2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列（苏科版）专题4.6 实数章末重难点突破（举一反三）含解析

2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列专题4.6实数章末重难点突破【苏科版】【考点1实数的分类】【例1】（2021秋•鄞州区期中）将下列各数的序号填在相应的集合里．①π；②227；③3-8；④3.14；⑤1.6⋅；⑥整数集合：{…}；负数集合：{…}；无理数集合：{…}．【变式1-1】（2021秋•江干区校级期中）用序号将下列各数填入相应的大括号内．①32，②-1715，③4，④0，⑤-0.9，⑥3.14，⑦-π4正整数{…}；负分数{…}；无理数{…}．【变式1-2】（2021秋•曾都区期中）把下列各数填在相应的集合里：-4，3.5，0，π正分数集合：{…}．负有理数集合：{…}．无理数集合：{…}．非负整数集合：{…}．【变式1-3】（2021秋•连云港月考）把下列各数分别填入相应的集合里．100，﹣0.82，﹣3012，3.14，﹣2，0，﹣2011，﹣3.1．，37正分数集合：{…}；整数集合：{…}；负有理数集合：{…}；非正整数集合：{…}；无理数集合：{……}．【考点2实数中的判断正误】【例2】（2021秋•萧山区期中）下列说法中正确的个数有（）①任何实数都可以表示在数轴上；②81的平方根是±9；③-22a2b3的系数是-23；④若数a由四舍五入法得到近似数为7.30，则数aA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式2-1】（2021秋•和平区校级期中）下列叙述，不正确的个数有（）①所有的正数都是整数②|a|一定是正数③无限小数一定是无理数④（﹣2）2没有平方根⑤34A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式2-2】（2021秋•西湖区校级期中）已知a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，则下列正确的是（）①ab＞0；②a2＞b2；③|b﹣c|＝c﹣b；④1a＞1A．①②④ B．③④ C．②③⑥ D．④⑤【变式2-3】（2021秋•鄞州区期中）已知a，b为实数，下列说法：①若ab＜0，且a，b互为相反数，则ab=-1；②若a+b＜0，ab＞0，则|2a+3b|＝﹣2a﹣3b；③若|a﹣b|+a﹣b＝0，则b＞a；④若|a|＞|b|，则（a+b）×（a﹣b）是正数；⑤若a＜b，ab＜0且|a﹣3|＜|b﹣3|，则a+A．2 B．3 C．4 D．5【考点3实数的运算】【例3】（2021秋•西湖区校级期中）计算：（1）（﹣12）+7﹣（﹣8）；（2）（-12）×（﹣1）2022【变式3-1】（2021秋•常熟市校级月考）求下列各式中x的取值：（1）2x2﹣8＝0．（2）4（2x﹣1）2＝9．【变式3-2】（2021秋•丰台区校级期中）计算．（1）（﹣2）2×5﹣（﹣2）3÷4；（2）（﹣2）2﹣|5-3【变式3-3】（2021秋•渠县校级期中）解方程：（1）（x+1）2﹣0.01＝0；（2）（3x+2）3﹣1=61【考点4实数的性质】【例4】（2021秋•泰兴市期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图，（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c0，a+b0，c﹣a0．（2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣2|c﹣a|．【变式4-1】（2021秋•牡丹区月考）若a=3，b＝|﹣6|，c=A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a【变式4-2】（2021秋•天心区期中）已知三个有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，且满足|b|＝|c|．（1）比较大小：a0，b+c0，a+c0（请填“＞”，“＜”或“＝”）；（2）化简：|b|+|a+c|﹣|a|；（3）计算：a|a|【变式4-3】（2021秋•秦淮区期中）已知四个数，a＝﹣22，b＝﹣|﹣2|，c＝﹣（﹣1）100，d＝﹣（﹣3）．（1）计算a、b、c、d，得a＝，b＝，c＝，d＝；（2）把这四个数在如图所示的数轴上分别表示出来．（3）用“＜”把a、b、c、d连接起来．（4）用“＞”把|a|、|b|、|c|、|d|连接起来．【考点5实数中的规律问题】【例5】（2021秋•洛宁县月考）将1，2，3，6按右侧方式排列，若规定（m，nA．2 B．2 C．23 D．【变式5-1】（2021春•曾都区期末）观察下列各式：1+112+122=1+1请利用你发现的规律计算：1+112【变式5-2】（2021春•忠县期末）我们经过探索知道1+112+122=3222，1+122【变式5-3】（2021秋•福田区校级月考）若[x]表示不超过x的最大整数（如[π]＝3，[﹣223]＝﹣3等），求[12-1×2]+[1【考点6实数中的新定义问题】【例6】（2021春•南湖区校级期中）对任意两实数a、b，定义运算“*”如下：a*b=ba(a≥b)ba【变式6-1】（2021秋•通川区校级月考）对于不相等的两个实数a、b（a+b≥0），定义一种运算@：a@b=a+ba-b．如4@3=4+3【变式6-2】（2021秋•西湖区校级期中）我们定义一种新运算：x⊗y＝xy+x﹣y．（1）求2⊗（﹣4）的值；（2）若代数式2⊗[x⊗k]的值与x无关，求实数k的值．【变式6-3】（2021秋•建宁县期中）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n﹣mn﹣3n，如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．（1）计算：3※（﹣2）；（2）若2※m=3，求m的值，并在所给的数轴上表示出m【考点7实数中算术平方根的双重非负性】【例7】（2021秋•渠县校级期中）若实数a，b满足a+1+(a+b)2=0，则代数式a2020+b【变式7-1】（2021秋•北碚区校级月考）已知x为实数，且3x-3-32x+1=0，则A．3 B．2 C．3和﹣3 D．2和﹣2【变式7-2】（2021秋•苏州期中）已知2x+y-2与（x﹣y+3）2互为相反数，求x2y的平方根．【变式7-3】（2021•东兴区校级开学）（1）已知x，y，z满足2y+z+|x﹣y|+z2﹣z+14=0，求2x﹣（2）已知实数a，b，c满足：b=-(a-3)2+4，c【考点8实数中的估算】【例8】（2021秋•雁塔区校级月考）若6-13的整数部分为x，小数部分为y，则x﹣yA．﹣2+13 B．﹣2-13 C．2+13【变式8-1】（2021春•梁山县期末）已知2+6的小数部分为a，3-6的小数部分为b，则a+b＝【变式8-2】（2021秋•朝阳区期中）因为1＜3＜4，即1＜3（1）求11的整数部分和小数部分．