第2节抛体运动

第四章曲线运动万有引力与宇宙航行第2节抛体运动目录CONTENT立足“四层”·夯基础着眼“四翼”·探考点聚焦“素养”·引思维020301锁定“目标”·提素能04Part01立足“四层”·夯基础⁠一、平抛运动1.定义：以一定的初速度沿

水平

⁠方向抛出的物体只在

重力

⁠作用下的运动。2.运动性质：平抛运动是加速度为g的

匀变速

⁠曲线运动，其运动轨迹是

抛物线

⁠。3.研究方法：平抛运动可以分解为水平方向的

匀速直线

⁠运动和竖直方向的

自由落体

⁠运动。水平

重力

匀变速

抛物线

匀速直线

自由落体

4.基本规律（如图所示）（1）平抛运动的速度

（2）平抛运动的位移

二、斜抛运动1.定义：将物体以初速度v0沿

斜向上方

⁠或

斜向下方

⁠抛出，物体只在

重力

⁠作用下的运动。2.性质：加速度为

重力加速度g

⁠的匀变速曲线运动。3.研究方法：斜抛运动可以分解为水平方向的

匀速直线

⁠运动和竖直方向的

匀变速直线

⁠运动。斜向上方

斜向下方

重力

重力加速度g

匀速直线

匀变速直线

⁠

一架投放救灾物资的飞机在受灾区域的上空水平地匀速飞行，从飞机上投放的救灾物资在落地前的运动中（不计空气阻力）（1）速度和加速度都在不断改变。

（

×

）（2）速度和加速度方向之间的夹角一直减小。

（

√

）（3）在相等的时间内速度的改变量相等。

（

√

）（4）在相等的时间内速率的改变量相等。

（

×

）（5）在相等的时间内动能的改变量相等。

（

×

）×√√××Part02着眼“四翼”·探考点⁠考点一

平抛运动的规律

[素养自修类]1.[平抛运动规律的应用]（2022·广东高考）如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L。当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t。不计空气阻力。下列关于子弹的说法正确的是（

）

2.[多物体平抛运动问题]（2020·江苏高考）如图所示，小球A、B分别从2l和l的高度水平抛出后落地，上述过程中A、B的水平位移分别为l和2l。忽略空气阻力，则（

）A.A的位移大于B的位移B.A的运动时间是B的2倍D.A的末速度比B的大

⁠1.飞行时间和水平射程

2.速度和位移的变化规律（1）速度的变化规律①任一时刻的速度水平分量均等于初速度v0。②任一相等时间间隔Δt内的速度变化量方向竖直向下，大小Δv＝Δvy＝gΔt。（2）位移变化规律①任一相等时间间隔内，水平位移相同，即Δx＝v0Δt。②连续相等的时间间隔Δt内，竖直方向上的位移差不变，即Δy＝gΔt2。3.两个重要推论

（2）做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有tanθ＝2tanα。考点二

落点有约束条件的平抛运动

[多维探究类]考法一

落点在斜面上的平抛运动【典例1】

如图所示，一名跳台滑雪运动员经过一段时间的加速滑行后从O点水平飞出，经过3s落到斜坡上的A点。已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，运动员的质量m＝50kg，不计空气阻力（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10m/s2）。求：（1）A点与O点的距离L；

答案

（1）75m

（2）运动员离开O点时的速度大小；

答案

（2）20m/s

（3）运动员从O点飞出到离斜坡距离最远所用的时间。解析（3）方法一

运动员的平抛运动可分解为沿斜面方向的匀加速运动（初速度为v0cos

37°、加速度为gsin

37°）和垂直斜面方向的类竖直上抛运动（初速度为v0sin

37°、加速度为gcos

37°）。当垂直斜面方向的速度减为零时，运动员离斜坡最远，有v0sin

37°＝gcos

37°·t解得t＝1.5

s。

答案

（3）1.5s｜解题技法｜图示方法基本规律运动时间⁠⁠分解速度，构建速度的矢量三角形⁠分解位移，构建位移的矢量三角形图示方法基本规律运动时间⁠在运动起点同时分解v0、g分解平行于斜面的速度v考法二

