2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列专题21.7 一元二次方程章末题型过关卷（人教版）含解析

2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列第21章一元二次方程章末题型过关卷【人教版】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．(3分)（2022春•温州期中）若关于x的方程x2+2ax+4a＝0有一个根为﹣3，则a的值是（）A．9 B．4.5 C．3 D．﹣32．(3分)（2022春•张店区期末）用配方法解一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0，下列配方正确的是（）A．(x-14)2C．(x-12)3．(3分)（2022春•莱芜区期末）以x=4±A．x2﹣4x﹣c＝0 B．x2+4x﹣c＝0 C．x2﹣4x+c＝0 D．x2+4x+c＝04．(3分)（2022秋•沐川县期末）m是方程x2+x﹣2＝0的根，则代数式2m2+2m﹣2022的值是（）A．﹣2018 B．2018 C．﹣2026 D．20265．(3分)（2022春•淄川区期中）已知多项式P=12x﹣2，Q＝x2-32x（x为任意实数），试比较多项式A．无法确定 B．P＞Q C．P＝Q D．P＜Q6．(3分)（2022秋•雄县期末）已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值分别是M1和M2，若存在实数m，使得M1+M2＝0，则称函数y1和y2是“和谐函数”．以下函数y1和y2是“和谐函数”的是（）A．y1=-1x和y2＝﹣x+1 B．y1=xC．y1=-1x和y2＝﹣x﹣1 D．y1=7．(3分)（2022秋•香洲区期末）已知一个直角三角形的两边长是方程x2﹣9x+20＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长为（）A．3 B．41 C．3或41 D．5或418．(3分)（2022•蜀山区一模）“稳字当头”的中国经济是全球经济的“稳定器”，稳就业，保民生，防风险，守住“稳”的基础，才有更多“进”的空间．2020，2021这两年中国经济的年平均增长率为5.1%，其中2021年的年增长率为8.1%，若设2020年的年增长率为x，则可列方程为（）A．8.1%（1﹣x）2＝5.1% B．（1+x）（1+8.1%）＝（1+5.1%）2 C．5.1%（1+x）2＝8.1% D．（1+x）（1+8.1%）＝2（1+5.1%）9．(3分)（2022•周村区二模）已知a、b、m、n为互不相等的实数，且（a+m）（a+n）＝2，（b+m）（b+n）＝2，则ab﹣mn的值为（）A．4 B．1 C．﹣2 D．﹣110．(3分)（2022•青县二模）定义运算：m※n＝mn2﹣2mn﹣1，例如：4※2＝4×22﹣2×4×2﹣1＝﹣1．若关于x的方程a※x＝0有实数根，则a的取值范围为（）A．﹣1≤a≤0 B．﹣1≤a＜0 C．a≥0或a≤﹣1 D．a＞0或a≤﹣1二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．(3分)（2022秋•鄂州期末）如果a﹣b+c＝0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根有一个为．12．(3分)（2022•成都模拟）若m是x2﹣2x﹣3＝0的一个实数根，则(m213．(3分)（2022•海曙区自主招生）如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+k4）＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数k的取值范围是14．(3分)（2022秋•盐湖区校级月考）如图，点A在数轴的负半轴，点B在数轴的正半轴，且点A对应的数是2x﹣1，点B对应的数是x2+x，已知AB＝5，则x的值为．15．(3分)（2022•天府新区模拟）给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍，则我们称这个矩形是给定矩形的“加倍矩形”，当已知矩形的长和宽分别为3和1时，其“加倍矩形”的对角线长为．16．(3分)（2022秋•昌江区校级期末）若实数a，b，c满足12a2+7b2+5c2≤12a|b|﹣4b|c|﹣16c﹣16，则a+b+c＝．三．解答题（共7小题，满分52分）17．(6分)（2022春•道里区期末）解下列方程：（1）（x﹣2）2﹣2x+4＝0；（2）x2﹣4x﹣1＝0．18．(6分)（2022秋•海淀区期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2﹣m）x+1﹣m＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若m＜0，且该方程的两个实数根的差为3，求m的值．19．(8分)（2022秋•安居区期末）为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解此方程得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2﹣1＝1，所以x=±2当y＝4时，x2﹣1＝4，所以x=±5所以原方程的根为x1=2，x2=-以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解下列方程：（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4；（2）x4+x2﹣12＝0．20．(8分)（2022春•西湖区校级期中）对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．（1）已知一个“喜鹊数”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式；判断241“喜鹊数”（填“是”或“不是”），并写出一个“喜鹊数”；（2）利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程ax2+bx+c＝0①与cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一个根，x＝n是方程②的一个根，求m与n满足的关系式；（3）在（2）中条件下，且m+n＝﹣2，请直接写出满足条件的所有k的值．21．(8分)（2022春•南海区月考）阅读材料题：我们知道a2≥0，所以代数式a2的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用a2±2ab+b2＝（a±b）2来求一些多项式的最小值．例如，求x2+6x+3的最小值问题．解：∵x2+6x+3＝x2+6x+9﹣6＝（x+3）2﹣6，又∵（x+3）2≥0，∴（x+3）2﹣6≥﹣6，∴x2+6x+3的最小值为﹣6．