（2）若m是11-11的小数部分，n是11+11的小数部分，且（x+1）2＝m+n，求【变式8-3】（2021秋•西湖区校级期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用2-1来表示2事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2的整数部分是1，将2减去其整数部分，差就是2的小数部分．请解答：（1）23的整数部分是，小数部分是；（2）如果7的小数部分为a，17的整数部分为b，求a+b-7（3）已知10+7=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣专题4.6实数章末重难点突破【苏科版】【考点1实数的分类】【例1】（2021秋•鄞州区期中）将下列各数的序号填在相应的集合里．①π；②227；③3-8；④3.14；⑤1.6⋅；⑥整数集合：{③⑥…}；负数集合：{③⑦…}；无理数集合：{①⑦…}．【分析】根据有理数进行分类，分数包括小数，无理数包括无限不循环小数和开方开不尽的数，即可得出答案．【解答】解：3-8整数集合：{③⑥…}；负数集合：{③⑦…}；无理数集合：{①⑦…}．故答案为：③⑥；③⑦；①⑦．【变式1-1】（2021秋•江干区校级期中）用序号将下列各数填入相应的大括号内．①32，②-1715，③4，④0，⑤-0.9，⑥3.14，⑦-π4正整数{③，⑨…}；负分数{②，⑧…}；无理数{①，⑤，⑦…}．【分析】按照实数的分类填写．【解答】解：4=2，3正整数{③，⑨…}，负分数{②，⑧…}，无理数{①，⑤，⑦…}．故答案为③，⑨；②，⑧；①，⑤，⑦．【变式1-2】（2021秋•曾都区期中）把下列各数填在相应的集合里：-4，3.5，0，π正分数集合：{3.5，10%…}．负有理数集合：{﹣4，-23无理数集合：{π3，﹣2.030030003•••非负整数集合：{0，2019…}．【分析】根据有理数进行分类，分数包括小数，无理数包括无限不循环小数和开方开不尽的数，即可得出答案．【解答】解：正分数集合：{3.5，10%…}．负有理数集合：{﹣4，-2无理数集合：{π3非负整数集合：{0，2019…}．故答案为：3.5，10%；﹣4，-23；【变式1-3】（2021秋•连云港月考）把下列各数分别填入相应的集合里．100，﹣0.82，﹣3012，3.14，﹣2，0，﹣2011，﹣3.1．，37正分数集合：{3.14，37整数集合：{100，﹣2，0，﹣2011…}；负有理数集合：{﹣0.82，﹣3012，﹣2，﹣2011，﹣3.1⋅非正整数集合：{﹣2，0，﹣2011…}；无理数集合：{-π4【分析】根据分数，有理数，整数以及无理数的概念进行判断即可．【解答】解：正分数集合：{3.14，37整数集合：{100，﹣2，0，﹣2011，…}负有理数集合：{﹣0.82，﹣3012，﹣2，﹣2011，﹣3.1非正整数集合；{﹣2，0，﹣2011，…}无理数集合：{-π故答案为：3.14，37；100，﹣2，0，﹣2011；﹣0.82，﹣3012，﹣2，﹣2011，﹣3.1⋅【考点2实数中的判断正误】【例2】（2021秋•萧山区期中）下列说法中正确的个数有（）①任何实数都可以表示在数轴上；②81的平方根是±9；③-22a2b3的系数是-23；④若数a由四舍五入法得到近似数为7.30，则数aA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据实数与数轴上的点一一对应判断①；根据算术平方根和平方根的定义判断②；根据单项式的系数判断③；根据近似数的定义判断④；根据平方根和立方根的性质判断⑤；根据无理数的定义判断⑥．【解答】解：实数与数轴上的点一一对应，故①符合题意；81=9，9的平方根是±3，故②这个单项式的系数是-43，故若数a由四舍五入法得到近似数为7.30，则数a的范围是：7.295≤a＜7.305，故④不符合题意；平方根和立方根都等于它本身的数有0，故⑤不符合题意；22是无理数，故⑥符合题意的有1个，故选：A．【变式2-1】（2021秋•和平区校级期中）下列叙述，不正确的个数有（）①所有的正数都是整数②|a|一定是正数③无限小数一定是无理数④（﹣2）2没有平方根⑤34A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据正数、负数的定义，以及无理数、平方根的定义即可判断．【解答】解：①所有的正数不一定都是整数，如0.5，原来的说法不正确；②|a|一定是非负数，原来的说法不正确；③无限小数不一定是无理数，如0.3⋅④（﹣2）2＝4，4的平方根是±2，原来的说法不正确；⑤4=故选：D．【变式2-2】（2021秋•西湖区校级期中）已知a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，则下列正确的是（）①ab＞0；②a2＞b2；③|b﹣c|＝c﹣b；④1a＞1A．①②④ B．③④ C．②③⑥ D．④⑤【分析】根据数轴上的点表示的数以及大小关系、立方根的定义解决此题．【解答】解：由题意得：b＜c＜0＜a，|b|＞|a|＞|c|．①由图得：b＜c＜0＜a，得ab＜0，故①不正确．②由题意得：b＜c＜0＜a，|b|＞|a|＞|c|，得a2＜b2，故②不正确．③由题意得：b＜c＜0＜a，|b|＞|a|＞|c|，得b﹣c＜0，故|b﹣c|＝c﹣b，那么③正确．④由题意得：b＜c＜0＜a，|b|＞|a|＞|c|，得1a＞1⑤由题意得：b＜c＜0＜a，|b|＞|a|＞|c|，得3b＜0，3a＞0，故综上：正确的有③④．故选：B．【变式2-3】（2021秋•鄞州区期中）已知a，b为实数，下列说法：①若ab＜0，且a，b互为相反数，则ab=-1；②若a+b＜0，ab＞0，则|2a+3b|＝﹣2a﹣3b；③若|a﹣b|+a﹣b＝0，则b＞a；④若|a|＞|b|，则（a+b）×（a﹣b）是正数；⑤若a＜b，ab＜0且|a﹣3|＜|b﹣3|，则a+A．2 B．3 C．4 D．5【分析】①除0外，互为相反数的商为﹣1，可作判断；②由两数之和小于0，两数之积大于0，得到a与b都为负数，即2a+3b小于0，利用负数的绝对值等于它的相反数化简得到结果，即可作出判断；③由a﹣b的绝对值等于它的相反数，得到a﹣b为非正数，得到a与b的大小，即可作出判断；④由a绝对值大于b绝对值，分情况讨论，即可作出判断；⑤先根据a＜b，得a﹣3＜b﹣3，由ab＜0和有理数乘法法则可得a＜0，b＞0，分情况可作判断．【解答】解：①若ab＜0，且a，b互为相反数，则ab②若ab＞0，则a与b同号，由a+b＜0，则a＜0，b＜0，则|2a+3b|＝﹣2a﹣3b，本选项正确；③∵|a﹣b|+a﹣b＝0，即|a﹣b|＝﹣（a﹣b），∴a﹣b≤0，即a≤b，本选项错误；④若|a|＞|b|，当a＞0，b＞0时，可得a＞b，即a﹣b＞0，a+b＞0，所以（a+b）•（a﹣b）为正数；当a＞0，b＜0时，a﹣b＞0，a+b＞0，所以（a+b）•（a﹣b）为正数；当a＜0，b＞0时，a﹣b＜0，a+b＜0，所以（a+b）•（a﹣b）为正数；当a＜0，b＜0时，a﹣b＜0，a+b＜0，所以（a+b）•（a﹣b）为正数，本选项正确；⑤∵a＜b，∴a﹣3＜b﹣3，∵ab＜0，∴a＜0，b＞0，当0＜b＜3时，|a﹣3|＜|b﹣3|，∴3﹣a＜3﹣b，不符合题意；所以b≥3，|a﹣3|＜|b﹣3|，∴3﹣a＜b﹣3，则a+b＞6，本选项正确；则其中正确的有4个，是①②④⑤．