13.3.2等边三角形解析版

等边三角形知识点管理瞄准目标，牢记要点知识点管理归类探究夯实双基，稳中求进归类探究等边三角形的定义与性质等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形.要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.题型一：等边三角形的性质【例题1】（2022·河北沧州·八年级期末）如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，点E在AC上，且AE＝AD，则∠DEC的度数为（）A．105° B．95° C．85° D．75°【答案】A【分析】先利用等边三角形的性质、等腰三角形三线合一的性质得出，再利用AE＝AD得出，最后利用三角形外角的性质即可求出∠DEC的度数．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴，∵AE＝AD，∴，∴，∴，故选A．【点睛】本题考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及外角的性质，利用等腰三角形三线合一的性质得出是解题的关键．变式训练【变式1-1】（2022·湖北荆州·八年级期末）如图，在等边△ABC中，AC=3，点O在AC上，且AO=1．点P是AB上一点（可移动），连接OP，以线段OP为一边作等边△OPD，且O、P、D三点依次呈逆时针方向，当点D恰好落在边BC上时，则AP的长是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】如图，通过观察，寻找未知与已知之间的联系．AO=1，则OC=2．证明△AOP≌△COD求解即可．【详解】解：∵△ABC和△ODP都是等边三角形，∴∠C=∠A=∠DOP=60°，OD=OP，∴∠CDO+∠COD=120°，∠COD+∠AOP=120°，∴∠CDO=∠AOP，∴△ODC≌△POA（AAS），∴AP=OC，∴AP=OC=AC﹣AO=2．故选：B．【点睛】此题考查了等边三角形的性质和全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是利用全等把所求的线段转移到已知的线段上．【变式1-2】（2022·湖南永州·八年级期末）如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE是等边三角形，有下列结论：①AB⊥ED，②EF=FD，③BE=DB，其中正确的是（

）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③【答案】A【分析】△ABC是等边三角形，△ADE是等边三角形，得到AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°，AE＝AD＝ED，∠EAD＝60°，由AD是角平分线，根据等腰三角形三线合一，得到∠BAD＝∠DAC＝30°，AD⊥BC，进一步求得AF平分∠EAD，根据等腰三角形三线合一，则AB⊥ED，EF＝DF，结论得证，作出判断．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，△ADE是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°，AE＝AD＝ED，∠EAD＝60°，∵AD是角平分线，∴∠BAD＝∠DAC＝30°，AD⊥BC，∴∠EAB＝∠EAD－∠BAD＝30°，∴∠DAF＝∠EAD－∠EAB＝30°，∴AF平分∠EAD，∴AB⊥ED，EF＝DF，故①②正确，∴AB垂直平分DE，∴BE＝DB，故③正确，故选：A．【点睛】此题考查等边三角形的性质，解题的关键是灵活应用等腰三角形的三线合一的性质解决问题．【变式1-3】（2022·山东泰安·七年级期末）如图，和是两个等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，连接，，，下列三个结论：①；②；③点在线段的中垂线上；④；⑤；⑥．其中正确的结论的个数是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】利用等边三角形和等腰直角三角形的性质得到PA＝PB＝PD＝PC，∠APB＝∠DPC＝∠PAB＝∠PDC＝60°，∠APD＝90°，∠PAD＝∠PDA＝45°，则根据“SAS”可证明△APC≌△BPD，则可对①进行判断；根据线段垂直平分线的判定可对③进行判断；计算出∠BPC＝150°，再利用PB＝PC和三角形内角和可计算出∠PBC＝15°，则可对④进行判断；由于∠ABC＝75°，∠BAD＝105°加上BD＝CA，则可判断△ABD与△BCA不全等，从而可对②进行判断；求出∠ABC＋∠BAD＝75°＋105°＝180°，根据平行线的判定方法可对⑤进行判断；延长CP交AB于H，计算出∠CHB＝90°，则可对⑥进行判断．【详解】解：∵△ABP和△CDP是两个等边三角形，△APD是以AD为斜边的等腰直角三角形，∴PA＝PB＝PD＝PC，∠APB＝∠DPC＝∠PAB＝∠PDC＝60°，∠APD＝90°，∠PAD＝∠PDA＝45°，∴∠APC＝∠BPD＝150°，在△APC和△BPD中，，∴△APC≌△BPD（SAS），所以①正确；∵PB＝PC，∴点P在线段BC的中垂线上，所以③正确；∵∠BPA＝∠CPD＝60°，∠APD＝90°，∴∠BPC＝150°，∵PB＝PC，∴∠PBC＝15°，所以④正确；∵∠ABC＝60°＋15°＝75°，∠BAD＝∠PAB＋∠PAD＝60°＋45°＝105°，BD＝AC，∴∠ABC≠∠BAD，∴△ABD与△BCA不全等，所以②错误；∵∠ABC＋∠BAD＝75°＋105°＝180°，∴AD∥BC，所以⑤正确；延长CP交AB于H，如图，∵∠PCB＝15°，∠ABC＝75°，∴∠ABC＋∠PCB＝90°，∴∠CHB＝90°，∴PC⊥AB，所以⑥正确．正确的有5个，故选：C．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定、平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决此类问题的关键．