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文档简介
专题六函数与导数玩转小题第23讲基本初等函数
考点梳理考情回顾高考预测函数的奇偶性2023新高考Ⅱ卷第4题2021新高考Ⅰ卷第13题1.基本初等函数:重点考查
函数的图象和性质(单调
性、奇偶性、最值等).2.抽象函数:重点考查抽象
函数的图象和性质(对称
性、周期性等).函数的单调性
与最值2023新高考Ⅰ卷第4题2022新高考Ⅰ卷第7题2021新高考Ⅰ卷第15题抽象函数的性
质2023新高考Ⅰ卷第11题2022新高考Ⅰ卷第12题2022新高考Ⅱ卷第8题2021新高考Ⅱ卷第8题
1.(2023·新高考Ⅰ卷)设函数
f
(
x
)=2
x
(
x
-
a
)在区间(0,1)上单调
递减,则实数
a
的取值范围是(
D
)A.(-∞,-2]B.[-2,0)C.(0,2]D.[2,+∞)D2.(2023·天津卷)函数
f
(
x
)的图象如图所示,则函数
f
(
x
)的解析
式可能为(
D
)A.B.C.D.D3.(多选)(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数
f
(
x
)的定义域为R,且
f
(
xy
)=
y
2
f
(
x
)+
x
2
f
(
y
),则下列结论正确的是(
ABC
)A.f(0)=0B.f(1)=0C.函数f(x)是偶函数D.x=0为函数f(x)的极小值点ABC
1.函数的奇偶性(1)
定义:若函数的定义域关于原点对称,则有①
f
(
x
)是偶函数⇔
f
(-
x
)=
f
(
x
)=
f
(|
x
|);②
f
(
x
)是奇函数⇔
f
(-
x
)=-
f
(
x
).(2)
判断方法:定义法、图象法、奇偶函数性质法(如“奇函数×奇
函数”是偶函数).2.函数单调性判断方法:定义法、图象法、导数法.
4.函数的周期性(1)
若函数
f
(
x
)满足
f
(
x
+
a
)=
f
(
x
-
a
)或
f
(
x
+2
a
)=
f
(
x
),则函数
y
=
f
(
x
)的周期为2|
a
|.(2)
双对称出周期:若函数
f
(
x
)的图象关于直线
x
=
a
和直线
x
=
b
对称,或函数
f
(
x
)的图象关于点(
a
,0)和点(
b
,0)对称,则
2|
b
-
a
|是函数
f
(
x
)的一个周期;若函数
f
(
x
)的图象关于点
(
a
,0)和直线
x
=
b
对称,则4|
b
-
a
|是函数
f
(
x
)的一个周期.
AABCD
ABCDD解:令
f
(
x
)=2
x
2-e|
x
|,
x
∈[-2,2],则易知函数
f
(
x
)是偶函
数.又
f
(2)=8-e2∈(0,1),所以可排除A,B.当
x
>0时,
f
(
x
)
=2
x
2-e
x
,则f'(
x
)=4
x
-e
x
.因为f'(0)=-1<0,f'(1)=4-e>
0,所以存在
x
0∈(0,1)使f'(
x
)=0.所以函数
f
(
x
)在区间(0,
1)上一定不单调.故排除C.故选D.总结提炼
(1)
根据函数解析式判断函数的图象,一般要依据函数的性质,如奇
偶性、单调性、对称性等,并结合特殊的点排除一些错误选项,对于
一些较复杂的函数,有时还得通过求导等判断函数的图象规律;根据
函数的图象选择函数解析式,由函数图象的特征结合函数的性质逐项
排除即可得解.(2)
排除法常与特例法、数形结合法联合使用,在选择题的求解中更
有效;极限法(极端值法)是一种基本而重要的数学方法,通过考查
问题的极端状态,灵活借助极限思想解题,往往可以避开抽象复杂的
运算,优化解题过程,降低解题难度.[对点训练](2022·全国乙卷)如图所示为下列四个函数中的某个函数在区间[-3,3]上的大致图象,则该函数是(
A
)A.y=B.y=C.y=D.y=A123456789101112131415161718192021222324
A.-2B.-1C.0D.1B
A.(1,+∞)B.C.D.(-∞,1)B
总结提炼
函数性质的内容丰富,联系密切,既有整体性质,如函数的奇偶
性、周期性,也有局部性质,如函数的单调性.函数的性质应用广泛,
方程、不等式、最值等高考热点内容都与函数性质相关,求解时要研
究函数各性质间的相互联系,对性质进行整合应用,常常需要利用数
形结合、分类讨论等思想方法.
A.B.C.D.B
A.函数f(x)的图象关于点(0,1)对称B.函数g(x)的图象没有对称中心C.对任意的x∈[-a,a](a>0),函数F(x)的最大值与最小值之和
为4D.若<1,则实数x的取值范围是(-∞,1)∪(3,+
∞)ACD解:根据题意,得函数
f
(
x
)的定义域为R.因为
f
(
x
)+
f
(-
x
)
=lg100=2,所以函数
f
(
x
)的图象关于点(0,1)对称.故A正确.根
据题意,得函数
g
(
x
)的定义域为R.因为
g
(
x
)+
g
(-
x
)=2,
所以函数
g
(
x
)的图象关于点(0,1)对称.故B错误.因为
F
(
x
)=
f
(
x
)+
g
(
x
),所以函数
F
(
x
)的定义域为R.