故选：C．【考点3实数的运算】【例3】（2021秋•西湖区校级期中）计算：（1）（﹣12）+7﹣（﹣8）；（2）（-12）×（﹣1）2022【分析】（1）直接利用有理数的加减运算法则计算得出答案；（2）直接利用有理数的乘方运算法则以及立方根、算术平方根分别化简，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）原式＝﹣12+7+8＝3；（2）原式=-1=-1＝﹣112【变式3-1】（2021秋•常熟市校级月考）求下列各式中x的取值：（1）2x2﹣8＝0．（2）4（2x﹣1）2＝9．【分析】（1）根据平方根的定义，即可解答；（2）先把方程进行整理，再利用平方根定义开平方即可求出x的值．【解答】解：（1）2x2﹣8＝0，2x2＝8，x2＝4，x＝±2，∴x1＝2，x2＝﹣2；（2）4（2x﹣1）2＝9，（2x﹣1）2=92x﹣1=±3∴x1=54，x2【变式3-2】（2021秋•丰台区校级期中）计算．（1）（﹣2）2×5﹣（﹣2）3÷4；（2）（﹣2）2﹣|5-3【分析】（1）直接利用有理数的乘方运算法则化简，再利用有理数的乘除法运算法则计算得出答案；（2）直接利用绝对值的性质以及有理数的乘方运算法则化简，再利用实数的加减运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）（﹣2）2×5﹣（﹣2）3÷4＝4×5+8÷4＝20+2＝22；（2）（﹣2）2﹣|5-3＝4﹣（5-3＝4﹣5+＝﹣1+3【变式3-3】（2021秋•渠县校级期中）解方程：（1）（x+1）2﹣0.01＝0；（2）（3x+2）3﹣1=61【分析】（1）根据平方根的定义去求；（2）根据立方根的定义去求．【解答】解：（1）∵（x+1）2＝0.01，∴x+1＝±0.1，∴x＝﹣0.9或﹣1.1；（2）∵（3x+2）3=61∴（3x+2）3=125∴3x+2=5∴x=-1【考点4实数的性质】【例4】（2021秋•泰兴市期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图，（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0．（2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣2|c﹣a|．【分析】（1）根据数轴以及有理数的加减运算法则即可得出答案；（2）根据绝对值的性质化简即可得出答案．【解答】解：（1）∵b＜c，∴b﹣c＜0，∵a＜0，b＞0，|a|＞|b|，∴a+b＜0，∵c＞0，a＜0，∴c﹣a＞0，故答案为：＜，＜，＞；（2）原式＝﹣（b﹣c）﹣（a+b）﹣2（c﹣a）＝﹣b+c﹣a﹣b﹣2c+2a＝a﹣2b﹣c．【变式4-1】（2021秋•牡丹区月考）若a=3，b＝|﹣6|，c=A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a【分析】根据绝对值、立方根、实数的乘方解决此题．【解答】解：∵|﹣6|＝6，∴63＝216．∵(3)3∴27＜65＜216∴3＜∴3＜∴a＜c＜b．故选：D．【变式4-2】（2021秋•天心区期中）已知三个有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，且满足|b|＝|c|．（1）比较大小：a＜0，b+c＝0，a+c＜0（请填“＞”，“＜”或“＝”）；（2）化简：|b|+|a+c|﹣|a|；（3）计算：a|a|【分析】（1）由数轴可知a＜b＜0＜c；（2）由数轴可知b＜0，a+c＜0，a＜0，根据绝对值性质去绝对值符号化简可得；（3）由数轴可得，a＜0，b＜0，c＞0，根据绝对值和除法法则化简可得答案．【解答】解：（1）由数轴可得，a＜b＜0＜c，|b|＝|c|，∴a＜0，b+c＝0，a+c＜0，故答案为：＜，＝，＜；（2）∵b＜0，a+c＜0，a＜0，∴|b|+|a+c|﹣|a|＝﹣b﹣（a+c）+a＝﹣b﹣c＝0；（3）∵a＜0，b＜0，c＞0，∴a|a|【变式4-3】（2021秋•秦淮区期中）已知四个数，a＝﹣22，b＝﹣|﹣2|，c＝﹣（﹣1）100，d＝﹣（﹣3）．（1）计算a、b、c、d，得a＝﹣4，b＝﹣2，c＝﹣1，d＝3；（2）把这四个数在如图所示的数轴上分别表示出来．（3）用“＜”把a、b、c、d连接起来．（4）用“＞”把|a|、|b|、|c|、|d|连接起来．【分析】（1）根据有理数的乘方，绝对值，相反数求出答案即可；（2）把各个数在数轴上表示出来即可；（3）根据有理数的大小比较法则比较即可；（4）求出绝对值，再根据实数的大小比较法则比较即可．【解答】解：（1）a＝﹣22＝﹣4，b＝﹣|﹣2|＝﹣2，c＝﹣（﹣1）100＝﹣1，d＝﹣（﹣3）＝3，故答案为：﹣4，﹣2，﹣1，3；（2）在数轴上表示为：；（3）∵a＝﹣4，b＝﹣2，c＝﹣1，d＝3，∴a＜b＜c＜d；（4）|a|＝|﹣4|＝4，|b|＝|﹣2|＝2，|c|＝|﹣1|＝1，|d|＝|3|＝3，∴|a|＞|d|＞|b|＞|c|．【考点5实数中的规律问题】【例5】（2021秋•洛宁县月考）将1，2，3，6按右侧方式排列，若规定（m，nA．2 B．2 C．23 D．【分析】根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数，第三排3个数，第四排4个数，…，第（m﹣1）排有（m﹣1）个数，从第一排到（m﹣1）排共有：1+2+3+4+…+（m﹣1）个数，根据数的排列方法，四个数不断循环，根据题目意思找出第m排第n个数到底是哪个数后再计算．【解答】解：由题意得：（5，4）表示的数是2，前8排共有1+2+3+...+8＝36（个），∵36÷4＝9，∴第8排最后一个数是6，∴（9，4）表示的数是6，∴2×6=故选：C．【变式5-1】（2021春•曾都区期末）观察下列各式：1+112+122=1+1请利用你发现的规律计算：1+112+1【分析】先根据中所给式子，找到规律，判断出每个式子的值，再整体求和．【解答】解：1+＝1+11×2+1+1＝2020+1-＝2021-=20202020故答案为：20202020【变式5-2】（2021春•忠县期末）我们经过探索知道1+112+122=3222，1+122+13【分析】由1+112+122=3222，1+12【解答】解：∵1+112+1∴以此类推，1+1∵an＝1+1∴an=n(n+1)+1∴a1=32=1+1-12，a2=76∴a＝1+1-12+1+1＝n+1-＝n+n故答案为：n+n【变式5-3】（2021秋•福田区校级月考）若[x]表示不超过x的最大整数（如[π]＝3，[﹣223]＝﹣3等），求[12-1×2]+[1【分析】首先化简1n-n(n-1)，可得1n-n(n-1)=1+【解答】解：∵1n-∴[1∴[12-1×2]+[13-故答案为：2013．