2023-2024学年八年级数学下册举一反三系列专题18.8 四边形中的最值问题专项训练（30道）（举一反三）（人教版）含解析

2023-2024学年八年级数学下册举一反三系列专题专题18.8四边形中的最值问题专项训练（30道）【人教版】考卷信息：本套训练卷共30题，选择10题，填空10题，解答10题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可强化学生对四边形中最值问题模型的记忆与理解！一．选择题（共10小题）1．（2022春•重庆期末）如图，矩形ABCD中，AB＝23，BC＝6，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值是（）A．43+3 B．221 C．23+6 2．（2022•灞桥区校级模拟）如图，平面内三点A、B、C，AB＝4，AC＝3，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是（）A．5 B．7 C．72 D．73．（2022春•中山市期末）如图，在边长为a的正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，且BE＝BC，点P是CE上一动点，则点P到边BD，BC的距离之和PM+PN的值（）A．有最大值a B．有最小值22aC．是定值a D．是定值224．（2022春•三门峡期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2 B．4 C．2 D．225．（2022春•滨湖区期末）如图，已知菱形ABCD的面积为20，边长为5，点P、Q分别是边BC、CD上的动点，且PC＝CQ，连接PD、AQ，则PD+AQ的最小值为（）A．45 B．89 C．10 D．6．（2022•泰山区一模）如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为2，则线段CF的最小值是（）A．2 B．1 C．5−1 D．57．（2022•龙华区二模）如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E为CD上一点，且DE＝1，F为射线BC上一动点，过点E作EG⊥AF于点P，交直线AB于点G．则下列结论中：①AF＝EG；②若∠BAF＝∠PCF，则PC＝PE；③当∠CPF＝45°时，BF＝1；④PC的最小值为13−A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．（2022•南平校级自主招生）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．则EF的最小值为（）A．4 B．4.8 C．5.2 D．69．（2022春•崇川区期末）如图，正方形ABCD边长为1，点E，F分别是边BC，CD上的两个动点，且BE＝CF，连接BF，DE，则BF+DE的最小值为（）A．2 B．3 C．5 D．610．（2022•泰州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG．设DE＝d1，点F、G与点C的距离分别为d2、d3，则d1+d2+d3的最小值为（）A．2 B．2 C．22 D．4二．填空题（共10小题）11．（2022春•江城区期末）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝6，BC＝2．运动过程中点D到点O的最大距离是．12．（2022•东莞市校级一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+DQ的最小值为．13．（2022•钱塘区一模）如图，在矩形ABCD中，线段EF在AB边上，以EF为边在矩形ABCD内部作正方形EFGH，连结AH，CG．若AB＝10，AD＝6，EF＝4，则AH+CG的最小值为．14．（2022春•东城区期中）在正方形ABCD中，AB＝5，点E、F分别为AD、AB上一点，且AE＝AF，连接BE、CF，则BE+CF的最小值是．15．（2022春•虎林市期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝12，AC＝16，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为．16．（2022•灞桥区校级三模）在菱形ABCD中，∠D＝60°，CD＝4，E为菱形内部一点，且AE＝2，连接CE，点F为CE中点，连接BF，取BF中点G，连接AG，则AG的最大值为．17．（2022春•靖江市校级期末）如图，线段AB的长为10，点D在AB上，△ACD是边长为3的等边三角形，过点D作与CD垂直的射线DP，过DP上一动点G（不与D重合）作矩形CDGH，记矩形CDGH的对角线交点为O，连接OB，则线段BO的最小值为．18．（2022春•郫都区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E是BC边上一动点，作点B关于AE的对称点F，连接CF，点P为CF中点，则DP的最小值为．19．（2022春•江都区期中）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝23，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是．20．（2022春•如东县期中）如图，已知AB＝22，C为线段AB上的一个动点，分别以AC，CB为边在AB的同侧作菱形ACED和菱形CBGF，点C，E，F在一条直线上，∠D＝120°．P、Q分别是对角线AE，BF的中点，当点C在线段AB上移动时，点P，Q之间的距离最短为（结果保留根号）．三．解答题（共10小题）21．（2022•禹城市二模）（1）如图①，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别是边BC，CD上两点，且BM＝CN，连AM和BN，交于点P．猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论．（2）如图②，已知正方形ABCD的边长为4．点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动，连接AM和BN，交于点P．求△APB周长的最大值．22．（2022春•东坡区校级月考）正方形ABCD中，E、F是AD上的两个点，AE＝DF，连CF交BD于点M，连AM交BE于点N，连接DN．如果正方形的边长为2．（1）求证：BE⊥AM；（2）求DN的最小值．23．（2022•黄埔区模拟）如图，在边长为4的菱形ABCD中，BD＝4，E、F分别是AD、CD上的动点（包含端点），且AE+CF＝4，连接BE、EF、FB．（1）试探究BE与BF的数量关系，并证明你的结论；（2）求EF的最大值与最小值．24．（2022春•洪山区期中）如图1，E，F是正方形ABCD的边上两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H（1）求证：AG⊥BE；（2）如图2，连DH，若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是．25．（2022•宁德）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；（3）当AM+BM+CM的最小值为3+126．（2022•南充模拟）如图，M，N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足CM＝DN，AC，BM相交于点E，DE与AN相交于点F，连接CF．（1）求证：DE⊥AN．（2）若正方形ABCD的边长为4，求CF的最小值．27．（2022春•思明区校级期中）已知：在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、DA上．（1）如图1，四边形EFGH为正方形，AE＝2，求GC的长．（2）如图2，四边形EFGH为菱形，设BF＝x，△GFC的面积为S，且S与x满足函数关系S＝6−12x．在自变量x的取值范围内，是否存在x，使菱形EFGH的面积最大？若存在，求28．（2022•南岗区校级一模）已知菱形ABCD的对角线相交于O，点E、F分别在边AB、BC上，且BE＝BF，射线EO、FO分别交边CD、AD于G、H．（1）求证：四边形EFGH为矩形；（2）若OA＝4，OB＝3，求EG的最小值．29．（2022春•戚墅堰区校级月考）如图，已知∠MON＝90°，线段AB长为6cm，AB两端分别在OM、ON上滑动，以AB为边作正方形ABCD，对角线AC、BD相交于点P，连接OC．（1）求OC的最大值；（2）求证：无论点A、点B怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；（3）若OP＝42cm，求OA的长．30．