集合的概念与表示（六大题型）-2023年暑假初三升高一数学衔接知识自学讲义（苏教版2019）（原卷版）

专题01集合的概念与表示

【题型归纳目录】

题型一：集合的含义

题型二：元素与集合关系的判断

题型三：集合的确定性、互异性、无序性

题型四：集合的表示：描述法

题型五：集合的表示：列举法

题型六：集合的综合问题

【知识点梳理】

知识点一：集合的概念

(1)元素与集合：我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体叫集合.集合通常用大写字母

A,B,C,表Z5.集合的兀素通常用小写字母c,.表示.

知识点二：集合与元素的关系

如果a是集合A的元素，记作aeA,读作“a属于A”；如果a不是集合A的元素，记作aeA,读作力

不属于A”.

知识点三：集合中元素的特点

(1)确定性：集合的元素必须是确定的.

(2)互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不相同的.

(3)无序性：集合中的元素可以任意排列.

知识点四：常用数集及其记法

所有非负整数组成的集合称为非负整数集(或自然数集)，记作N;

所有正整数组成的集合称为正整数集，记作N+或N*；

所有整数组成的集合称为整数集，记作Z；

所有有理数组成的集合称为有理数集，记作Q;

所有实数组成的集合称为实数集，记作R.

知识点五：集合的表示

(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，放在大括号内，依此表示集合

的方法称为列举法，如{1,2,3},{x+y,x-y}等.

使用说明

①用列举法表示集合时，一般不考虑元素的顺序.

②如果一个集合的元素较多，且能够按照一定的规律排列，那么在不致于发生误解的情况下，可按照

规律列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.

③无限集有时也可用列举法表示.

（2）描述法：一般地，如果属于集合4的任意一个元素x都具有性质p（x）,而不属于集合A的元素都不

具有这个性质，则性质p（x）为集合4的一个特征性质，此时集合A可以表示为｛x|p（x）｝,这种表示集合

的方法称为特征性质描述法，简称描述法.

使用说明

①有些情况下，描述法中竖线T及其左边元素的形式均可省略，如｛X仅是三角形｝，也可表示为｛三角

形｝.

②集合｛x|p（x）｝中所有在另一集合/中的元素组成的集合，可以表示为｛xe/]p（x）｝.

知识点六：集合的分类

一般地，含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集.我们把不含任何元素

的集合称为空集，记作。.例如，集合｛xlx2+x+]=o,xeR｝就是空集.

【典例例题】

题型一：集合的含义

例1.（2023•河南濮阳•高一校考阶段练习）下列叙述能够组成集合的是（）

A.我校所有体质好的同学B.我校所有800米达标的女生

C.全国所有优秀的运动员D.全国所有环境优美的城市

例2.（2023•吉林松原•高一校考阶段练习）下列各组对象不能构成集合的是（）

A.跑步速度快的人B.乾安七中2021级高一年级全体学生

C.小于5的实数D.直线y=2x+l上所有的点

例3.（2023•安徽六安•高一校考期中）下列四组对象能构成集合的是（）

A.高一年级跑步很快的同学B.晓天中学足球队的同学

C.晓天镇的大河D.著名的数学家

变式1.（2023.高一单元测试）下列语言叙述中，能表示集合的是（）

A.数轴上离原点距离很近的所有点

B.德育中学的全体高一学生

C.某高一年级全体视力差的学生

D.与AfiC大小相仿的所有三角形

题型二：元素与集合关系的判断

例4.（2023•高一课时练习）设集合A=｛yly=V+l｝,则下列元素属于A的是（）

A.(0,1)B.-1C.&D.0

例5.（2023•贵州黔东南•凯里一中校考三模）已知集合S={yly=x2-l},T={（x,y）|x+y=0},下列关系正确

的是（）

A.-2eSB.（2,—2）e7C.-Ig5D.（-1,1）eT

例6.（2023•四川绵阳・统考模拟预测）已知集合A={-2,-1,0,1,2,3},8={xeA|—x任A},贝（）

A.{1,2}B.{-2,-1}C.{0,3}D.{3}

变式2.（2023.河南洛阳•高一校考阶段练习）下列说法正确的有（）

①leN；②0eN*;③|eQ;④2+夜wR;⑤兀eQ

A.1个B.2个C.3个D.4个

题型三：集合的确定性、互异性、无序性

例7.（2023・高一课时练习）若集合M={0,l,2},N={（x,y）|x,ywM},则N中元素的个数为（）

A.3B.6C.9D.10

例8.（2023•高一课时练习）以方程/+》_2=0和2/+丫-3=0的解为元素的集合含有的元素个数是（）

A.1B.2C.3D.4

例9.（2023,黑龙江哈尔滨・高一哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）已知集合4={12,/+4”,”-2},