【考点6实数中的新定义问题】【例6】（2021春•南湖区校级期中）对任意两实数a、b，定义运算“*”如下：a*b=ba(a≥b)ba+a(a＜b)．根据这个规则，则方程2*x＝12的解为x【分析】分x≤2和x＞2列出对应方程，再进一步解方程求出符合条件的x的值即可得．【解答】解：①若x≤2，则x2＝12，解得x=-23或x=2②若x＞2，则x2+2＝12，解得x=10或x=-综上，x=-23或x=故答案为：x=-23或x=【变式6-1】（2021秋•通川区校级月考）对于不相等的两个实数a、b（a+b≥0），定义一种运算@：a@b=a+ba-b．如4@3=4+34-3，则10@2＝【分析】原式利用已知的新定义化简，计算即可得到结果．【解答】解：根据题中的新定义得：10@2=10+2故答案为：34【变式6-2】（2021秋•西湖区校级期中）我们定义一种新运算：x⊗y＝xy+x﹣y．（1）求2⊗（﹣4）的值；（2）若代数式2⊗[x⊗k]的值与x无关，求实数k的值．【分析】（1）根据x⊗y＝xy+x﹣y，用2与﹣4的积加上2减去﹣4，求出2⊗（﹣4）的值是多少即可；（2）根据x⊗y＝xy+x﹣y，先写出2⊗[x⊗k]的代数式形式，并合并同类项，再根据代数式与x无关，可知x的系数为0，由此可求出k的值．【解答】解：（1）2⊗（﹣4）＝2×（﹣4）+2﹣（﹣4）＝﹣8+2+4＝﹣2；（2）由题意可知，x⊗y＝xk+x﹣k，∴2⊗[x⊗k]＝2⊗（xk+x﹣k）＝2（xk+x﹣k）+2﹣（xk+x﹣k）＝2xk+2x﹣2k+2﹣xk﹣x+k＝xk+x﹣k+2＝x（k+1）﹣k+2，∵代数式2⊗[x⊗k]的值与x无关，∴k+1＝0，∴k＝﹣1．【变式6-3】（2021秋•建宁县期中）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n﹣mn﹣3n，如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．（1）计算：3※（﹣2）；（2）若2※m=3，求m的值，并在所给的数轴上表示出m【分析】（1）根据新定义的运算方法进行计算即可；（2）根据新定义运算列方程求解即可．【解答】解：（1）3※（﹣2）＝（3）2×（﹣2）-3＝﹣6+23+＝23；（2）由于2※m=3因此有22×m﹣2m﹣3m=3解得m=-3如图所示：点P即为所求．【知识点4算术平方根的双重非负性】1、含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。2、性质：（1）（2）【考点7实数中算术平方根的双重非负性】【例7】（2021秋•渠县校级期中）若实数a，b满足a+1+(a+b)2=0，则代数式a2020+b【分析】根据二次根式的非负性、偶次方的非负性、有理数的乘方解决此题．【解答】解：∵a+1≥0，（a+b）2∴当a+1+(a+b)2=0，则a+1＝0，∴a＝﹣b＝﹣1．∴b＝1．∴a2020+b2021＝（﹣1）2020+12021＝1+1＝2．故答案为：2．【变式7-1】（2021秋•北碚区校级月考）已知x为实数，且3x-3-32x+1=0，则A．3 B．2 C．3和﹣3 D．2和﹣2【分析】根据立方根、算术平方根解决此题．【解答】解：∵3x-3∴3x-3∴x﹣3＝2x+1．∴x＝﹣4．∴x2+x﹣3＝16﹣4﹣3＝9．∴x2+x﹣3的算术平方根为9=3故选：A．【变式7-2】（2021秋•苏州期中）已知2x+y-2与（x﹣y+3）2互为相反数，求x2y的平方根．【分析】根据互为相反数两数之和为0列出关系式，利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到x与y的值．【解答】解：∵2x+y-2与（x﹣y+3）2互为相反数，∴2x+y-2+（x﹣y+3）2又∵2x+y-2≥0，（x﹣y+3）2∴2x+y-2=0x-y+3=0解得x=-1∴x2y=(-1∴x2y的平方根为±8【变式7-3】（2021•东兴区校级开学）（1）已知x，y，z满足2y+z+|x﹣y|+z2﹣z+14=0，求2x﹣（2）已知实数a，b，c满足：b=-(a-3)2+4，c【分析】（1）利用非负数的性质得出x，y，z的值，代入计算即可得出答案；（2）根据平方根的定义先求出a、b、c的值，再代入所求代数式计算即可．【解答】解：（1）∵2y+z+|x﹣y|+z2﹣z+∴2y+z+|x﹣y|+(z-又∵2y+z≥0，|x﹣y|≥0，(z-∴2y+z＝0，x﹣y＝0，z-1解得：x=-14，y=-14则2x﹣y+z＝2×（-14）﹣（-1所以2x﹣y+z的算术平方根12（2）∵﹣（a﹣3）2≥0，∴a＝3，把a代b=-(a-3)2∵c的平方根等于它本身，∴c＝0，∴a+b-c=3【考点8实数中的估算】【例8】（2021秋•雁塔区校级月考）若6-13的整数部分为x，小数部分为y，则x﹣yA．﹣2+13 B．﹣2-13 C．2+13【分析】先估算13的大小，再估算6-13的大小，可得x和y的值，代入x﹣y【解答】解：∵3＜13∴﹣4＜-13∴2＜6-13∴6-13的整数部分为2，小数部分为4-∴x＝2，y＝4-13∴x﹣y＝2﹣（4-13）=故选：A．【变式8-1】（2021春•梁山县期末）已知2+6的小数部分为a，3-6的小数部分为b，则a+b＝【分析】通过对6的估算确定2+6和3-6的取值范围，从而求得a和【解答】解：∵4＜∴2＜6＜3，﹣3∴4＜2+6＜5，0＜3∴a＝2+6-4=6-2，∴a+b=6-2+3故答案为：1．【变式8-2】（2021秋•朝阳区期中）因为1＜3＜4，即1＜3（1）求11的整数部分和小数部分．（2）若m是11-11的小数部分，n是11+11的小数部分，且（x+1）2＝m+n，求【分析】（1）根据阅读材料知，11的整数部分是3，然后再去求其小数部分；（2）仿照例子，找出整数部分和小数部分后即可得出m+n的值，代入（x+1）2＝m+n中，解方程即可．【解答】解：（1）∵9＜11＜∴11的整数部分为3，小数部分为11-3（2）∵11-11小数部分是m，11+11小数部分是∴m=11-11-7=4-11，∴m+n＝4-11∵（x+1）2＝m+n＝1，∴x+1＝±1．解得x＝﹣2或x＝0．【变式8-3】（2021秋•西湖区校级期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用2-1来表示2事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2的整数部分是1，将2减去其整数部分，差就是2的小数部分．请解答：（1）23的整数部分是4，小数部分是23-4（2）如果7的小数部分为a，17的整数部分为b，求a+b-7（3）已知10+7=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣【分析】（1）估算得到所求整数部分与小数部分即可；（2）根据题意确定出a与b，代入原式计算即可得到结果；（3）根据题意确定出x与y，即可求出所求．