请应用上述思想方法，解决下列问题：（1）探究：x2﹣4x+5＝（x﹣）2+；（2）代数式x2+x有最（填“大”或“小”）值为；（3）应用：若A＝x2﹣1与B＝2x﹣3，试比较A与B的大小.22．(8分)（2022秋•黔江区期末）火锅是重庆人民钟爱的美食之一．解放碑某火锅店为抓住“十一”这个商机，于九月第一周推出了A、B两种火锅套餐，5桌A套餐与10桌B套餐的总售价为1600元，其中A套餐比B套餐每桌贵20元．（1）求A套餐的售价是多少元？（2）第一周A套餐的销售量为800桌，B套餐的销售量为1300桌．为了更好的了解市场，火锅店决定从第二周开始，对A，B套餐的销售价格都进行调整，其中A套餐的销售价格比第一周的价格下调a%，发现销售量比第一周增加了13a%，B套餐的销售价格比第一周的价格下调了12a%，发现销售量比第一周增加了140桌，最终第二周A套餐的销售总额比B套餐的销售总额少了48000元．求23．(3分)（2022春•新昌县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，点P从点C开始沿射线CA方向以1cm/s的速度运动；同时，点Q也从点C开始沿射线CB方向以3cm/s的速度运动．（1）几秒后△PCQ的面积为3cm2？此时PQ的长是多少？（结果用最简二次根式表示）（2）几秒后以A、B、P、Q为顶点的四边形的面积为22cm2？第21章一元二次方程章末题型过关卷【人教版】参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．(3分)（2022春•温州期中）若关于x的方程x2+2ax+4a＝0有一个根为﹣3，则a的值是（）A．9 B．4.5 C．3 D．﹣3【分析】把x＝﹣3代入方程得9﹣6a+4a＝0，然后解关于a的一次方程即可．【解答】解：把x＝﹣3代入方程得9﹣6a+4a＝0，解得a＝4.5．故选：B．2．(3分)（2022春•张店区期末）用配方法解一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0，下列配方正确的是（）A．(x-14)2C．(x-12)【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．【解答】解：方程2x2﹣2x﹣1＝0，整理得：x2﹣x=1配方得：x2﹣x+14=34，即（x故选：C．3．(3分)（2022春•莱芜区期末）以x=4±A．x2﹣4x﹣c＝0 B．x2+4x﹣c＝0 C．x2﹣4x+c＝0 D．x2+4x+c＝0【分析】根据求根公式逐一判断即可．【解答】解：A．此方程的根为x=4±B．此方程的根为x=-4±C．此方程的根为x=4±D．此方程的根为x=-4±故选：A．4．(3分)（2022秋•沐川县期末）m是方程x2+x﹣2＝0的根，则代数式2m2+2m﹣2022的值是（）A．﹣2018 B．2018 C．﹣2026 D．2026【分析】把x＝m代入已知方程，可以求得m2+m＝2，然后整体代入所求的代数式求值即可．【解答】解：∵实数m是关于x的方程x2+x﹣2＝0的一个根，∴m2+m﹣2＝0，∴m2+m＝2，∴2m2+2m﹣2022＝2（m2+m）﹣2022＝﹣2018．故选：A．5．(3分)（2022春•淄川区期中）已知多项式P=12x﹣2，Q＝x2-32x（x为任意实数），试比较多项式A．无法确定 B．P＞Q C．P＝Q D．P＜Q【分析】先求出Q﹣P的差，再利用完全平方公式以及偶次方的性质即可求出P与Q的大小．【解答】解：∵P=12x﹣2，Q＝x2-∴Q﹣P＝x2-32x-12x+2＝x2﹣2x+2＝（∴P＜Q．故选：D．6．(3分)（2022秋•雄县期末）已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值分别是M1和M2，若存在实数m，使得M1+M2＝0，则称函数y1和y2是“和谐函数”．以下函数y1和y2是“和谐函数”的是（）A．y1=-1x和y2＝﹣x+1 B．y1=xC．y1=-1x和y2＝﹣x﹣1 D．y1=【分析】根据题意，令y1+y2＝0，若方程有解，则称函数y1和y2是“和谐函数”，若无解，则称函数y1和y2不是“和谐函数”．【解答】解：A、令y1+y2＝0，则-1x整理得：x2﹣x+1＝0，此方程无解，∴函数y1和y2不是“和谐函数”，故A不符合题意；B、令y1+y2＝0，则x2+2x﹣x+1＝0，整理得：x2+x+1＝0，此方程无解，∴函数y1和y2不是“和谐函数”，故B不符合题意；C、A、令y1+y2＝0，则-1x整理得：x2+x+1＝0，此方程无解，∴函数y1和y2不是“和谐函数”，故C不符合题意；D、A、令y1+y2＝0，则x2+2x﹣x﹣1＝0，整理得：x2+x﹣1＝0，解得：x1=-1+52，x∴函数y1和y2是“和谐函数”，故D符合题意；故选：D．7．(3分)（2022秋•香洲区期末）已知一个直角三角形的两边长是方程x2﹣9x+20＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长为（）A．3 B．41 C．3或41 D．5或41【分析】利用因式分解法解方程求出x的值，再分情况讨论求解即可．【解答】解：∵x2﹣9x+20＝0，∴（x﹣4）（x﹣5）＝0，则x﹣4＝0或x﹣5＝0，解得x1＝4，x2＝5，若4、5均为直角边长度，则斜边长度为42若4、5有一边是斜边长度，则斜边长度为5，故选：D．8．(3分)（2022•蜀山区一模）“稳字当头”的中国经济是全球经济的“稳定器”，稳就业，保民生，防风险，守住“稳”的基础，才有更多“进”的空间．2020，2021这两年中国经济的年平均增长率为5.1%，其中2021年的年增长率为8.1%，若设2020年的年增长率为x，则可列方程为（）A．8.1%（1﹣x）2＝5.1% B．（1+x）（1+8.1%）＝（1+5.1%）2 C．5.1%（1+x）2＝8.1% D．（1+x）（1+8.1%）＝2（1+5.1%）【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），根据等量关系列出方程即可求解．【解答】解：根据题意可得：（1+x）（1+8.1%）＝（1+5.1%）2．故选：B．9．(3分)（2022•周村区二模）已知a、b、m、n为互不相等的实数，且（a+m）（a+n）＝2，（b+m）（b+n）＝2，则ab﹣mn的值为（）A．4 B．1 C．﹣2 D．﹣1【分析】先把已知条件变形得到a2+（m+n）a+mn﹣2＝0，b2+（m+n）b+mn﹣2＝0，则可把a、b看作方程x2+（m+n）x+mn﹣2＝0的两实数根，利用根与系数的关系得到ab＝mn﹣2，从而得到ab﹣mn的值．【解答】解：∵（a+m）（a+n）＝2，（b+m）（b+n）＝2，∴a2+（m+n）a+mn﹣2＝0，b2+（m+n）b+mn﹣2＝0，而a、b、m、n为互不相等的实数，∴a、b看作方程x2+（m+n）x+mn﹣2＝0的两实数根，∴ab＝mn﹣2，∴ab﹣mn＝﹣2．故选：C．10．(3分)（2022•青县二模）定义运算：m※n＝mn2﹣2mn﹣1，例如：4※2＝4×22﹣2×4×2﹣1＝﹣1．