落点在竖直面上的平抛运动【典例2】

从竖直墙的前方A处，沿AO方向水平发射三颗弹丸a、b、c，在墙上留下的弹痕如图所示。已知Oa＝ab＝bc，则a、b、c三颗弹丸（不计空气阻力）（

）A.初速度之比是3∶2∶1

答案

C｜解题技法｜

考法三

落点在圆弧面上的平抛运动【典例3】

如图所示，科考队员站在半径为10m的半圆形陨石坑（直径水平）边，沿水平方向向坑中抛出一石子（视为质点），石子在坑中的落点P与圆心O的连线与水平方向的夹角为37°，已知石子的抛出点在半圆形陨石坑左端的正上方，且到半圆形陨石坑左端的高度为1.2m。取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度大小g＝10m/s2，不计空气阻力。则石子抛出时的速度大小为（

）A.9m/sB.12m/sC.15m/sD.18m/s

答案

C｜解题技法｜落点在圆弧面上的三种常见情境

（2）如图乙所示，小球恰好沿B点的切线方向进入圆轨道，此时半径OB垂直于速度方向，圆心角α与速度的偏向角相等。（3）如图丙所示，小球恰好从圆柱体Q点沿切线飞过，此时半径OQ垂直于速度方向，圆心角θ与速度的偏向角相等。考点三

平抛运动中的临界问题

[互动共研类]常见的三种临界特征（1）有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。（2）若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界点。（3）若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这个极值点往往是临界点。【典例4】

如图所示，水平屋顶高H＝5m，围墙高h＝3.2m，围墙到房子的水平距离L＝3m，围墙外空地宽x＝10m，为使小球从屋顶水平飞出落在围墙外的空地上，g取10m/s2。求小球离开屋顶时的速度v0的大小范围。

答案

5m/s≤v0≤13m/s⁠求小球落在空地上的最小速度。

｜一题悟通｜处理平抛运动中的临界问题的关键

处理此类问题的重点在于结合实际模型，对题意进行分析，提炼出关于临界条件的关键信息。此类问题的临界条件通常为位置关系的限制或速度关系的限制，列出竖直方向与水平方向上的方程，将临界条件代入即可求解。在分析此类问题时一定要注意从实际出发寻找临界点，画出物体运动的草图，找出临界条件。⁠1.（2023·江苏苏州模拟）中国的面食文化博大精深，种类繁多，其中“山西刀削面”堪称天下一绝，传统的操作手法是一手托面一手拿刀，直接将面削到开水锅里。如图所示，小面圈刚被削离时距开水锅的高度为h，与锅沿的水平距离为L，锅的半径也为L，将削出的小面圈的运动视为平抛运动，且小面圈都落入锅中，重力加速度为g，则下列关于所有小面圈在空中运动的描述正确的是（

）A.速度的变化量都不相同B.运动的时间都不相同C.落入锅中时，最大速度是最小速度的3倍

2.如图所示，一可看作质点的小球从一台阶顶端以v0＝4m/s的水平速度抛出，每级台阶的高度和宽度均为1m，如果台阶数足够多，重力加速度g取10m/s2，则小球将首先落在标号为几的台阶上？

答案：4考点四

斜抛运动

[素养自修类]1.[滑雪中的斜抛运动问题]某一滑雪运动员从滑道滑出并在空中翻转时经多次曝光得到的照片如图所示，每次曝光的时间间隔相等。若运动员的重心轨迹与同速度不计阻力的斜抛小球轨迹重合，A、B、C和D表示重心位置，且A和D处于同一水平高度。下列说法正确的是（

）A.相邻位置运动员重心的速度变化相同B.运动员在A、D位置时重心的速度相同C.运动员从A到B和从C到D的时间相同D.运动员重心位置的最高点位于B和C中间解析：A

运动员从A斜抛之后，忽略阻力时，人仅受重力，因此加速度为重力加速度，所以速度变化快慢一样，选项A正确；根据曲线运动的特点，在A点、D点速度方向不同，故速度不同，选项B错误；从A飞到B的时间间隔与从C到D的时间间隔不同，选项C错误；由图知A到C的时间等于C到D的时间，根据斜抛运动的对称性可知，运动员重心位置的最高点位于C，选项D错误。2.[投篮中的斜抛运动问题]（2021·江苏高考）如图所示，A、B两篮球从相同高度同时抛出后直接落入篮筐，落入篮筐时的速度方向相同，下列判断正确的是（