【解答】解：（1）∵16＜23＜25，∴4＜23∴23的整数部分是4，小数部分是23-故答案为：4，23-（2）∵4＜7＜9，∴2＜7＜3，即a∵16＜17＜25，∴4＜17＜5，即则a+b-7=7（3）根据题意得：2＜7∴x＝12，y=7∴x﹣y＝12﹣（7-2）＝14-专题5.1平面内点的坐标-重难点题型【苏科版】【题型1位置的确定】【例1】（2020秋•肥西县期末）第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年在北京市和张家口市联合举行．以下能够准确表示张家口市地理位置的是（）A．离北京市200千米 B．在河北省 C．在宁德市北方 D．东经114.8°，北纬40.8°【变式1-1】（2020秋•东阳市期末）如图，雷达探测器发现了A，B，C，D，E，F六个目标．目标C，F的位置分别表示为C（6，120°），F（5，210°），按照此方法表示目标A，B，D，E的位置时，其中表示正确的是（）A．A（4，30°） B．B（1，90°） C．D（4，240°） D．E（3，60°）【变式1-2】（2021春•仓山区校级期中）小刘的家在学校正南150m，正东200m处，如果以学校位置为原点，以正北、正东为正方向，1m代表1个单位长度，则小敏家用数对表示为．【变式1-3】（2020秋•泰兴市期末）如图，点A在射线OX上，OA＝2．若将OA绕点O按逆时针方向旋转30°到OB，那么点B的位置可以用（2，30°）表示．若将OB延长到C，使OC＝3，再将OC按逆时针方向继续旋转55°到OD，那么点D的位置可以用（，）表示．【题型2判断点所在的象限】【例2】（2021春•广州期中）在平面直角坐标系中，若点A（a，b）在第三象限，则点B（﹣a，b）所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【变式2-1】（2020秋•会宁县期末）点P（a，b）在第四象限，且|a|＞|b|，那么点Q（a+b，a﹣b）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【变式2-2】（2020秋•武侯区校级期中）若点A（m，n）在平面直角坐标系的第二象限，则点B（mn，m﹣n）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【变式2-3】（2020春•南昌期末）点A（n+2，1﹣n）不可能在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【题型3坐标轴上点的坐标特征】【例3】（2021春•仓山区期中）在平面直角坐标系中，若点A（m﹣1，m+2）在x轴上，则点A的坐标为．【变式3-1】（2021春•鼓楼区校级期中）如果点P（m+3，m﹣2）在y轴上，那么m＝．【变式3-2】（2020春•天河区校级期中）已知点P（3a+6，2﹣a）在坐标轴上，则点P的坐标为．【变式3-3】（2020春•涪城区期末）在平面直角坐标系xOy中，若点A（m2﹣4，m+1）在y轴的非负半轴上，则点B（m﹣1，1﹣2m）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【题型4角平分线上点的坐标特征】【例4】（2021春•雨花区校级月考）点A（m﹣1，2m+2）在一、三象限的角平分线上，则m＝．【变式4-1】（2021春•雨花区校级月考）若点P（a+5，2a+1）在第二、四象限角平分线上，则a＝．【变式4-2】（2021春•栾城区期中）已知点P、Q的坐标分别为（2m﹣5，m﹣1）、（n+2，2n﹣1），若点P在第二、四象限的角平分线上，点Q在第一、三象限的角平分线上，则mn的值为．【变式4-3】（2021春•仓山区校级期中）平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，﹣3），点B的坐标为（3，﹣3），则说法不正确的是（）A．点A在第三象限 B．点B到x、y轴的距离相等 C．线段AB平行于x轴 D．点A、B都在各自象限的角平分线上【题型5点到坐标轴的距离】【例5】（2021春•开福区校级月考）已知点P在第二象限内，且点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，那么点P的坐标是（）A．（﹣4，3） B．（4，﹣3） C．（﹣3，4） D．（3，﹣4）【变式5-1】（2021春•越秀区校级期中）已知在第四象限的点P的坐标为（2﹣a，3a+6），且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是（）A．（3，3） B．（6，﹣6） C．（6，6）或（3，﹣3） D．（6，﹣6）或（3，3）【变式5-2】（2021春•武昌区期中）若点M（a﹣3，2a+4）到x轴的距离是到y轴距离的2倍，则点M的坐标是（）A．（2.5，9） B．（﹣0.5，9） C．（﹣2.5，5） D．（0.5，﹣5）【变式5-3】（2021春•越秀区校级期中）在平面直角坐标系中，点A（m﹣n，2m+n）在第二象限，到x轴和y轴的距离分别为4，1，试求（m﹣n）2021的值．【题型6平行与坐标轴点的坐标特征】【例6】（2021春•武昌区期中）已知两点A（a，5），B（﹣1，b）且直线AB∥x轴，则（）A．a可取任意实数，b＝5 B．a＝﹣1，b可取任意实数 C．a≠﹣1，b＝5 D．a＝﹣1，b≠5【变式6-1】（2021春•武昌区期中）已知点P（2m+4，m﹣1），点Q（2，5），直线PQ∥y轴，点P的坐标是（）A．（2，2） B．（16，5） C．（2，﹣2） D．（﹣2，5）【变式6-2】（2021春•海淀区期中）平面直角坐标系中，已知点A（2，﹣1），线段AB∥x轴，且AB＝3，则点B的坐标为．【变式6-3】（2021春•海珠区校级期中）在平面直角坐标系中：（1）若点M（m﹣6，2m+3）到两坐标轴的距离相等，求M的坐标；（2）若点M（m﹣6，2m+3），点N（5，2），且MN∥y轴，求M的坐标；（3）若点M（a，b），点N（5，2），且MN∥x轴，MN＝3，求M的坐标．【题型7已知点的坐标确定另一点的坐标】【例7】（2021春•正定县期中）如图，已知“车”的坐标为（﹣2，2），“马”的坐标为（1，2），则“炮”的坐标为（）A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（﹣2，2）【变式7-1】（2021春•庐江县期中）如图是庐城一些地点的分布示意图．在图中，分别以向右，向上为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：①当表示政府广场的点的坐标为（0，0），表示庐江汽车站的点的坐标为（﹣2，﹣3）时，表示周瑜文化园的点的坐标为（6，﹣4）；②当表示政府广场的点的坐标为（0，0），表示庐江汽车站的点的坐标为（﹣4，﹣6）时，表示周瑜文化园的点的坐标为（12，﹣8）；③当表示政府广场的点的坐标为（1，1），表示庐江汽车站的点的坐标为（﹣3，﹣5）时，表示周瑜文化园的点的坐标为（13，﹣7）；④当表示政府广场的点的坐标为（1.5，1.5），表示庐江汽车站的点的坐标为（﹣4.5，﹣7.5）时，表示周瑜文化园的点的坐标为（19.5，﹣10.5）．