【变式1-4】（2021·山东九年级期末）如图，面积为1的等边三角形中，分别是，，的中点，则的面积是（）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根据题意可以判断四个小三角形是全等三角形,即可判断一个的面积是．【详解】∵分别是，，的中点,且△ABC是等边三角形,∴△ADF≌△DBE≌△FEC≌△DFE,∴△DEF的面积是．故选D．【点睛】本题考查等边三角形的性质及全等,关键在于熟练掌握等边三角形的特殊性质．【变式1-5】（2021·江苏八年级期中）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=度．【答案】：【分析】根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，∵CG=CD，∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，∵DF=DE，∴∠E=15°．故答案为15．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，熟练运用等边对等角是关键.等边三角形的判定等边三角形的判定：

（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．题型二：等边三角形的判定【例题2】（2022·四川乐山·八年级期末）如图，在△ABC中，已知D是边BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E、F为垂足，且BE=CF，∠BDE=30°．求证：△ABC是等边三角形．【答案】见解析【分析】利用“HL”证明△BED和△CFD全等，再根据全等三角形对应角相等可得∠B＝∠C，然后根据等角对等边得到AB＝AC，再求得∠B＝60°，即可详解．【详解】证明：∵D是BC的中点，∴BD＝CD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴△BED和△CFD都是直角三角形，在Rt△BED和Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴∠B＝∠C，∴AB＝AC（等角对等边）．∵∠BDE＝30°，DE⊥AB，∴∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，等角对等边的性质，等边三角形的判定，解题的关键是证明△BED≌△CFD．变式训练【变式2-1】（2022·福建泉州·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，且DE＝DF．求证：△ABC是等边三角形．【答案】见解析【分析】只要证明Rt△ADE≌Rt△CDF，推出∠A＝∠C，推出BA＝BC，又AB＝AC，即可推出AB＝BC＝AC；【详解】证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，∴∠AED＝∠CFD＝90°，∵D为AC的中点，∴AD＝DC，在Rt△ADE和Rt△CDF中，，∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL），∴∠A＝∠C，∴BA＝BC，∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形．【点睛】本题考查了HL证明三角形全等以及全等三角形的性质、等边三角形的判定，解题的关键是证明Rt△ADE≌Rt△CDF．【变式2-2】（2022·江西萍乡·八年级开学考试）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F．(1)求证：BE垂直平分CD；(2)若点D是AB的中点，求证：△CBD是等边三角形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）先证Rt△EBC≌Rt△EBD，得出BE是∠DBC的角平分线，再根据等腰三角形三线合一即可得证；（2）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可知CD=DB，再根据DB=BC，即可证明结论．（1）解：证明：∵∠ACB=90，且DE⊥AB，∴∠EDB=∠ACB=90°，在Rt△EBC和Rt△EBD中，，∴Rt△EBC≌Rt△EBD（HL），∴∠CBE=∠DBE，∵BD=BC，∴△BDC是等腰三角形，∴BF⊥CD，CF=DF，∴BE垂直平分CD．（2）∵D是AB的中点，∠ACB=90°，∴DC=DB，又∵BD=BC，∴DC=DB=BC，∴△CBD是等边三角形．【点睛】本题考查了直角三角形与等边三角形，熟练掌握直角三角形的性质与等边三角形的判定是解决本题的关键．【变式2-3】（2021·湖南·长沙市中雅培粹学校八年级阶段练习）如图，在△中，，，，，与相交于点．(1)求∠BOC的度数；(2)求证：△ABC为等边三角形．【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）根据垂直的定义和直角三角形两锐角互余求出和，然后利用三角形外角的性质求出∠BOC的度数即可；（2）求出，可得，即可证明△ABC为等边三角形．(1)解：∵，，，∴，，∴；(2)证明：∵，且，∴，∴，∵在中，，∴为等边三角形．【点睛】本题考查了垂直的定义，直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质以及等边三角形的判定，灵活运用各性质定理进行推理计算是解题的关键．【变式2-4】（2019·义乌市稠州中学教育集团八年级月考）已知:在中,,为的中点,,,垂足分别为点,且.求证:是等边三角形.【答案】证明见解析.【详解】分析：由等腰三角形的性质得到∠B=∠C．再用HL证明Rt△ADE≌Rt△CDF，得到∠A=∠C，从而得到∠A=∠B=∠C，即可得到结论．详解：∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEA=∠DFC=90°．∵D为的AC中点，∴DA=DC．又∵DE=DF，∴RtΔAED≌RtΔCDF(HL)，∴∠A=∠C，∴∠A=∠B=∠C，∴ΔABC是等边三角形．点睛：本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质以及直角三角形全等的判定与性质．解题的关键是证明∠A=∠C．