2023一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型专题42 直线与直线平行-2023一轮数学讲义+题型细分与精练(解析版)

专题42直线与直线平行题型一空间四边形的认识【例1】空间四边形ABCD中，给出下列说法：①直线AB与CD异面；②对角线AC与BD相交；③四条边不能都相等；④四条边的中点组成一个平行四边形．其中正确说法的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】本题主要考查空间四边形，关键要理解空间四边形的概念．由定义知①正确；②错误，否则A、B、C、D四点共面；③不正确，可将一个菱形沿一条对角线折起一个角度，就成为四边相等的空间四边形；④正确，由平行四边形的判定定理可证．【变式1-1】空间四边形ABCD中，M、N分别为AB，CD的中点，则MN__________eq\f(1,2)(AC＋BD)(填“≥”“>”“≤”“<”“＝”符号)【答案】<【解析】取BC中点E，连接EM，EN，则EM=12又EM+EN>MN，∴MN<【变式1-2】已知E，F，G，H分别是为空间四边形ABCD的AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD=2，AC=4则EG2+HF2的值是（）A.5B.10C.12D.不确定【答案】B【解析】如图所示，由三角形中位线的性质，可得EN∥BD且EN=12BD根据基本事实4可得四边形EFGH为平行四边形，所以EG2【变式1-3】如图，在四面体ABCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AC的中点，则下列说法不正确的是（）A.M，N，P，Q四点共面B.∠QME=∠CBDC.△BCD∽△MEQD.四边形是MNPQ梯形【答案】D【解析】由中位线定理可得MQ∥BD，ME∥BC，对于A，有MQ∥NP，所以M，N，P，对于B，根据等角定理，得∠QME=∠CBD对于C，由等角定理，知∠QME=∠CBD所以∆BCD∽∆MEQ，C正确；对于D，由三角形的中位线定理，知MQ∥BD且MQ=12所以MQ∥NP且MQ=NP，所以四边形MNPQ为平行四边形，题型二基本事实4的应用【例2】已知空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，且AC＝BD.求证：四边形EFGH为菱形．【解析】∵在△ABD中，E、H分别为AB，AD的中点，∴EHeq\f(1,2)BD，同理FGeq\f(1,2)BD，∴EHFG，∴四边形EFGH是平行四边形．又AC＝BD，∴EF＝EH，∴四边形EFGH为菱形．【变式2-1】如图，E、F分别是长方体A1B1C1D1－ABCD的棱A1A、C1C的中点，求证：四边形B1EDF是平行四边形．【解析】设Q是DD1的中点，连接EQ，∵E是AA1的中点，∴EQ∥又矩形A1B1C1由基本事实4可知，EQ∥B1∴四边形EQC∴B1E∥又∵Q、F是矩形DD∴QD∥C1∴四边形DQC∴C1Q∥又∵B1E∥C1Q且∴四边形B1【变式2-2】如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.【解析】连接EH，因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，且EH=12同理，FG∥BD，且FG=12所以EH∥FG，且EH=FG.所以四边形EFGH为平行四边形.【变式2-3】如图所示，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，若M，N分别是A′D′，C′D′的中点，求证:四边形ACNM是梯形.【解析】如图所示，连接A′C′，因为M，N分别是A′D′，C′D′的中点，所以MN∥A′C′，且MN=QUOTE12A′C′.由正方体的性质可知A′C′∥AC，且A′C′=AC.所以MN∥AC，且MN=QUOTE12AC，所以四边形ACNM是梯形.【变式2-4】如图，在三棱锥中，分别为线段的中点，则下列说法正确的是A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意结合三角形中位线的性质可得：，由平行公理可得：.【变式2-5】如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．求证：四边形BB1M1M为平行四边形；【解析】∵ABCD­A1B1C1D1为正方体．∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1，又M，M1分别为棱AD，A1D1的中点，∴AM＝A1M1且AM∥A1M1，∴四边形AMM1A1为平行四边形，∴MM1＝AA1且MM1∥AA1.又AA1＝BB1且AA1∥BB1，∴MM1＝BB1且MM1∥BB1，∴四边形BB1M1M为平行四边形．题型三等角定理的应用【例3-1】若，且，与方向相同，则下列结论正确的是()A．且方向相同B．，方向可能不同C．与不平行D．与不一定平行【答案】D【解析】如图，当时，且，与的方向相同，与是不一定平行，如上图所示，故选D.【例3-2】如图所示，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，已知E，E′分别是正方体ABCD-A′B′C′D′的棱AD，A′D′的中点，求证:∠BEC=∠B′E′C′.【解析】如图所示，连接EE′.因为E，E′分别是AD，A′D′的中点，所以AE∥A′E′，且AE=A′E′.所以四边形AEE′A′是平行四边形.所以AA′∥EE′，且AA′=EE′.又因为AA′∥BB′，且AA′=BB′，所以EE′∥BB′，且EE′=BB′.所以四边形BEE′B′是平行四边形.所以BE∥B′E′.同理可证CE∥C′E′.又∠BEC与∠B′E′C′的两边方向相同，所以∠BEC=∠B′E′C′.【变式3-1】不在同一个平面内的两个三角形的三组对应边分别平行，则这两个三角形（）A．一定是全等三角形 B．一定是相似但不全等的三角形C．一定是相似或全等的三角形 D．可能不全等或相似【答案】C【解析】根据等角定理可知，这两个三角形的三个角，分别对应相等，所以这两个三角形一定相似或全等.【变式3-2】已知，，，则（）A．B．或C．D．或【答案】B【解析】的两边与的两边分别平行，根据等角定理易知或.【变式3-3】如图，已知线段AA1、BB1、CC1交于O点，且eq\f(OA,OA1)＝eq\f(OB,OB1)＝eq\f(OC,OC1)，求证：△ABC∽△A1B1C1.【解析】∵AA1与BB1交于点O，且eq\f(OA,OA1)＝eq\f(OB,OB1)，∴A1B1∥AB，同理A1C1∥AC，B1C1∥BC，又∵A1B1和AB，A1C1和AC方向相反，∴∠BAC＝∠B1A1C1，同理∠ABC＝∠A1B1C1，∴△ABC∽△A1B1C1.【变式3-4】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AD，AB的中点，M，N分别为B1C1，C1D1的中点.求证：（1）MC∥A1E，A1F∥CN；（2）∠EA1F=∠NCM.【解析】证明(1)取A1D1的中点I，连接DI，MI，因为M为B1C1的中点，ABCD-A1B1C1D1为正方体，所以C1D1CD，MIC1D1，根据基本事实