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②③④【变式7-2】（2021春•西城区校级期中）今年清明假期164万游客游园，玉渊潭、动物园、天坛公园游客最多，如图是玉渊潭公园部分景点的分布示意图，在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，当表示西桥的点的坐标为（﹣6，1），表示中堤桥的点的坐标为（1，2）时，表示留春园的点的坐标为．【变式7-3】（2021春•湖北月考）李老师到人民公园游玩，回到家后，他利用平面直角坐标系画出了公园的景区地图，如图所示．可是他忘记了在图中标出原点和x轴、y轴．只知道游乐园D的坐标为（2，﹣2）．（1）帮李老师在图中建立平面直角坐标系；（2）求出其他各景点的坐标．（3）若图中一个单位长度代表实际距离100米，请你求出其中某两点（已用字母标记）间的实际距离．【题型8坐标系中求图形面积】【例8】（2020春•江夏区校级月考）如图所示，直角坐标系中四边形的面积是（）A．15.5 B．20.5 C．26 D．31【变式8-1】（2020秋•长清区期中）如图，四边形ABCD各顶点的坐标分别是A（0，0），B（8，0），C（6，4），D（3，6），求出四边形ABCD的面积．【变式8-2】（2021春•开福区校级期中）在边长1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，四边形ABCD是格点四边形（顶点为网格线的交点）（1）写出点A，B，C，D的坐标；（2）求四边形ABCD的面积．【变式8-3】（2020秋•滨州月考）如图，在平面直角坐标系中，图中的网格是由边长相等的小正方组成，点A、B、C的坐标分别为（﹣5，4），（﹣4，0）．（﹣5，﹣3）．（1）请写出点D、E、F、G的坐标；（2）求图中阴影部分（多边形ABCDEFG）的面积．专题5.1平面内点的坐标-重难点题型【苏科版】【知识点1有序数对】我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．【题型1位置的确定】【例1】（2020秋•肥西县期末）第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年在北京市和张家口市联合举行．以下能够准确表示张家口市地理位置的是（）A．离北京市200千米 B．在河北省 C．在宁德市北方 D．东经114.8°，北纬40.8°【分析】根据点的坐标的定义，确定一个位置需要两个数据解答即可．【解答】解：能够准确表示张家口市这个地点位置的是：东经114.8°，北纬40.8°．故选：D．【点评】本题考查了坐标确定位置，是基础题，理解坐标的定义是解题的关键．【变式1-1】（2020秋•东阳市期末）如图，雷达探测器发现了A，B，C，D，E，F六个目标．目标C，F的位置分别表示为C（6，120°），F（5，210°），按照此方法表示目标A，B，D，E的位置时，其中表示正确的是（）A．A（4，30°） B．B（1，90°） C．D（4，240°） D．E（3，60°）【分析】按已知可得，表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数，分别判断各选项即可得解．【解答】解：由题意可知A、B、D、E的坐标可表示为：A（5，30°），故A选项错误；B（2，90°），故B选项错误；D（4，240°），故C选项正确；E（3，300°），故D选项错误．故选：C．【点评】本题考查了学生的阅读理解能力，由已知条件正确确定坐标轴的位置是解决本题的关键．【变式1-2】（2021春•仓山区校级期中）小刘的家在学校正南150m，正东200m处，如果以学校位置为原点，以正北、正东为正方向，1m代表1个单位长度，则小敏家用数对表示为．【分析】以学校位置为原点，以正东，正北为正方向，建立平面直角坐标系，根据小刘家的位置写出坐标即可．【解答】解：以学校位置为原点，以正东，正北为正方向，建立平面直角坐标系，∵小刘的家在学校正南150m，正东200m处，∴小敏家表示为：（200，﹣150）．故答案为：（200，﹣150）．【点评】本题考查了坐标确定位置，解题时注意纵坐标是负数．【变式1-3】（2020秋•泰兴市期末）如图，点A在射线OX上，OA＝2．若将OA绕点O按逆时针方向旋转30°到OB，那么点B的位置可以用（2，30°）表示．若将OB延长到C，使OC＝3，再将OC按逆时针方向继续旋转55°到OD，那么点D的位置可以用（，）表示．【分析】直接利用已知点的意义，进而得出点D的位置表示方法．【解答】解：如图所示：由题意可得：OD＝3，∠AOD＝85°，故点D的位置可以用：（3，85°）表示．故答案为：3，85°．【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出坐标的意义是解题关键．【知识点2平面直角坐标系的相关概念】建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．

（3）建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．【题型2判断点所在的象限】【例2】（2021春•广州期中）在平面直角坐标系中，若点A（a，b）在第三象限，则点B（﹣a，b）所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】直接利用各象限内点的坐标符号得出答案．【解答】解：∵点A（a，b）在第三象限内，∴a＜0，b＜0，则﹣a＞0，故点B（﹣a，b）所在的象限是第四象限．故选：D．【点评】此题主要考查了点的坐标，正确记忆各象限内点的坐标符号是解题关键．【变式2-1】（2020秋•会宁县期末）点P（a，b）在第四象限，且|a|＞|b|，那么点Q（a+b，a﹣b）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】直接利用各象限内点的坐标特点得出a，b的符号，进而结合绝对值的性质得出a+b，a﹣b的符号即可得出答案．【解答】解：∵点P（a，b）在第四象限，且|a|＞|b|，∴a＞0，b＜0，a+b＞0，a﹣b＞0，∴点Q（a+b，a﹣b）在第一象限．故选：A．【点评】此题主要考查了点的坐标，正确得出a+b，a﹣b的符号是解题关键．【变式2-2】（2020秋•武侯区校级期中）若点A（m，n）在平面直角坐标系的第二象限，则点B（mn，m﹣n）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】首先确定m、n的符号，然后再确定mn与m﹣n的符号，进而可得点B所在象限．【解答】解：∵点A（m，n）在第二象限，∴m＜0，n＞0，∴mn＜0；m﹣n＜0，∴点B（mn，m﹣n）第三象限．故选：C．【点评】此题主要考查了点的坐标，关键是掌握第一象限（+，+），第二象限（﹣，+），第三象限（﹣，﹣），第四象限（+，﹣）．【变式2-3】（2020春•南昌期末）点A（n+2，1﹣n）不可能在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】确定出n+2为负数时，1﹣n一定是正数，再根据各象限内点的坐标特征解答．