（2012秋•吴中区月考）如图①，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）连接MN，△BMN是等边三角形吗？为什么？（2）求证：△AMB≌△ENB；（3）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；②如图②，当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，请你画出图形，并说明理由．专题18.8四边形中的最值问题专项训练（30道）【人教版】考卷信息：本套训练卷共30题，选择10题，填空10题，解答10题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可强化学生对四边形中最值问题模型的记忆与理解！一．选择题（共10小题）1．（2022春•重庆期末）如图，矩形ABCD中，AB＝23，BC＝6，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值是（）A．43+3 B．221 C．23+6 【分析】将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求．【解答】解：将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求．由旋转的性质可知：△PFC是等边三角形，∴PC＝PF，∵PB＝EF，∴PA+PB+PC＝PA+PF+EF，∴当A、P、F、E共线时，PA+PB+PC的值最小，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴AC=AB2∴AC＝2AB，∴∠ACB＝30°，AC＝2AB＝43，∵∠BCE＝60°，∴∠ACE＝90°，∴AE=(43)故选：B．2．（2022•灞桥区校级模拟）如图，平面内三点A、B、C，AB＝4，AC＝3，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是（）A．5 B．7 C．72 D．7【分析】如图将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM．由旋转不变性可知：AB＝CM＝4，DA＝DM．∠ADM＝90°，推出△ADM是等腰直角三角形，推出AD=22AM，推出当AM的值最大时，AD的值最大，利用三角形的三边关系求出【解答】解：如图将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM．由旋转不变性可知：AB＝CM＝4，DA＝DM．∠ADM＝90°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴AD=22∴当AM的值最大时，AD的值最大，∵AM≤AC+CM，∴AM≤7，∴AM的最大值为7，∴AD的最大值为72故选：D．3．（2022春•中山市期末）如图，在边长为a的正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，且BE＝BC，点P是CE上一动点，则点P到边BD，BC的距离之和PM+PN的值（）A．有最大值a B．有最小值22aC．是定值a D．是定值22【分析】连接BP，作EF⊥BC于点F，由正方形的性质可知△BEF为等腰直角三角形，BE＝a，可求EF，利用面积法得S△BPE+S△BPC＝S△BEC，将面积公式代入即可．【解答】解：如图，连接BP，作EF⊥BC于点F，则∠EFB＝90°，∵正方形的性质可知∠EBF＝45°，∴△BEF为等腰直角三角形，∵正方形的边长为a，∴BE＝BC＝a，∴BF＝EF=22BE=∵PM⊥BD，PN⊥BC，∴S△BPE+S△BPC＝S△BEC，∴12BE×PM+12BC×PN=1∵BE＝BC，∴PM+PN＝EF=22则点P到边BD，BC的距离之和PM+PN的值是定值22a故选：D．4．（2022春•三门峡期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2 B．4 C．2 D．22【分析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可．【解答】解：如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，∴P1P2∥CE且P1P2=12当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP．由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P=12∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．∵矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝1．∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°．∴∠DP2P1＝90°．∴∠DP1P2＝45°．∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长．在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝1．∴BP1=2∴PB的最小值是2．故选：C．5．（2022春•滨湖区期末）如图，已知菱形ABCD的面积为20，边长为5，点P、Q分别是边BC、CD上的动点，且PC＝CQ，连接PD、AQ，则PD+AQ的最小值为（）A．45 B．89 C．10 D．【分析】过点A作AM⊥BC于点M，延长AM到点A′，使A′M＝AM，根据菱形的性质和勾股定理可得BM＝3，以点B为原点，BC为x轴，垂直于BC方向为y轴，建立平面直角坐标系，可得B（0，0），A（3，4），C（5，0），D（8，4），A′（3，﹣4），然后证明△ABP≌△ADQ（SAS），可得AP＝AQ＝A′P，连接A′D，AP，A′P，由A′P+PD＞A′D，可得A′，P，D三点共线时，PD+A′P取最小值，所以PD+AQ的最小值＝PD+A′P的最小值＝A′D，利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：如图，过点A作AM⊥BC于点M，延长AM到点A′，使A′M＝AM，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝AD＝5，∠ABC＝∠ADC，∵菱形ABCD的面积为20，边长为5，∴AM＝4，在Rt△ABM中，根据勾股定理得：BM=A以点B为原点，BC为x轴，垂直于BC方向为y轴，建立平面直角坐标系，∴B（0，0），A（3，4），C（5，0），D（8，4），A′（3，﹣4），∵PC＝CQ，BC＝CD，∴BP＝DQ，在△ABP和△ADQ中，AB=AD∠ABC=∠ADC∴△ABP≌△ADQ（SAS），∴AP＝AQ＝A′P，连接A′D，AP，A′P，∵A′P+PD＞A′D，∴A′，P，D三点共线时，PD+A′P取最小值，∴PD+AQ的最小值＝PD+A′P的最小值＝A′D=(8−3故选：B．6．（2022•泰山区一模）如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为2，则线段CF的最小值是（）A．2 B．1 C．5−1 D．5【分析】根据正方形的性质可得AD＝BC＝CD，∠ADC＝∠BCD，∠DCE＝∠BCE，然后利用“HL”证明Rt△ADM和Rt△BCN全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1＝∠2，利用“SAS”证明△DCE和△BCE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2＝∠3，从而得到∠1＝∠3，然后求出∠AFD＝90°，取AD的中点O，连接OF、OC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OF=12AD＝1，利用勾股定理列式求出OC，然后根据三角形的三边关系可知当O、F、C三点共线时，【解答】解：在正方形ABCD中，AD＝BC＝CD，∠ADC＝∠BCD，∠DCE＝∠BCE，在Rt△ADM和Rt△BCN中，AD=BCAM=BN∴Rt△ADM≌Rt△BCN（HL），∴∠1＝∠2，在△DCE和△BCE中，BC=CD∠DCE=∠BCE∴△DCE≌△BCE（SAS），∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵∠ADF+∠3＝∠ADC＝90°，∴∠1+∠ADF＝90°，∴∠AFD＝180°﹣90°＝90°，取AD的中点O，连接OF、OC，则OF＝DO=12在Rt△ODC中，OC=D根据三角形的三边关系，OF+CF＞OC，∴当O、F、C三点共线时，CF的长度最小，最小值＝OC﹣OF=5故选：C．7．（2022•龙华区二模）如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E为CD上一点，且DE＝1，F为射线BC上一动点，过点E作EG⊥AF于点P，交直线AB于点G．