2023-2024学年八年级数学下册举一反三系列专题19.1 函数基础知识【九大题型】（举一反三）（人教版）含解析

2023-2024学年八年级数学下册举一反三系列专题19.1函数基础知识【九大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1常量与变量的确定】 1【题型2函数的概念】 2【题型3用描点法画函数的图像】 3【题型4自变量取值范围的确定】 6【题型5函数的解析式的确定】 6【题型7函数图像的识别】 8【题型8从函数的图像获取信息】 10【题型9动点问题的函数图象】 12【知识点1函数的概念】一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。注意：要判断一个关系式是不是函数，首先看这个变化过程中是否只有两个变量，其次看每一个x的值是否对应唯一确定的y值．【知识点2求函数的值】(1)当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．(2)函数表达式中只有两个变量，给定一个变量的值，将其代入函数表达式即可求另一个变量的值，即给自变量的值可求函数值，给函数值可求自变量的值．【题型1常量与变量的确定】【例1】（2022春•娄星区期末）下列说法不正确的是（）A．正方形面积公式S＝a2中有两个变量：S，a B．圆的面积公式S＝πr2中的π是常量 C．在一个关系式中，用字母表示的量可能不是变量 D．如果a＝b，那么a，b都是常量【变式1-1】（2022春•鄠邑区期末）大家知道，冰层越厚，所承受的压力越大，这其中自变量是，因变量是．【变式1-2】（2022春•砚山县校级期中）某水果店卖出的香蕉数量（千克）与售价（元）之间的关系如表：数量（千克）0.511.522.533.5…售价（元）1.534.567.5910.5…上表反映了个变量之间的关系，其中，自变量是；因变量是．【变式1-3】（2022•莘县校级月考）某电信公司提供了一种移动通讯服务的收费标准，如下表：项目月基本服务费月免费通话时间超出后每分收费标准40元150分0.6元则每月话费y（元）与每月通话时间x（分）之间有关系式y=40(0≤x≤150)14．变量x，y之间的对应关系如下表所示：X﹣3﹣2﹣10123y105212510请你判断y是x的函数吗？x是y的函数吗？说说你的理由．【题型2函数的概念】【例2】（2022春•莆田期末）下列曲线中不能表示y是x的函数的是（）A． B． C． D．【变式2-1】（2022春•红谷滩区校级期末）下面每个选项中给出了某个变化过程中的两个变量x和y，其中y不是x的函数的选项是（）A．y：正方形的面积，x：这个正方形的周长 B．y：某班学生的身高，x：这个班学生的学号 C．y：圆的面积，x：这个圆的直径 D．y：一个正数的平方根，x：这个正数【变式2-2】（2022•长安区期末）老师让同学们举一个y是x的函数的例子，同学们分别用表格、图象、函数表达式列举了如下4个x、y之间的关系：（其中k，b为常量）①气温x1201日期y1234②③y＝kx+b④y＝|x|其中y一定是x的函数的是．（填写所有正确的序号）【变式2-3】（2022春•汉阴县期末）变量x，y有如下关系：①x+y＝10，②|y|＝x，③y＝|x﹣3|，④y2＝8x．其中y是x的函数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【知识点3函数的图象】把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图像，用图像表示的函数关系，更为直观和形象．【题型3用描点法画函数的图像】【例3】（2022春•镇平县月考）某班数学兴趣小组对函数y=1（1）函数y=1x−1+x+12的自变量x（2）下表是y与x的几组对应值．x…﹣3﹣2﹣1012y…−5−5−1−1−5x322345…y1345252m134…则表格中的m＝；（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表格中各组对应值为坐标的点，请根据描出的点，画出该函数的图象，试写出该函数的一条性质．【变式3-1】（2022春•广饶县期末）某造纸厂每小时造纸1.5吨，2小时、3小时……各造纸多少吨？（1）把下表填写完整，在①②③处填写相应数值．造纸时间/时1234……造纸吨数/吨1.5①②③……（2）根据表中的数据，在图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点，再把它们连起来．（3）根据图象判断，5小时造纸多少吨？【变式3-2】（2022春•梁平区期末）小奥根据学习函数的经验，对函数y=x（1）函数y=x2+2x（2）下表是y与x的几组对应值，则m的值为，n的值为；x…﹣5m﹣3﹣2﹣1−11212345…y…−29−5−13﹣2−5−17174522n522910…（3）描点、连线在下面的格点图中，建立适当的平面直角坐标系xOy，描出上表中各对对应值为坐标的点（其中x为横坐标，y为纵坐标），并根据描出的点画出该函数的图象．【变式3-3】（2022•襄州区模拟）数学活动：问题情境：有这样一个问题：探究函数y=1x+1的图象与性质．小明根据学习函数的经验，对函数问题解决：下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）函数y=1x+1的自变量x（2）表是y与x的几组对应值．x…﹣4﹣3﹣2﹣1﹣mm1234…y…3423120﹣132324354…求m的值；（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象．（4）结合函数的图象，写出该函数的性质（两条即可）．【题型4自变量取值范围的确定】【例4】（2022春•扶沟县期末）函数y=1x+3中自变量A．x＞﹣3 B．x≥﹣3 C．x＜﹣3 D．x≠﹣3【变式4-1】（2022春•昌平区期末）函数y=2xx−1中，自变量A．x＜1 B．x＞1 C．x≠1 D．x≠0【变式4-2】（2022•渠县一模）函数y=xx自变量的取值范围是x【变式4-3】（2022•杭州模拟）已知p（x，y）在函数y=−1x2A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【题型5函数的解析式的确定】【例5】（2022•金牛区校级期中）一根长度为30cm的弹簧，一端固定．如果另一端挂上物体，在正常的弹性限度内，所挂物体质量每增加1kg时，弹簧长度增加2cm，完成下列问题：①当挂物体重3kg时，弹簧总长度为cm；②在正常的弹性限度内，如果用x表示所挂物体质量（单位kg），那么弹簧的总长度是多少厘米？③在正常的弹性限度内，若弹簧的总长度为40cm，那么它挂的物体质量是多少千克？【变式5-1】（2022春•文山州期末）某种洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的关系如折线图所示．根据图象解答下列问题：（1）在这个变化过程中，自变量和因变量分别是什么？（2）洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机中水量为多少升？（3）已知洗衣机的排水速度为每分钟18升，求排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的关系式．【变式5-2】（2022•莘县校级月考）为了加强公民节水意识，合理利用水资源，某市自来水公司对每户用水量进行了分段计费，每户每月用水量在规定立方米及以下的部分和超出部分标准不同．下表反映的是小亮家1﹣4月份用水量与应交水费情况：月份1234用水量（m3）681012费用（元）9121824小亮家12月份用水xm3（12月份用水量超过规定用水量），应交水费y元，则y关于x的函数关系式是．【变式5-3】（2022•郫都区模拟）如图，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形的长和宽分别为y和x，则因变量y与自变量x的函数关系式为y＝．【题型6求自变量的值或函数值】【例6】（2022春•南岸区期末）地表以下岩层的温度y（℃）随着所处深度x（km）的变化而变化，在某个地点y与x之间的关系可以近似地用关系式y＝35x+20来表示，也可用表格表示，其中表格的部分数据如下表所示，则其中的m，n分别是（）x/℃124m910y/km55n160230335370A．