题型三：等边三角形的判定与性质【例题3】（2019·宁南三峡白鹤滩学校八年级月考）图1、图2中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形.(1)如图1，线段AN与线段BM是否相等？证明你的结论；(2)如图2，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论.图1图2【答案】（1）相等，证明见解析；（2）△CEF的形状是等边三角形.【分析】（1）等边三角形的性质可以得出△ACN、△MCB两边及夹角分别对应相等，；两个三角形全等，得出线段AN＝BM；（2）平角的定义得出∠MCN＝60°，通过证明△ACE≌△MCF，得出CE＝CF，根据等边三角形的判定得出△CEF的形状.【详解】(1)∵△ACM与△CBN都是等边三角形,∴AC=MC,CN=CB,∠ACM=∠BCN=60°.∴∠MCN=60°,∠ACN=∠MCB,在△ACN和△MCB中,AC=MC,∠ACN=∠MCB,CN=CB,∴△ACN≌△MCB(SAS),∴AN=BM.(2)∵∠ACM=60°,∠MCN=60°,∴∠ACM=∠MCN,∵△ACN≌△MCB,∴∠CAE=∠CMB.在△ACE和△MCF中,∠CAE=∠CMF，AC=MC,∠ACE=∠MCF,∴△ACE≌△MCF(ASA),∴CE=CF,∴△CEF的形状是等边三角形.【点睛】本题主要考查边角边定理和角边角定理，熟练掌握这两个知识点并熟练运用是解答此题的关键.变式训练【变式3-1】（2020·雷州市第八中学八年级期末）如图，等腰中，分别为上的点，且，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】可设∠A=x，根据在AC上取点D，使QD=PQ，连接QD、BD，再利用已知得出△BDQ为等边三角形，进而得出x的角度，即可得出答案．【详解】如图，在上取点D，使，连接．设，则．，．又，，，，，为等边三角形，，，，，．故选A．【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，此题的关键是正确作出辅助线，得出△BDQ为等边三角形．【变式3-2】（2021·广西南宁三中九年级开学考试）如图，在的同侧，，点为的中点，若，则的最大值是_____．【答案】14【分析】如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′，证明△A′MB′为等边三角形，即可解决问题．【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点．，，，，，为等边三角形，的最大值为，故答案为．【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题【变式3-3】（2020·全国八年级课时练习）问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图（1），在中，，，则．探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究．（1）如图（1），作边上的中线，得到结论：①为等边三角形；②与之间的数量关系为_________．（2）如图（2），是的中线，点D是边上任意一点，连接，作等边，且点P在的内部，连接．试探究线段与之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明．（3）当点D为边延长线上任意一点时，在（2）中条件的基础上，线段与之间存在怎样的数量关系？直接写出答案即可．【答案】（1）；（2），证明详见解析；（3）【分析】（1）只要证明△ACE是等边三角形即可解决问题；（2）如图2中，结论：ED=EB．想办法证明EP垂直平分线段AB即可解决问题；（3）结论不变，证明方法类似．【详解】（1），，，为边上的中线，，是等边三角形，．（2）．证明：如图，连接，都是等边三角形，，，，，．，．，；（3）当点D为边延长线上任意一点时，同（2）中的方法可证．【点睛】本题考查三角形综合题、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质等知识，正确添加常用辅助线，构造全等三角形是解决问题的关键．含30°的直角三角形含30°的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.题型四：含30°的直角三角形【例题4】（2021·陕西铜川·八年级期末）如图，在中，AD是边BC的垂直平分线，，，那么AC的长度是________．【答案】【分析】根据垂直平分线的性质得出AB=AC，结合得出，再根据的角所对的直角边是斜边的一半，即可得出AC长．【详解】解：∵AD是边BC的垂直平分线，∴AB=AC，，∵，∴，∴AB=2BD，∵BD=2，∴AC=AB=4，故答案为：．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键．变式训练【变式4-1】（2022·山东泰安·七年级期末）如图，在中，的垂直平分线交于，交的延长线于，若，，则的长是________．【答案】2【分析】直角三角形内角和求得∠CEF的度数，对顶角相等求得∠DEA，再求出∠A，根据含30°的直角三角形性质可求出AE，再根据线段垂直平分线的性质求得AE=BE．【详解】解：∵∠ACB=90°，∠F=30°，∴∠CEF=∠DEA=60°，∵AB的垂直平分线DE交AC于E，∴∠ADE=90°，AE=BE，∴∠A=30°，∴AE=2DE=2，∴BE=2.【点睛】此题考查了含30°的直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质，解题的关键根据线段的垂直平分线的性质找出相等的边长．【变式4-2】（2020·辽宁锦州·八年级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AD⊥AB交BC于点D，若AD＝4，则BC的长为_____．【答案】12【分析】由等腰三角形的性质得出∠B=∠C=30°，∠BAD=90°；易证得∠DAC=∠C=30°，即CD=AD=4．Rt△ABD中，根据30°角所对直角边等于斜边的一半，可求得BD=2AD=8；由此可求得BC的长．