热点2
抽象函数[典例设计]例3(1)
若定义在R上的奇函数
f
(
x
)在区间(-∞,0)上单调递
减,且
f
(2)=0,则满足(2
x
-1)
f
(
x
+1)≥0的
x
的取值范围是
(
C
)A.(-∞,-1]∪B.(-∞,-3]∪[1,+∞)C.[-3,-1]∪D.∪[1,+∞)C(2)
已知函数
f
(
x
)的定义域为R,
f
(
x
-1)是偶函数,
f
(
x
+2)
是奇函数,则
f
(2022)等于(
D
)A.f(1)B.f(2)C.f(3)D.f(4)D[对点训练]4.(多选)(2023·苏北四市一模)设函数
f
(
x
)的定义域为R,
f
(2
x
+1)是奇函数,
f
(
x
+2)是偶函数,且当
x
∈[0,1]时,
f
(
x
)=
ax
+
b
.若
f
(0)+
f
(3)=-1,则下列结论正确的是(
AC
)A.b=-2B.f(2023)=-1C.函数f(x)为偶函数D.函数f(x)的图象关于点对称AC
5.已知函数
f
(
x
),
g
(
x
)都是定义域为R的函数,函数
g
(
x
-1)
为奇函数,
f
(1+
x
)-
g
(
x
)=0,
f
(3-
x
)-
g
(-2-
x
)=0,
则
f
(2)等于(
B
)A.-1B.0C.1D.2解:因为函数
g
(
x
-1)为奇函数,所以函数
g
(
x
)的图象关于点
(-1,0)对称.所以
g
(
x
)+
g
(-2-
x
)=0.又
f
(3-
x
)-
g
(-2-
x
)=0,所以
f
(3-
x
)+
g
(
x
)=0.又
f
(1+
x
)-
g
(
x
)=0,所以
f
(1+
x
)+
f
(3-
x
)=0.令
x
=1,得
f
(2)+
f
(2)=0.所以
f
(2)=0.故选B.B[典例设计]例4(1)
已知定义在R上的函数
f
(
x
)对一切实数
x
,
y
都满足
f
(
x
)≠0,且
f
(
x
+
y
)=
f
(
x
)·
f
(
y
).若函数
f
(
x
)在区间(0,
+∞)上的值域为(0,1),则函数
f
(
x
)的值域是(
C
)A.RB.(0,1)C.(0,+∞)D.(0,1)∪(1,+∞)C解:因为定义在R上的函数
f
(
x
)对一切实数
x
,
y
都满足
f
(
x
)≠0,
且
f
(
x
+
y
)=
f
(
x
)·
f
(
y
),所以令
x
=
y
=0,可得
f
(0)=
f
(0)·
f
(0).又
f
(
x
)≠0,所以
f
(0)=1.再令
y
=-
x
,可得
f
(0)
=
f
(
x
)·
f
(-
x
)=1.又函数
f
(
x
)在区间(0,+∞)上的值域为
(0,1),所以函数
f
(
x
)在区间(-∞,0)上的值域为(1,+
∞).所以函数
f
(
x
)在R上的值域是(0,+∞).故选C.(2)
(2022·新高考Ⅱ卷)若函数
f
(
x
)的定义域为R,且
f
(
x
+
y
)
+
f
(
x
-
y
)=
f
(
x
)
f
(
y
),
f
(1)=1,则
等于(
A
)A.-3B.-2C.0D.1A
解:因为
f
(
x
+
y
)+
f
(
x
-
y
)=
f
(
x
)
f
(
y
),所以令
x
=1,
y
=0,可得2
f
(1)=
f
(1)
f
(0).又
f
(1)=1,所以
f
(0)=2.令
x
=0,可得
f
(
y
)+
f
(-
y
)=2
f
(
y
),即
f
(
y
)=
f
(-
y
).又函
数
f
(
x
)的定义域为R,所以函数
f
(
x
)为偶函数.令
y
=1,得
f
(
x
+
1)+
f
(
x
-1)=
f
(
x
)
f
(1)=
f
(
x
).所以
f
(
x
+2)+
f
(
x
)=
f
(
x
+1).所以
f
(
x
+2)=-
f
(
x
-1).所以
f
(
x
-1)=-
f
(
x
-
4).所以
f
(
x
+2)=
f
(
x
-4),即
f
(
x
)=
f
(
x
+6).所以函数
f
(
x
)的一个周期为6.因为
f
(2)=
f
(1)-
f
(0)=1-2=-1,
f
(3)=
f
(2)-
f
(1)=-1-1=-2,
f
(4)=
f
(-2)=
f
(2)=-1,
f
(5)=
f
(-1)=
f
(1)=1,
f
(6)=
f
(0)=2,所以一个周期内的
f
(1)+
f
(2)+…+
f
(6)=
0.因为22÷6=3……4,所以
=
f
(19)+
f
(20)+
f
(21)
+
f
(22)=
f
(1)+
f
(2)+
f
(3)+
f
(4)=1-1-2-1=-3.故
选A.[对点训练]6.若函数
f
(
x
)的定义域为Z,且
f
(
x
+
y
)+
f
(
x
-
y
)=
f
(
x
)[
f
(
y
)+
f
(-
y
)],
f
(-1)=0,
f
(0)=
f
(2)=1,则曲线
y
=|
f
(
x
)|与
y
=log2|
x
|的交点个数为(
B
)A.2B.3C.4D.5B解:因为函数
f
(
x
)的定义域为Z,且
f
(
x
+
y
)+
f
(
x
-
y
)=
f
(
x
)·[
f
(
y
)+
f
(-
y
)],
f
(-1)=0,
f
(0)=
f
(2)=1,所
以令
y
=1,则
f
(
x
+1)+
f
(
x
-1)=
f
(
x
)·[
f
(1)+
f
(-1)]
=
f
(
x
)
f
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