则下列结论中：①AF＝EG；②若∠BAF＝∠PCF，则PC＝PE；③当∠CPF＝45°时，BF＝1；④PC的最小值为13−A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】连接AE，过E作EH⊥AB于H，则EH＝BC，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到AF＝EG，故①正确；根据平行线的性质和等腰三角形的判定和性质即可得到PE＝PC；故②正确；连接EF，推出点E、P、F、C四点共圆，根据圆周角定理得到∠FEC＝∠FPC＝45°，于是得到BF＝DE＝1，同理当F运动到C点右侧时，此时∠FPC＝45°，且EPCF四点共圆，EC＝FC＝3，故此时BF＝BC+CF＝4+3＝7．因此BF＝1或7，故③错误；取AE的中点O，连接PO，CO，根据直角三角形的性质得到AO＝PO=12AE，推出点P在以O为圆心，AE为直径的圆上，当OC最小时，CP的值最小，根据三角形的三边关系得到PC≥OC﹣【解答】解：连接AE，过E作EH⊥AB于H，则EH＝BC，∵AB＝BC，∴EH＝AB，∵EG⊥AF，∴∠BAF+∠AGP＝∠BAF+∠AFB＝90°，∴∠EGH＝∠AFB，∵∠B＝∠EHG＝90°，∴△HEG≌△ABF（AAS），∴AF＝EG，故①正确；∵AB∥CD，∴∠AGE＝∠CEG，∵∠BAF+∠AGP＝90°，∠PCF+∠PCE＝90°，∵∠BAF＝∠PCF，∴∠AGE＝∠PCE，∴∠PEC＝∠PCE，∴PE＝PC；故②正确；连接EF，∵∠EPF＝∠FCE＝90°，∴点E、P、F、C四点共圆，∴∠FEC＝∠FPC＝45°，∴EC＝FC，∴BF＝DE＝1，同理当F运动到C点右侧时，此时∠FPC＝45°，且E、P、C、F四点共圆，EC＝FC＝3，故此时BF＝BC+CF＝4+3＝7．因此BF＝1或7，故③错误；取AE的中点O，连接PO，CO，∴AO＝PO=12∵∠APE＝90°，∴点P在以O为圆心，AE为直径的圆上，∴当OC最小时，CP的值最小，∵PC≥OC﹣OP，∴PC的最小值＝OC﹣OP＝OC−12∵OC=22+(72)∴PC的最小值为652故选：B．8．（2022•南平校级自主招生）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．则EF的最小值为（）A．4 B．4.8 C．5.2 D．6【分析】先由矩形的判定定理推知四边形PEAF是矩形；连接PA，则PA＝EF，所以要使EF，即PA最短，只需PA⊥CB即可；然后根据三角形的等积转换即可求得PA的值．【解答】解：如图，连接PA．∵在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，∴BC2＝AB2+AC2，∴∠A＝90°．又∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F．∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四边形PEAF是矩形．∴AP＝EF．∴当PA最小时，EF也最小，即当AP⊥CB时，PA最小，∵12AB•AC=12BC•AP，即∴线段EF长的最小值为4.8；故选：B．9．（2022春•崇川区期末）如图，正方形ABCD边长为1，点E，F分别是边BC，CD上的两个动点，且BE＝CF，连接BF，DE，则BF+DE的最小值为（）A．2 B．3 C．5 D．6【分析】连接AE，利用△ABE≌△BCF转化线段BF得到BF+DE＝AE+DE，则通过作A点关于BC对称点H，连接DH交BC于E点，利用勾股定理求出DH长即可．【解答】解：连接AE，如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°．又BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS）．∴AE＝BF．所以BF+DE最小值等于AE+DE最小值．作点A关于BC的对称点H点，如图2，连接BH，则A、B、H三点共线，连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点．根据对称性可知AE＝HE，所以AE+DE＝DH．在Rt△ADH中，AD＝1，AH＝2，∴DH=AH∴BF+DE最小值为5．故选：C．10．（2022•泰州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG．设DE＝d1，点F、G与点C的距离分别为d2、d3，则d1+d2+d3的最小值为（）A．2 B．2 C．22 D．4【分析】连接AE，那么，AE＝CG，所以这三个d的和就是AE+EF+FC，所以大于等于AC，故当AEFC四点共线有最小值，最后求解，即可求出答案．【解答】解：如图，连接AE，∵四边形DEFG是正方形，∴∠EDG＝90°，EF＝DE＝DG，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴d1+d2+d3＝EF+CF+AE，∴点A，E，F，C在同一条线上时，EF+CF+AE最小，即d1+d2+d3最小，连接AC，∴d1+d2+d3最小值为AC，在Rt△ABC中，AC=2AB＝22∴d1+d2+d3最小＝AC＝22，故选：C．二．填空题（共10小题）11．（2022春•江城区期末）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝6，BC＝2．运动过程中点D到点O的最大距离是3+13【分析】取AB的中点E，连接OD、OE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE=12AB，利用勾股定理列式求出DE，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得OD过点【解答】解：如图：取线段AB的中点E，连接OE，DE，OD，∵AB＝6，点E是AB的中点，∠AOB＝90°，∴AE＝BE＝3＝OE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，∠DAB＝90°，∴DE=A∵OD≤OE+DE，∴当点D，点E，点O共线时，OD的长度最大．∴点D到点O的最大距离＝OE+DE＝3+13故答案为：3+1312．（2022•东莞市校级一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+DQ的最小值为13．【分析】连接BP，在BA的延长线上截取AE＝AB＝6，连接PE，CE，PC+QD＝PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE＝AB＝6，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，根据勾股定理可得结果．【解答】解：如图，连接BP，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵AP＝CQ，∴AD﹣AP＝BC﹣CQ，∴DP＝QB，DP∥BQ，∴四边形DPBQ是平行四边形，∴PB∥DQ，PB＝DQ，∴PC+QD＝PC+PB，∴PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，如图，在BA的延长线上截取AE＝AB＝6，连接PE，CE，∵PA⊥BE，∴PA是BE的垂直平分线，∴PB＝PE，∴PC+PB＝PC+PE，∴PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，∵BE＝2AB＝12，BC＝AD＝5，∴CE=B∴PC+PB的最小值为13．∴PC+DQ的最小值为13．故答案为：13．13．（2022•钱塘区一模）如图，在矩形ABCD中，线段EF在AB边上，以EF为边在矩形ABCD内部作正方形EFGH，连结AH，CG．若AB＝10，AD＝6，EF＝4，则AH+CG的最小值为62．【分析】方法一：延长DA至A′，使A′A＝EH＝EF＝4，连接A′E，EG，可得四边形AA′EH是平行四边形，所以A′E＝AH，则AH+CG的最小值即为A′E+CG的最小值，根据勾股定理即可解决问题．方法二：过点G作GA′∥AH交AF于点A′，可得四边形AHGA′是平行四边形，进而可以解决问题．【解答】解：方法一：如图，延长DA至A′，使A′A＝EH＝EF＝4，连接A′E，EG，∵HE⊥AB，AA′⊥AB，∴AA′∥EH，∵A′A＝EH，∴四边形AA′EH是平行四边形，∴A′E＝AH，则AH+CG的最小值即为A′E+CG的最小值，∵四边形EFGH是正方形，∴EF＝FG＝4，∴EG＝42，∵A′D＝AD+AA′＝6+4＝10，在Rt△A′DC中，DC＝AB＝10，∴A′C=A′D2∴A′E+CG＝A′C﹣EG＝62．则AH+CG的最小值为62．