2023一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型专题86 排列与组合（解析版）-2023一轮数学讲义+题型细分与精练

专题86排列与组合题型一与排列数有关的运算例1．（2022·全国·高二）若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】将展开得，化简计算即可.【详解】∵，∴，化简可得，则.故选：B例2．（2021·全国·高二单元测试）可以表示为(

)．A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据排列数的计算公式即可判断﹒【详解】＝，故选：C﹒例3．（2021·全国·高二课时练习）a∈N*，且a<27，则(27－a)(28－a)…(34－a)等于（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根据排列数的概念即可得到答案.【详解】从27－a到34－a共有34－a－(27－a)＋1＝8个数，∴(27－a)(28－a)…(34－a)＝.故选：D.题型二、组合概念及组合数公式例4．（2022·安徽宿州·高二期末）若，则n的值为（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【解析】【分析】根据给定条件利用组合数的性质计算作答【详解】因为，则由组合数的性质有，即，所以n的值为10.故选：D例5．（2021·全国·高二课时练习）等于（

）A． B．101 C． D．6【答案】D【解析】【分析】利用排列数、组合数公式及其性质即求.【详解】.故选：D.例6．（2021·全国·高二课时练习）计算＋＋＋＋的值为（

）A． B．C．－1 D．－1【答案】C【解析】【分析】利用组合数的性质即得.【详解】.故选：C.题型三、排列的定义及其理解例7．（2022·全国·高二）3张卡片的正、反两面分别写有数字1，2；3，4；5，6．将这3张卡片排成一排，可构成多少个不同的三位数？【答案】48【解析】【分析】利用分步计数原理可得．【详解】第一步：确定百位上的数字有6种可能，第二步：确定十位上的数字有4种可能，第三步：确定个位上的数字有2种可能，根据分步计数原理可得，共：．∴可构成48个不同的三位数．例8．（2021·全国·高二课时练习）用红、黄、蓝3面小旗（3面小旗都要用）竖挂在绳上表示信号，不同的顺序表示不同的信号，试写出所有的信号．【答案】答案见解析【解析】【分析】根据题意直接列举即可．【详解】根据题意，所有的信号为：红黄蓝，红蓝黄，黄红蓝，黄蓝红，蓝红黄，蓝黄红．例9．（2022·全国·高二）从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本分给甲、乙、丙三人，每人一本，试将所有不同的分法列举出来．【答案】答案见解析【解析】【分析】给“语文、数学、英语、物理”编号，依次1，2，3，4，画出树形图，然后根据树形图一一列举．【详解】解：从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本，分给甲、乙、丙三人，每人一本，相当于从4个不同的元素中任意取出3个元素，按“甲、乙、丙”的顺序进行排列，每一个排列就对应着一种分法，所以共有（种）不同的分法．不妨给“语文、数学、英语、物理”编号，依次1，2，3，4，画出树形图如图．由树形图可知，按甲、乙、丙的顺序分的分法为：语数英

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物英数题型四、组合的定义及其理解例10．（2021·全国·高二课时练习）判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数.（1）10个人相互写一封信，一共写了多少封信？（2）10个人相互通一次电话，一共通了多少次电话？（3）10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场？（4）从10个人中选3人去开会，有多少种选法？（5）从10个人中选出3人担任不同学科的课代表，有多少种选法？【答案】（1）90；（2）45；（3）45；（4）120；（5）720.【解析】【分析】具体分析每一小问的题意，确定有无顺序区别，从而知道是排列问题还是组合问题.【详解】（1）排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的，排列数为.（2）组合问题，因为甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，没有顺序区别，组合数为（3）组合问题，因为每两个队比赛一次，没有顺序的区别，组合数为（4）组合问题，因为去开会的3个人之间没有顺序的区别，组合数为（5）排列问题，因为3个人担任哪一科的课代表是有区别的，排列数为.例11．（2021·全国·高二课时练习）写出从A，B，C，D，E5个元素中，依次取3个元素的所有组合.【答案】ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE.【解析】【分析】根据条件按含A，不含A含B，不含A、B三类写出含三个元素的组合即可.【详解】含A的三个元素有：ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE，不含A含B的三个元素有：BCD、BCE、BDE，不含A、B的三个元素有：CDE，所以取3个元素的所有组合是ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE.例12．（2021·全国·高二课时练习）给出下列问题：（1）从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？（2）从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？（3）a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？（4）a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？（5）某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？（6）某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪中恰有3枪连中，不同的结果有多少种？在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？【答案】（2）（4）（6）是排列；（1（3）（5）是组合.【解析】【分析】根据排列和组合的定义进行判断即可.【详解】（1）2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题.（2）2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题.（3）单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题.（4）冠亚军是有顺序的，是排列问题.（5）命中的4枪均为2枪连中，为相同的元素，没有顺序，是组合问题.（6）命中的4枪中恰有3枪连中，即连中3枪和单中1枪，有顺序，是排列问题.题型五、位置分析法例13．（2022·吉林·东北师大附中高二期末）甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，则不同的排法有（