m＝7，n＝70 B．m＝6，n＝70 C．m＝7，n＝90 D．m＝6，n＝90【变式6-1】（2022春•双阳区月考）已知函数y=2x−1x+2中，当x＝a时的函数值为1，试求a的值为【变式6-2】（2022春•微山县期末）已知函数y=2x+1(x≥0)4x(x＜0)，当x＝﹣2时，函数值y为【变式6-3】（2022•江汉区校级月考）设f（x）表示关于x的函数，若f（m+n）＝f（m）+f（n）+mn9，且f（6）＝3，那么f（5）＝【题型7函数图像的识别】【例7】（2022春•芝罘区期末）如图，将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内，看作一个容器．然后对准玻璃杯口匀速注水，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部，则下面可以近似地刻画出容器最高水位h与注水时间t之间的变化情况的是（）A． B． C． D．【变式7-1】（2022•雅安）一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段后开始匀速行驶．过了一段时间，汽车到达下一个车站．乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶．下面的哪一幅图可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况（）A． B． C． D．【变式7-2】（2022•广陵区一模）如图，物理课上，老师将挂在弹簧测力计下端的铁块完全浸没在水中，然后缓慢匀速向上提起（不考虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的高度x（单位：cm）之间的函数关系的大致图象是（）A． B． C． D．【变式7-3】（2022春•章丘区期末）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、G分别是边CD和BC的中点，点F为正方形中心，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（）A． B． C． D．【题型8从函数的图像获取信息】【例8】（2022春•呼和浩特期末）已知张强家、体育场、文具店在同一直线上．如图的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中x表示时间，y表示张强离家的距离．则下列说法正确的是（）A．张强从家到体育场的速度是503km/ℎB．体育场离文具店4千米 C．张强在文具店逗留了15分 D．张强从文具店回家的平均速度是370【变式8-1】（2022•开州区模拟）如图是自动测温仪记录的图象，它反映了某市的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化．下列从图象中得到的信息错误的是（）A．4点时气温达最低 B．14点到24点之间气温持续下降 C．0点到14点之间气温持续上升 D．14点时气温达最高是8℃【变式8-2】（2022•石家庄二模）如图（1）是两圆柱形联通容器（联通外体积忽略不计）．向甲容器匀速注水，甲容器的水面高度h（cm）随时间t（分）之间的函数关系如图（2）所示，根据提供的图象信息，若甲的底面半径为1cm，则乙容器底面半径为（）A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm【变式8-3】（2022•綦江区期末）小强和爷爷去爬山，爷爷先出发一段时间后小强再出发，途中小强追上了爷爷并最终先爬到山顶，两人所爬的高度h（米）与小强出发后的时间t（分钟）的函数关系如图所示，下列结论正确的是（）A．爷爷比小强先出发20分钟 B．小强爬山的速度是爷爷的2倍 C．l1表示的是爷爷爬山的情况，l2表示的是小强爬山的情况 D．山的高度是480米【题型9动点问题的函数图象】【例9】（2022春•洪江市期末）如图1，矩形ABCD中，动点E从点C出发，速度为2cm/s，沿C→D→A→B方向运动至点B处停止．设点E运动的时间为xs，△BCE的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则四边形ABCD的面积为（）A．48cm2 B．24cm2 C．21cm2 D．12cm2【变式9-1】（2022•武威模拟）如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，图中阴影部分△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形PQMN的面积为（）A．16 B．20 C．36 D．45【变式9-2】（2022春•海淀区校级期中）已知点P为某个封闭图形边界上一定点，动点M从点P出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点M的运动时间为x，线段PM的长度为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（）A． B． C． D．【变式9-3】（2022•大同模拟）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点A出发，沿A﹣B﹣C﹣D方向运动至点D处停止．设点P运动的路程为x，△APD的面积为S，如果S关于x的函数图象如图2所示，则当x＝7时，点P应运动到（）A．点C处 B．点D处 C．点A处 D．点B处专题19.1函数基础知识【九大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1常量与变量的确定】 1【题型2函数的概念】 3【题型3用描点法画函数的图像】 5【题型4自变量取值范围的确定】 11【题型5函数的解析式的确定】 12【题型7函数图像的识别】 16【题型8从函数的图像获取信息】 18【题型9动点问题的函数图象】 21【知识点1函数的概念】一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。注意：要判断一个关系式是不是函数，首先看这个变化过程中是否只有两个变量，其次看每一个x的值是否对应唯一确定的y值．【知识点2求函数的值】(1)当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．(2)函数表达式中只有两个变量，给定一个变量的值，将其代入函数表达式即可求另一个变量的值，即给自变量的值可求函数值，给函数值可求自变量的值．【题型1常量与变量的确定】【例1】（2022春•娄星区期末）下列说法不正确的是（）A．正方形面积公式S＝a2中有两个变量：S，a B．圆的面积公式S＝πr2中的π是常量 C．在一个关系式中，用字母表示的量可能不是变量 D．如果a＝b，那么a，b都是常量【分析】根据自变量与常量、因变量的定义解答．【解答】解：A、正方形面积公式S＝a2中有两个变量：S，a，正确；B、圆的面积公式S＝πr2中的π是常量，正确；C、在一个关系式中，字母表示的量可能不是变量，正确；D、如果a＝b，那么a，b都是变量，故错误．故选：D．【变式1-1】（2022春•鄠邑区期末）大家知道，冰层越厚，所承受的压力越大，这其中自变量是冰层的厚度，因变量是冰层所承受的压力．【分析】根据常量与变量，即可解答．【解答】解：大家知道，冰层越厚，所承受的压力越大，这其中自变量是冰层的厚度，因变量是冰层所承受的压力；故答案为：冰层的厚度，冰层所承受的压力．【变式1-2】（2022春•砚山县校级期中）某水果店卖出的香蕉数量（千克）与售价（元）之间的关系如表：数量（千克）0.511.522.533.5…售价（元）1.534.567.5910.5…上表反映了两个变量之间的关系，其中，自变量是香蕉数量；因变量是售价．【分析】首先根据表格，可得上表反映了两个变量（香蕉数量和售价）之间的关系；然后根据自变量、因变量的含义，判断出自变量、因变量各是哪个即可．【解答】解：∵香蕉的售价随着香蕉数量的变化而变化，∴上表反映了两个变量之间的关系，其中，自变量是香蕉数量；因变量是售价．故答案为：两、香蕉数量、售价．