【解答】解：当n+2＜0时，n＜﹣2，所以，1﹣n＞1，即点A的横坐标是负数时，纵坐标一定是正数，所以，点A不可能在第三象限，有可能在第二象限；当n+2＞0时，n＞﹣2，所以，1﹣n有可能大于0也有可能小于0，即点A的横坐标是正数时，纵坐标是正数或负数，所以，点A可能在第一象限，也可能在第四象限；综上所述：点A不可能在第三象限．故选：C．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．【知识点3坐标轴上点的坐标特征】在平面直角坐标系中，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，坐标原点横纵坐标均为0.【题型3坐标轴上点的坐标特征】【例3】（2021春•仓山区期中）在平面直角坐标系中，若点A（m﹣1，m+2）在x轴上，则点A的坐标为．【分析】直接利用x轴上点的坐标特点得出m的值，即可得出答案．【解答】解：∵A（m﹣1，m+2）在x轴上，∴m+2＝0，解得：m＝﹣2，∴m﹣1＝﹣3，∴点A的坐标是：（﹣3，0）．故答案为：（﹣3，0）．【点评】此题主要考查了点的坐标，正确掌握x轴上点的坐标特点是解题关键．【变式3-1】（2021春•鼓楼区校级期中）如果点P（m+3，m﹣2）在y轴上，那么m＝．【分析】点P在y轴上则该点横坐标为0，可解得m的值．【解答】解：∵P（m+3，m﹣2）在y轴上，∴m+3＝0，得m＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好坐标轴上的点的坐标的特征，y轴上的点的横坐标为0．【变式3-2】（2020春•天河区校级期中）已知点P（3a+6，2﹣a）在坐标轴上，则点P的坐标为．【分析】分点P在x轴上，纵坐标为0；在y轴上，横坐标为0，分别列式求出a的值，再求解即可．【解答】解：当P在x轴上时，2﹣a＝0，解得：a＝2，则3a+6＝12，故P（12，0）；当P在y轴上时，3a+6＝0，解得：a＝﹣2，故2﹣a＝4，则P（0，4）．所以P（12，0）或（0，4）．故答案为：（12，0）或（0，4）．【点评】本题考查了点的坐标，主要是对坐标轴上的点的坐标特征的考查，易错点在于要分情况讨论．【变式3-3】（2020春•涪城区期末）在平面直角坐标系xOy中，若点A（m2﹣4，m+1）在y轴的非负半轴上，则点B（m﹣1，1﹣2m）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据点A（m2﹣4，m+1）在y轴的非负半轴上可得m2-4=0m+1＞0【解答】解：∵点A（m2﹣4，m+1）在y轴的非负半轴上，∴m2解得m＝2，∴m﹣1＝1，1﹣2m＝﹣3，∵（1，﹣3）在第四象限，∴点B（m﹣1，1﹣2m）在第四象限．故选：D．【点评】本题考查了点的坐标，根据y轴上的点的坐标特点求出m的值是解答本题的关键，注意：四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．【知识点4角平分线上点的坐标特征】在平面直角坐标系中，第一、三象限角平分线上的点横坐标与纵坐标相等，第二、四象限角平分线上的点横坐标与纵坐标互为相反数.【题型4角平分线上点的坐标特征】【例4】（2021春•雨花区校级月考）点A（m﹣1，2m+2）在一、三象限的角平分线上，则m＝．【分析】根据第一、三象限角平分线上点的坐标特征得到得m﹣1＝m+2，然后解关于m的一次方程即可．【解答】解：根据题意得m﹣1＝2m+2，解得m＝﹣3，故答案为：﹣3．【点评】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系．解决本题的关键是掌握第一、三象限角平分线上点的坐标特征．【变式4-1】（2021春•雨花区校级月考）若点P（a+5，2a+1）在第二、四象限角平分线上，则a＝．【分析】根据二四象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数，可得答案．【解答】解：由点P（a+5，2a+1）点在第二、四象限的角平分线上，得a+5+2a+1＝0，解得a＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查了点的坐标，二四象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数，一三象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等．【变式4-2】（2021春•栾城区期中）已知点P、Q的坐标分别为（2m﹣5，m﹣1）、（n+2，2n﹣1），若点P在第二、四象限的角平分线上，点Q在第一、三象限的角平分线上，则mn的值为．【分析】根据一、三象限的角平分线上各点的横纵坐标相；第二、四象限的角平分线上个点的横纵坐标互为相反数求解即可．【解答】解：∵点P（2m﹣5，m﹣1）在第二、四象限的角平分线上，∴2m﹣5+m﹣1＝0．解得：m＝2．∵点Q（n+2，2n﹣1）在第一、三象限的角平分线上，∴n+2＝2n﹣1．解得：n＝3．∴mn＝23＝8．故答案为：8．【点评】本题主要考查的是坐标与图象的性质，明确一、三象限的角平分线上各点的横纵坐标相；第二、四象限的角平分线上个点的横纵坐标互为相反数是解题的关键．【变式4-3】（2021春•仓山区校级期中）平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，﹣3），点B的坐标为（3，﹣3），则说法不正确的是（）A．点A在第三象限 B．点B到x、y轴的距离相等 C．线段AB平行于x轴 D．点A、B都在各自象限的角平分线上【分析】根据点所在的象限，到坐标轴的距离，与坐标轴平行的直线，角平分线上的点的坐标特征的规律解答即可．【解答】解：A选项，因为点A的横纵坐标都是负数，所以点A在第三象限，故该选项正确，不符合题意；B选项，点B到x，y轴的距离都是3，故该选项正确，不符合题意；C选项，因为点A，B的纵坐标都是﹣3，所以AB平行于x轴，故该选项正确，不符合题意；D选项，点A不在第三象限的角平分线上，故该选项错误，符合题意；故选：D．【点评】本题考查了点所在的象限，到坐标轴的距离，与坐标轴平行的直线，象限的角平分线上的点的坐标特征，掌握象限的角平分线上的点的坐标特征是解题的关键．【知识点5点到坐标轴的距离】在平面直角坐标系中，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值.【题型5点到坐标轴的距离】【例5】（2021春•开福区校级月考）已知点P在第二象限内，且点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，那么点P的坐标是（）A．（﹣4，3） B．（4，﹣3） C．（﹣3，4） D．（3，﹣4）【分析】根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是横坐标的绝对值，根据第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得答案．