方法二：如图，过点G作GA′∥AH交AF于点A′，∴四边形AHGA′是平行四边形，∴AA′＝HG＝4，A′G＝AH，∴A′B＝AB﹣AA′＝6，∵BC＝6，∴A′C＝62，∴AH+CG＝A′G+CG≥A′C，则AH+CG的最小值为62．故答案为：62．14．（2022春•东城区期中）在正方形ABCD中，AB＝5，点E、F分别为AD、AB上一点，且AE＝AF，连接BE、CF，则BE+CF的最小值是55．【分析】连接DF，根据正方形的性质证明△ADF≌△ABE（SAS），可得DF＝BE，作点D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于点F′，连接D′F，则DF＝D′F，可得BE+CF＝DF+CF＝D′F+CF≥CD′，所以当点F与点F′重合时，D′F+CF最小，最小值为CD′的长，然后根据勾股定理即可解决问题．【解答】解：如图，连接DF，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠BAE＝∠DAF＝90°，在△ADF和△ABE中，AD=AB∠FAD=∠EAB∴△ADF≌△ABE（SAS），∴DF＝BE，作点D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于点F′，连接D′F，则DF＝D′F，∴BE+CF＝DF+CF＝D′F+CF≥CD′，∴当点F与点F′重合时，D′F+CF最小，最小值为CD′的长，在Rt△CDD′中，根据勾股定理得：CD′=CD2∴BE+CF的最小值是55．故答案为：55．15．（2022春•虎林市期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝12，AC＝16，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为245【分析】由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DEAF是矩形，可得EF＝AD，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．【解答】解：连接AD、EF，∵∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，∴BC=A∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEA＝∠DFA＝∠BAC＝90°，∴四边形DEAF是矩形，∴EF＝AD，∴当AD⊥BC时，AD的值最小，此时，△ABC的面积=12AB×AC=12∴12×16＝20AD，∴AD=∴EF的最小值为485∵点G为四边形DEAF对角线交点，∴GF=12EF故答案为：24516．（2022•灞桥区校级三模）在菱形ABCD中，∠D＝60°，CD＝4，E为菱形内部一点，且AE＝2，连接CE，点F为CE中点，连接BF，取BF中点G，连接AG，则AG的最大值为12+【分析】先根据题目条件中的中点可联想中位线的性质，构造中位线将OF和GH的长度先求出来，再利用三角形的三边关系判断，当AG＝AH+HG时最大．【解答】解：如图所示：连接BD交AC于点O，连接FO，取OB的中点H，连接HG和AH，∵在菱形ABCD中，∴O为AC中点，∵F为CE中点，∴OF=12当C、F、E、A共线时，OF也为1，∵G为BF中点、H为OB中点，∴GH=12OF∵在菱形ABCD中且∠D＝60°，∴∠ABO=12∠ABC=12∠∴OA=12∴OB=4∴OH=3∴AH=2∵AG≤AH+HG，∴AG≤1∴AG的最大值为12故答案为：1217．（2022春•靖江市校级期末）如图，线段AB的长为10，点D在AB上，△ACD是边长为3的等边三角形，过点D作与CD垂直的射线DP，过DP上一动点G（不与D重合）作矩形CDGH，记矩形CDGH的对角线交点为O，连接OB，则线段BO的最小值为5．【分析】连接AO，根据矩形对角线相等且互相平分得：OC＝OD，再证明△ACO≌△ADO，则∠OAB＝30°；点O一定在∠CAB的平分线上运动，根据垂线段最短得：当OB⊥AO时，OB的长最小，根据直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半得出结论．【解答】解：连接AO，∵四边形CDGH是矩形，∴CG＝DH，OC=12CG，OD=∴OC＝OD，∵△ACD是等边三角形，∴AC＝AD，∠CAD＝60°，在△ACO和△ADO中，AC=ADAO=AO∴△ACO≌△ADO（SSS），∴∠OAB＝∠CAO＝30°，∴点O一定在∠CAB的平分线上运动，∴当OB⊥AO时，OB的长度最小，∵∠OAB＝30°，∠AOB＝90°，∴OB=12AB即OB的最小值为5．故答案为：5．18．（2022春•郫都区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E是BC边上一动点，作点B关于AE的对称点F，连接CF，点P为CF中点，则DP的最小值为25−2【分析】根据勾股定理和三角形中位线，可以得到OP的长和OD的长，然后再根据图形可知当点P在线段OD上时，DP取得最小值，然后计算即可．【解答】解：连接AC、BD交于点O，连接AF，OP，∵四边形ABCD是矩形，∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝8，∴点O为AC的中点，BD=AB2又∵点P是CF的中点，∴OP是△CAF的中位线，∵点B关于AE的对称点F，AB＝4，∴AF＝4，∴OP＝2，∵BD＝45，∴OD＝25，∵OP+DP＞OD，OP＝2，OD＝25，∴当点P在OD上时，DP取得最小值，此时DP＝OD﹣OP＝25−故答案为：25−19．（2022春•江都区期中）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝23，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是23．【分析】取DE中点P′，取DC中点P″，根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值，由勾股定理求解即可．【解答】解：如图：取DE中点P′，∵P为DF中点，∴P′P∥EC，取DC中点P″，∵P为DF中点，∴P″P∥EC，∴P，P′，P″三点在同一条直线上，∴点P的运动轨迹是线段P′P″，∴当BP⊥P′P″时，PB取得最小值．过点B作BG⊥EC于点G，过P″作P″M⊥EC于点M，∴PB的最小值＝BG+P″M，∵矩形ABCD中，AB＝4，E为AB的中点，∴AE＝BE＝2，∵BC＝AD＝23，∴DE＝CE=2∵AB＝CD＝4，∴△EDC是等边三角形，∴∠P″CM＝60°，∵CP″＝2，∴CM＝1，∴P″M=3∵ED＝EC，AE＝BE，AD＝BC，∴△CBE≌△ADE（SSS），∴∠DEA＝∠CEB，∵∠DEC＝60°．∴∠BEG＝60°．∵BE＝2，∴BP＝P″M+BG＝23，∴PB的最小值是23．故答案是：23．20．（2022春•如东县期中）如图，已知AB＝22，C为线段AB上的一个动点，分别以AC，CB为边在AB的同侧作菱形ACED和菱形CBGF，点C，E，F在一条直线上，∠D＝120°．P、Q分别是对角线AE，BF的中点，当点C在线段AB上移动时，点P，Q之间的距离最短为62【分析】连接QC、PC．首先证明∠PCQ＝90°，设AC＝2a，则BC＝22−2a，PC＝a，CQ=3（【解答】解：连接PC、CQ．∵四边形ACED，四边形CBGF是菱形，∠D＝120°，∴∠ACE＝120°，∠FCB＝60°，∵P，Q分别是对角线AE，BF的中点，∴∠ECP=12∠ACE，∠FCQ=1∴∠PCQ＝90°，设AC＝2a，则BC＝22−2a，PC＝a，CQ=32BC=∴PQ=P∴当a=324时，点P，Q解法二：连接CD、CG、DG，构造中位线解决，当DG与AD或BG垂直时，取最值．故答案为：62三．解答题（共10小题）21．（2022•禹城市二模）（1）如图①，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别是边BC，CD上两点，且BM＝CN，连AM和BN，交于点P．猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论．（2）如图②，已知正方形ABCD的边长为4．点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动，连接AM和BN，交于点P．求△APB周长的最大值．【分析】（1）结论：AM⊥BN．只要证明△ABM≌△BCN即可解决问题；（2）如图②中，以AB为斜边向外作等腰直角三角形△AEB，∠AEB＝90°，作EF⊥PA于F，作EG⊥PB于G，连接EP．首先证明PA+PB＝2EF，求出EF的最大值即可解决问题；【解答】解：（1）结论：AM⊥BN．理由：如图①中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABM＝∠BCN＝90°，∵BM＝CN，∴△ABM≌△BCN，∴∠BAM＝∠CBN，∵∠CBN+∠ABN＝90°，∴∠ABN+∠BAM＝90°，∴∠APB＝90°，∴AM⊥BN．