【详解】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∵AB⊥AD，∴BD=2AD=2×4=8，∠B+∠ADB=90°，∴∠ADB=60°，∵∠ADB=∠DAC+∠C=60°，∴∠DAC=30°，∴∠DAC=∠C，∴DC=AD=4，∴BC=BD+DC=8+4=12，故答案为：12．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，求出BD和CD的长度是解决问题的关键．【变式4-3】（2021·四川成都·三模）如图，在△ABC中，AB=AC=6，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高，则CD的长为___．【答案】3【分析】由∠ABC=∠ACB=15°，可知∠CAD=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得答案．【详解】解：∵∠ABC=∠ACB=15°，∴∠CAD=30°，∵CD是腰AB上的高，∴CD⊥AD，在Rt△ACD中，∵∠CAD=30°，AC=6，∴CD=AC=3，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，熟记性质是解题的关键．【变式4-4】（2020·西安市教育局八年级月考）如图，已知：∠MON=30o，点A1、A2、A3在射线ON上，点B1、B2、B3…．．在射线OM上，△A1B1A2.△A2B2A3、△A3B3A4……均为等边三角形，若OA1=l，则△A6B6A7的边长为（）A．6 B．12 C．32 D．64【答案】C【详解】分类归纳（图形的变化类），等边三角形的性质，三角形内角和定理，平行的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质．【分析】如图，∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°．∴∠2=120°．∵∠MON=30°，∴∠1=180°－120°－30°=30°．又∵∠3=60°，∴∠5=180°－60°－30°=90°．∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1．∴A2B1=1．∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°．∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3．∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°．∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3．∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16．以此类推：A6B6=32B1A2=32，即△A6B6A7的边长为32．故选C．链接中考体验真题，中考夺冠链接中考【真题1】（2022·海南·中考真题）如图，直线，是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交于点E，交于点F，若，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据等边三角形的性质可得∠A=60°，再由三角形外角的性质可得∠AEF=∠1-∠A=80°，从而得到∠BEF=100°，然后根据平行线的性质，即可求解．【详解】解：∵是等边三角形，∴∠A=60°，∵∠1=140°，∴∠AEF=∠1-∠A=80°，∴∠BEF=180°-∠AEF=100°，∵，∴∠2=∠BEF=100°．故选：B【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质是解题的关键．【真题2】（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（）A．2 B．2 C．4 D．4+2【答案】C【分析】过点E作EH⊥OA于点H，根据角平分线的性质可得EH＝EC，再根据平行线的性质可得∠ADE的度数，再根据含30°角的直角三角形的性质可得DE的长度，再证明OD＝DE，即可求出OD的长．【详解】解：过点E作EH⊥OA于点H，如图所示：∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，∴EH＝EC，∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，∵DE∥OB，∴∠ADE＝30°，∴DE＝2HE＝2EC，∵EC＝2，∴DE＝4，∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，∴∠DEO＝15°，∴∠AOE＝∠DEO，∴OD＝DE＝4，故选：C．【点睛】本题考查了角平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质，平行线的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键．【真题3】（2022·广西·中考真题）校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形ABCD，其中AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝(1)求证：△ABC≌△CDA；(2)求草坪造型的面积．【答案】(1)见解析(2)草坪造型的面积为【分析】（1）根据“SSS”直接证明三角形全等即可；（2）过点A作AE⊥BC于点E，利用含30°的直角三角形的性质求出的长度，继而求出的面积，再由全等三角形面积相等得出，即可求出草坪造型的面积．(1)在和中，，；(2)过点A作AE⊥BC于点E，，，，，，，，草坪造型的面积，所以，草坪造型的面积为．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．满分冲刺能力提升，突破自我满分冲刺【拓展1】（2020·山东七年级期中）如图1，△ABD，△ACE都是等边三角形，（1）求证：△ABE≌△ADC；（2）若∠ACD=15°，求∠AEB的度数；（3）如图2，当△ABD与△ACE的位置发生变