）A．24种 B．6种 C．4种 D．12种【答案】B【解析】【分析】由已知可得只需对剩下3人全排即可．【详解】解：甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，则只需对剩下3人全排即可，则不同的排法共有，故选：B．例14．（2022·河南濮阳·高三开学考试（理））某班开展“学党史，感党恩”演讲活动，安排四个演讲小组在班会上按次序演讲，则A组不是第一个演讲的方法数为（

）A．13 B．14 C．15 D．18【答案】D【解析】【分析】利用排除法，先计算A组是第一个演讲的方法数即得解【详解】由题意，安排四个演讲小组在班会上按次序演讲共有种情况其中A组是第一个演讲的方法数为故A组不是第一个演讲的方法数为故选：D例15．（2021·全国·绵阳中学模拟预测（理））某校为庆祝建党一百周年，要安排一场共11个节目的文艺晚会，除第1个节目和最后一个节目已经确定外，3个音乐节目要求排在2，6，9的位置，3个舞蹈节目必须相邻，3个曲艺节目没有要求，共有不同的演出顺序（

）种A．144 B．192 C．216 D．324【答案】C【解析】【分析】先排音乐节目，则舞蹈节目位置只能排在3、4、5，再排曲艺节目，然后由分步乘法计数原理可得.【详解】①先排3个音乐节目有种排法，共6种排法；②再排3个舞蹈节目只能排3、4、5位置，共种排法；③再排3个曲艺节目，共种排法；∴由分步乘法记数原理有种排法．故选：C．题型六、相邻问题捆绑法例16．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）3个学生和3个老师共6个人站成一排照相，有且仅有两个老师相邻，则不同站法的种数是_______（结果用数字表示）．【答案】【解析】【分析】根据题意，分3步进行分析：①将3个老师分成2组，并考虑2人的一组的2人之间的顺序;②将剩余的3个学生全排列，形成有4个空位；③在4个空位中任选2个安排3个老师分成的两个组，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【详解】根据题意，分3步进行分析：①将3个老师分成2组，有种分组方法，将2人的一组看成一个元素，考虑2人之间的顺序，有种情况；②将剩余的3个学生全排列，有种排法，排好后，有4个空位；③在4个空位中任选2个，安排3个老师分成的两个组，有种方法，则6人站成一排照相，3个老师中有且只有两个老师相邻的站法有种.故答案为：.例17．（2021·全国·高二课时练习）春节文艺汇演中需要将A，B，C，D，E，F六个节目进行排序，若A，B两个节目必须相邻，且都不能排在3号位置，则不同的排序方式有__________种．【答案】144【解析】【分析】将A，B捆绑，先确定A，B的位置，再将剩余节目排序，即可得出答案.【详解】解：将A，B捆绑，先确定A，B的位置，有种可能，再将剩余节目排序，有种可能，所以不同的排序方式有（种）．故答案为：144.例18．（2021·全国·高二课时练习）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的排法有______种.【答案】12【解析】【分析】根据相邻问题捆绑法求解即可.【详解】解：因为两位女同学相邻，故先排两位女同学，有种排法，再将其看作一个元素，和其他两位男生一起排列，有种排法，所以共有种排法.故答案为：题型七、不相邻问题插空法例19．（2022·辽宁丹东·高二期末）用1，2，3，4排成的无重复数字的四位数中，其中1和2不能相邻的四位数的个数为___________（用数字作答）.【答案】【解析】【分析】利用插空法计算出正确答案.【详解】先排，形成个空位，然后将排入，所以符合题意的四位数的个数为.故答案为：例20．（2022·全国·高二）新年音乐会安排了2个唱歌､3个乐器和2个舞蹈共7个节目，则2个唱歌节目不相邻的节目单共有___________种.（用数字表示）【答案】3600【解析】【分析】利用插空法即得.【详解】先排3个乐器和2个舞蹈共5个节目有种排法，其中有6个空插入2个唱歌节目，有种排法，故共有.故答案为：3600.例21．（2021·全国·高二课时练习）电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告，2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有______种．（用排列数回答）【答案】【解析】【分析】不相连排列利用插空法即可求解．【详解】先把4个商业广告排好顺序，共有种方法，再把2个公益广告插入5个空（包括两头）中，根据分步乘法计数原理，共有种方法．故答案为：题型八、定序问题例22．（2021·天津市红桥区教师发展中心高二期末）共五人站成一排，如果必须站在的右边，那么不同的排法有___________种.【答案】【解析】【分析】首先将C、D、E排序，再将作为整体插入队列中的一个空或分别插入队列中的两个空，即可得不同的排法数.【详解】1、将C、D、E排成一列，有种，2、把作为整体插入4个空中，有种，或分别插入4个空中的2个空中，有种，所以共有种.故答案为：60.例23．