（2）如图②中，以AB为斜边向外作等腰直角三角形△AEB，∠AEB＝90°，作EF⊥PA于F，作EG⊥PB于G，连接EP．∵∠EFP＝∠FPG＝∠G＝90°，∴四边形EFPG是矩形，∴∠FEG＝∠AEB＝90°，∴∠AEF＝∠BEG，∵EA＝EB，∠EFA＝∠G＝90°，∴△AEF≌△BEG，∴EF＝EG，AF＝BG，∴四边形EFPG是正方形，∴PA+PB＝PF+AF+PG﹣BG＝2PF＝2EF，∵EF≤AE，∴EF的最大值＝AE＝22，∴△APB周长的最大值＝4+42．22．（2022春•东坡区校级月考）正方形ABCD中，E、F是AD上的两个点，AE＝DF，连CF交BD于点M，连AM交BE于点N，连接DN．如果正方形的边长为2．（1）求证：BE⊥AM；（2）求DN的最小值．【分析】正方形的性质：正方形的四边相等，正方形的对角线平分对角，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；两点之间，线段最短；三角形全等的判定和全等三角形的性质．欲证BE⊥AM，只需证明△ABN为Rt△，也就等价于∠ABE＝∠DAM，易知∠ABE＝∠DCF，于是只需证明∠DCF＝∠DAM．过了这一关，求极值的问题也就非常简单了．【解答】（1）证：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝DC，∠BAE＝∠CDF＝90°，又AE＝DF，∴△ABE≌△DCF，∴∠ABE＝∠DCF，∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠CDM＝∠ADM，∴△ADM≌△CDM∴∠DCM＝∠DAM，∴∠ABE＝∠DAM，∴∠ABE+∠BAM＝∠DAM+BAM＝90°，∴∠ANB＝90°，则BE⊥AM；（2）解：取AB中点P，连PN、PD，由（1）知：△ABN、△APD均为直角三角形，∴PN=12AB＝1，PD∴DN≥PD﹣PN=5则DN的最小值为5−23．（2022•黄埔区模拟）如图，在边长为4的菱形ABCD中，BD＝4，E、F分别是AD、CD上的动点（包含端点），且AE+CF＝4，连接BE、EF、FB．（1）试探究BE与BF的数量关系，并证明你的结论；（2）求EF的最大值与最小值．【分析】（1）由在边长为4的菱形ABCD中，BD＝4，易得△ABD、△CBD都是边长为4的正三角形，继而证得△BDE≌△BCF（SAS），则可证得结论；（2）由△BDE≌△BCF，易证得△BEF是正三角形，继而可得当动点E运动到点D或点A时，BE的最大，当BE⊥AD，即E为AD的中点时，BE的最小．【解答】解：（1）BE＝BF，证明如下：∵四边形ABCD是边长为4的菱形，BD＝4，∴△ABD、△CBD都是边长为4的正三角形，∵AE+CF＝4，∴CF＝4﹣AE＝AD﹣AE＝DE，又∵BD＝BC＝4，∠BDE＝∠C＝60°，在△BDE和△BCF中，DE=CF∠BDE=∠C∴△BDE≌△BCF（SAS），∴BE＝BF；（2）∵△BDE≌△BCF，∴∠EBD＝∠FBC，∴∠EBD+∠DBF＝∠FBC+∠DBF，∴∠EBF＝∠DBC＝60°，又∵BE＝BF，∴△BEF是正三角形，∴EF＝BE＝BF，当动点E运动到点D或点A时，BE的最大值为4，当BE⊥AD，即E为AD的中点时，BE的最小值为23∵EF＝BE，∴EF的最大值为4，最小值为2324．（2022春•洪山区期中）如图1，E，F是正方形ABCD的边上两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H（1）求证：AG⊥BE；（2）如图2，连DH，若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是25−2【分析】（1）根据正方形的性质可得AB＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，∠ADB＝∠CDB＝45°，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABE＝∠DCF，再利用“边角边”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DAG＝∠DCF，从而得到∠ABE＝∠DAG，再根据∠DAG+∠BAH＝90°求出∠BAE+∠BAH＝90°，然后求出∠AHB＝90°，再根据垂直的定义证明；（2）取AB的中点O，连接OD、OH，利用勾股定理列式求出OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OH，再根据三角形的任意两边之差小于第三边判断出O、D、H三点共线时，DH最小．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，∠ADB＝∠CDB＝45°，在△ABE和△DCF中，AB=CD∠BAD=∠ADC∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠ABE＝∠DCF，在△ADG和△CDG中，AD=CD∠ADB=∠CDB∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠DAG＝∠DCF，∴∠ABE＝∠DAG，∵∠DAG+∠BAH＝90°，∴∠BAE+∠BAH＝90°，∴∠AHB＝90°，∴AG⊥BE；（2）取AB的中点O，连接OD、OH，∵正方形的边长为4，∴AO＝OH=1由勾股定理得，OD=42+由三角形的三边关系得，O、D、H三点共线时，DH最小，DH最小＝25−故答案为：25−25．（2022•宁德）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；（3）当AM+BM+CM的最小值为3+1【分析】（1）由题意得MB＝NB，∠ABN＝15°，所以∠EBN＝45°，容易证出△AMB≌△ENB；（2）①根据“两点之间线段最短”，可得，当M点落在BD的中点时，AM+CM的值最小；②根据“两点之间线段最短”，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长（如图）；（3）作辅助线，过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，由题意求出∠EBF＝30°，设正方形的边长为x，在Rt△EFC中，根据勾股定理求得正方形的边长为2．【解答】（1）证明：∵△ABE是等边三角形，∴BA＝BE，∠ABE＝60°．∵∠MBN＝60°，∴∠MBN﹣∠ABN＝∠ABE﹣∠ABN．即∠MBA＝∠NBE．又∵MB＝NB，∴△AMB≌△ENB（SAS）．（2）解：①当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM+CM的值最小．②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，理由如下：连接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，∴AM＝EN，∵∠MBN＝60°，MB＝NB，∴△BMN是等边三角形．∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．根据“两点之间线段最短”可知，若E、N、M、C在同一条直线上时，EN+MN+CM取得最小值，最小值为EC．在△ABM和△CBM中，AB=CB∠ABM=∠CBM∴△ABM≌△CBM（SAS），∴∠BAM＝∠BCM，∴∠BCM＝∠BEN，∵EB＝CB，∴若连接EC，则∠BEC＝∠BCE，∵∠BCM＝∠BCE，∠BEN＝∠BEC，∴M、N可以同时在直线EC上．∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长．（3）解：过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF＝∠ABF﹣∠ABE＝90°﹣60°＝30°．设正方形的边长为x，则BF=32x，EF在Rt△EFC中，∵EF2+FC2＝EC2，∴（x2）2+（32x+x）2解得x1=2，x2=−∴正方形的边长为2．26．（2022•南充模拟）如图，M，N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足CM＝DN，AC，BM相交于点E，DE与AN相交于点F，连接CF．（1）求证：DE⊥AN．（2）若正方形ABCD的边长为4，求CF的最小值．【分析】（1）根据正方形的性质证明△BCM≌△ADN和△BCE≌△DCE，得到∠CDE＝∠NAD，因此∠DAN+∠ADF＝∠CDE+∠ADF＝90°，进而求证；（2）取AD中点P，连接PF，CP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出FP的长度，根据勾股定理求出CP的长度，根据CF+FP≥CP，即可求得．