若关于x的方程a※x＝0有实数根，则a的取值范围为（）A．﹣1≤a≤0 B．﹣1≤a＜0 C．a≥0或a≤﹣1 D．a＞0或a≤﹣1【分析】根据新定义运算法则列出关于x的方程，根据根的判别式进行判断即可．【解答】解：由题意可知：a※x＝ax2﹣2ax﹣1＝0，当a＝0时，原来方程变形为﹣1＝0，方程无解；当a≠0时，∵关于x的方程a※x＝0有实数根，∴Δ＝4a2+4a＝4a（a+1）≥0，解得a≤﹣1或a＞0．故选：D．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．(3分)（2022秋•鄂州期末）如果a﹣b+c＝0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根有一个为﹣1．【分析】将x＝﹣1代入方程ax2+bx+c＝0中的左边，得到a﹣b+c，由a﹣b+c＝0得到方程左右两边相等，即x＝﹣1是方程的解．【解答】解：将x＝﹣1代入ax2+bx+c＝0的左边得：a×（﹣1）2+b×（﹣1）+c＝a﹣b+c，∵a﹣b+c＝0，∴x＝﹣1是方程ax2+bx+c＝0的根．故答案为：﹣1．12．(3分)（2022•成都模拟）若m是x2﹣2x﹣3＝0的一个实数根，则(m2【分析】将x＝m代入已知方程得到m2﹣2m＝3，m2﹣m＝3+m；然后将其代入所求的代数式进行化简即可．【解答】解：依题意得：m2﹣2m﹣3＝0，∴m2﹣2m＝3，m2﹣m＝3+m，∴(＝3×＝3×1＝3．故答案是：3．13．(3分)（2022•海曙区自主招生）如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+k4）＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数k的取值范围是3＜k【分析】根据原方程可得出：①x﹣1＝0，②x2﹣2x+k4=0；根据根与系数的关系，可求出②方程的x1+x2和x1﹣x2【解答】解：由题意，得：x﹣1＝0，x2﹣2x+k设x2﹣2x+k4=0的两根分别是m、n（m≥n）；则m+n＝2，m﹣n=(m+n)根据三角形三边关系定理，得：m﹣n＜1＜m+n，即4-k＜∴4-k＜14-k≥0，解得3＜14．(3分)（2022秋•盐湖区校级月考）如图，点A在数轴的负半轴，点B在数轴的正半轴，且点A对应的数是2x﹣1，点B对应的数是x2+x，已知AB＝5，则x的值为1-172【分析】先根据数轴上两点之间的距离公式列出关于x的方程，解之求出x的值，再结合A、B的位置取舍即可．【解答】解：根据题意，得：x2+x﹣（2x﹣1）＝5，整理，得：x2﹣x﹣4＝0，∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣4，∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣4）＝17＞0，则x=-b±∴x1=1+172，x∵点A在数轴的负半轴，∴2x﹣1＜0，即x＜1∴x=1-故答案为：1-1715．(3分)（2022•天府新区模拟）给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍，则我们称这个矩形是给定矩形的“加倍矩形”，当已知矩形的长和宽分别为3和1时，其“加倍矩形”的对角线长为213．【分析】设“加倍矩形”的长为x，则宽为[2×（3+1）﹣x]，根据矩形的面积计算公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．【解答】解：设“加倍”矩形的长为x，则宽为[2×（3+1）﹣x]，依题意，得：x[2×（3+1）﹣x]＝2×3×1，整理，得：x2﹣8x+6＝0，解得：x1＝4+10，x2＝4-当x＝4+10时，2×（3+1）﹣x＝4-10＜当x＝4-10时，2×（3+1）﹣x＝4+10＞∴“加倍矩形”的对角线长为(4+10)2故答案为：213．16．(3分)（2022秋•昌江区校级期末）若实数a，b，c满足12a2+7b2+5c2≤12a|b|﹣4b|c|﹣16c﹣16，则a+b+c＝-52【分析】利用配方法将原式变形，再利用非负数的性质求得a，b，c的值，最后代入计算即可．【解答】解：∵12a2+7b2+5c2≤12a|b|﹣4b|c|﹣16c﹣16，∴12a2+7b2+5c2﹣12a|b|+4b|c|+16c+16≤0．∴3（4a2﹣4a|b|+b2）+（4b2+4b|c|+c2）+4（c2+4c+4）≤0．∴3（2a﹣|b|）2+（2b+|c|）2+4（c+2）2≤0．∵3（2a﹣|b|）2≥0，（2b+|c|）2≥0，4（c+2）2≥0，∴2a-|b|=02b+|c|=0解得：a=1∴a+b+c=12-故答案为：-5三．解答题（共7小题，满分52分）17．(6分)（2022春•道里区期末）解下列方程：（1）（x﹣2）2﹣2x+4＝0；（2）x2﹣4x﹣1＝0．【分析】（1）先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；（2）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．【解答】解：（1）（x﹣2）2﹣2x+4＝0，（x﹣2）2﹣2（x﹣2）＝0，（x﹣2）（x﹣2﹣2）＝0，x﹣2＝0或x﹣2﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝4；（2）x2﹣4x﹣1＝0，x2﹣4x＝1，配方，得x2﹣4x+4＝1+4，（x﹣2）2＝5，开方得：x﹣2=±5解得：x1＝2+5，x2＝2-18．(6分)（2022秋•海淀区期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2﹣m）x+1﹣m＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若m＜0，且该方程的两个实数根的差为3，求m的值．【分析】（1）利用根的判别式进行求解即可；（2）设方程的较大的实数根为x1，较小的实数根为x2，则有x1﹣x2＝3，x1+x2＝m﹣2，x1x2＝1﹣m，从而可进行求解．【解答】（1）证明：∵Δ＝（2﹣m）2﹣4×1×（1﹣m）＝m2≥0，∴原方程有两个相等的实数根或两个不等的实数根，即该方程总有两个实数根；（2）设方程的较大的实数根为x1，较小的实数根为x2，依题意得：x1﹣x2＝3，x1+x2＝m﹣2，x1x2＝1﹣m，∴（x1﹣x2）2＝32，x12﹣2x1x2+x22＝9，x12+x22＝9+2x1x2＝9+2（1﹣m）＝11﹣2m，∵（x1+x2）2＝（m﹣2）2，∴x12+2x1x2+x22＝m2﹣4m+4，∴11﹣2m+2（1﹣m）＝m2﹣4m+4，整理得：m2＝9，解得：m＝3或m＝﹣3，∵m＜0，∴m＝﹣3．19．