函数的单调性第一课时课件高二下学期数学人教A版选择性

函数的单调性

5.3导数在研究函数中的应用（第一课时）基本初等函数的导数公式：导数的四则运算法则复合函数的导数法则

一般地，对于由y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x))，它的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为

外导乘内导

即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积，简单的理解就是复合函数的导数等于内外函数的导数之积.单调性定义：一般地，对于定义域内给定区间D上的函数f(x)，若对于属于区间D的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，有

(1)若f(x1)<f(x2)，那么f(x)在这个区间上是增函数.(2)若f(x1)>f(x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数.

2.用定义判断函数的单调性步骤（1）取值（2）作差（3）变形

（4）定号（5）结论在必修第一册中，我们通过图象直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大(小)值等性质.

在本章前两节中，我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化.能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢?本节我们就来讨论这个问题.我们先来研究前面学习过的高台跳水问题.thaOb(1)thaOb(2)思考1

图(1)是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图象，图(2)是跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)=h'(t)=-9.8t+4.8的图象.运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?如何从数学上刻画这种区别?观察图象可以发现:

(1)从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)单调递增.相应地，v(t)=h'(t)>0.

(2)从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时间t的增加而减小，即h(t)单调递减.相应地，v(t)=h'(t)<0.思考2我们看到，函数h(t)的单调性与h'(t)的正负有内在联系.那么，我们能否由h'(t)的正负来判断函数h(t)的单调性呢?对于高台跳水问题，可以发现:

当t∈(0,a)时，h′(t)>0，函数h(t)的图象是“上升”的，函数h(t)在(0,a)内单调递增；

当t∈(a,b)时，h'(t)<0，函数h(t)的图象是“下降”的，函数h(t)在(a,b)内单调递减.

thaOb(1)thaOb(2)追问

这种情况是否具有一般性呢？在区间(a,b)上，h′(t)>0在区间(a,b)上，h(t)单调递增在区间(a,b)上，h′(t)<0在区间(a,b)上，h(t)单调递减大胆猜测思考3

观察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系.xyO(1)xyO(2)xyO(3)xyO(4)函数的单调性与导数的正负的关系：如图示，导数f'(x0)表示函数y=f(x)的图象在点(x0,f(x0))处的切线的斜率，可以发现:

在x=x0处，f'(x0)>0，切线是“左下右上”的上升式，函数f(x)的图象也是上升的，函数f(x)在x=x0附近单调递增；在x=x1处，f'(x1)<0，切线是“左上右下”的下降式，函数f(x)的图象也是下降的，函数f(x)在x=x1附近单调递减.xyO(x0,f(x0))(x1,f(x1))函数的单调性与导数的关系：一般地，函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间具有如下的关系:

在某个区间(a,b)上,如果f′(x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增;

在某个区间(a,b)上,如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减.思考1

如果在某个区间上恒有f′(x)=0，那么函数f(x)有什么特性?函数y=f(x)在这个区间上是常数函数.思考2存在有限个点使得f'(x)=0,其余点都恒有f′(x)>0,则f(x)有什么特性?f(x)仍为增函数.例如:对于函数y=x3，y′=3x2.当x=0时，y′=0，当x>0时，y′>0，

而函数y=x3在R上单调递增.xyO例1

利用导数判断下列函数的单调性:解：xyO(1)xyO(2)π-π例1

利用导数判断下列函数的单调性:解：xyO(3)11【例】判断函数f(x)＝3x－x3

的单调性，并求出单调区间.解：f'(x)＝3x－x3＝3－3x2＝－3(x2－1)＝－3(x－1)(x＋1)，当f'(x)＞0，即－1＜x＜1时，函数f(x)＝3x－x3单调递增；当f'(x)＜0，即x＞1或x＜－1时，函数f(x)＝3x－x3单调递减；所以函数f(x)＝3x－x3的单调增区间为[－1,1]，单调减区间为(－∞,－1)，

(1,＋∞)说明：求函数

y＝f(x)的单调区间的步骤：（1）确定函数

y＝f(x)的定义域.（2）求导数

y′＝f′(x).（3）解不等式

f′(x)>0，函数在解集所表示的定义域内为增函数.（4）解不等式

f′(x)<0，函数在解集所表示的定义域内为减函数.注意：1.多个单调区间之间不能用∪，只能用“和”或者逗号，.

2.单调区间能不能取到端点值，观察定义域。如果包含，写在单调区间一边就可以.1.判断下列函数的单调性:解：课本P871.判断下列函数的单调性:解:(2)因为f(x)=ex-x，其定义域为R.所以f′(x)=ex-1.

令f′(x)=0，得x=0所以当x∈(-∞,0)时，f′(x)<0当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0

.

所以，函数f(x)=ex-x在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增.解：课本P87解：例2xyO14解：xyOabcxyOabc课本P87原函数要注意其图象在哪个区间内单调递增、在哪个区间内单调递减；导函数其函数值在哪个区间内大于零、在哪个区间内小于零，变式Axyo12xyo12xyo12xyo12xyo2(A)(B)(C)(D)C设

是函数的导函数，的图象如右图所示，则的图象最有可能的是()跟踪练习√1.函数的单调性与其导函数的正负之间的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，则y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．2.函数图象变化得越快，f′(x)的绝对值越大，不是f′(x)的值越大．

总结：思考

对于在区间（a,b）上的单调函数

y=f(x)，其平均变化率的几何意义与

f

'(x)的正负有什么关系？

abxoyAB

∀x1、x2∈（a,b）,经过点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))的直线AB的斜率就是平均变化率

设函数

f(x)在区间（a,b）上的导数f

'(x)为正

直观上，能找到一点T(x0，f(x0))，使函数

f(x)的图像在点T处的切线与直线AB平行，即

T从而函数

f(x)在区间（a,b）上单调递增用此方法同样可以说明函数

f(x)在区间（a,b）上单调递减，结论：利用导数的正负来判断函数的单调性，与函数单调性定义是一致的。课堂总结：1.函数单