（2022·全国·高三专题练习）7人排队，其中甲、乙、丙3人顺序一定，共有__不同的排法.【答案】840【解析】【分析】根据题意分2步分析：先在7个位置上任取4个，安排除甲、乙、丙之外的3人，再在剩余的3个位置中安排3人，由于甲、乙、丙3人顺序一定，只有1种情况，故由分步计数原理可得答案.【详解】根据题意，假设有7个位置，对应7个人，先在7个位置中任取4个，安排除甲、乙、丙之外的4人，有种情况，由于甲、乙、丙3人顺序一定，在剩余3个位置安排3人即可，有1种情况，则共有种不同的排法；故答案为：840.例24．（2021·福建省宁德市教师进修学院高二期末）6位同学站成一排，要求甲乙丙站在一起且乙必须在甲和丙中间，则不同排法有______种．（用数字作答）【答案】48【解析】【分析】利用分步原理计算即可【详解】先根据甲乙丙站在一起且乙必须在甲和丙中间有种排法，把甲乙丙捆绑在和剩下3位同学进行排列，有种排法，所以，总共有种排法故答案为：48题型九、分组分配问题例25．（2022·山东淄博·一模）甲、乙、丙家公司承包了项工程，每家公司承包项，则不同的承包方案有______种．【答案】【解析】【分析】利用组合计数原理可得结果.【详解】甲、乙、丙家公司承包了项工程，每家公司承包项，则不同的承包方案种数为.故答案为：.例26．（2022·安徽省亳州市第一中学高二开学考试）北京冬奥会于2022年2月4日开幕，北京某大学5名同学报名到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，每个场馆至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有______种（用数字作答）.【答案】【解析】【分析】先将个人分组，然后安排到个场馆，由此计算出不同的安排方法数.【详解】若个人分为，则安排方法数有种，若个人分为，则安排方法数有种，故不同的方法数有种.故答案为：例27．（2022·黑龙江实验中学模拟预测（理））为了做好新冠肺炎疫情常态化防控工作，推进疫苗接种进度，降低新冠肺炎感染风险，某医院准备将2名医生和6名护士分配到2所学校，设立疫苗接种点，免费给学校老师和学生接种新冠疫苗，若每所学校分配1名医生和3名护士，则不同的分配方法共有______种.【答案】40【解析】【分析】任选1名医生和3名护士，将医护人员分成两组安排到2所学校即可.【详解】1、选1名医生和3名护士的方法数为种；2、由第一步得到两组医护人员，将其安排到2所学校的方法数为种.所以不同的分配方法共有种.故答案为：40题型十、隔板法例28．（2021·广东中山·模拟预测）某市举行高三数学竞赛，有6个参赛名额分给甲乙丙三所学校，每所学校至少分得一个名额，共有______种不同的分配方法.（用数字作答）【答案】10【解析】【分析】名额之间无差别，用隔板法即可得出结果.【详解】6个名额分给其他3个学校，由隔板法知有种方法，故答案为：10例29．（2022·全国·高三专题练习）方程的非负整数解共有___________组．【答案】【解析】【分析】将方程非负整数解的组数，看成相同元素分组问题，采用隔板法.【详解】将方程的解看成11个1放在3个小盒的方法，可以将11个1和3个小盒，共14个元素，分成3组，每组至少1个，采用隔板法，14个元素之间13个位置，隔2块板，共有种方法，所以方程的非负整数解共有组.故答案为：78例30．（2010·江苏启东·高二期中（理））6个相同的小球放入标号为1、2、3的3个小盒子中，要求每个盒子都不空，共有方法总数为_____．【答案】10【解析】【详解】根据题意，先将6个小球排成一列，不含两端有5个空位．原问题可以转化为在5个空位中，任取2个插入挡板，有种方法.题型十一、先选后排例31．（2021·江苏·泰州中学高二阶段练习）某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题.并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一名参与者一共有___________种不同的答题顺序.【答案】60【解析】【分析】首先将6只灯笼全排，因为每次只能取其中一串最下面的一只灯笼内的谜题，每次取灯的顺序确定，即除以内部排序即可.【详解】将6只灯笼全排，即，因为每次只能取其中一串最下面的一只灯笼内的谜题，每次取灯的顺序确定，取谜题的方法有.故答案为：60例32．（2021·江西·浮梁县第一中学高二阶段练习（理））标号为0到9的10瓶矿泉水．（1）从中取4瓶，恰有2瓶上的数字相邻的取法有多少种？（2）把10个空矿泉水瓶挂成如下4列的形式，作为射击的靶子，规定每次只能射击每列最下面的一个（射中后这个空瓶会掉到地下），把10个矿泉水瓶全部击中有几种不同的射击方案？（3）把击中后的矿泉水瓶分送给A、B、C三名垃圾回收入员，每个瓶子1角钱．垃圾回收入员卖掉瓶子后有几种不同的收入结果？【答案】（1）35种；（2）25200；（3）66.