(8分)（2022秋•安居区期末）为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解此方程得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2﹣1＝1，所以x=±2当y＝4时，x2﹣1＝4，所以x=±5所以原方程的根为x1=2，x2=-以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解下列方程：（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4；（2）x4+x2﹣12＝0．【分析】（1）设x2﹣x＝a，原方程可化为a2﹣4a+4＝0，求出a的值，再代入x2﹣x＝a求出x即可；（2）设x2＝y，原方程化为y2+y﹣12＝0，求出y，再把y的值代入x2＝y求出x即可．【解答】解：（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4，设x2﹣x＝a，则原方程可化为a2﹣4a+4＝0，解此方程得：a1＝a2＝2，当a＝2时，x2﹣x＝2，即x2﹣x﹣2＝0，因式分解得：（x﹣2）（x+1）＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1，所以原方程的解是x1＝2，x2＝﹣1；（2）x4+x2﹣12＝0，设x2＝y，则原方程化为y2+y﹣12＝0，因式分解，得（y﹣3）（y+4）＝0，解得：y1＝3，y2＝﹣4，当y＝3时，x2＝3，解得：x=±3当y＝﹣4时，x2＝﹣4，无实数根，所以原方程的解是x1=3，x2=-20．(8分)（2022春•西湖区校级期中）对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．（1）已知一个“喜鹊数”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式b2﹣4ac＝0；判断241不是“喜鹊数”（填“是”或“不是”），并写出一个“喜鹊数”121；（2）利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程ax2+bx+c＝0①与cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一个根，x＝n是方程②的一个根，求m与n满足的关系式；（3）在（2）中条件下，且m+n＝﹣2，请直接写出满足条件的所有k的值．【分析】（1）根据喜鹊数的定义解答即可；（2）根据一元二次方程的定义和根的判别式解答即可；（3）求出m与n互为倒数，又m+n＝﹣2，得出m＝﹣1，n＝﹣1，求出b＝a+c，a＝c，结合喜鹊数的定义即可得出答案．【解答】解：（1）∵k＝100a+10b+c是喜鹊数，∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0；∵42＝16，4×2×1＝8，16≠8，∴241不是喜鹊数；∵各个数位上的数字都不为零，百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，∴十位上的数字的平方最小为4，∵22＝4，4×1×1＝4，∴最小的“喜鹊数”是121．故答案为：b2﹣4ac＝0；不是；121．（2）∵x＝m是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2+bx+a＝0的一个根，∴am2+bm+c＝0，cn2+bn+a＝0，将cn2+bn+a＝0两边同除以n2得：a（1n）2+b（1n）+∴将m、1n看成是方程ax2+bx+c∵b2﹣4ac＝0，∴方程ax2+bx+c有两个相等的实数根，∴m=1n，即故答案为：mn＝1．（3）∵m+n＝﹣2，mn＝1，∴m＝﹣1，n＝﹣1，∴a﹣b+c＝0，∴b＝a+c，∵b2＝4ac，∴（a+c）2＝4ac，解得：a＝c，∴满足条件的所有k的值为121，242，363，484．故答案为：121，242，363，484．21．(8分)（2022春•南海区月考）阅读材料题：我们知道a2≥0，所以代数式a2的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用a2±2ab+b2＝（a±b）2来求一些多项式的最小值．例如，求x2+6x+3的最小值问题．解：∵x2+6x+3＝x2+6x+9﹣6＝（x+3）2﹣6，又∵（x+3）2≥0，∴（x+3）2﹣6≥﹣6，∴x2+6x+3的最小值为﹣6．请应用上述思想方法，解决下列问题：（1）探究：x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1；（2）代数式x2+x有最小（填“大”或“小”）值为-14（3）应用：若A＝x2﹣1与B＝2x﹣3，试比较A与B的大小；【分析】（1）利用配方法将多项式变形即可得出结论；（2）利用配方法将多项式变形，利用非负数的意义即可得出结论；（3）计算A﹣B的值，将结果利用配方法变形即可得出结论．【解答】解：（1）∵x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1，故答案为：2；1；（2）∵x2+x＝x2+x+1又∵(x+1∴(x+1∴代数式x2+x有最小值为-1故答案为：小；-1（3）A﹣B＝（x2﹣1）﹣（2x﹣3）＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，∵（x﹣1）2≥0，∴（x﹣1）2+1＞0，∴A﹣B＞0，∴A＞B．22．(8分)（2022秋•黔江区期末）火锅是重庆人民钟爱的美食之一．解放碑某火锅店为抓住“十一”这个商机，于九月第一周推出了A、B两种火锅套餐，5桌A套餐与10桌B套餐的总售价为1600元，其中A套餐比B套餐每桌贵20元．（1）求A套餐的售价是多少元？（2）第一周A套餐的销售量为800桌，B套餐的销售量为1300桌．为了更好的了解市场，火锅店决定从第二周开始，对A，B套餐的销售价格都进行调整，其中A套餐的销售价格比第一周的价格下调a%，发现销售量比第一周增加了13a%，B套餐的销售价格比第一周的价格下调了12a%，发现销售量比第一周增加了140桌，最终第二周A套餐的销售总额比B套餐的销售总额少了48000元．求【分析】（1）设A套餐的售价是x元，则B套餐的售价是（x﹣20）元，根据5桌A套餐与10桌B套餐的总售价为1600元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）根据销售总额＝销售单价×销售数量，结合第二周A套餐的销售总额比B套餐的销售总额少了48000元，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：（1）设A套餐的售价是x元，则B套餐的售价是（x﹣20）元，依题意得：5x+10（x﹣20）＝1600，解得：x＝120．答：A套餐的售价是120元．（2）依题意得：（120﹣20）（1-12a%）×（1300+140）﹣120（1﹣a%）×800（1+整理得：3.2a2﹣80a＝0，解得：a1＝25，a2＝0（不合题意，舍去）．答：a的值为25．23．