【变式1-3】（2022•莘县校级月考）某电信公司提供了一种移动通讯服务的收费标准，如下表：项目月基本服务费月免费通话时间超出后每分收费标准40元150分0.6元则每月话费y（元）与每月通话时间x（分）之间有关系式y=40(0≤x≤150)0.6x−50(x＞150)【分析】根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，即可答题．【解答】解：在0≤x≤150中，y，40是常量，x是变量；在x＞150时，0.6，﹣50是常量，x，y是变量．【变式1-4】变量x，y之间的对应关系如下表所示：X﹣3﹣2﹣10123y105212510请你判断y是x的函数吗？x是y的函数吗？说说你的理由．【分析】直接利用函数的定义判断得出即可．【解答】解：由图表中数据可得出：x每取一个值y有唯一值与其对应，故y是x的函数；当y取一个值2，x有两个值﹣1，1与其对应用，故x不是y的函数．【题型2函数的概念】【例2】（2022春•莆田期末）下列曲线中不能表示y是x的函数的是（）A． B． C． D．【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．由此即可得出结论．【解答】解：当x取一个值时，y有唯一的值与其对应，就说y是x的函数，x是自变量．选项C中的曲线，当x取一个值时，y的值可能有2个，不满足对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应．故C中曲线不能表示y是x的函数，故选：C．【变式2-1】（2022春•红谷滩区校级期末）下面每个选项中给出了某个变化过程中的两个变量x和y，其中y不是x的函数的选项是（）A．y：正方形的面积，x：这个正方形的周长 B．y：某班学生的身高，x：这个班学生的学号 C．y：圆的面积，x：这个圆的直径 D．y：一个正数的平方根，x：这个正数【分析】根据题意对各选项分析列出表达式，然后根据函数的定义分别判断即可得解．【解答】解：A、y＝（14x）2=116x2，y是xB、每一个学生对应一个身高，y是x的函数，故B选项错误；C、y＝π（12x）2=14πx2，y是xD、y＝±x，每一个x的值对应两个y值，y不是x的函数，故D选项正确．故选：D．【变式2-2】（2022•长安区期末）老师让同学们举一个y是x的函数的例子，同学们分别用表格、图象、函数表达式列举了如下4个x、y之间的关系：（其中k，b为常量）①气温x1201日期y1234②③y＝kx+b④y＝|x|其中y一定是x的函数的是④．（填写所有正确的序号）【分析】根据函数的定义判断即可．【解答】解：一般的，在一个变化过程中，有两个变量x、y，对于x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，x是自变量，y是x的函数，①②③不符合定义，④符合定义，故答案为④．【变式2-3】（2022春•汉阴县期末）变量x，y有如下关系：①x+y＝10，②|y|＝x，③y＝|x﹣3|，④y2＝8x．其中y是x的函数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应的关系，据此即可确定函数的个数．【解答】解：y是x函数的是：①x+y＝10；③y＝|x﹣3|；②当x＝1时，在|y|＝x中，y＝±1，则y不是x的函数；④当x＝1时，在y2＝8x中，y＝±8，则y不是x的函数；故选：B．【知识点3函数的图象】把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图像，用图像表示的函数关系，更为直观和形象．【题型3用描点法画函数的图像】【例3】（2022春•镇平县月考）某班数学兴趣小组对函数y=1（1）函数y=1x−1+x+12的自变量x（2）下表是y与x的几组对应值．x…﹣3﹣2﹣1012y…−5−5−1−1−5x322345…y1345252m134…则表格中的m＝176（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表格中各组对应值为坐标的点，请根据描出的点，画出该函数的图象，试写出该函数的一条性质．【分析】（1）分式中分母不为零，计算即可．（2）将x＝4代入函数解析式即可得出m的值．（3）将所描出的点用平滑的曲线连接得出图像，再观察图像写出函数的一条性质．【解答】（1）∵x﹣1≠0，可得x≠1，故答案为：x≠1；（2）将x＝4代入1x−1m=1故答案为：176（3）画出该函数图象如图所示：通过观察图象可得：函数图象关于点（1，1）中心对称（答案不唯一）．【变式3-1】（2022春•广饶县期末）某造纸厂每小时造纸1.5吨，2小时、3小时……各造纸多少吨？（1）把下表填写完整，在①②③处填写相应数值．造纸时间/时1234……造纸吨数/吨1.5①3②4.5③6……（2）根据表中的数据，在图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点，再把它们连起来．（3）根据图象判断，5小时造纸多少吨？【分析】（1）根据每小时造纸1.5吨解答即可；（2）根据（1）的数据解答即可；（3）根据图象解答即可．【解答】解：（1）造纸时间为2小时，则造纸吨数为1.5×2＝3（吨）；造纸时间为3小时，则造纸吨数为1.5×3＝4.5（吨）；造纸时间为4小时，则造纸吨数为1.5×4＝6（吨）；故答案为：3；4.5；6；（2）如图所示：（3）由图象可知，5小时造纸为7.5吨．【变式3-2】（2022春•梁平区期末）小奥根据学习函数的经验，对函数y=x（1）函数y=x2+2x的自变量x（2）下表是y与x的几组对应值，则m的值为﹣4，n的值为136x…﹣5m﹣3﹣2﹣1−11212345…y…−29−5−13﹣2−5−17174522n522910…（3）描点、连线在下面的格点图中，建立适当的平面直角坐标系xOy，描出上表中各对对应值为坐标的点（其中x为横坐标，y为纵坐标），并根据描出的点画出该函数的图象．【分析】（1）根据图象，可以写出x的取值范围；（2）将y=−52代入函数解析式中，求出x的值，再根据表格即可得到m的值，将x＝3代入函数解析式，求出y的值，即可得到（3）建立平面直角坐标系，并在坐标系中描点，用平滑的曲线连接起来，即可解答本题．【解答】解：（1）由题意可得，函数y=x2+2x故答案为：x≠0；（2）当y=−52时，代入函数解析式中，可得解得x＝﹣4或x＝﹣1，由表格可得m＝﹣4；当x＝3时，y=3故答案为：﹣4，136（3）函数图象如下：【变式3-3】（2022•襄州区模拟）数学活动：问题情境：有这样一个问题：探究函数y=1x+1的图象与性质．小明根据学习函数的经验，对函数问题解决：下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）函数y=1x+1的自变量x的取值范围是（2）表是y与x的几组对应值．x…﹣4﹣3﹣2﹣1﹣mm1234…y…3423120﹣132324354…求m的值；（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象．（4）结合函数的图象，写出该函数的性质（两条即可）．【分析】（1）根据分式中分母不能为0求出自变量x的取值范围即可，（2）根据图表可知当y＝3时x＝m，把y＝3代入解析式即可求得，（3）用平滑的曲线依次连接图中所描的点即可，（4）答案不唯一，可参考以下的角度：①该函数没有最大值或该函数没有最小值；②该函数在值不等于1；③增减性．【解答】解：（1）根据题意得：x≠0，即函数y=1x+1的自变量x故答案为：x≠0；（2）令1m+1=3，解得∴m=1（3）用平滑的曲线依次连接图中所描的点，如下图所示：（4）观察函数图象，发现该函数没有最大值，也没有最小值，图象不经过原点，即该函数的两条性质：没有最大值，也没有最小值；图象不经过原点．【题型4自变量取值范围的确定】【例4】（2022春•扶沟县期末）函数y=1x+3中自变量A．x＞﹣3 B．x≥﹣3 C．x＜﹣3 D．x≠﹣3【分析】根据算术平方根定义得出被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：x+3＞0，解得：x＞﹣3，故选：A．【变式4-1】（2022春•昌平区期末）函数y=2xx−1中，自变量A．x＜1 B．x＞1 C．x≠1 D．