【解答】解：由点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，得|y|＝3，|x|＝4，由点位于第二象限，得y＝3，x＝﹣4，点M的坐标为（﹣4，3），故选：A．【点评】本题考查了点的坐标，熟记点的坐标特征是解题关键．【变式5-1】（2021春•越秀区校级期中）已知在第四象限的点P的坐标为（2﹣a，3a+6），且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是（）A．（3，3） B．（6，﹣6） C．（6，6）或（3，﹣3） D．（6，﹣6）或（3，3）【分析】根据第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数解答即可．【解答】解：∵点P的坐标（2﹣a，3a+6），点P在第四象限且点P到两坐标轴的距离相等，∴2﹣a+3a+6＝0，解得：a＝﹣4，故点P的坐标是：（6，﹣6），故选：B．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．【变式5-2】（2021春•武昌区期中）若点M（a﹣3，2a+4）到x轴的距离是到y轴距离的2倍，则点M的坐标是（）A．（2.5，9） B．（﹣0.5，9） C．（﹣2.5，5） D．（0.5，﹣5）【分析】根据点到x轴的距离是点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离是点的横坐标的绝对值，根据到x轴距离是到y轴的距离2倍，可得方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：由点M（a﹣3，2a+4）到x轴距离是到y轴的距离2倍，∴|2a+4|＝2|a﹣3|，∴2a+4＝2（a﹣3）或2a+4＝﹣2（a﹣3），方程2a+4＝2（a﹣3）无解；解方程2a+4＝﹣2（a﹣3），得a＝0.5，0.5﹣3＝﹣2.5，2×0.5+4＝5，∴点M的坐标为（﹣2.5，5）．故选：C．【点评】本题考查了点的坐标，利用到x轴距离是到y轴的距离2倍得出方程是解题关键，注意点到x轴的距离是点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离是点的横坐标的绝对值．【变式5-3】（2021春•越秀区校级期中）在平面直角坐标系中，点A（m﹣n，2m+n）在第二象限，到x轴和y轴的距离分别为4，1，试求（m﹣n）2021的值．【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值列方程求出m、n的值，再求解即可．【解答】解：∵点A（m﹣n，2m+n）在第二象限，到x轴和y轴的距离分别为4，1，∴2m+n=4m-n=-1解得m=1n=2所以，（m﹣n）2021＝（﹣1）2021＝﹣1．【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．【知识点6平行与坐标轴点的坐标特征】在平面直角坐标系中，与x轴平行的直线上的所有点的纵坐标相同，与y轴平行的直线上的所有点的横坐标相同.【题型6平行与坐标轴点的坐标特征】【例6】（2021春•武昌区期中）已知两点A（a，5），B（﹣1，b）且直线AB∥x轴，则（）A．a可取任意实数，b＝5 B．a＝﹣1，b可取任意实数 C．a≠﹣1，b＝5 D．a＝﹣1，b≠5【分析】根据平行于x轴的直线纵坐标相等解答可得．【解答】解：∵AB∥x轴，∴b＝5，a≠﹣1，故选：C．【点评】本题主要考查坐标与图形的性质，熟练掌握平面内点的坐标的特点是解题的关键．【变式6-1】（2021春•武昌区期中）已知点P（2m+4，m﹣1），点Q（2，5），直线PQ∥y轴，点P的坐标是（）A．（2，2） B．（16，5） C．（2，﹣2） D．（﹣2，5）【分析】根据已知条件“点P（2m+4，m﹣1），点Q（2，5），直线PQ∥y轴”列方程即可得到结论．【解答】解：∵点P（2m+4，m﹣1），点Q（2，5），直线PQ∥y轴，∴2m+4＝2，∴m＝﹣1，∴P（2，﹣2），故选：C．【点评】此题主要考查了坐标与图形性质，点的坐标，正确的理解题意是解题关键．【变式6-2】（2021春•海淀区期中）平面直角坐标系中，已知点A（2，﹣1），线段AB∥x轴，且AB＝3，则点B的坐标为．【分析】在平面直角坐标系中与x轴平行，则它上面的点纵坐标相同，可求B点纵坐标；与x轴平行，相当于点A左右平移，可求B点横坐标．【解答】解：∵AB∥x轴，∴点B纵坐标与点A纵坐标相同，为﹣1，又∵AB＝3，可能右移，横坐标为2+3＝5；可能左移横坐标为2﹣3＝﹣1，∴B点坐标为（5，﹣1）或（﹣1，﹣1），故答案为：（5，﹣1）或（﹣1，﹣1）．【点评】此题考查平面直角坐标系中平行特点和平移时坐标变化规律，还渗透了分类讨论思想．【变式6-3】（2021春•海珠区校级期中）在平面直角坐标系中：（1）若点M（m﹣6，2m+3）到两坐标轴的距离相等，求M的坐标；（2）若点M（m﹣6，2m+3），点N（5，2），且MN∥y轴，求M的坐标；（3）若点M（a，b），点N（5，2），且MN∥x轴，MN＝3，求M的坐标．【分析】（1）由点M（m﹣6，2m+3）到两坐标轴的距离相等得|m﹣6|＝|2m+3|．（2）MN∥y轴，则点M，N的横坐标相等．（3）由M，N纵坐标相等求出b，分类讨论点M在N的左右两侧．【解答】解：（1）∵点M（m﹣6，2m+3）到两坐标轴的距离相等，∴|m﹣6|＝|2m+3|，当m≥6时，m﹣6＝2m+3，解得m＝﹣9（舍）当﹣1.5≤m＜6时，6﹣m＝2m+3，解得m＝1，m﹣6＝﹣5，2m+3＝5，∴点M坐标为（﹣5，5）．当m＜﹣1.5时，6﹣m＝﹣2m﹣3，解得m＝﹣9，m﹣6＝﹣15，∴点M坐标为（﹣15，﹣15）．综上所述，M的坐标为（﹣5，5）或（﹣15，﹣15）．（2）∵MN∥y轴，∴m﹣6＝5，解得m＝11，11﹣6＝5，2×11+3＝25，∴M的坐标（5，25）．（3）∵MN∥x轴，∴b＝2，当点M在点N左侧时，a＝5﹣3＝2，当点M在点N右侧时，a＝5+3＝8，∴点M坐标为（2，2）或（8，2）．【点评】本题考查平面直角坐标系，解题关键是熟练掌握点坐标在平面直角坐标系中的含义及变化规律．【题型7已知点的坐标确定另一点的坐标】【例7】（2021春•正定县期中）如图，已知“车”的坐标为（﹣2，2），“马”的坐标为（1，2），则“炮”的坐标为（）A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（﹣2，2）【分析】直接利用已知点坐标建立平面直角坐标系，进而得出答案．【解答】解：如图所示：“炮”的坐标为：（3，1）．故选：B．【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．【变式7-1】（2021春•庐江县期中）如图是庐城一些地点的分布示意图．在图中，分别以向右，向上为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：①当表示政府广场的点的坐标为（0，0），表示庐江汽车站的点的坐标为（﹣2，﹣