）A.A比B先落入篮筐B.A、B运动的最大高度相同C.A在最高点的速度比B在最高点的速度小D.A、B上升到某一相同高度时的速度方向相同解析：D

若研究两个过程的逆过程，可看做是从篮筐沿同方向斜向上的斜抛运动，落到同一高度上的A、B两点，则A上升的高度较大，高度决定时间，可知A运动时间较长，即B先落入篮筐中，故A、B错误；因为两球抛射角相同，A的射程较远，则A球的水平速度较大，即在最高点的速度比B在最高点的速度大，故C错误；由斜抛运动的对称性可知，当A、B上升到与篮筐相同高度时的速度方向相同，故D正确。⁠1.研究方法：运动的合成与分解。（1）水平方向：匀速直线运动。（2）竖直方向：匀变速直线运动。2.基本规律以斜上抛运动为例（1）水平方向x＝v0xt＝v0cosθ·t。（2）竖直方向

3.解题技巧（1）斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆过程为平抛运动。（2）分析完整的斜上抛运动，可根据对称性求解。Part03聚焦“素养”·引思维⁠“STSE问题”巧迁移──体育娱乐中的抛体运动【典例1】

[投掷飞镖游戏]

A.打在C点B.打在地面与C点之间C.恰好打在靶板与地面的交点处D.不能打在靶板上

答案

D【典例2】

[乒乓球的平抛运动问题]在某次乒乓球比赛中，乒乓球先后两次落台后恰好在等高处水平越过球网，过网时的速度方向均垂直于球网，把两次落台的乒乓球看成完全相同的球1和球2，如图所示。不计乒乓球的旋转和空气阻力。乒乓球自起跳到最高点的过程中，下列说法正确的是（

）A.起跳时，球1的重力功率等于球2的重力功率B.球1的速度变化率小于球2的速度变化率C.球1的飞行时间大于球2的飞行时间D.过网时球1的速度小于球2的速度

答案

A【典例3】

[滑板的抛体运动问题]2021年8月滑板运动在奥运会上完成首秀，我国16岁的滑板选手曾文惠成为第一位进入奥运滑板决赛的中国运动员。研究运动员在滑板上跳起至落回动作，下列说法正确的是（

）A.运动员和滑板都可以视为质点B.运动员和滑板在此过程中的加速度相等C.运动员与滑板的分离时间与滑板速度无关D.运动员和滑板的位移在此过程中始终保持相等

答案

CPart04锁定“目标”·提素能⁠1.对于做平抛运动的物体，下列说法中正确的是（

）A.物体落地时的水平位移与初速度无关B.初速度越大，物体在空中运动的时间越长C.物体落地时的水平位移与抛出点的高度及初速度有关D.在相等的时间内，物体速度的变化量不相同

2.从y轴上沿x轴正方向水平抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹如图所示，其中b和c是从同一点抛出的。不计空气阻力，则（

）A.a的飞行时间比b的长B.b和c的飞行时间相同C.a的初速度比b的小D.b的初速度比c的小

3.正在水平匀速飞行的飞机，每隔1秒钟释放一个小球，先后共释放5个，不计阻力，则（

）A.这5个球在空中排成一条倾斜的直线B.这5个球在空中处在同一抛物线上C.在空中，第1、2两球间的距离保持不变D.相邻两球的落地点间距离相等

4.（2023·江苏常州高三期中）如图所示，虚线为A、B两小球从等宽不等高的台阶抛出的运动轨迹。A球从台阶1的右端水平抛出后，运动至台阶2右端正上方时，B球从台阶2的右端水平抛出，经过一段时间后两球在台阶3右端点相遇，不计空气阻力。则（

）A.两球抛出时的速度大小相等B.两球相遇时A的速度大小为B的两倍C.台阶1、2的高度差是台阶2、3高度差的4倍D.两球相遇时A的速度与水平方向的夹角的正切值为B的3倍

5.（2023·江苏省盐城市高三模拟）运动员在同一位置分别沿与地面成30°和60°的方向踢出一只橄榄球，两次球落在同一地点，运动轨迹如图所示，不计空气阻力，则关于橄榄球的运动说法错误的是（

）A.两次运动位移相等B.沿轨迹①运动时间长C.在最高点时沿轨迹②运动速度小D.两次最高点位置一定在同一竖直线上

6.（2023·江苏徐州模拟）某工厂为了落实有关节能减排政策，水平的排水管道满管径工作，减排前、后，水落点距出水口的水平距离分别为x0、x1，则减排前、后单位时间内的排水量之比（

）

7.如图所示，在竖直平面内有一曲面，曲面方程为y＝x2，在y轴上有一点P，坐标为（0，6m）。从P点将一小球水平抛出，初速度为1m/s。则小球第一次打在曲面上的位置为（不计空气阻力）（

）A.（3m，3m）B.（2m，4m）C.（1