x≠0【分析】根据分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：x﹣1≠0，解得：x≠1，故选：C．【变式4-2】（2022•渠县一模）函数y=xx自变量的取值范围是x【分析】根据分式有意义的条件和算术平方根定义列出不等式组，求解即可．【解答】解：∵x≥0且x≠0，∴x＞0，故答案为x＞0．【变式4-3】（2022•杭州模拟）已知p（x，y）在函数y=−1x2A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】由函数的解析式可得x≠0且﹣x≥0，从而得出x的取值范围，再求得点P横、纵坐标的符号即可判断．【解答】解：∵p（x，y）在函数y=−1∴x≠0且﹣x≥0，解得x＜0，则y＜0，∴点P在第三象限，故选：C．【题型5函数的解析式的确定】【例5】（2022•金牛区校级期中）一根长度为30cm的弹簧，一端固定．如果另一端挂上物体，在正常的弹性限度内，所挂物体质量每增加1kg时，弹簧长度增加2cm，完成下列问题：①当挂物体重3kg时，弹簧总长度为36cm；②在正常的弹性限度内，如果用x表示所挂物体质量（单位kg），那么弹簧的总长度是多少厘米？③在正常的弹性限度内，若弹簧的总长度为40cm，那么它挂的物体质量是多少千克？【分析】（1）根据弹簧的长度加弹簧挂重物伸长的长度，可得答案；（2）根据弹簧的总长度等于弹簧挂重物伸长的长度加弹簧的长度，可得函数解析式；（3）根据函数值，可得相应自变量的值．【解答】解：①30+2×3＝36；故答案为：36；②弹簧的总长度等于弹簧挂重物伸长的长度加弹簧的长度，设弹簧的总长度为y，则y＝2x+30，③当y＝40时，2x+30＝40，解得x＝5，答：所挂重物的质量是5千克．【变式5-1】（2022春•文山州期末）某种洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的关系如折线图所示．根据图象解答下列问题：（1）在这个变化过程中，自变量和因变量分别是什么？（2）洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机中水量为多少升？（3）已知洗衣机的排水速度为每分钟18升，求排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的关系式．【分析】（1）根据函数自变量与因变量的定义解决此题．（2）根据题意解决此题．（3）根据题意，列出函数关系式．【解答】解：（1）自变量是时间x，因变量是洗衣机中的水量y．（2）由图可知，洗衣机进水时间是4分钟，清洗时洗衣机中的水量为40升．（3）由题意得，y＝40﹣18x（0≤x＜15）．【变式5-2】（2022•莘县校级月考）为了加强公民节水意识，合理利用水资源，某市自来水公司对每户用水量进行了分段计费，每户每月用水量在规定立方米及以下的部分和超出部分标准不同．下表反映的是小亮家1﹣4月份用水量与应交水费情况：月份1234用水量（m3）681012费用（元）9121824小亮家12月份用水xm3（12月份用水量超过规定用水量），应交水费y元，则y关于x的函数关系式是y＝3x﹣12（x＞8）．【分析】根据表格判断出1，2月份未超过用水量，3，4月份超过用水量，可求关系式．【解答】解：由题得1﹣2月用水量增加2m3，水费增加3元，2﹣3月，3﹣4月水量增加2m3，水费增加6元，∴1﹣2月用水量没有没有超过规定用水量8m3，用水量没超过规定用水量时，每立方米水费32元，用水量超过规定用水量时，用水量每超过1m3用水量超过规定用水量时，y与x的关系为y=32×8+3（x﹣8）＝3x故答案为：y＝3x﹣12（x＞8）．【变式5-3】（2022•郫都区模拟）如图，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形的长和宽分别为y和x，则因变量y与自变量x的函数关系式为y＝y=1+π2x【分析】利用图示数据列出等式即可得出结论．【解答】解：由题意得：圆柱的上下底面圆的半径为14x圆柱的侧面展开图的长为：y−12∵圆柱的侧面展开图的长＝底面圆的周长，∴y−12x＝2π×∴y=1+π2故答案为：y=1+π2【题型6求自变量的值或函数值】【例6】（2022春•南岸区期末）地表以下岩层的温度y（℃）随着所处深度x（km）的变化而变化，在某个地点y与x之间的关系可以近似地用关系式y＝35x+20来表示，也可用表格表示，其中表格的部分数据如下表所示，则其中的m，n分别是（）x/℃124m910y/km55n160230335370A．m＝7，n＝70 B．m＝6，n＝70 C．m＝7，n＝90 D．m＝6，n＝90【分析】根据函数关系式代入计算即可．【解答】解：把x＝2，y＝n代入y＝35x+20得，n＝35×2+20＝90，把x＝m，y＝230代入y＝35x+20得，35m+20＝230，解得m＝6，故选：D．【变式6-1】（2022春•双阳区月考）已知函数y=2x−1x+2中，当x＝a时的函数值为1，试求a的值为【分析】根据函数值与自变量的关系是一一对应的，代入函数值，可得自变量的值．【解答】解：因为函数y=2x−1x+2中，当x＝可得：2a−1a+2解得：a＝3，故答案为：3．【变式6-2】（2022春•微山县期末）已知函数y=2x+1(x≥0)4x(x＜0)，当x＝﹣2时，函数值y为【分析】先判断出x＝﹣2时，所符合的关系式，然后将x＝﹣2代入对应的函数关系式即可．【解答】解：∵x＝﹣2＜0，∴y＝4x＝﹣2×4＝﹣8．故答案为：﹣8．【变式6-3】（2022•江汉区校级月考）设f（x）表示关于x的函数，若f（m+n）＝f（m）+f（n）+mn9，且f（6）＝3，那么f（5）＝20【分析】有已知求出f（2）和f（3）的值，把f（5）化为f（2+3）代入即可．【解答】解：∵若f（m+n）＝f（m）+f（n）+mn9，∴f（6）＝f（2+4）＝f（2）+f（2+2）+＝f（2）+f（2）+f（2）+4∴f（2）=5f（6）＝f（3+3）＝2f（3）+9∴f（3）＝1，∴f（5）＝f（2+3）＝f（2）+f（3）+=59+=20故答案为209【知识点3函数的图象】把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图像，用图像表示的函数关系，更为直观和形象．【题型7函数图像的识别】【例7】（2022春•芝罘区期末）如图，将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内，看作一个容器．然后对准玻璃杯口匀速注水，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部，则下面可以近似地刻画出容器最高水位h与注水时间t之间的变化情况的是（）A． B． C． D．【分析】根据用一注水管向小玻璃杯内注水，即可分段求出小水杯内水面的高度h（cm）与注水时间t（min）的函数图象．【解答】解：一注水管向小玻璃杯内注水，水面在逐渐升高，当小杯中水满时，开始向鱼缸内流，这时水位高度不变，当鱼缸水面高度与小杯一样后，再继续注水，水面高度在升高，升高的比开始慢．故选：D．【变式7-1】（2022•雅安）一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段后开始匀速行驶．过了一段时间，汽车到达下一个车站．乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶．下面的哪一幅图可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况（）A． B． C． D．【分析】横轴表示时间，纵轴表示速度，根据加速、匀速、减速，加速、匀速的变化情况，进行选择．【解答】解：公共汽车经历加速、匀速、减速到站，加速、匀速的过程，故选：B．【变式7-2】（2022•广陵区一模）如图，物理课上，老师将挂在弹簧测力计下端的铁块完全浸没在水中，然后缓慢匀速向上提起（不考虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的高度x（单位：cm）之间的函数关系的大致图象是（）A． B． C． D．【分析】根据题意，利用分类讨论的数学思想可以解答本题．【解答】解：由题意可知，铁块露出水面以前，F拉+F浮＝G，浮力不变，故此过程中弹簧的度数不变，当铁块慢慢露出水面开始，浮力减小，则拉力增加，当铁块完全露出水面后，拉力等于重力，故选：D．