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCA＝∠DCE＝45°，BC＝AD＝CD，∠BCD＝∠ADC＝90°，在△BCM和△ADN中，BC=AD∠BCD=∠ADC=90°∴△BCM≌△ADN（SAS）．∴∠CBM＝∠DAN，在△BCE和△DCE中，BC=CD∠BCA=∠ACD=45°∴△BCE≌△DCE（SAS），∴∠CBM＝∠CDE，∴∠CDE＝∠NAD，∴∠DAN+∠ADF＝∠CDE+∠ADF＝90°，∴DE⊥AN．（2）解：取AD中点P，连接PF，CP，由（1），得FP=1在Rt△CPD中，由勾股定理得，CP=4∵CF+FP≥CP，∴CF≥25∴CF的最小值2527．（2022春•思明区校级期中）已知：在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、DA上．（1）如图1，四边形EFGH为正方形，AE＝2，求GC的长．（2）如图2，四边形EFGH为菱形，设BF＝x，△GFC的面积为S，且S与x满足函数关系S＝6−12x．在自变量x的取值范围内，是否存在x，使菱形EFGH的面积最大？若存在，求【分析】（1）只要证明△AEH≌△BFE．推出BF＝AE＝2，由△MGF≌△BFE，求出CM和MG的长，根据勾股定理可得结论；（2）如图2，过点G作GM⊥BC，垂足为M，连接HF，根据S△GFC=12FC•GM，计算GM的长，先根据勾股定理确定菱形边长的最大值，即确定x的取值范围，计算菱形的面积，可得菱形面积最大值时，【解答】解：（1）如图1，过点G作GM⊥BC，垂足为M．由矩形ABCD可知：∠A＝∠B＝90°，由正方形EFGH可知：∠HEF＝90°，EH＝EF，∴∠1+∠2＝90°，又∠1+∠3＝90°，∴∠3＝∠2，∴△AEH≌△BFE．∴BF＝AE＝2，同理可证：△MGF≌△BFE，∴GM＝BF＝2，FM＝BE＝8﹣2＝6，∴CM＝BC﹣BF﹣FM＝12﹣2﹣6＝4，在Rt△CMG中，由勾股定理得：CG=CM2（2）如图2，过点G作GM⊥BC，垂足为M，连接HF，由矩形ABCD得：AD∥BC，∴∠AHF＝∠HFM，由菱形EFGH得：EH∥FG，EH＝FG，∴∠EHF＝∠HFM，∴∠AHE＝∠GFM，又∠A＝∠M＝90°，EH＝FG，∴△MGF≌△AEH，∴GM＝AE，又BF＝x，∴FC＝12﹣x，∴S△GFC=12FC•GM=12（12﹣x）•GM∴GM＝1，∴AE＝GM＝1，BE＝8﹣1＝7，∵H在边AD上，∴菱形边长EH的最大值=122+12此时BF＝x=145−(8−1)2∴0≤x≤46，∵EH＝EF，由勾股定理得：AH=E∴S菱形EFGH＝BM•AB﹣2×12×7x﹣2×12×1×48+x2=8（x+∴当x最大时，菱形EFGH的面积最大，即当x＝46时，菱形EFGH的面积最大．28．（2022•南岗区校级一模）已知菱形ABCD的对角线相交于O，点E、F分别在边AB、BC上，且BE＝BF，射线EO、FO分别交边CD、AD于G、H．（1）求证：四边形EFGH为矩形；（2）若OA＝4，OB＝3，求EG的最小值．【分析】（1）先根据对角线互相平分证明四边形EFGH是平行四边形，再证明△EBO≌△FBO，得EG＝FH，所以四边形EFGH是矩形；（2）根据垂线段最短，可知：当OE⊥AB时，OE最小，先利用面积法求OE的长，EG＝2OE，可得结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AB∥CD，AD∥BC，∴∠BAO＝∠DCO，∠AOE＝∠GOC，∴△AOE≌△COG（ASA），∴OE＝OG，同理得：OH＝OF，∴四边形EFGH是平行四边形，∵BE＝BF，∠ABD＝∠CBD，OB＝OB，∴△EBO≌△FBO，∴OE＝OF，∴EG＝FH，∴四边形EFGH是矩形；（2）∵垂线段最短，∴当OE⊥AB时，OE最小，∵OA＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，∴AB2＝OA2+OB2＝25，∴AB＝5，∴12OA×OB=12AB3×4＝5×OE，OE=12∵OE＝OG，∴EG=24答：EG的最小值是24529．（2022春•戚墅堰区校级月考）如图，已知∠MON＝90°，线段AB长为6cm，AB两端分别在OM、ON上滑动，以AB为边作正方形ABCD，对角线AC、BD相交于点P，连接OC．（1）求OC的最大值；（2）求证：无论点A、点B怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；（3）若OP＝42cm，求OA的长．【分析】（1）当连接OQ，CQ，当O，C，Q三点共线时，OC有最大值，由正方形的性质和勾股定理得出答案即可；（2）作PE⊥OM、PF⊥ON，证得△PAE≌△PBF，得出PE＝PF，得出结论；（3）由（2）的结论，利用OA＝OE+AE，求出AE、OE解决问题．【解答】（1）解：取AB的中点Q，连接OQ，CQ，当O，C，Q三点共线时，OC有最大值，最大值为：OQ+QC=12×6+62（2）作PE⊥OM、PF⊥ON垂足分别为E、F，∠PEA＝∠PFB＝90°，∵ABCD是正方形，∴PA＝PB，∵∠AOB＝∠ABC＝90°，∴∠CBN＝∠OAB，∠PBC＝∠PAB＝45°，∴CNB+∠POC＝∠PAB+∠OAB，即∠PAE＝∠PBF，∴△PAE≌△PBF，∴PE＝PF，即P在角AOB的平分线上；（3）四边形OEPF是正方形，OP＝42cm，OE＝PE=22OP＝4cm，AB＝6cm，PA＝3AE=PA∴OA＝OE+AE＝4+2或OA＝（4−2）30．（2012秋•吴中区月考）如图①，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）连接MN，△BMN是等边三角形吗？为什么？（2）求证：△AMB≌△ENB；（3）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；②如图②，当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，请你画出图形，并说明理由．【分析】（1）根据旋转的性质可得BM＝BN，∠MBN＝60°，再根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形证明即可；（2）根据等边三角形的性质可得AB＝EB，BM＝BN，∠ABE＝∠MBN＝60°，再求出∠ABM＝∠EBN，然后利用“边角边”证明△AMB和△ENB全等即可；（3）①根据两点之间线段最短可知A、M、C三点共线时，AM+CM的值最小，再根据正方形的性质解答；②根据全等三角形对应边相等可得AM＝EN，然后求出AM+BM+CM＝EN+MN+CM，再根据两点之间线段最短证明．【解答】（1）解：△BMN是等边三角形．理由如下：如图①，∵BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，∴BM＝BN，∠MBN＝60°，∴△BMN是等边三角形；（2）证明：∵△ABE和△BMN都是等边三角形，∴AB＝EB，BM＝BN，∠ABE＝∠MBN＝60°，∴∠ABE﹣∠ABN＝∠MBN﹣∠ABN，即∠ABM＝∠EBN，在△AMB和△ENB中，AB=EB∠ABM=∠EBN∴△AMB≌△ENB（SAS）；（3）①由两点之间线段最短可知A、M、C三点共线时，AM+CM的值最小，∵四边形ABCD是正方形，∴点M为BD的中点；②当点M在CE与BD的交点时，AM+BM+CM的值最小，理由如下：如图②，∵△AMB≌△ENB，∴AM＝EN，∵△BMN是等边三角形，∴BM＝MN，∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM，由两点之间线段最短可知，点E、N、M、C在同一直线上时，EN+MN+CM，故，点M在CE与BD的交点时，AM+BM+CM的值最小．专题18.9平行四边形中常见的四种思想方法【人教版】考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对平行四边形中常见的四种思想方法的理解！【类型1整体思想】1.（2021秋·黑龙江佳木斯·九年级统考期中）如图，平行四边形ABCD中，点E在边AD上，若点A关于BE的对称点A′落在CD上，△DEA′的周长为8，△CBA′的周长为18，则A′C的长为__________.2.（2022秋·山东济宁·八年级济宁学院附属中学校考期末）如图，菱形ABCD的周长为40，面积为80，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于__________.3.（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝22，点P为BC上一动点，AQ∥BC，CQ∥AP，AQ、CQ交于点Q，则四边形APCQ的形状是______，连接PQ，当PQ取得最小值时，四边形APCQ的周长为_____．4.（2022春·河南南阳·八年级统考期末）在▱ABCD中，点E为AB边的中点，连接CE，将△BCE沿着CE翻折，点B落在点G处，连接AG并延长，交CD于F．