2024年高考数学一轮复习第5章：平面向量与复数（附答案解析）

2024年高考数学一轮复习第5章：平面向量与复数学生版

一、单项选择题

1.（2022・临沂模拟）设向量”=（1,x）,8=（x,9）,若则x等于（）

A.-3B.0C.3D.3或一3

2.（2023・长沙模拟）设z（l—2i）=|3+4i|,则z的共施复数在复平面内对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

3.已知向量”，力满足同=1,ab=—\,则＜r（2a—厶）等于（）

A.4B.3C.2D.0

4.（2022•聊城模拟）若向量a,6满足同=1,\b\=2,。丄（a+b）,则a与5的夹角为（）

A.-B.-C.—D.—

6336

5.如图，在△/8C中，点。是8c的中点，过点。的直线分别交直线/C于不同的两点

M,N,若麺=机施，AC=nAN,则加+〃等于（）

A.0B.1C.2D.3

6.定义:|aX6|=|a|-|*|sin6,其中®为向量a与b的夹角,若同=2,岡=5,ab=~6,则|aXb|

等于（）

A.8B.-8C.8或一8D.6

7.（2023•日照模拟）已知△NBC是边长为1的等边三角形，点D,£分别是边48,8。的中点,

且无=3寿，则万•応的值为（）

A.——B.—C.1D.-8

1212

8.（2023•岳阳模拟）在一个边长为2的等边△/SC中，若点尸是平面/8C内的任意一点，则

眉屁的最小值是（）

543

A.--B.--C.-1D.--

234

二、多项选择题

9.（2022・潍坊模拟）若复数zi=2+3i,Z2=-1+i,其中i是虚数单位，则下列说法正确的是

)

第1页共10页

A.-eR

Z2

B.Z122=Z\.Z2

C.若zi+/n（m£R）是纯虚数，那么加=—2

D.若z]，Z2在复平面内对应的向量分别为a,为（O为坐标原点），则I林1=5

10.已知向量〃=（2,1）,b=（l,—1）,。=（加一2,-ft）,其中〃z,〃均为正数，且（〃一〃）〃c,

则下列说法正确的是（）

A.〃与力的夹角为钝角

B.向量a在〃上的投影向量为也〃

2

C.2:〃+〃=4

D.加〃的最大值为2

11.瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的

外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心间的距离是垂心和重心间的距离的一

半.这个定理就是著名的欧拉线定理.设△N8C中，点0,H,G分别是外心、垂心、重心.下

列四个选项中结论正确的是（）

\.GH^2OG

T&.GA+GB+GC^Q

C.设8c边的中点为。，贝1J有加=3而

V）.OA^OB=OC

12.（2023•潍坊模拟）已知向量力=（1,2）,将办绕原点。旋转一30。，30°,60。至U赤，旗，

次的位置，则下列说法正确的是（）

A两标=0

B.两尸|丽

C.丽丽=赤•威

[\/3~11+2冋

D.点Pi的坐标为12'一广二I

三、填空题

13.设｛e"e?｝为基底，已知向量/B=ei一h2,CB=1e\—e2,CD=3e\-3e2,若力，B,D三

点共线，则％的值是.

14.已知i是虚数单位，则।[2021+（^20221=

第2页共10页

15.（2022-泰安模拟）如图，在四边形/8CO中，AB=3DC,E为边8c的中点，若太=.+

fiAD,则入+"—.

DC

16.（2023・济宁模拟）等边△/8C的外接圆的半径为2,点尸是该圆上的动点，则港运+P&PC

的最大值为.

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2024年高考数学一轮复习第5章：平面向量与复数教师版

一、单项选择题

1.（2022・临沂模拟）设向量a=（l,x）,b=（x,9）,若。〃6,则x等于（）

A.-3B.0C.3D.3或一3

答案D

解析由“〃万，得9—r=0,所以x=±3.

2.（2023・长沙模拟）设z（l—2i）=|3+4i|,则z的共施复数在复平面内对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案D

解析因为z(l—2i)=|3+4i[=]^育=5,

5_5(l+2i)=5(1+2i)

所以zl+2i,

l-2i(l-2i)(l+2i)5

所以z的共辄复数为1—2i,它在复平面内对应的点（1,一2）在第四象限.

3.已知向量”，力满足同=1,ah=—\,则《r（2a—力）等于（）

A.4B.3C.2D.0

答案B

解析因为=ab——\,所以/（2a—6）=2标一。力=2+1=3.

4.（2022•聊城模拟）若向量”，满足同=1,\b\=2,a±（a+b）,则Q与6的夹角为（）

A.-B.-C.—D.—

6336

答案C

2

解析由题可知,|a|=L\b\=29a(a+b)=\a\+ab=0=^ab=—1,

_ab_-1__j_

cos〈%b)

同网1X22

〈％b）£[0,兀],，向量〃与〃的夹角为三".

5.如图，在厶4台。中，点。是3。的中点，过点。的直线分别交直线ZB,ZC于不同的两点

M,N,若施=加就,AC^nAN,则加+〃等于（）

A.0B.1C.2D.3

第4页共10页

答案c

解析如图，连接N。，由。为8c的中点可得，Ab^-（AB+AQ^-AM+-AN,

222

■：M,O,N三点共线，/.-+-=1,即旭+〃=2.

22

6.定义:|aX6|=|a|-|*|sin9,其中6为向量。与b的夹角，若同=2,岡=5,ab=~6,则|aXb|

等于()

A.8B.-8C.8或一8D.6

答案A

解析由已知可得cos6=%；=—

|姉加5

OWOWit,sin3—yll—cos20=^,

|°Xb|=|°H6|sin6=8.