【变式7-3】（2022春•章丘区期末）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、G分别是边CD和BC的中点，点F为正方形中心，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（）A． B． C． D．【分析】分析动点P在每段路径上的运动的过程中的面积增大、减小或不变的趋势即可．【解答】解：由点P的运动可知，当点P在GF、ED边上时△ABP的面积不变，则对应图象为平行于t轴的线段，则B、C错误；点P在AD、EF、GB上运动时，△ABP的面积分别处于增、减变化过程，故D排除．故选：A．【题型8从函数的图像获取信息】【例8】（2022春•呼和浩特期末）已知张强家、体育场、文具店在同一直线上．如图的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中x表示时间，y表示张强离家的距离．则下列说法正确的是（）A．张强从家到体育场的速度是503km/ℎB．体育场离文具店4千米 C．张强在文具店逗留了15分 D．张强从文具店回家的平均速度是370【分析】利用图象信息解决问题即可．【解答】解：观察图象可知：A．张强从家到体育场的速度是2.50.25=10千米/时，故B．体育场离文具店2.5﹣1.5＝1千米，故B不符合题意；C．张强在文具店逗留了65﹣45＝20分钟，故C不符合题意；D．张强从文具店回家的平均速度=1.535=故选：D．【变式8-1】（2022•开州区模拟）如图是自动测温仪记录的图象，它反映了某市的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化．下列从图象中得到的信息错误的是（）A．4点时气温达最低 B．14点到24点之间气温持续下降 C．0点到14点之间气温持续上升 D．14点时气温达最高是8℃【分析】应用函数图象中的信息进行判定即可得出答案．【解答】解：A．由图象可得，4点时气温达最低为﹣3℃，所以A选项从图象中得到的信息正确，故A选项不符合题意；B．由图象可得，14点到24点气温持续下降，所以B选项从图象中得到的信息正确，故B选项不符合题意；C．由图象可得，0点到4点气温持续下降，4点到14点气温持续上升，0点到14点气温先下降再上升，所以C选项从图象中得到的信息不正确，故C选项符合题意；D．由图象可知，14点时气温最高是8℃，所以D选项从图象中得到的信息正确，故D选项不符合题意．故选：C．【变式8-2】（2022•石家庄二模）如图（1）是两圆柱形联通容器（联通外体积忽略不计）．向甲容器匀速注水，甲容器的水面高度h（cm）随时间t（分）之间的函数关系如图（2）所示，根据提供的图象信息，若甲的底面半径为1cm，则乙容器底面半径为（）A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm【分析】由注满相同高度的水乙容器所需的时间为甲容器的4倍，结合甲容器的底面半径即可求出乙容器的底面半径，此题得解．【解答】解：观察函数图象可知：乙容器底面积为甲容器底面积的4倍，∴乙容器底面半径为2cm．故选：D．【变式8-3】（2022•綦江区期末）小强和爷爷去爬山，爷爷先出发一段时间后小强再出发，途中小强追上了爷爷并最终先爬到山顶，两人所爬的高度h（米）与小强出发后的时间t（分钟）的函数关系如图所示，下列结论正确的是（）A．爷爷比小强先出发20分钟 B．小强爬山的速度是爷爷的2倍 C．l1表示的是爷爷爬山的情况，l2表示的是小强爬山的情况 D．山的高度是480米【分析】根据函数图象中的数据，可以得山的高度是720米；l1表示的是小强爬山的情况，l2表示的是爷爷爬山的情况；根据题意和函数图象中的数据，可以求出小强爬山的速度为12米/分，爷爷爬山的速度为6米/分；根据爷爷爬山的速度，结合图象可知爷爷比小强先出发：240÷6＝40（分钟）．【解答】解：由题意得：山的高度是720米，故选项D不合题意；l1表示的是小强爬山的情况，l2表示的是爷爷爬山的情况，故选项C不合题意；小强爬山的速度为：720÷60＝12（米/分），爷爷爬山的速度为：（720﹣240）÷80＝6（米/分），所以小强爬山的速度是爷爷的2倍，故选项B符合题意；爷比小强先出发：240÷6＝40（分钟），故选项A不合题意．故选：B．【题型9动点问题的函数图象】【例9】（2022春•洪江市期末）如图1，矩形ABCD中，动点E从点C出发，速度为2cm/s，沿C→D→A→B方向运动至点B处停止．设点E运动的时间为xs，△BCE的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则四边形ABCD的面积为（）A．48cm2 B．24cm2 C．21cm2 D．12cm2【分析】通过图2知，CD段，对应的函数是一次函数，此时CD＝6，而在DA段，△BCE的面积不变，故DA＝8，即可求解．【解答】解：由图象知，CD＝2×3＝6，DA＝2×（7﹣3）＝8，∴四边形ABCD的面积＝6×8＝48．故选：A．【变式9-1】（2022•武威模拟）如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，图中阴影部分△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形PQMN的面积为（）A．16 B．20 C．36 D．45【分析】根据图2可得：当x＝4时，点R与点P重合，PN＝4，当x＝9时，点R与点Q重合，PQ＝5，进而可求得矩形PQMN的面积．【解答】解：由图2可知：当x＝4时，点R与点P重合，PN＝4，当x＝9时，点R与点Q重合，PQ＝5，所以矩形PQMN的面积为4×5＝20．故选：B．【变式9-2】（2022春•海淀区校级期中）已知点P为某个封闭图形边界上一定点，动点M从点P出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点M的运动时间为x，线段PM的长度为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（）A． B． C． D．【分析】先观察图象得到y与x的函数图象分四个部分，则可对有3边的封闭图形进行淘汰，利用圆的定义，P点在圆上运动时，y随x的变化先增大后减小，则可对A进行判断，从而得到正确选项．【解答】解：y与x的函数图象分四个部分，而D选项中的封闭图形有3条线段，其图象要分三个部分，所以D选项不正确；A选项中的封闭图形为圆，y随x的变化先增大后减小，所以A选项不正确；B，C选项为四边形，M点在四边上运动对应四段图象，且存在三个时间段，PM的长度相等，故C选项不正确．故选：B．【变式9-3】（2022•大同模拟）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点A出发，沿A﹣B﹣C﹣D方向运动至点D处停止．设点P运动的路程为x，△APD的面积为S，如果S关于x的函数图象如图2所示，则当x＝7时，点P应运动到（）A．点C处 B．点D处 C．点A处 D．点B处【分析】根据点P的移动规律，点P的运动路程为0﹣4，4﹣7，9﹣11，所在线段为AB，BC，CD，那么当x＝7时，点P应运动到高不变的结束，即点C处．【解答】解：当P在BA上运动时，△DAP的面积不断增大；当P在CB运动时，DA一定，高为BA不变，此时面积不变；当P在CD上运动时，面积不断减小．∴当x＝7时，点R应运动到高不变的结束，即点C处．故选：A．专题19.2一次函数与正比例函数【七大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1一次函数、正比例函数的识别】 1【题型2利用一次函数、正比例函数的概念求值或取值范围】 3【题型3用待定系数法求一次函数解析式】 5【题型4用待定系数法求正比例函数解析式】 7【题型5一次函数解析式与三角形面积问题】 8【题型6求实际问题中的一次函数表达式】 12【题型7与求函数表达式相关的探究性问题】 15【知识点1一次函数和正比例函数的概念】一般地，若两个变量x，y间的关系可以表示成（k，b为常数，k0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。