(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若CF＝5，△GCE的周长为20，求四边形ABCF的周长．5.（2022秋·江苏南京·九年级南京市第二十九中学校考开学考试）如图，在平行四边形ABCD中，AD＞AB，点E、F分别在边AD、BC上，且AE＝CF，连接BE、DF．(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；(2)若平行四边形ABCD的周长为26，面积为183，且∠A＝60°，当BE平分∠ABC时，则四边形BEDF的周长为____．6.（2021秋·黑龙江佳木斯·九年级统考期中）如图，△AOD和△COB关于点O中心对称，∠AOD＝60°，△ADO＝90°，BD＝12，P是AO上一动点，Q是OC上一动点（点P，Q不与端点重合），且AP＝OQ．连接BQ，DP，则DP+BQ的最小值是_______．7.（2023春·全国·八年级期末）在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，A（3，0），B（0，4），D为边OB的中点.(1)若E为边OA上的一个动点，求△CDE的周长最小值；(2)若E、F为边OA上的两个动点，且EF=1，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.【类型2转化思想】8.（2022秋·山东济宁·八年级济宁学院附属中学校考期末）如图，矩形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连接DE和BF，分别取DE、BF的中点M、N，连接AM、CN、MN，若AB=4，BC=6，则图中阴影部分的面积为

(

)A.4 B.6 C.12 D.249.如图，P为▱ABCD的边AD上的一点，E、F分别是PB、PC的中点，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别为S、S1、S2，若S=3，则S1A.3 B.6 C.12 D.2410.如图，在□ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，AF与DE交于点P，BF与CE交于点Q，若S△APD=20cm2，S11.正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为__________.12.（2022秋·山东济宁·八年级济宁学院附属中学校考期末）如图，在▱ABCD中，E为边BC延长线上一点，连结AE、DE．若△ADE的面积为2，则▱ABCD的面积为（）．A．5 B．4 C．3 D．213.（2023春·八年级期末）如图，平行四边形ABCD中，G在CD上，E、F是AG、BG的中点，那么四边形ABCD的面积是△GEF面积的____倍．14.（2020秋·重庆南岸·九年级重庆第二外国语学校校考期末）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连接DE和BF，分别取DE、BF的中点M、N，连接AM、CN、MN．若AB=3，BC=2515.（2023春·八年级期末）如图，平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG＝2BG，连接AP，若S△PBG＝2，则S四边形AEPH＝_____．【类型3分类讨论思想】16.在▱ABCD中，已知AB=6，BE平分∠ABC交AD边于点E，点E将AD分为1:3两部分，则AD的长为__________.17.在▱ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，∠EBD=20∘，则∠A的度数为__________.18.已知在▱ABCD中，AE为BC边上的高，且AE=12，若AB=15，AC=13，则▱ABCD的面积为__________.19.（2023春·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=4，E为斜边AB的中点，点P是射线BC上的一个动点，连接AP、PE，将△AEP沿着边PE折叠，折叠后得到△EPA′，当折叠后△EPA′与△BEP的重叠部分的面积恰好为20.（2022春·江苏扬州·八年级校考期末）在平面直角坐标系中，A（﹣1，1），B（2，3），C（m，2m＋1），D在x轴上，若以A，B，C，D四点为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为_____．21.（2019春·福建泉州·八年级校考期末）在直角坐标系内，将横坐标、纵坐标都是整数的点称作“整点”.设A0,0，B3,0，Cm+3,3，Dm,3（22.（2019·安徽·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，E为斜边AB的中点，点P是射线BC上的一个动点，连接AP、PE，将△AEP沿着边PE折叠，折叠后得到△EPA′，当折叠后△EPA′与△BEP的重叠部分的面积恰好为△ABP面积的四分之一，则此时BP的长为_____．【类型4方程思想】23.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，EB//DF且BE与DF之间的距离为3，则AE的长是__________.24.如图，在正方形OABC中，点B的坐标是(3,3)，点E、F分别在边BC、BA上，CE=1，若∠EOF=45∘25.（2020春·天津·八年级统考期中）▱ABCD中，两个邻边的比为3：2，其中较长的一边为15cm，则ABCD的周长为______cm．26．（2019春·江苏南通·八年级海安市曲塘中学校考期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC，DE垂直于对角线AC，垂足是E，连接BE．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若△ABE是等边三角形，四边形BCDE的面积等于23，求CE的长．27．（2020·云南红河·统考一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝16，AD＝12，点E、F分别在边CD、AB上．（1）若DE＝BF，求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若四边形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周长．28．（2022春·安徽铜陵·八年级统考期末）如图1，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，过对角线AC中点O的直线分别交边BC、AD于点E、F（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）如图2，当EF⊥AC时，求EF的长度．29．（2019春·辽宁大连·八年级期末）如图，等边△ABC的边长为8，动点M从点B出发，沿B→A→C→B的方向以每秒3个单位长度的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B－C的方向以每秒2个单位长度的速度运动.（1）若动点M、N同时出发，经过几秒第一次相遇？（2）若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．在△ABC的边上是否存在一点D，使得以点A、M、N、D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时运动的时间t及点D的具体位置；若不存在，请说明理由.30．（2021春·江苏常州·八年级常州市第二十四中学校考期中）定义：如果四边形的一条对角线的中点到另外两个顶点的距离都等于这条对角线的长的一半，那么我们称这样的四边形为“等距四边形”．（1）在下列图形中：①平行四边形、②矩形、③菱形、④正方形，是“等距四边形”的是．（填序号）（2）如图1，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，BE⊥CD于点E，在菱形ABCD的边上取点F，顺次连接B、E、D、F，使四边形BEDF为“等距四边形”，说明理由，并求线段EF的长．专题18.9平行四边形中常见的四种思想方法【人教版】考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对平行四边形中常见的四种思想方法的理解！【类型1整体思想】1.（2021秋·黑龙江佳木斯·九年级统考期中）如图，平行四边形ABCD中，点E在边AD上，若点A关于BE的对称点A′落在CD上，△DEA′的周长为8，△CBA′的周长为18，则A′C的长为__________.【答案】5

【解析】由折叠的性质得，EA′=AE，BA′=AB.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，AB=DC.