7.（2023•日照模拟）已知△NBC是边长为1的等边三角形，点。，E分别是边8c的中点,

且无=3寿，则万•前的值为（）

A.—B.丄C.1D.—8

1212

答案B

解析如图所示，把△48C放在直角坐标系中,

由于的边长为1,故8(0,0),C(l,0),42’，;点。，E分别是边Z8,8。的中点,

设F(x,y),加』T,建=层4v5k=3EF,

[r.曲__俎

=42'12丄力尸=112,12J

,BC=(lfi)9AFBC

1

12

第5页共10页

8.(2023•岳阳模拟)在一个边长为2的等边厶/夕。中，若点尸是平面/8C内的任意一点，则

眉屁的最小值是()

543

A.--B.--C.-1D.--

234

答案C

解析如图，以NC为x轴，/C中点为原点建立平面直角坐标系，则/(—1,0),C(l,0),

设P(x,y),则汤=(—1—x,~y),PC={\~x,~y),

二届两=N—1+炉=x2+炉一1》一1,当且仅当P在原点时，取等号.

故两•危的最小值是一1.

二、多项选择题

9.(2022・潍坊模拟)若复数zi=2+3i,Z2=-1+i,其中i是虚数单位，则下列说法正确的是

()

A.-GR

Z2

B.Z122=Z].Z2

C.若zi+/n(mWR)是纯虚数，那么加=—2

D.若zi,Z2在复平面内对应的向量分别为晶，为(O为坐标原点)，则|法1=5

答案BC

解析对于A,包=卓=-(2+31)(士)=0=卜三,A错误;

Z2—1+i(—l+i)(—1—i)222

对于B,,.,zi-Z2=(2+3i)(-l+i)=-5-i,Az'-z2=-5+i；

又zi.Z2=(2-3i)(-l-i)=-5+i,z「Z2=zi.Z2,B正确；

对于C,：zi+m=2+"?+3i为纯虚数，：.m+2=0,解得机=一2,C正确；

对于D,由题意得力=(2,-3),OB=(~\,-1),：.AB=OB-OA=(-3,2),

：.|J5|=-\/9+4=Vi3,D错误.

10.己知向量a=(2,l),b=(l,—1),e=(m—2,~n),其中加，〃均为正数，且(a—8)〃c,

则下列说法正确的是()

A.”与〃的夹角为钝角

第6页共10页

B-向量加上的投影向量为争

C.2加+〃=4

D.加”的最大值为2

答案CD

解析对于A,向量4=(2,1),6=(1,-1),

则。4=2—1=1>0,又6不共线，

所以a,力的夹角为锐角，故A错误；

对于B,向量。在6上的投影向量为

对于C,“一6=(1,2),若(a-6)〃c,

则一H=2(ZM—2),变形可得2加+〃=4,C正确；

对于D,由2机+〃=4,且"?，〃均为正数，

得""7=42»r〃)w42J2=2,当且仅当m=l,〃=2时，等号成立，即，〃〃的最大值为2,

22

D正确.

11.瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的

外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心间的距离是垂心和重心间的距离的一

半.这个定理就是著名的欧拉线定理.设△N8C中，点。，H,G分别是外心、垂心、重心.下

列四个选项中结论正确的是()

\.GH=20G

B.G^+G5+GC=0

C.设BC边的中点为£>,则有京=3瓦

D.OA=OB=OC

答案AB

解析如图，

对于A项，由题意得前=2芯)，AHA.BC,

所以%=2次;，所以A选项正确；

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对于B项，设。为8C的中点，

GB+GC^2GD^~GA,

所以a+壶+就=0,所以B选项正确；

对于C项，因为。为8c的中点，G为4力台。的重心，

所以前=26b,GIi=2OG,NAGH=4DG0,

所以AAGHs^DGO,

所以后=2应）,故c选项错误；

对于D项，向量&，协，成7的模相等，方向不同，故D选项错误.

12.（2023・潍坊模拟）已知向量成=（1,2）,将赤绕原点。旋转一30。，30°,60。到访，旗,

旗的位置，则下列说法正确的是（）

A.調.旗=0

.A",»

B.|PPi|=|PP2|

C.OP~OP^~OP\'OPi

D.点尸।的坐标为I、2

答案ABC

解析由题意作图如图所示,

•：~OP\LOPi,...话•旗=0,故选项A正确;

：PPi与尸尸2所对的圆心角相等，二|兩|=|存故选项B正确;

-►--,►—►-►S

•・・OPOP3=|OP||OP3|COS60。=：.

~OP\'OPi^\OP\IIO?2|cos60°=|,故选项C正确;

（3—1

若点Pi坐标为I2

则加4号4号歳,故选项D错误.

第8页共10页

三、填空题

13.设｛ei,02｝为基底，已知向量益=ei一飴2,CB^2e\-ez，无=34一3e2,若/,B,D三

点共线，则人的值是.

答案2

解析因为N8=ei—kei,CB=2e\-ei,CD—3e\—3ei,

所以由）=无一无=ei-2e2,

若Z,B,。三点共线，则鳶〃訪,

所以存在实数2使得鳶=7防,

故ei—Zr2=2（ei—2ez）,所以2=1,k—2.

14.已知i是虚数单位，则b。21+后）022|=

答案也

解析因为i2021=i,^^2022=(1+i)21n+2i+if|

41-i)(1+i)J2022=1~2~