特别地，当一次函数中的b=0时（即）（k为常数，k0），称y是x的正比例函数。【题型1一次函数、正比例函数的识别】【例1】（2022春•麻城市校级月考）下列函数：（1）y＝﹣2x；（2）y=−8x；（3）y＝2x2；（4）y＝﹣x+1；（5）y＝x2+1，（6）y＝kx+b（A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】根据y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）是一次函数，判断即可．【解答】解：下列函数：（1）y＝﹣2x；（2）y=−8x；（3）y＝2x2；（4）y＝﹣x+1；（5）y＝x2+1，（6）y＝kx+b（k是常数），其中一次函数的是：（1）y＝﹣2x；（4）y＝﹣共有2个，故选：C．【变式1-1】（2022•市北区期中）下列语句中，y与x是一次函数关系的有（）个（1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系（2）圆的面积y（厘米2）与它的半径x（厘米）之间的关系；（3）一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这棵树的高度为y厘米，y与x的关系；（4）某种大米的单价是2.2元/千克，当购买x千克大米时，花费y元，y与x的关系．A．1 B．4 C．3 D．2【分析】根据一次函数的定义逐个判断即可．【解答】解：汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系，是一次函数；圆的面积y（厘米2）与它的半径x（厘米）之间的关系，不是一次函数；一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，y与x的关系，是一次函数；某种大米的单价是2.2元/千克，当购买x千克大米时，花费y元，y与x的关系，是一次函数，所以共3个一次函数，故选：C．【变式1-2】（2015春•盱眙县校级期末）下列问题中，是正比例函数的关系的是（）A．矩形面积一定，长与宽的关系 B．正方形面积和边长的关系 C．三角形面积一定，底边和底边上的高的关系 D．匀速运动中，速度固定时，路程和时间的关系【分析】根据正比例函数的定义对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、∵S＝ab，∴矩形的长和宽成反比例，故本选项错误；B、∵S＝a2，∴正方形面积和边长是二次函数，故本选项错误；C、∵S=12D、∵S＝vt，∴速度固定时，路程和时间是正比例关系，故本选项正确．故选：D．【变式1-3】（2022春•北京期末）如图，有一个装水的容器，容器内的水面高度是10cm，水面面积是100cm2．现向容器内注水，并同时开始计时．在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加．容器注满水之前，容器内水面的高度h，注水量V随对应的注水时间t的变化而变化，则h与t，V与t满足的函数关系分别是（）A．正比例函数关系，正比例函数关系 B．正比例函数关系，一次函数关系 C．一次函数关系，一次函数关系 D．一次函数关系，正比例函数关系【分析】根据题意可得容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系式，进而判断出相应函数类型；根据注水量＝水面面积×水面上升的高度，即可得到V与t满足的函数关系．【解答】解：设容器内的水面高度为h，注水时间为t，根据题意得：h＝0.2t+10，∴容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关系．V＝100×0.2t＝20t，∴注水量V与对应的注水时间t满足的函数关系是正比例函数关系．故选：D．【题型2利用一次函数、正比例函数的概念求值或取值范围】【例2】（2022•平川区校级月考）当m，n为何值时，y＝（m﹣1）xm2（1）是一次函数；（2）是正比例函数．【分析】（1）根据形如y＝kx+b（k≠0，k是常数）是一次函数可得；（2）根据形如y＝kx+b（k≠0，k是常数，b＝0）是正比例函数可得．【解答】解：（1）当m2＝1且m﹣1≠0时，y＝（m﹣1）xm2即：m＝﹣1．答：当m＝﹣1时，y＝（m﹣1）xm2（2）当m2＝1且m﹣1≠0，且n＝0时，y＝（m﹣1）xm2即：m＝﹣1且n＝0时，y＝（m﹣1）xm2【变式2-1】（2022春•新抚区期末）已知函数y＝（m+1）x2﹣|m|+4，y是x的一次函数，则m的值是（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．任意实数【分析】根据一次函数的定义：形如y＝kx+b（k，b为常数且k≠0），可得2﹣|m|＝1且m+1≠0，然后进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：2﹣|m|＝1且m+1≠0，∴m＝±1且m≠﹣1，∴m＝1，故选：A．【变式2-2】（2021春•萝北县期末）若y＝（m+2）x+m2﹣4是关于x的正比例函数，则常数m＝2．【分析】依据正比例函数的定义求解即可．【解答】解：∵y＝（m+2）x+m2﹣4是关于x的正比例函数，∴m+2≠0，m2﹣4＝0，解得：m＝2．故答案为：2．【变式2-3】（2022•金牛区校级期中）当m，n为何值时，y＝（m﹣3）x|m|﹣2+n﹣2．（1）是一次函数；（2）是正比例函数．【分析】（1）根据一次函数的定义列出绝对值方程和不等式，然后求解即可；（2）根据正比例函数的是特殊的一次函数解答．【解答】解：（1）由|m|﹣2＝1得，m＝±3，∵（m﹣3）≠0，∴m≠3，所以，m＝﹣3时是一次函数；（2）由|m|﹣2＝1得，m＝±3，∵（m﹣3）≠0，n﹣2＝0，∴m≠3，n＝2，所以，m＝﹣3，n＝2时是正比例函数．【知识点2正比例函数和一次函数解析式的确定】确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。【题型3用待定系数法求一次函数解析式】【例3】（2021春•雄县期末）已知y是z的一次函数，z是x的正比例函数，问：（1）y是x的一次函数吗？（2）若当x＝5时，y＝﹣2；当x＝﹣3时，y＝6．则当x＝1时，y的值是什么？【分析】（1）由一次函数、正比例函数解析式可以求得y与x的函数关系式，根据关系式作出判断；（2）把相应的x、y的值代入（1）中的函数关系式，列出关于km、b的方程组，通过解方程组可以求得它们的值；然后把x＝1代入解析式，即可求得相应的y值．【解答】解：（1）依题意，可设y＝kz+b、z＝mx（k≠0，m≠0）．则y＝kmx+b，所以y是x的一次函数；（2）由题意，得−2=5km+b6=−3km+b解得km=−1b=3所以，y＝﹣x+3．当x＝1时，y＝﹣1+3＝2．即y＝2．【变式3-1】（2022春•柳州期末）已知一次函数图象经过点A（1，3）和B（2，5）．求：（1）这个一次函数的解析式．（2）当x＝﹣3时，y的值．【分析】（1）直线y＝kx+b（k≠0）经过A（1，3）和B（2，5）两点，代入可求出函数关系式；（2）把x＝﹣3代入（1）中的函数解析式，即可求得相应的y值．【解答】解：（1）设该直线解析式为y＝kx+b（k≠0）．则k+b=32k+b=5解得k=2b=1故该一次函数解析式为：y＝2x+1；（2）把x＝﹣3代入（1）中的函数解析y＝2x+1，得y＝2×（﹣3）+1＝﹣6+1＝﹣5．即：y的值为﹣5．【变式3-2】（2022•广陵区校级期末）已知y﹣1与x+2成正比例，且x＝﹣1时，y＝3．（1）求y与x之间的关系式；（2）它的图象经过点（m﹣1，m+1），求m的值．【分析】（1）根据y﹣1与x+2成正比例，设y﹣1＝k（x+2），把x与y的值代入求出k的值，即可确定出关系式；（2）把点（m﹣1，m+1）代入一次函数解析式求出m的值即可．【解答】解：（1）根据题意：设y﹣1＝k（x+2），把x＝﹣1，y＝3代入得：3﹣1＝k（﹣1+2），解得：k＝2．则y与x函数关系式为y＝2（x+2）+1＝2x+5；（2）把点（m﹣1，m+1）代入y＝2x+5得：m+1＝2（m﹣1）+5解得m＝﹣2．【变式3-3】（2022•宜兴市校级月考）已知y＝y1+y2，其中y1与x成正比例，y2与x﹣2成正比例．当x＝﹣1时，y＝2；当x＝3时，y＝﹣2．