【解析】【详解】试题分析：（1）取4张红卡，其中2张连在一起，组成3个组合卡，6张白卡排成一排，插入3个组合卡，有种方法，即可得出结论；（2）一种射击方案对应于从0至9共十个数字中取2个、3个、3个、2个数字的组合，因为每组数的数字大小是固定的，数字小的挂下面，可得结论；（3）由于A、B、C所得钱数与瓶子编号无关，他们所得钱数只与所得瓶子个数有关，即可得出结论试题解析：（1）取4张红卡,其中有2张连在一起,组成3个组合卡,6张白卡排成一排,插入3个组合卡,有种方法,然后在卡片上从左到右依次编号,取出红色卡,一种插法对应一种取数字的方法,所以共有35种.（2）一种射击方案对应于从0至9共十个数字中取2个、3个、3个、2个数字的组合,因为每组数的数字大小是固定的,数字小的挂下面.所以共有.（3）由于A、B、C所得钱数与瓶子编号无关,他们所得钱数只与所得瓶子个数有关.所以.考点：考查排列、组合的实际应用题型十二、分堆问题例33．（2021·全国·高二单元测试）已知有6本不同的书.（1）分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？（2）分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？（3）分给甲､乙､丙三人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种不同的分配方法？【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）通过组合的定义，按照平均分组的原则方法即可得到答案；（2）通过组合的定义，按照不平均分组的原则即可得到答案；（3）在（2）的基础上进行全排列即可.【详解】（1）6本书平均分成3堆，不同的分堆方法的种数为.（2）从6本书中，先取1本作为一堆，再从剩下的5本中取2本作为一堆，最后3本作为一堆，不同的分堆方法的种数为（3）在（2）的分堆中，甲､乙､丙三人任取一堆，不同的分配方法的种数为.例34．（2022·全国·高三专题练习）现有大小相同的只球，其中只不同的红球，只不同的白球，只不同的黑球．（1）将这只球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，有多少种排列的方法?（请用数字作答）（2）将这只球分成三堆，三堆的球数分别为：，共有多少种分堆的方法?（请用数字作答）（3）现取只球，求各种颜色的球都必须取到的概率．（请用数字作答）【答案】（1）种；（2）种；（3）.【解析】【分析】（1）用捆绑法求解；（2）运用不平均分组问题的方法求解；（3）针对取出个红球，个不同的白球，个的黑球；个红球，个白球，个黑球；个红球，个白球，个黑球三种情况讨论.【详解】解：（1）只球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，共有种方法；（2）将这只球分成三堆，三堆的球数分别为：，共有种分法；（3）当取出个红球，个的白球，个的黑球时，；当取出个红球，个白球，个黑球时，；当取出个红球，个白球，个黑球时，；.故各种颜色的球都必须取到的概率为．【点睛】本题考查排列与组合、古典概型概率的计算问题，难度一般.一般地，解答排列问题时要注意一些模型的应用，如捆绑法、插空法、分组分配问题等.题型十三、间接法例35．（2020·海南·三亚华侨学校高二阶段练习）从5名男生和4名女生中选出4人去参加座谈会，问：（1）如果4人中男生和女生各选2人，有多少种选法？（2）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有多少种选法？【答案】（1）60；（2）91【解析】【分析】（1）根据题意，分别计算“从5名男生中选出2人”和“从4名女生中选出2人”的选法数目，由分步计数原理计算可得答案；（2）用间接法分析：先计算在9人中任选4人的选法数目，再排除其中“甲乙都没有入选”的选法数目，即可得答案；【详解】解：（1）根据题意，从5名男生中选出2人，有种选法，从4名女生中选出2人，有种选法，则4人中男生和女生各选2人的选法有种；（2）先在9人中任选4人，有种选法，其中甲乙都没有入选，即从其他7人中任选4人的选法有种，则甲与女生中的乙至少要有1人在内的选法有种；【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于中档题.例36．（2021·江苏·连云港市赣马高级中学高二阶段练习）现有9名学生，其中女生4名，男生5名.（1）从中选2名代表，必须有女生的不同选法有多少种？（2）从中选出男、女各2名的不同选法有多少种？（3）从中选4人分别担任四个不同岗位的志愿者，每个岗位一人，且男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内，有多少种安排方法？【答案】（1）26；（2）60；（3）2184【解析】【分析】（1）采用间接法；（2）采用直接法；（3）先用间接法求出从中选4人，男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内的选法种数，再分配到四个不同岗位即可.【详解】（1）从中选2名代表，没有女生的选法有种，所以从中选2名代表，必须有女生的不同选法有种.（2）从中选出男、女各2名的不同选法有种.