(8分)（2022春•新昌县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，点P从点C开始沿射线CA方向以1cm/s的速度运动；同时，点Q也从点C开始沿射线CB方向以3cm/s的速度运动．（1）几秒后△PCQ的面积为3cm2？此时PQ的长是多少？（结果用最简二次根式表示）（2）几秒后以A、B、P、Q为顶点的四边形的面积为22cm2？【分析】（1）设出运动所求的时间，可将PC和CQ的长表示出来，代入三角形面积公式，列出等式，可将时间求出；（2）需要对点P的不同位置进行分类讨论：①当P在线段AC上，Q在线段BC上时，0＜t＜2S四边形APQB＝S△ABC﹣S△PQC12×6×8-1②当P在线段AC上，Q在线段BC延长线上时，2＜t＜8，S四边形APBQ＝S△AQC﹣S△PBC；③当P在线段AC的延长线上，Q在线段BC延长线上时，t＞8，S四边形ABQP＝S△PQC﹣S△ABC．【解答】解：（1）设t秒后△PCQ的面积为3平方厘米，则有PC＝tcm，CQ＝3tcm，依题意，得：12t×3tt2＝2t1由勾股定理，得：PQ=P答：2秒后△PCQ的面积为3平方厘米，此时PQ的长是25（2）①当P在线段AC上，Q在线段BC上时，0＜t＜2S四边形APQB＝S△ABC﹣S△PQC12t2解得t1②当P在线段AC上，Q在线段BC延长线上时，2＜t＜8，S四边形APBQ＝S△AQC﹣S△PBC129t＝22，解得t=22③当P在线段AC的延长线上，Q在线段BC延长线上时，t＞8，S四边形ABQP＝S△PQC﹣S△ABC12t2=923（不符合题意，舍去），（或者得综上：t=233答，经过233秒或229秒，以A、B、P、Q专题22.1二次函数的定义【七大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\t"正文,1"\hTOC\o"1-1"\h\u【题型1二次函数的识别】 1【题型2由二次函数的定义求字母的值】 2【题型3二次函数的一般形式】 2【题型4判断二次函数的关系式】 3【题型5列二次函数的关系式（增长率问题）】 4【题型6列二次函数的关系式（销售问题）】 5【题型7列二次函数的关系式（几何问题）】 6【知识点1二次函数的概念】一般地，形如y=ax是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=ax次函数的一般形式．【题型1二次函数的识别】【例1】（2022秋•香坊区校级月考）下列函数是二次函数的有（）①y＝（x+1）2﹣x2；②y＝﹣3x2+5；③y＝x3﹣2x；④y＝x2-1A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-1】（2022•新城区校级模拟）观察：①y＝6x2；②y＝﹣3x2+5；③y＝200x2+400x；④y＝x3﹣2x；⑤y＝x2-1x+3；⑥y＝（x+1）2﹣A．2 B．3 C．4 D．5【变式1-2】（2022春•西湖区校级月考）下列各式中，一定是二次函数的有（）①y2＝2x2﹣4x+3；②y＝4﹣3x+7x2；③y=1x2-3x+5；④y＝（2x﹣3）（3x﹣2）；⑤y＝ax2+bx+c；⑥y＝（n2+1）x2﹣2x﹣3；⑦y＝m2xA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-3】（2022秋•葫芦岛月考）下列函数中，是二次函数的有（）①y=x2+2；②y＝﹣x2﹣3x；③y＝x（x2+x+1）；④y=11+x2；⑤A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【题型2由二次函数的定义求字母的值】【例2】（2022秋•天津期末）若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a的值是（）A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣5或﹣1【变式2-1】（2022•武山县校级一模）若函数y＝（m2+m）xm2-2m-1A．2 B．﹣1或3 C．3 D．-1±【变式2-2】（2022秋•莱芜区期中）若抛物线y=(m-3)xm2-5m+8+2x-3A．3 B．﹣2 C．2 D．2或3【变式2-3】函数y＝（a﹣5）xa2+4a+5+2x﹣1，当a＝时，它是一次函数；当【题型3二次函数的一般形式】【例3】（2022秋•遂溪县校级期中）关于函数y＝（500﹣10x）（40+x），下列说法不正确的是（）A．y是x的二次函数 B．二次项系数是﹣10 C．一次项是100 D．常数项是20000【变式3-1】（2022秋•新昌县期末）若二次函数y＝（2x﹣1）2+1的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则b2﹣4ac0（填写“＞”或“＜”或“＝”）【变式3-2】已知y＝（m2﹣m）xm2-2m-1+（m﹣3）x+m2【变式3-3】指出下列函数中哪些是二次函数，如果是二次函数，写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）y＝2x+1；（2）y＝2x2+1；（3）y＝x（2﹣x）（4）y=12（x﹣1）2（5）y=8（6）y＝x2（x﹣1）﹣1．【题型4判断二次函数的关系式】【例4】（2021秋•龙凤区期末）下列具有二次函数关系的是（）A．正方形的周长y与边长x B．速度一定时，路程s与时间t C．正方形的面积y与边长x D．三角形的高一定时，面积y与底边长x【变式4-1】（2022秋•红山区校级月考）下列关系中，是二次函数关系的是（）A．当距离S一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系 B．在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系 C．圆的面积S与圆的半径r之间的关系 D．正方形的周长C与边长a之间的关系【变式4-2】（2022秋•沂源县期中）在下列4个不同的情境中，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有（）①设正方形的边长为x面积为y，则y与x有函数关系；②x个球队参加比赛，每两个队之间比赛一场，则比赛的场次数y与x之间有函数关系；③设正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x有函数关系；④若一辆汽车以120km/h的速度匀速行驶，那么汽车行驶的里程y（km）与行驶时间x（h）有函数关系．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式4-3】（2022秋•海淀区校级月考）边长为5的正方形ABCD，点F是BC上一动点，过对角线交点E作EG⊥EF，交CD于点G，设BF的长为x，△EFG的面积为y，则y与x满足的函数关系是（）A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．