∵△A′DE的周长为8，即DA′+DE+EA′=8，

∴DA′+DE+AE=8，即DA′+AD=8.

∵△A′CB的周长为18，即A′C+BC+BA′=18，

∴A′C+AD+DC=18，即2A′C+AD+DA′=18.

∴2A′C+8=18，

∴A′C=52.（2022秋·山东济宁·八年级济宁学院附属中学校考期末）如图，菱形ABCD的周长为40，面积为80，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于__________.【答案】8

【解析】

解析：∵菱形ABCD的周长为40，面积为80，∴AB=AD=10，S△ABD=40.∵分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，∴12×AB×PE+3.（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝22，点P为BC上一动点，AQ∥BC，CQ∥AP，AQ、CQ交于点Q，则四边形APCQ的形状是______，连接PQ，当PQ取得最小值时，四边形APCQ的周长为_____．【答案】

平行四边形

2+10【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可求解；当PQ是AQ和BC间距离时PQ取得最小值，计算四边形APCQ的周长即可．【详解】解：如图，∵AQ∥BC，CQ∥AP，∴四边形APCQ是平行四边形．当PQ⊥BC时，PQ取得最小值，∵四边形APCQ是平行四边形，∴AH=HC=12AC，QH=PH=12∵∠ABC=45°，AB=2，BC=22∴AC=2，∠ACB=45°，∵QP⊥BC，∴∠PHC=45°，∴PH=PC=22∴PQ=2，∴QC=PC∴四边形APCQ的周长为：2PC+2QC=2×22+2×102=故答案为：平行四边形；2+【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，垂线段最短的性质，综合性较强．4.（2022春·河南南阳·八年级统考期末）在▱ABCD中，点E为AB边的中点，连接CE，将△BCE沿着CE翻折，点B落在点G处，连接AG并延长，交CD于F．(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若CF＝5，△GCE的周长为20，求四边形ABCF的周长．【答案】(1)见解析(2)30【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AE∥FC，根据折叠及已知条件得出AE＝GE，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质，证明∠FAE＝∠CEB，再根据平行线的判定得出AF∥EC，即可证明结论；（2）由折叠的性质得：GE＝BE，GC＝BC，根据△GCE的周长为20，得出GE＋CE＋GC＝20，即可得出BE＋CE＋BC＝20，再根据平行四边形的性质求出AF＝CE，AE＝CF＝5，即可求出结果．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥FC，∵点E是AB边的中点，∴AE＝BE，∵将△BCE沿着CE翻折，点B落在点G处，∴BE＝GE，∠CEB＝∠CEG，∴AE＝GE，∴∠FAE＝∠AGE，∵∠CEB＝∠CEG＝∠BEG，∠BEG＝∠FAE＋∠AGE，∴∠FAE＝∠BEG，∴∠FAE＝∠CEB，∴AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形．（2）解：由折叠的性质得：GE＝BE，GC＝BC，∵△GCE的周长为20，∴GE＋CE＋GC＝20，∴BE＋CE＋BC＝20，∵四边形AECF是平行四边形，∴AF＝CE，AE＝CF＝5，∴四边形ABCF的周长＝AB＋BC＋CF＋AF＝AE＋BE＋BC＋CE＋CF＝5＋20＋5＝30．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质和判定，是解题的关键．5.（2022秋·江苏南京·九年级南京市第二十九中学校考开学考试）如图，在平行四边形ABCD中，AD＞AB，点E、F分别在边AD、BC上，且AE＝CF，连接BE、DF．(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；(2)若平行四边形ABCD的周长为26，面积为183，且∠A＝60°，当BE平分∠ABC时，则四边形BEDF的周长为____．【答案】(1)见解析(2)18【分析】（1）利用平行四边形的性质可得AD∥BC，AD=BC，从而可得DE=BF，然后利用平行四边形的判定方法，即可解答；（2）过点B作BM⊥AD，垂足为M，根据平行四边形的周长和面积可得方程组，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理得出MB=3AM=32AB，进而可得AD+AB【详解】（1）（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵AE=CF，∴AD-AE=BC-CF，∴DE=BF，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）过点B作BM⊥AD，垂足为M，∵平行四边形ABCD的周长为26，面积为183∴2AD+AB在Rt△ABM中，∠A=60°，∴∠ABM=30°∴2AM=AB∴MB=3AM=∴AD+AB=13AD⋅化简得：AD+AB＝解得：AD=4AB=9或AD=9∵AD＞AB，∴AD=9，AB=4，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AE=AB=4，∴DE=AD-AE=9-4=5，∵∠A=60°，∴△ABE是等边三角形，∴BE=AB=4，∴四边形BEDF的周长=2（BE+DE）=18，故答案为：18．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．6.（2021秋·黑龙江佳木斯·九年级统考期中）如图，△AOD和△COB关于点O中心对称，∠AOD＝60°，△ADO＝90°，BD＝12，P是AO上一动点，Q是OC上一动点（点P，Q不与端点重合），且AP＝OQ．连接BQ，DP，则DP+BQ的最小值是_______．【答案】12【分析】由中心对称的性质可得BO＝DO＝6，AO＝OC，可证四边形ABCD是平行四边形，由直角三角形的性质可得AO＝2DO＝12，当AP＝OP时，DP+BQ的值最小，此时P为OA的中点，由直角三角形斜边上的中线性质得出DP、BQ，即可得出结果．【详解】解：∵△AOD和△COB关于点O中心对称，∴BO＝DO＝6，AO＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠AOD＝60°，∠ADO＝90°，∴∠DAO＝30°，∴AO＝2DO＝12，∵AP＝OQ，∴PQ＝AO＝12，如图，作DK∥AC，使得DK＝PQ＝12，连接∴四边形DPQK为平行四边形，∴DP=KQ，∠BDK=∠BOC=∠AOD=60°，此时DP+BQ＝KQ+BQ＝BK的值最小，∵DK=PQ=BD=12，∴△BDK是等边三角形，∴BK=DB=12，∴DP+BQ的最小