求y与x的函数关系式，并画出该函数的图象．【分析】根据题意分别设出y1，y2，代入y＝y1+y2，表示出y与x的解析式，将已知两对值代入求出k与b的值，确定出解析式．【解答】解：根据题意设y1＝k1x，y2＝k2（x﹣2），即y＝y1+y2＝k1x+k2（x﹣2），将x＝﹣1时，y＝2；x＝3时，y＝﹣2分别代入得：−k解得：k1=−12，k2则y=−12x−12（即y与x的函数关系式为y＝﹣x+1；画出该函数的图象为【题型4用待定系数法求正比例函数解析式】【例4】（2022•嘉定区期末）正比例函数的图象经过点（2，﹣4）、（a，4），求这个函数的解析式和a的值．【分析】设正比例函数解析式为y＝kx（k≠0），再把点（2，﹣4）代入即可求出k的值，进而得出正比例函数的解析式，把点（a，4）代入正比例函数的解析式，求出a的值即可．【解答】解：设正比例函数解析式为y＝kx（k≠0）∵正比例函数的图象经过点（2，﹣4）∴﹣4＝2×k，即k＝﹣2∴正比例函数解析式为y＝﹣2x∵正比例函数的图象经过点（a，4）∴4＝﹣2×a，即a＝﹣2．【变式4-1】（2022•泰兴市期末）已知一个函数的图象是经过原点的直线，并且经过点（﹣3，94【分析】由于一个函数的图象是经过原点的直线，故函数为正比例函数，设函数解析式为y＝kx，将点（﹣3，94【解答】解：设函数解析式为y＝kx，将点（﹣3，94﹣3k=9解得，k=−3则函数解析式为y=−34【变式4-2】（2022春•衡阳县期中）已知y是x的正比例函数，且函数图象经过点A（﹣3，6）．（1）求y与x的函数关系式；（2）当x＝﹣6时，求对应的函数值y；（3）当x取何值时，y=2【分析】（1）设正比例函数解析式为y＝kx，把点的坐标代入计算即可得解；（2）把x＝﹣6代入解析式解答即可；（3）把y=2【解答】解：（1）设正比例函数解析式为y＝kx，∵图象经过点（﹣3，6），∴﹣3k＝6，解得k＝﹣2，所以，此函数的关系式是y＝﹣2x；（2）把x＝﹣6代入解析式可得：y＝12；（3）把y=23代入解析式可得：x【变式4-3】（2022•黄浦区期中）若正比例函数图象上一点到y轴与到x轴距离之比是3：1，则此函数的解析式为y=±13x【分析】设正比例函数解析式为y＝kx，根据题意，正比例函数图象上的点的坐标可设为（3a，a）或（3a，﹣a），然后把它们分别代入y＝kx可计算出对应的k的值，从而可确定正比例函数解析式．【解答】解：设正比例函数解析式为y＝kx，∵正比例函数图象上一点到y轴与到x轴距离之比是3：1，∴正比例函数图象上的点的坐标可设为（3a，a）或（3a，﹣a），∴k•3a＝a或k•3a＝﹣a∴k=13或∴正比例函数解析式为y=13x或y=−故答案为y=±13【题型5一次函数解析式与三角形面积问题】【例5】（2022春•江夏区校级月考）已知一次函数y＝kx+b的图象交x轴于点A（4，0），交y轴于点B（0，2）．（1）求这个函数的解析式；（2）若在第一象限有一点C（2，m），且△ACB的面积为4，求m的值．【分析】（1）把A与B的坐标代入一次函数解析式求出k与b的值，即可确定出解析式；（2）把x＝2代入一次函数解析式求出y的值，根据三角形面积公式表示出三角形ABC面积，由已知面积求出m的值即可．【解答】解：（1）把A（4，0），B（0，2）代入y＝kx+b得：4k+b=0b=2解得：k=−1则一次函数解析式为y=−12（2）把x＝2代入一次函数解析式得：y＝﹣1+2＝1，∵S△ABC＝4，∴12×4×|m﹣1|＝4，即|解得：m＝3或m＝﹣1（舍去），则m的值为3．【变式5-1】（2022春•鞍山期末）如图，一次函数y＝x+2与x轴，y轴分别交于点A，B，点M（1，m）是直线AB上一点，直线MC交x轴于点C（52（1）求直线MC的函数解析式；（2）若点P是线段AC上一动点，连接BP，MP，若△ABP的面积是△MPC面积的2倍，求P点坐标．【分析】（1）求出M点的坐标，由待定系数法可求出答案；（2）设P（a，0），得出AP＝a+2，PC=52【解答】解：（1）∵点M（1，m）是直线AB上一点，∴1+2＝m，∴m＝3，∴M（1，3），设直线MC的解析式为y＝kx+b，∴52解得k=−2b=5∴直线MC的函数解析式为y＝﹣2x+5；（2）设P（a，0），∵一次函数y＝x+2与x轴，y轴分别交于点A，B，∴当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（0，2），∴AP＝a+2，PC=52∴S△ABP=12AP•OB=12×（a+2）×2＝a+2，S△MPC=∵△ABP的面积是△MPC面积的2倍，∴a+2＝2×（154−解得a=11∴P（118【变式5-2】（2022春•凤庆县期末）如图，直线AB过点A（﹣1，5），P（2，a），B（4，﹣5）．（1）求直线AB的函数解析式和a的值；（2）求△AOP的面积．【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出a的值；（2）设直线AB与y轴交于点D，连接OA，OP，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，根据三角形的面积公式及S△AOP＝S△AOD+S△POD可求出△AOP的面积．【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），将A（﹣1，5），B（4，﹣5）代入y＝kx+b，得：−k+b=54k+b=−5解得：k=−2b=3∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+3．当x＝2时，y＝﹣2x+3＝﹣1，∴点P的坐标为（2，﹣1），即a的值为﹣1．（2）设直线AB与y轴交于点D，连接OA，OP，如图所示．当x＝0时，y＝﹣2x+3＝3，∴点D的坐标为（0，3）．∴S△AOP＝S△AOD+S△POD=12OD•|xA|+12OD•|xP|=1【变式5-3】（2022•肃州区校级期中）如图，直线y＝kx+6与x轴、y轴分别交于点E、F，点E的坐标为（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0）．（1）求直线EF的关系式；（2）求△OEF的面积；（3）若点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P的运动过程中，当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为12，并说明理由．【分析】（1）把E（﹣8，0）代入直线y＝kx+6即可求出k的值，写出直线EF的关系式；（2）求得F的坐标，根据直角三角形面积公式可得结论；（3）根据点A的坐标为（﹣6，0），求出OA，根据点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，得出△OPA的高是点P的纵坐标，得出面积S=12×6×y＝12，分别求出x和y【解答】解；（1）∵直线y＝kx+6过点E（﹣8，0），∴0＝﹣8k+6，k=3∴直线EF的关系式：y=34（2）∵F（0，6），即OF＝6，∵OE＝8，∴△OEF的面积=12OE•OF（3）过P作PG⊥OA于G，∵点A的坐标为（﹣6，0），∴OA＝6，∵点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，∴△OPA的面积S=12×∴y＝4，∴P（−8【题型6求实际问题中的一次函数表达式】【例6】（2022•东方校级期末）为了保护学生的视力，课桌的高度）ycm与椅子的高度xcm（不含靠背）都是按y是x的一次函数关系配套设计的，如表列出了两套课桌椅的高度：第一套第二套椅子高度xcm40.038.0课桌高度ycm75.071.8（1）请确定y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（2）现有一把高42.0cm的椅子和一张高79.8cm的课桌，它们是否配套？请通过计算说明理由．【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以计算出y与x的函数关系式；（2）将x＝42.0代入（1）中的函数解析式，然后与79.8作比较，即可解答本题．