以上都不是【知识点2根据实际问题列二次函数表达式的步骤】理解题意：找出实际问题中的已知量和変量（自变量，因变量），将文字或图形语言转化为数学语言；分析关系：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式；列函数表达式：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成用自变量表示的函数的形式.【题型5列二次函数的关系式（增长率问题）】【例5】（2022秋•天津期末）据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度GDP总值约为2.4千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（）A．y＝2.4（1+2x） B．y＝2.4（1﹣x）2 C．y＝2.4（1+x）2 D．y＝2.4+2.4（1+x）+2.4（1+x）【变式5-1】（2022秋•大兴区期中）某种商品的价格是2元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y（单位：元）随每次降价的百分率x的变化而变化，则y关于x的函数解析式是（）A．y＝2（x+1）2 B．y＝2（1﹣x）2 C．y＝（x+1）2 D．y＝（x﹣1）2【变式5-2】（2022秋•西山区校级期中）某农机厂四月份生产零件60万个，设该厂第二季度平均每月的增长率为x，如果第二季度共生产零件y万个，那么y与x满足的函数关系式是（）A．y＝60（1+x）2 B．y＝60+60（1+x）+60（1+x）2 C．y＝60（1+x）+60（1+x）2 D．y＝60+60（1+x）【变式5-3】（2022秋•金寨县期末）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，若第二个月的增长率是x，第三个月的增长率是第二个月的两倍，那么y与x的函数关系是（）A．y＝a（1+x）（1+2x） B．y＝a（1+x）2 C．y＝2a（1+x）2 D．y＝2x2+a【题型6列二次函数的关系式（销售问题）】【例6】（2022秋•肥城市期末）某商品的进价为每件60元，现在的售价为每件80元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（）A．y＝200﹣10x B．y＝（200﹣10x）（80﹣60﹣x） C．y＝（200+10x）（80﹣60﹣x） D．y＝（200﹣10x）（80﹣60+x）【变式6-1】（2022秋•朝阳期中）某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨2元，月销售量就减少10千克．设每千克涨x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（）A．y＝（50+x﹣40）（500﹣10x） B．y＝（x+40）（10x﹣500） C．y＝（x﹣40）[500﹣5（x﹣50）] D．y＝（50+x﹣40）（500﹣5x）【变式6-2】（2022秋•西陵区期末）某文学书的售价为每本30元，每星期可卖出200本，书店准备在年终进行降价促销．经市场调研发现，单价每下降2元，每星期可多卖出10本．设每本书降价x元后，每星期售出此文学书的销售额为y元，则y与x之间的函数关系式为（）A．y＝（30﹣x）（200+10x） B．y＝（30﹣x）（200+5x） C．y＝（30﹣x）（200﹣10x） D．y＝（30﹣x）（200﹣5x）【变式6-3】（2022秋•阜阳月考）“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降5元时，日销售量会增加10件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（）A．w＝（99﹣x）[200+10（x﹣50）] B．w＝（x﹣50）[200+10（99﹣x）] C．w＝（x﹣50）（200+x-995D．w＝（x﹣50）（200+99-x【题型7列二次函数的关系式（几何问题）】【例7】（2022秋•交城县期中）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，CE⊥BD，CE=12BD．若△ABD的周长为20cm，则△BCD的面积S（cm2）与AB的长x（A．S=14x2-10x+100 B．S＝2xC．S＝x2﹣20x+100 D．S＝x2+20x+100【变式7-1】（2022•江夏区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，E为AC边上的点且AE＝2EC，点D在BC边上且满足BD＝DE，设BD＝y，S△ABC＝x，则y与x的函数关系式为（）A．y=1810x2+52 B．y=C．y=1810x2+2 D．y=4【变式7-2】（2022秋•鄞州区期末）一副三角板（△BCM和△AEG）如图放置，点E在BC上滑动，AE交BM于D，EG交MC于F，且在滑动过程中始终保持EF＝DE．若MB＝4，设BE＝x，△EFC的面积为y，则y关于x的函数表达式是（）A．y＝23x B．y＝23x+1 C．y＝x（43-x） D．y=12x（4【变式7-3】（2022•太原一模）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点M为正方形ABCD的边CD上的动点（与点C，D不重合），连接BM，作MF⊥BM，与正方形ABCD的外角∠ADE的平分线交于点F．设CM＝x，△DFM的面积为y，则y与x之间的函数关系式．专题22.1二次函数的定义【七大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\t"正文,1"\hTOC\o"1-1"\h\u【题型1二次函数的识别】 1【题型2由二次函数的定义求字母的值】 3【题型3二次函数的一般形式】 4【题型4判断二次函数的关系式】 5【题型5列二次函数的关系式（增长率问题）】 8【题型6列二次函数的关系式（销售问题）】 9【题型7列二次函数的关系式（几何问题）】 11【知识点1二次函数的概念】一般地，形如y=ax是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=ax次函数的一般形式．【题型1二次函数的识别】【例1】（2022秋•香坊区校级月考）下列函数是二次函数的有（）①y＝（x+1）2﹣x2；②y＝﹣3x2+5；③y＝x3﹣2x；④y＝x2-1A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据二次函数的定义判断即可．【解答】解：①该函数化简后没有二次项，是一次函数，故本选项不符合题意；②该函数是二次函数，故本选项符合题意；③该函数不是二次函数，故本选项不符合题意．④该函数分母含有字母，不是二次函数，故本选项不符合题意；故选：A．【变式1-1】（2022•新城区校级模拟）观察：①y＝6x2；②y＝﹣3x2+5；③y＝200x2+400x；④y＝x3﹣2x；⑤y＝x2-1x+3；⑥y＝（x+1）2﹣A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据二次函数的定义，判断即可．