2023一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型专题85 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（原卷版）-2023一轮数学讲义+题型细分与精练

专题85分类加法计数原理与分步乘法计数原理类型一、分类加法计数原理 例1.（2022·山西·芮城中学高二阶段练习）书架的第层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，从书架上任取本书，有（

）种不同取法？从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有（

）种不同取法?A．9，20 B．20，9 C．9，24 D．24，9【解题总结】应用分类计数原理，应注意：①分类时，要按一个标准来分，最忌采用双重或多重标准分类；②每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；它的起点、终点就是完成这件事情的开始和结束；例2.（2022·江苏南通·一模）某学校每天安排四项课后服务供学生自愿选择参加.学校规定：（1）每位学生每天最多选择项；（2）每位学生每项一周最多选择次.学校提供的安排表如下：时间周一周二周三周四周五课后服务音乐、阅读、体育、编程口语、阅读、编程、美术手工、阅读、科技、体育口语、阅读、体育、编程音乐、口语、美术、科技若某学生在一周内共选择了阅读、体育、编程项，则不同的选择方案共有（

）A．种 B．种 C．种 D．种类型二、分步乘法计数原理例3.（2022·全国·高三专题练习）将1，2，3，…，9这九个数字填在如图所示的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法有（

）34A．6种 B．12种 C．18种 D．24种【解题总结】解决这类问题的关键是搞清分类还是分步．用分步乘法计数原理解决问题时，首先要根据问题的特点，确定一个分步的可行标准；其次还要注意完成这件事情必须且只需连续完成这n个步骤后，这件事情才算圆满完成，这时才能使用分步乘法计数原理．同时，要弄清每一步骤中完成本步骤的方法种数．例4．（2022·辽宁·大连八中高二期末）年月日，很多人的微信圈都在转发这样一条微信：“，所遇皆为对，所做皆称心””．形如“”的数字叫“回文数”，即从左到右读和从右到左读都一样的正整数，则位的回文数共有（

）A． B． C． D．例5．（2021·上海静安·一模）已知直线的斜率大于零，其系数a、b、c是取自集合中的3个不同元素，那么这样的不重合直线的条数是（

）A．11 B．12 C．13 D．14例6．（2022·陕西武功·二模（理））假期里，有4名同学去社区做文明实践活动，根据需要，要安排这4名同学去甲、乙两个文明实践站，每个实践站至少去1名同学，每名同学只去1个实践站，则不同的安排方法共有________种．类型三、两个原理的对比应用例7.（2022·全国·高三专题练习）古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序．用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成________组．【解题总结】在用两个原理解决问题时，一定要分清完成这件事，是有，l类办法还是需分成n个步骤．应用分类加法计数原理必须要求各类中的每一种方法都保证完成这件事．应用分步乘法计数原理则是需各步均是完成这件事必须经由的若干彼此独立的步骤．例8．（2021·全国·高二课时练习）王华同学有课外参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读.（1）若他从这些参考书中带1本去图书馆，则有________种不同的带法；（2）若带外语、数学、物理参考书各1本，则有________种不同的带法；（3）若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，则有________种不同的带法.类型四、涂色问题例9．（2022·吉林·东北师大附中高二期末）如图，用四种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法的种数为______（用数字作答）例10．（2021·全国·高二单元测试）如图为我国数学家赵爽在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现提供5种颜色给其中5个小区域，，，，涂色，规定每个区域只涂1种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有______种．例11．（2021·全国·高二课时练习）如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有________种.ABC

D类型五、数字排位问题例12．（2021·全国·高二课时练习）如果一个三位正整数如“”满足且，则称这个三位数为“凸数”（如120，343，275等），那么所有三位数中“凸数”的个数为______．例13．（2021·上海市建平中学高二期末）从7张印有数字0、1、2、3、4、5、6的卡片中取出4张（数字6的卡片可以倒过来当9用），可以组成个_____无重复数字的被4整除的四位数．例14．（2021·全国·高二课时练习）从1到200的自然数中，各个数位上都不含有数字8的自然数有________个．类型六、占位模型中标准的选择例15．（2022·全国·高三专题练习）有六名同学报名参加三个智力项目，每项必报且限报一人，且每人至多参加一项，则共有________种不同的报名方法．例16．（2021·北京市景山学校通州校区高二期中）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法有_______种.（用具体数字作答）例17．（2017·重庆市合川实验中学高二期中（理））加工某个零件分三道工序，第一道工序有5人，第二道工序有6人，第三道工序有4人，从中选3人每人做一道工序，则选法有______种.类型七、列举法例18．（2022·全国·高三专题练习）小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面.他想把4个硬币摆成一摞，且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有________种.例19．（2019·江苏连云港·高二期末（理））已知，N*，满足，则所有数对的个数是____．例20．（2020·全国·高三专题练习）从1，2，3，4，7，9六个数中，任取两个数作为对数的底数和真数，则所有不同的对数值的个数为____.【同步练习】一、单选题1．（2022·山西·芮城中学高二阶段练习）书架的第层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，从书架上任取本书，有（

）种不同取法？从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有（

）种不同取法?A．9，20 B．20，9 C．9，24 D．24，92．（2022·辽宁·大连八中高二期末）年月日，很多人的微信圈都在转发这样一条微信：“，所遇皆为对，所做皆称心””．形如“”的数字叫“回文数”，即从左到右读和从右到左读都一样的正整数，则位的回文数共有（