【解答】解：（1）设y＝kx+b，75=40k+b71.8=38k+b，得k=1.6即y与x的函数关系式是y＝1.6x+11；（2）现有一把高42.0cm的椅子和一张高79.8cm的课桌，它们不配套，理由：当x＝42.0时，y＝1.6×42.0+11＝78.2，∵78.2≠79.8，∴现有一把高42.0cm的椅子和一张高79.8cm的课桌，它们不配套．【变式6-1】（2022•嘉定区二模）某种型号的家用车在高速公路上匀速行驶时，测得部分数据如下表：行驶路程x（千米）…100150…油箱内剩余油量y（升）…5248…（1）如果该车的油箱内剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，求y关于x的函数解析式（不需要写出它的定义域）；（2）张老师租赁该型号的家用车也在该高速公路的相同路段以相同的速度匀速行驶300千米（不考虑小轿车载客的人数以及堵车等因素）．假如不在高速公路上的服务区加油，那么在上高速公路之前，张老师这辆车的油箱内至少需要有多少升汽油？请根据题目中提供的相关信息简要说明理由．【分析】（1）根据题意可以设出y与x的函数解析式，然后根据题目中的数据即可求得相应的函数解析式；（2）根据表格中的数据可以求得每千米耗油量，从而可以求得300千米的耗油量，从而可以解答本题．【解答】解：（1）该车的油箱内剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间的函数解析式是y＝kx+b，100k+b=52150k+b=48解得，k=−2即y关于x的函数解析式是y=−2（2）张老师这辆车的油箱内至少需要有24升汽油，理由：由题意可得，每千米消耗汽油：4÷（150﹣100）＝4÷50＝0.08升，则行驶300千米需要消耗的汽油为：300×0.08＝24（升），即张老师这辆车的油箱内至少需要有24升汽油．【变式6-2】（2022•崇明县二模）温度通常有两种表示方法：华氏度（单位：℉）与摄氏度（单位：℃），已知华氏度数y与摄氏度数x之间是一次函数关系，下表列出了部分华氏度与摄氏度之间的对应关系：摄氏度数x（℃）…0…35…100…华氏度数y（℉）…32…95…212…（1）选用表格中给出的数据，求y关于x的函数解析式；（2）有一种温度计上有两个刻度，即测量某一温度时左边是摄氏度，右边是华氏度，那么在多少摄氏度时，温度计上右边华氏度的刻度正好比左边摄氏度的刻度大56？【分析】（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b，由待定系数法求出其解即可；（2）根据题意列出方程求出其解即可．【解答】（1）解：设y＝kx+b（k≠0）把x＝0，y＝32；x＝35，y＝95代入y＝kx+b，得b=3235k+b=95解得k=∴y关于x的函数解析式为y=（2）由题意得：95x+32=x+56解得∴在30摄氏度时，温度计右边华氏度的刻度正好比左边摄氏度的刻度大56．【变式6-3】（2022•河南模拟）某种计时“香篆”在0：00时刻点燃，若“香篆”剩余的长度h（cm）与燃烧的时间x（h）之间是一次函数关系，h与x的一组对应数值如表所示：燃烧的时间x（h）…3456…剩余的长度h（cm）…210200190180…（1）写出“香篆”在0：00时刻点然后，其剩余的长度h（cm）与燃烧时间x（h）的函数关系式，并解释函数表达式中x的系数及常数项的实际意义；（2）通过计算说明当“香篆”剩余的长度为125cm时的时刻．【分析】（1）根据待定系数法确定函数关系式解答即可；（2）把h＝125代入解析式解答即可．【解答】解：（1）∵“香篆”在0：00时刻点然后，其剩余的长度h（cm）与燃烧时间x（h）的函数关系式是一次函数，设一次函数的解析式为：h＝kx+b，∵当x＝3时，h＝210，当x＝4时，h＝200，可得：3k+b=2104k+b=200解得：k=−10b=240所以解析式为：h＝﹣10x+240，x的系数表示“香篆”每小时燃烧10cm，常数项表示“香篆”未点燃之前的长度为240cm；（2）当“香篆”剩余125cm时，可知h＝125，代入解析式得：125＝﹣10x+240，解得：x＝11.5，所以“香篆”在0：00点燃后，燃烧了11.5小时后的时刻为11点30分．【题型7与求函数表达式相关的探究性问题】【例7】（2022春•成华区期末）将长为20cm，宽为10cm的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为2cm．（1）根据题意，将表格补充完整．白纸张数12345…纸条长度2038567492…（2）设x张白纸粘合后的总长度为ycm，则y与x之间的关系式是什么？请求出50张白纸粘合后的总长度；（3）若粘合后的总长度为2018cm，问需要多少张白纸？【分析】（1）根据图形可知每增加一张白纸，长度就增加18cm可求空格；（2）x张白纸粘合起来时，纸条长度y（cm）在20cm的基础上增加了（x﹣1）个18cm的长度，依此可得y与x的关系式；（3）把y＝2018代入（2）的结论，列方程求得x的值即可．【解答】解：（1）根据图形可知每增加一张白纸，长度就增加18cm，20+18＝38；74+18＝92．故答案为：38；92；（2）根据题意和所给图形可得出：y＝20+（20﹣2）（x﹣1）＝18x+2，令x＝50，则y＝18×50+2＝902（cm）；（3）令y＝2018，则2018＝18x+2，解得x＝112，∴需要112张白纸．【变式7-1】（2022春•玉门市期末）如图，自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm．（1）观察图形，填写下表：链条的节数/节234…链条的长度/cm4.25.97.6…（2）如果x节链条的长度为y，那么y与x之间的关系式是什么？（3）如果一辆某种型号自行车的链条（安装前）由60节这样的链条组成，那么这辆自行车上的链条（安装后）总长度是多少？【分析】（1）根据图形找出规律计算4节链条的长度即可；（2）由（1）写出表示链条节数的一般式；（3）根据（2）计算时，特别注意自行车上的链条为环形，在展直的基础上还要缩短0.8．【解答】解：（1）根据图形可得出：2节链条的长度为：2.5×2﹣0.8＝4.2（厘米），3节链条的长度为：2.5×3﹣0.8×2＝5.9（厘米），4节链条的长度为：2.5×4﹣0.8×3＝7.6（厘米），故答案为：4.2，5.9，7.6；（2）由（1）可得x节链条长为：y＝2.5x﹣0.8（x﹣1）＝1.7x+0.8；∴y与x之间的关系式为：y＝1.7x+0.8；（3）因为自行车上的链条为环形，在展直的基础上还要缩短0.8，故这辆自行车链条的总长为：1.7×60＝102（厘米），所以60节这样的链条总长度是102厘米．【变式7-2】（2022蚌山区校级月考）用大小相同的黑白两种颜色的菱形纸片按照黑色纸片逐渐增加1的规律拼成如图图案．（1）第4个图案中白色纸片的个数是13；（2）如果第n（n为正整数）个图案中有y个白色纸片，写出y与n的函数关系式．【分析】（1）根据各个图形中白色菱形的个数，可以写出前几个图形中白色菱形的个数，然后即可发现白色菱形个数的变化特点，从而可以写出第4个图案中白色纸片的个数；（2）根据（1）中发现的规律，可以写出y与n的函数关系式．【解答】解：（1）由图可得，第1个图中白色菱形纸片的个数为：1+3＝4，第2个图中白色菱形纸片的个数为：1+3×2＝7，第3个图中白色菱形纸片的个数为：1+3×3＝10，∴第4个图中白色菱形纸片的个数为：1+3×4＝13，故答案为：13；（2）由（1）中发现的规律可得，y＝3n+1，即y与n的函数关系式是y＝3n+1．【变式7-3】（2022春•巴中期末）如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y=x2+12相交于点P，直线l1与y轴交于点A，一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B1处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A1处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B2处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A2处后，仍沿平行于x轴的方向运动…照此规律运动，动点C依次经过点B1，A1，B2，A2，B3，A3，B2