-3eA,则a=（）

A.-1B.-3或-1C.3D.-3

变式3.（2023•江苏南京•高一校考期中）已知集合A={a+1,/+4a-9,2021}，若A,则实数。的值为（）.

A.-5B.1C.5或-1D.-5或1

变式4.（2023•全国•高一专题练习）已知“eR,beR,若集合{〃,：/}={/,a+4。},则产、产。的（）

A.-2B.1C.-1D.2

变式5.（2023・全国•高一专题练习）设集合{a也而}={1,2,4},则°+b=（）

A.2B.3C.5D.6

题型四：集合的表示：描述法

例10.(2023・上海浦东新•高一校考阶段练习)用描述法表示直角坐标系中第二象限的所有点组成的集合

例11.(2023・上海长宁•高一上海市延安中学校考期中)所有正奇数组成的集合用描述当表示为

例12.(2023•河南周口•高一周口恒大中学校考阶段练习)用描述法表示下列集合：

(1)所有被3整除的整数组成的集合；

(2)不等式2x—3>5的解集；

(3)方程f+x+i=()的所有实数解组成的集合；

(4)抛物线y=+3x-6上所有点组成的集合；

⑸集合{1,3,5,7,9}.

变式6.(2023・高一课时练习)用描述法表示下列集合:

(1)偶数组成的集合;

(2)正奇数组成的集合；

(3)不等式一/K)的解集;

(4)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合;

(5)集合

变式7.(2023・高一课时练习)用描述法表示下列集合:

(1)不等式3x+2>5的解集；

(2)平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合；

(3)二次函数y=--2x+3图象上的点组成的集合.

题型五：集合的表示：列举法

例13.(2023•全国•高三专题练习)用列举法写出集合A={y|y=d—2,xeZ,|x区3}=.

例14.(2023•江西赣州•高一上犹中学校考周测)用列举法表示集合M={4-xeN|xeN}=

例15.(2023•四川.高一校考阶段练习)设集合A={XGZ|WGN],则用列举法表示集合A为.

xyzxyz

变式8.(2023•高一课时练习)已知x,»z为非零实数,代数式而+目+扇的值所组成的集合是〃,

则"=.

变式9.(2023•上海浦东新•高一上海南汇中学校考期中)用列举法表示集合加=x|xeZ,GN

2-x

变式10.(2023•高一课时练习)用列举法表示下列集合

(1)11以内非负偶数的集合；

(2)方程(x+1乂V-4)=0的所有实数根组成的集合；

(3)一次函数y=2x与y=x+l的图象的交点组成的集合.

变式11.(2023.高一课时练习)用列举法表示下列集合:

(1)中国国旗的颜色组成的集合;

(2)单词mathematics中的字母组成的集合;

(3)自然数中不大于10的质数组成的集合;

2x4-4>0,

(4)同时满足।；的整数组成的集合;

\+x>2x-\

⑸由号+与3,所确定的实数组成的集合.

题型六：集合的综合问题

例16.(2023•全国•高三专题练习)已知集合A的元素全为实数，且满足：若则手eA.

\-a

(1)若〃=-3,求出A中其它所有元素；

(2)0是不是集合A中的元素？请你设计一个实数awA,再求出A中的所有元素？

⑶根据(1)(2),你能得出什么结论.

例17.(2023•上海浦东新•高一华师大二附中校考阶段练习)己知M是满足下列条件的集合:①OeMJeM；

②若x、yeM,则x-yeM；③若xeM且x*0,则1eM.

X

(1)判断是否正确，说明理由；

2

(2)证明：“若xeZ,则XGM”是真命题;

(3)证明：若x,yeM,则孙eM.