（3）男生中的甲与女生中的乙至少有1人被选的不同选法有种，将这4人安排到四个不同的岗位共有种方法，故共有种安排方法.【点睛】本题考查排列与组合的综合问题，考查学生的逻辑思想能力，是一道基础题.例37．（2021·河北·河间市第十四中学高二期中）现有男选手名，女选手名，其中男女队长各名.选派人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？（结果用数字表示）（1）男选手名，女选手名；（2）至少有名男选手；（3）既要有队长，又要有男选手.【答案】（1）30；（2）65；（3）51.【解析】【分析】（1）先选两名男选手，再选两名女选手，乘法原理得到答案.（2）用总的选择方法减去全是女选手的方法得到答案.（3）分为有男队长和没有男队长两种情况，相加得到答案.【详解】(1)第一步：选名男运动员，有种选法.第二步：选名女运动员，有种选法.共有(种)选法.(2)至少有名男选手”的反面为“全是女选手”.从人中任选人，有种选法，其中全是女选手的选法有种.所以“至少有名女运动员”的选法有(种).(3)当有男队长时，其他人选法任意，共有种选法.不选男队长时，必选女队长，共有种选法，其中不含男选手的选法有种，所以不选男队长时，共有种选法.故既要有队长，又要有男选手的选法有(种).【点睛】本题考查了排列组合问题的计算，意在考查学生的计算能力和解决问题的能力.题型十四、多面手问题例38．（2015·陕西宝鸡·高二期末）某出版社的11名工人中，有5人只会排版，4人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从11人中选4人排版，4人印刷，有多少种不同的选法？【答案】185种.【解析】【详解】试题分析：根据分类加法计数原理，这个问题可按只会印刷的四人作为分类标准：第一类：只会印刷的4人全被选出，有种；第二类：从只会印刷的4人中选出3人，有种；第三类：从只会印刷的4人中选出2人，即可.试题解析：将只会印刷的4人作为分类标准，将问题分为三类：第一类：只会印刷的4人全被选出，有种；第二类：从只会印刷的4人中选出3人，有种4；第三类：从只会印刷的4人中选出2人，有种.所以共有（种）.考点：分类加法计数原理、组合.例39．（2019·江西·宜春九中高二期中（理））（1）把本不同的书分给位学生，每人至少一本，有多少种方法？（2）由这个数字组成没有重复数字的四位偶数由多少个？（3）某旅行社有导游人，其中人只会英语，人只会日语，其余人既会英语，也会日语，现从中选人，其中人进行英语导游，另外人进行日语导游，则不同的选择方法有多少种？【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）分为和两类分别计算，加和得到结果；（2）分为个位是和个位不是两类分别计算，加和得到结果；（3）分为只会英语的人中选了人作英语导游、选了人作英语导游和选了人作英语导游三类分别计算，加和得到结果.【详解】（1）把本不同的书分给位学生，每人至少一本，有和两类分配方式为时，共有：种分法分配方式为时，共有：种分法由分类加法计数原理可得，共有：种分法（2）若个位是，共有：个若个位不是，共有：个由分类加法计数原理可得，共有：个（3）若只会英语的人中选了人作英语导游，共有：种选法若只会英语的人中选了人作英语导游，共有：种选法若只会英语的人中选了人作英语导游，共有：种选法由分类加法计数原理可得，共有：种选法【点睛】本题考查排列组合的综合应用问题，涉及到分组分配问题、元素位置有限制的排列组合问题等知识，关键是能够根据题目的要求进行合理的分类，最终通过分类加法计数原理得到结果.题型十五、几何问题例40．（2021·全国·高二课时练习）(1)平面内有10个点，以其中2个点为端点的线段共有多少条？(2)平面内有10个点，以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？