【解答】解：观察：①y＝6x2；②y＝﹣3x2+5；③y＝200x2+400x；④y＝x3﹣2x；⑤y＝x2-1x+3；⑥y＝（x+1）2﹣x2．这六个式子中二次函数有：①y＝6x2；②y＝﹣3x2+5；③y＝200x2所以，共有3个，故选：B．【变式1-2】（2022春•西湖区校级月考）下列各式中，一定是二次函数的有（）①y2＝2x2﹣4x+3；②y＝4﹣3x+7x2；③y=1x2-3x+5；④y＝（2x﹣3）（3x﹣2）；⑤y＝ax2+bx+c；⑥y＝（n2+1）x2﹣2x﹣3；⑦y＝m2xA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】整理一般形式后，根据二次函数的定义判定即可．【解答】解：①y2＝2x2﹣4x+3，不符合二次函数的定义，不是二次函数；②y＝4﹣3x+7x2，是二次函数；③y=1x2④y＝（2x﹣3）（3x﹣2）＝6x2﹣13x+6，是二次函数；⑤y＝ax2+bx+c，含有四个自变量，这里a可能等于0，不是二次函数；⑥y＝（n2+1）x2﹣2x﹣3，是二次函数；⑦y＝m2x2+4x﹣3，m可能等于0，不一定是二次函数．∴只有②④⑥一定是二次函数．故选：C．【变式1-3】（2022秋•葫芦岛月考）下列函数中，是二次函数的有（）①y=x2+2；②y＝﹣x2﹣3x；③y＝x（x2+x+1）；④y=11+x2；⑤A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据二次函数的定义求解即可．【解答】解：②y＝﹣x2﹣3x；⑤y＝﹣x+x2是二次函数，故选：B．【题型2由二次函数的定义求字母的值】【例2】（2022秋•天津期末）若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a的值是（）A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣5或﹣1【分析】根据二次函数定义可得|a+3|＝2且a+1≠0，求解即可．【解答】解：∵函数y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，∴|a+3|＝2且a+1≠0，解得a＝﹣5，故选：B．【变式2-1】（2022•武山县校级一模）若函数y＝（m2+m）xm2-2m-1A．2 B．﹣1或3 C．3 D．-1±【分析】让x的次数为2，系数不为0即可．【解答】解：根据题意得：m2解得：m=3或-1m≠0且m≠-1∴m＝3，故选：C．【变式2-2】（2022秋•莱芜区期中）若抛物线y=(m-3)xm2-5m+8+2x-3A．3 B．﹣2 C．2 D．2或3【分析】根据二次函数的最高指数是2，二次项系数不等于0列出方程求解即可．【解答】解：由题意得，m2﹣5m+8＝2且m﹣3≠0，解得m1＝2，m2＝3，且m≠3，所以，m＝2．故选：C．【变式2-3】函数y＝（a﹣5）xa2+4a+5+2x﹣1，当a＝时，它是一次函数；当【分析】根据一次函数和二次函数的定义解答．【解答】解：当y＝（a﹣5）xa2+4a+5+2x﹣1是一次函数时，a2+4解得a＝﹣2或a＝5，即当a＝﹣2或5时，它是一次函数；当y＝（a﹣5）xa2+4a+5+2x﹣1是二次函数时，a2+4解得a＝﹣1或a＝﹣3．即当a＝﹣1或﹣3时，它是二次函数．故答案是：﹣2或5；﹣1或﹣3．【题型3二次函数的一般形式】【例3】（2022秋•遂溪县校级期中）关于函数y＝（500﹣10x）（40+x），下列说法不正确的是（）A．y是x的二次函数 B．二次项系数是﹣10 C．一次项是100 D．常数项是20000【分析】根据形如y＝ax2+bx+c是二次函数，可得答案．【解答】解：y＝﹣10x2+100x+20000，A、y是x的二次函数，故A正确；B、二次项系数是﹣10，故B正确；C、一次项是100x，故C错误；D、常数项是20000，故D正确；故选：C．【变式3-1】（2022秋•新昌县期末）若二次函数y＝（2x﹣1）2+1的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则b2﹣4ac0（填写“＞”或“＜”或“＝”）【分析】根据二次函数的解析式得出a，b，c的值，再代入b2﹣4ac计算，判断与0的大小即可．【解答】解：∵y＝（2x﹣1）2+1，∴a＝4，b＝﹣4，c＝2，∴b2﹣4ac＝16﹣4×4×2＝﹣16＜0，故答案为＜．【变式3-2】已知y＝（m2﹣m）xm2-2m-1+（m﹣3）x+m2【分析】根据二次函数定义可得m2-2m-1=2m【解答】解：根据题意可得m2解得：m＝﹣1或m＝3，当m＝﹣1时，二次函数为y＝2x2﹣4x+1，其二次项系数为2，一次项系数为﹣4，常数项为1；当m＝3时，二次函数为y＝6x2+9，其二次项系数为6，一次项系数为0，常数项为9．【变式3-3】指出下列函数中哪些是二次函数，如果是二次函数，写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）y＝2x+1；（2）y＝2x2+1；（3）y＝x（2﹣x）（4）y=12（x﹣1）2（5）y=8（6）y＝x2（x﹣1）﹣1．【分析】根据二次函数定义进行解答即可．【解答】解：（1）y＝2x+1不是二次函数，是一次函数；（2）y＝2x2+1，是二次函数，二次项系数是2、一次项系数是0，常数项是1；（3）y＝x（2﹣x）＝﹣x2+2x，是二次函数，二次项系数是﹣1、一次项系数是2，常数项是0；（4）y=12（x﹣1）2-52=12x2﹣x+（5）y=8（6）y＝x2（x﹣1）﹣1＝x3﹣x2﹣1不是二次函数．【题型4判断二次函数的关系式】【例4】（2021秋•龙凤区期末）下列具有二次函数关系的是（）A．正方形的周长y与边长x B．速度一定时，路程s与时间t C．正方形的面积y与边长x D．三角形的高一定时，面积y与底边长x【分析】根据题意，列出函数解析式就可以判定．【解答】解：A、y＝4x，是一次函数，错误；B、s＝vt，v一定，是一次函数，错误；C、y＝x2，是二次函数，正确；D、y=12hx，故选：C．【变式4-1】（2022秋•红山区校级月考）下列关系中，是二次函数关系的是（）A．当距离S一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系 B．在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系 C．圆的面积S与圆的半径r之间的关系 D．正方形的周长C与边长a之间的关系【分析】根据各选项的意思，列出个选项的函数表达式，再根据二次函数定义的条件判定则可．【解答】解：A、由题意可得：t=SB、y＝mx+b，当m≠0时（m是常数），是一次函数，故此选项错误；C、S＝πR2，是二次函数，正确；D、C＝4a，是正比例函数，故此选项错误．故选：C．