）A． B． C． D．3．（2022·全国·高三专题练习）将1，2，3，…，9这九个数字填在如图所示的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法有（

）34A．6种 B．12种 C．18种 D．24种4．（2022·辽宁葫芦岛·高二期末）算盘是中国古代的一项重要发明．现有一种算盘（如图1），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨一珠记作数字1（如图2中算盘表示整数51）．如果拨动图1算盘中的两枚算珠，可以表示不同整数的个数为（

）A．8 B．10 C．15 D．165．（2022·江苏通州·高三期末）甲、乙、丙共3人参加三项知识竞赛，每项知识竞赛第一名到第三名的分数依次为10，5，3.竞赛全部结束后，甲获得其中两项的第一名及总分第一名，则下列说法错误的是（

）A．第二名、第三名的总分之和为29分或31分B．第二名的总分可能超过18分C．第三名的总分共有3种情形D．第三名不可能获得其中任何一场比赛的第一名6．（2022·湖南师大附中高二期末）如图，用4种不同的颜色对A，B，C，D四个区域涂色，要求相邻的两个区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法有（

）A．24种 B．48种 C．72种 D．96种7．（2022·全国·高二）甲､乙､丙､丁四名交通志愿者申请在国庆期间到三个路口协助交警值勤，他们申请值勤路口的意向如下表：交通路口ABC志愿者甲､乙､丙､丁甲､乙､丙丙､丁这4名志愿者的申请被批准，且值勤安排也符合他们的意向，若要求三个路口都要有志愿者值勤，则不同的安排方法数有（

）A．14种 B．11种 C．8种 D．5种8．（2022·全国·高三专题练习）已知某教学大楼共有四层，每层都有东、西两个楼梯，则从一层到四层不同的走法种数为（

）A．32 B．23C．43 D．249．（2022·全国·高三专题练习）某班有9名运动员，其中5人会打篮球，6人会踢足球，现从中选出2人分别参加篮球赛和足球赛，则不同的选派方案有（

）A．28种 B．30种C．27种 D．29种二、多选题10．（2022·全国·高二课时练习）某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客的乘坐站数实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如表：乘坐站数x票价/元234现有小花、小李两位乘客同时从首站乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每个站下地铁的可能性相同，则下列结论中正确的是（

）A．若小花、小李两人共花费5元，则小花、小李下地铁的方案共有9种B．若小花、小李两人共花费5元，则小花、小李下地铁的方案共有18种C．若小花、小李两人共花费6元，则小花、小李下地铁的方案共有27种D．若小花、小李两人共花费6元，则小花比小李先下地铁的概率为11．（2022·全国·高二课时练习）现有不同的黄球5个，黑球6个，蓝球4个，则下列说法正确的是（

）A．从中任选1个球，有15种不同的选法B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法D．若要不放回地选出任意的2个球，有240种不同的选法12．（2022·全国·高三专题练习）某学校高一年级数学课外活动小组中有男生7人，女生3人，则下列说法正确的是（

）A．从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有100种不同的选法B．从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有21种不同的选法C．从中选1人参加数学竞赛，共有10种不同的选法D．若报名参加学校的足球队、羽毛球队，每人限报其中的1个队，共有100种不同的报名方法13．（2022·全国·高三专题练习）甲、乙、丙、丁、戊五只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的过程中依次撞击到树枝A，B，C；（2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝D，E，F；（3）丙在下落的过程中依次撞击到树枝G，A，C；（4）丁在下落的过程中依次撞击到树枝B，D，H；（5）戊在下落的过程中依次撞击到树枝I，C，E，则下列结论正确的是（

）A．最高处的树枝为G，I中的一个B．最低处的树枝一定是FC．这九根树枝从高到低不同的顺序共有33种D．这九根树枝从高到低不同的顺序共有32种三、填空题14．（2022·吉林·东北师大附中高二期末）如图，用四种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法的种数为______（用数字作答）15．（2022·陕西武功·二模（理））假期里，有4名同学去社区做文明实践活动，根据需要，要安排这4名同学去甲、乙两个文明实践站，每个实践站至少去1名同学，每名同学只去1个实践站，则不同的安排方法共有________种．16．（2022·上海市复兴高级中学高二期末）一排有10盏灯，如果用灯亮表示数1，用灯不亮表示数0，每一种亮灯方式代表一个数据，如：0010100101表示一个数据，那么这10盏灯可以表示的数据个数是___________.17．（2022·全国·高三专题练习）有A，B，C型高级电脑各一台，甲.乙.丙.丁4个操作人员的技术等级不同，甲.乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型电脑，而丁只会操作A型电脑.从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有________种(用数字作答).18．（2022·全国·高三专题练习）有六名同学报名参加三个智力项目，每项必报且限报一人，且每人至多参加一项，则共有________种不同的报名方法．19．（2022·全国·高三专题练习）如图，从A到O有________种不同的走法(不重复过一点).四、解答题20．（2022·全国·高一课时练习）从2，3，8，9中任取两个不同的数，分别记为，，求使为整数的概率.21．（2022·全国·高三专题练习）用种不同的颜色给图中的，，，四个区域涂色，要求每个区域只能涂一种颜色.(1)有多少种不同的涂法？(2)若相邻区域不能涂同一种颜色，有多少种