【答案】(1)45(2)90【解析】【分析】（1）利用组合数公式即得；（2）利用排列数公式即得.(1)以平面内10个点中2个点为端点的线段的条数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即线段共有（条）.(2)由于有向线段的两个端点中一个为起点，另一个为终点，以平面内10个点中2个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的排列数，即有向线段共有（条）.例41．（2022·全国·高三专题练习）1.如图，已知图形ABCDEF，内部连有线段.（用数字作答）(1)由点A沿着图中的线段到达点E的最近路线有多少条？(2)由点A沿着图中的线段到达点C的最近路线有多少条？(3)求出图中总计有多少个矩形？【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】（1）由题意转化条件为点A需向右移动3次、向上移动3次，结合组合的知识即可得解；（2）设出直线上其它格点为、、，按照、、、分类，结合分步乘法、组合的知识即可得解；（3）由题意转化条件为从竖线中选出两条、横线中选出两条组成图形，按照矩形的边在不在上分类，利用分步乘法、组合的知识即可得解.(1)由题意点A沿着图中的线段到达点E的最近路线需要移动6次：向右移动3次，向上移动3次，故点A到达点E的最近路线的条数为；(2)设点、、的位置如图所示：则点A沿着图中的线段到达点C的最近路线可分为4种情况：①沿着，共有条最近路线；②沿着，共有条最近路线；③沿着，共有条最近路线；④沿着，共有条最近路线；故由点A沿着图中的线段到达点C的最近路线有条；(3)由题意，要组成矩形则应从竖线中选出两条、横线中选出两条，可分为两种情况：①矩形的边不在上，共有个矩形；②矩形的一条边在上，共有个矩形；故图中共有个矩形.例42．（2021·河北·魏县第六中学高二阶段练习）已知平面α∥平面β，在α内有4个点，在β内有6个点．（1）过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同的平面？（2）以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？（3）（2）中的三棱锥最多可以有多少个不同体积？【答案】（1）98(个)；（2）194(个)；（3）114个．【解析】【分析】（1）分情况讨论：α内1点，β内2点确定的平面；α内2点，β内1点确定的平面；α，β本身，有2个，利用组合数即可求解.（2）分情况讨论：α内1点，β内3点确定的三棱锥；α内2点，β内2点确定的三棱锥；α内3点，β内1点确定的三棱锥，（3）根据当等底面积、等高时，三棱锥的体积相等即可求出结果.【详解】解：（1）所作出的平面有三类．①α内1点，β内2点确定的平面，最多有个．②α内2点，β内1点确定的平面，最多有个．③α，β本身，有2个．故所作的平面最多有＋＋2＝98(个)．（2）所作的三棱锥有三类．①α内1点，β内3点确定的三棱锥，最多有个．②α内2点，β内2点确定的三棱锥，最多有个．③α内3点，β内1点确定的三棱锥，最多有个．故最多可作出的三棱锥有＋＋＝194(个)．（3）当等底面积、等高时，三棱锥的体积相等．所以体积不相同的三棱锥最多有＋＋＝114(个)．故最多有114个体积不同的三棱锥．【同步练习】一、单选题1．（2022·全国·高二单元测试）为庆祝中国共产党成立100周年，重温党的光辉历程，歌颂党的伟大成就，继承和发扬党的优良革命传统，充分展现当代中学生爱党､爱国､爱社会主义的深厚情怀，我校计划举办2021年“荔枝杯”中学生演讲比赛，要求从5名男生，2名女生中随机选出4人进行现场比赛，且至少要选1名女生，如果2名女生同时被选中，她们的演讲顺序不能相邻，那么不同的演讲顺序共有（