【变式4-2】（2022秋•沂源县期中）在下列4个不同的情境中，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有（）①设正方形的边长为x面积为y，则y与x有函数关系；②x个球队参加比赛，每两个队之间比赛一场，则比赛的场次数y与x之间有函数关系；③设正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x有函数关系；④若一辆汽车以120km/h的速度匀速行驶，那么汽车行驶的里程y（km）与行驶时间x（h）有函数关系．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据题意列出函数关系式，然后由二次函数的定义进行判断．【解答】解：①依题意得：y＝x2，属于二次函数关系，故符合题意；②依题意得：y=12x（x﹣1）=12x③依题意得：y＝6x2，属于二次函数关系，故符合题意；④依题意得：y＝120x，属于一次函数关系，故不符合题意；综上所述，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有3个．故选：C．【变式4-3】（2022秋•海淀区校级月考）边长为5的正方形ABCD，点F是BC上一动点，过对角线交点E作EG⊥EF，交CD于点G，设BF的长为x，△EFG的面积为y，则y与x满足的函数关系是（）A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．以上都不是【分析】先证明△BEF≌△CEG，可得CG＝EF，EG＝EF，∠CEG＝∠BEF，再根据勾股定理求解即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠EBF＝∠ECG＝45°，AC⊥BD，EB＝EC，∵EF⊥EG，∴∠BEC＝∠FEG＝90°，∴∠BEF＝∠CEG，∴△BEF≌△CEG（ASA），∴CG＝EF，EG＝EF，∠CEG＝∠BEF，∵∠BEG＝90°，∴∠GEF＝90°，∴FG2＝2EF2，在Rt△CFG中，FG2＝CF2+CG2，即FG2＝x2+（5﹣x）2＝2x2﹣10x+25，∵y=12EG•EF=1∴y=14FG2=14（2x2﹣10x+25）=12∴y与x满足的函数关系是二次函数．故选：C．【知识点2根据实际问题列二次函数表达式的步骤】理解题意：找出实际问题中的已知量和変量（自变量，因变量），将文字或图形语言转化为数学语言；分析关系：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式；列函数表达式：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成用自变量表示的函数的形式.【题型5列二次函数的关系式（增长率问题）】【例5】（2022秋•天津期末）据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度GDP总值约为2.4千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（）A．y＝2.4（1+2x） B．y＝2.4（1﹣x）2 C．y＝2.4（1+x）2 D．y＝2.4+2.4（1+x）+2.4（1+x）【分析】根据平均每个季度GDP增长的百分率为x，第二季度季度GDP总值约为2.4（1+x）元，第三季度GDP总值为2.4（1+x）2元，则函数解析式即可求得．【解答】解：根据题意得，y关于x的函数表达式是：y＝2.4（1+x）2．故选：C．【变式5-1】（2022秋•大兴区期中）某种商品的价格是2元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y（单位：元）随每次降价的百分率x的变化而变化，则y关于x的函数解析式是（）A．y＝2（x+1）2 B．y＝2（1﹣x）2 C．y＝（x+1）2 D．y＝（x﹣1）2【分析】利用增长率公式得到y＝2（1﹣x）2．【解答】解：根据题意得y＝2（1﹣x）2，故选：B．【变式5-2】（2022秋•西山区校级期中）某农机厂四月份生产零件60万个，设该厂第二季度平均每月的增长率为x，如果第二季度共生产零件y万个，那么y与x满足的函数关系式是（）A．y＝60（1+x）2 B．y＝60+60（1+x）+60（1+x）2 C．y＝60（1+x）+60（1+x）2 D．y＝60+60（1+x）【分析】设该厂第二季度平均每月的增长率为x，则五月份生产零件60（1+x）万个，六月份生产零件60（1+x）2万个，根据第二季度共生产零件y万个，即可找出y与x之间的函数关系式．【解答】解：设该厂第二季度平均每月的增长率为x，则五月份生产零件60（1+x）万个，六月份生产零件60（1+x）2万个，依题意得：y＝60+60（1+x）+60（1+x）2．故选：B．【变式5-3】（2022秋•金寨县期末）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，若第二个月的增长率是x，第三个月的增长率是第二个月的两倍，那么y与x的函数关系是（）A．y＝a（1+x）（1+2x） B．y＝a（1+x）2 C．y＝2a（1+x）2 D．y＝2x2+a【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），然后根据已知条件可得出函数关系式．【解答】解：由第二个月的增长率是x，则第三个月的增长率是2x，依题意得：第三个月投放单车a（1+x）（1+2x）辆，则y＝a（1+x）（1+2x）．故选：A．【题型6列二次函数的关系式（销售问题）】【例6】（2022秋•肥城市期末）某商品的进价为每件60元，现在的售价为每件80元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（）A．y＝200﹣10x B．y＝（200﹣10x）（80﹣60﹣x） C．y＝（200+10x）（80﹣60﹣x） D．y＝（200﹣10x）（80﹣60+x）【分析】由每件涨价x元，可得出销售每件的利润为（80﹣60+x）元，每星期的销售量为（200﹣10x），再利用每星期售出商品的利润＝销售每件的利润×每星期的销售量，即可得出结论．【解答】解：∵每涨价1元，每星期要少卖出10件，每件涨价x元，∴销售每件的利润为（80﹣60+x）元，每星期的销售量为（200﹣10x），∴每星期售出商品的利润y＝（200﹣10x）（80﹣60+x）．故选：D．【变式6-1】（2022秋•朝阳期中）某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨2元，月销售量就减少10千克．设每千克涨x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（）A．y＝（50+x﹣40）（500﹣10x） B．y＝（x+40）（10x﹣500） C．y＝（x﹣40）[500﹣5（x﹣50）] D．y＝（50+x﹣40）（500﹣5x）【分析】直接利用销量×每千克利润＝总利润，得出函数关系式即可．【解答】解：设每千克涨x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式