例18.(2023•河南南阳•高一校考阶段练习)已知集合4=卜€可依2-3》+1=0,。€1^},求集合A满足下列

条件时实数”的所有可能取值组成的集合

(1)集合A中有且仅有一个元素；

(2)集合A中有两个元素；

变式12.(2023・高一课时练习)(1)如果集合A={x|x=加+近〃}(私〃wZ),xpx2eA,证明：x}x2eA.

(2)如果集合8=卜卜=〃?+逝"，整数，相〃互素，那么是否存在x,使得x和;都属于B?若存在，请写

出一个；若不存在，请说明理由.

【过关测试】

一、单选题

1.（2023•高一课时练习）已知关于x的方程V—用+苏一3=0的解集只有一个元素，则，〃的值为（）

A.2B.-2C.±2D.不存在

2.（2023•福建宁德•高一统考期末）下列集合与区间（1,2）表示的集合相等的是（）

A.{（1,2）}B.{X|X2-3X+2<0）

C.-3x+2=o|D.{（x,y）|x=l,y=2}

3.（2023•河南濮阳•高一校考阶段练习）已知刀力2/一》},则实数x为（）

A.0B.1C.0或1D.0或1或2

4.（2023•河南郑州•高一校考阶段练习）已知集合A={x|x=2〃,〃wN},8={X|X=2〃+1,〃GN},

C={x|x=4〃+l,〃eN},若aeA,b&B,贝（!（）

A.a+beAB.a+b&BC.a+beCD.以上都不对

5.（2023•陕西安康•高一校考阶段练习）设P,。是两个非空集合，定义尸xQ={（a,b）|awP,AeQ},若

P={3,4,5},。={4,5,6,7},则PxQ中元素的个数是（）

A.3B.4C.12D.16

6.（2023•陕西榆林♦高一陕西省神木中学校考阶段练习）下列所给关系中，正确关系的个数是（）

①7teZ；②/eQ；③2eN；④|-4屁R.

A.1B.2C.3D.4

7.（2023・上海徐汇・高一统考期末）若集合A同时具有以下三个性质：（1）OeA,leA；（2）若

则x-yeA；（3）若xdA且xwO,则geA.则称A为“好集”.已知命题：①集合{1,0,—1}是好集；②对

任意一个“好集”，若则x+yeA.以下判断正确的是（）

A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题

C.①为真命题，②为假命题D.①为假命题，②为真命题

8.（2023•广西钦州•高一统考期末）当一个非空数第G满足：如果bwG,则a+b,a-b,aheG,且b/0

时，fwG时，我们称G就是一个数域•以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素;②若数域G有非零

b

元素，则2019eG；③集合P={x|x=2A,keZ}是一个数域.④有理数集是一个数域•其中正确的选项是（）

A.①②④B.②③④C.①④D.①②

二、多选题

9.（2023・湖南长沙•高一长沙市明德中学校考期末）已知集合4={0,根,苏-3加+2},且2e4,则实数机的

取值不可以为（）

A.2B.3C.0D.-2

10.（2023•浙江金华•高一校考阶段练习）下列说法中，正确的是（）

A.夜的近似值的全体构成集合B,自然数集N中最小的元素是0

C.在数集Z中，若aeZ,则-aeZD.一个集合中可以有两个相同的元素

11.（2023.甘肃庆阳•高一校考期中）已知集合4={xeN|-g4x4退},则有（）

A.一leAB.OwA

C.5/3eAD.2eA

12.（2023•江苏常州•高一江苏省奔牛高级中学校考阶段练习）在整数集Z中，被6除所得余数为女的所有整

数组成一个“类集”，其中％€{0』,2,3,4,5},记为网，即因={x个=6"+/”eZ},以下判断不正确的是（）

A.2022e[2]

B.-13G[1]

C.若则整数。力一定不属于同一类集

D.若。一/，€[0],则整数。力一定属于同一类集

三、填空题

13.（2023•高一课时练习）集合M={（x,y）l->0/+»<0,犬£凡、€2表示的是.

14.（2023♦高一课时练习）数集-a}中的元素。不能取的值是.

15.（2023・福建泉州•高一福建省南安市侨光中学校联考阶段练习）集合A={a-2,2/+5a,12},且-3wA,

贝I".

16.（2023•辽宁沈阳•高一沈阳市外国语学校校考阶段练习）集合{玳a-2）f+3x7=0,xeR}为单元素集合,

贝ija=.

四、解答题

17.（2023•高一课时练习）若关于x的方程的2-（，/