因为直线x+y-l=O与圆〃相切于点尸(2,-1),所以直线x+y—l=O与直线垂直，

所以%“=1,即空=1,则人”=1,解得。=1,则6=-2,

a-2a-2

所以r=|尸M=7(1-2)2+(-2+1)2=五，

故圆〃为(x-l)2+(y+2『=2.

(2)因为(3-iy+(O+2)2>2,所以点4(3,0)在圆加外，

因为卜^/(3-1)2+(0+2)2=26，

所以11nM=|/闵一”后,即M同的最小值为JL

17.已知抛物线C:/=2px(p>0)的焦点为F(l,0).

⑴求P的值；

（2）过点尸的直线/与抛物线C交于A,8两个不同点，若的中点为加（3,-2）,求048的

面积.

【正确答案】（1）2；

（2）272.

【分析】⑴解4=1,即可得出答案；

（2）点差法求出直线48的斜率，得到直线/的方程，根据抛物线的定义求出|/却=8,根

据点到直线的距离公式求出点。到直线/的距离d,即可求出面积.

【详解】⑴由已知可得，々=1,所以。=2.

（2）由（1）知，抛物线的方程为=4x.

设/（项,必），8（x2，%），则有炉=4%,y}=4X2,显然再二々,

两式作差可得，y,-y2=4X,-4X2,即（必+%乂乂-%）=4（再-乙）.

因为4B的中点为加（3,-2）,所以必+%=-4,则%-%=-（占-电），

即工工=-1,所以直线/斜率为T,此时直线方程为N=-（x-l）,即x+y-l=0.

占一々

fx+y-1=0、

联立/与抛物线的方程2,可得，V+4y_4=0,

［）广-4x

A=42-4X（-4）=32>0,直线与抛物线有两个交点，满足.

所以，直线/方程为x+y-1=0.

又占+%=6,根据抛物线的定义可知|/同=芭+%+。=8.

点o到直线1的距离d=1：°一］=冬,

Vl2+122

所以。/8的面积$=1、|/1园.4=''8*克=20.

21122

18.如图，在长方体力88-44。|〃中，48=3,/。=44=2,点E在48上，且AE=L

3G

EB

(i)求直线8G与4c所成角的大小：

(2)求BC1与平面A.EC所成角的正弦值.

【正确答案】(1)90’

⑵当

6

【分析】(1)以。为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间

直角坐标系，求出月二，sq=(-2,0,2),利用空间向量的数量积求解直线4c与8G所成角

的余弦值即可.

(2)求出平面的法向量，利用平面法向量与直线方向向量的夹角即可求解线面角

【详解】(1)以。为原点，Z)4OC,£>n的方向分别为X轴、y轴、z轴正方向，建立如图

所示的空间直角坐标系.

则4(2,0,2),C(0,3,0),8(2,3,0)，G(0,3,2),E(2/,0),

所以4；二(-2,3,-2),BC^(-2,0,2).所以犯"©")=,

所以Z/IBC：,故直线4c与BG所成角为90,.

(2)因为[(-2,2,0),4£=(01,-2),

设平面4EC的法向量为〃7=(x，>，z),贝"々媒=°'即/；2二：0，

m-EC=0,[-2x+2y=0.

令尸2,则x=2,z=l,于是公(2,2,1),

设BQ与平面4EC所成角为。,

则sin”式/酢第=嘿*手

所以8G与平面4EC所成角的正弦值为变

19.如图，四棱锥尸-N8CZ）中，平面P/O_L平面Z8CZ）,底面48。为直角梯形,

Z.DAB=Z.ADC=,PA±AD,AB=3,CD=AD-2.PA=2A/3.

（1）求证：CD〃平面尸/B；

（2）求平面尸与平面尸。所成角的大小.

【正确答案】（1）证明见解析

兀

【分析】（1）由题意可得N8//CD,然后根据线面平行的判定定理即可得到结果；

（2）以点A为坐标原点，分别以为x轴，V轴，z轴建立空间直角坐标系，结合

法向量即可求得二面角的大小.

JT

【详解】（1）因为在四棱锥P-45C。中，^DAB=AADC=-,

所以AB"CD,

因为N8u平面P/8,CD•平面尸

所以CQ〃平面P/8

z

(2)ABx

因为平面平面/8CZ),且平面尸/。门平面/88=/。，

又因为PNJ.49,所以尸/1平面/8C。,

以点A为坐标原点，分别以力民力。，力尸为x轴，》轴，z轴建立空间直角坐标系4-工尸，

则4(0,0,0),P(0,0,2百),5(3,0,叽40,2,°«2,2,0,

设平面尸CD的法向量为"=(x,y,z)

X一八

,〃•段=0—2x=0x=0

由<XT<n2y-2GZ=0'解得’r-，令Z=1,贝!歹J=6

n•PD=0、y=73z

所以“=(0,6,1)

又因为AD1平面PAB,平面PAB的一个法向量m=(0,1,0)

设平面PAB与平面PCD所成角为e,

*x

则|cos0\=|c：ios<〃?,〃>二久G

HU2

显然二面角为锐角，所以cos0=立，即。=£

26

TT

所以平面PAB与平面PCD所成角为2.

6

22

20.已知椭圆U=+4=l(a>6>0)的左、右焦点分别为耳，鸟，且归段=4,且。=扬.

ab~

(1)求椭圆。的方程；

(2)过点4的直线/与椭圆C交于A,B两个不同的点，求证：x轴上存在定点P,使得直线PA

与直线PB的斜率之和为零.

22

【正确答案】(1)二+2=1;

84

(2)证明见解析.

【分析】（1）利用待定系数法求出椭圆C的方程；（2）对直线/的斜率是否存在，进行分类

讨论：当直线/的斜率存在时，设直线//=左0+2）设x轴上存在定点P&0）,利用“设而不

求法”表示出矶+%=0,求出产（-4,0）：再由对称性判断出直线/的斜率不存在时符合题意.

2c=4c=2

222/=8,所以椭圆。的方程为二

【详解】（1）由题意可得：a=b+c,解得：­+=1

8T-

a=\[2bb=2

（2）设/（%,弘），8（七,%）.

当直线/的斜率存在时，设为人,则直线//=左（》+2）

联立84,消去y可得.(1+2左2卜2+8入+812-8=0

y=%(x+2)

8k818

所以X1+x2=l+2k2，X'X2~\+2k2-

V—0

设X轴上存在定点尸&0）,则七（=*："，kpBj-o

必-0।

因为kpa+kpB==。，所以32。冷产u,

所以必、(々-，)+%(西-£)=0,即+2)x(%-。+左(％+2)(%-f)=0,

整理得：2X,X2+（2-/）（X,+X2）-4Z=0,

所以2x--------+（2-Z）----------——4/=0,

1+2/1\1+2/J

所以16r-16-16r+8派2-4/-8心2=0,解得./=-4

即尸（-4,0）.

当直线/的斜率不存在时，由对称性可知：A,B关于x轴对称，由P（-4,0）,可知直线R4

与直线PB关