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2.5简单复合函数的求导法则温故知新：1.基本初等函数的导数公式:2.导数的运算法则:推论:探究1复合函数

问题海上一艘油轮发生了泄漏事故.泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜，油膜的面积S（单位:m2）与油膜的半径r（单位:m）的函数关系为，S=f(r)=πr2.油膜的半径r随着时间t(单位:s）的增加而扩大，假设r关于t的函数解析式为r=φ(t)=2t+1.油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率是多少？

分析由题意知，时间t决定油膜的半径r，进而决定油膜的面积S所以可得S关于t的函数解析式为S=f(φ(t))=π(2t+1)2.油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率就是函数S=f(φ(t))的导数.因为f(φ(t))=π（2t+1）2=π（4t2+4t+1）,根据导数公式表和导数的四则运算法则，可得[f(φ(t))]＇=π(8t+4)=4π(2t+1).所以油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率为4π(2t+1).复合函数的概念:对于函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可以示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数.记作y=f(g(x))

函数内函数

外函数

复合函数定义域值域u=g(x)y=f(u)y=f(g(x))x∈AU∈DU∈Dy∈Bx∈Ay∈B巩固提升探究2:复合函数的求导法则即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则

)

复合函数的导数

复合函数y=f(φ(x)）对x的导数为

由复合函数求导法则有:=2u×2=4u(2)函数y=e－0.05x＋1可以看作函数y=eu和u=－0.05x＋1的复合函数.由复合函数求导法则有:由复合函数求导法则有:(3)函数和的复合函数.可以看作函数例3求函数y=（2x-1)30的导数.

若完全掌握了复合函数求导的链式法则，那么在对初等函数求导时，就可以“一步到位”.练习1.设f(x)

=sinx2，求

f

(x).解练习2.求函数的导数解；练习3.求

y

.解

解先用除法的导数公式，遇到复合时，再用复合函数求导法则.练习4.,求

y

.练习5.设y=sin(xlnx)，求

y

.解先用复合函数求导公式，再用乘法公式y

=cos(xlnx)·(xlnx)

=cos(xlnx)·(x·(lnx)

+

x

lnx)=(1+lnx)cos(xlnx).

练习6.求函数的导数．，则．

解由对数性质，有例4.求过点P(－2,0)且与曲线y=x2＋x＋1相切的直线方程.P(－2,0)A(a,b)b=a2＋a＋1…………(1)b=2a2＋5a＋2…………(2)=a2＋a＋12a2＋5a＋2a2＋4a＋1=0解出a即可。

（1）运用复合函数求导法则的关键在于把复合函数分解成基本初

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