）A．120种 B．480种 C．600种 D．720种【答案】C【解析】【分析】由题设知：选出的男女可能组合为，再应用排列组合数计算不同演讲顺序的可能情况种数即可.【详解】由题设，选出的男女组合有两种情况：当男女为组合，演讲顺序为种；当男女为组合，演讲顺序为种；所以一共有600种.故选：C2．（2022·辽宁·瓦房店市高级中学高二期末）某高中从3名男教师和2名女教师中选出3名教师，派到3个不同的乡村支教，要求这3名教师中男女都有，则不同的选派方案共有（

）种A．9 B．36 C．54 D．108【答案】C【解析】【分析】根据给定条件利用排列并结合排除法列式计算作答.【详解】从含有3名男教师和2名女教师的5名教师中任选3名教师，派到3个不同的乡村支教，不同的选派方案有种，选出3名教师全是男教师的不同的选派方案有种，所以3名教师中男女都有的不同的选派方案共有种故选：C3．（2022·陕西榆林·一模（理））已知某班英语兴趣小组有4名男生和3名女生，从中任选2人参加该校组织的英语演讲比赛，则恰有1名女生被选到的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据题意求得基本事件的总数，以及所求事件中所包含基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，从这7名学生中任选2人，共有种选法，其中恰有1名女生被选到的选法有种，所以恰有1名女生被选到的概率是．故选：C.4．（2022·全国·模拟预测）甲、乙两名同学从生物、地理、政治、化学中各选两门进行学习，若甲、乙不能同时选生物，则甲、乙总的选法种数有（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】分别求出甲选生物和甲不选生物时，甲、乙的选法种数，然后利用加法计数原理即可.【详解】当甲选生物，乙不选生物时，甲、乙的选法有种；当甲不选生物，乙随便选，甲、乙的选法有种，则甲、乙总的选法有种．故选：.5．（2022·北京·101中学高二期末）从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同数字构成平面直角坐标系内点的横、纵坐标，其中不在轴上的点有（

）A．36个 B．30个 C．25个 D．20个【答案】C【解析】【分析】根据点不在y轴上，分2类根据分类加法计数原理求解.【详解】因为点不在轴上，所以点的横坐标不能为0，分两类考虑，第一类含0且为点的纵坐标，共有个点，第二类坐标不含0的点，共有个点，根据分类加法计数原理可得共有个点.故选：C6．（2022·北京八中高二期末）为迎接第24届冬季奥运会，某校安排甲、乙、丙、丁、戊共5名学生担任冰球、冰壶和短道速滑三个项目的志愿者，每个比赛项目至少安排1人，每人只能安排到1个项目，则所有排法的总数为（

）A．60 B．120 C．150 D．240【答案】C【解析】【分析】结合排列组合的知识，分两种情况求解.【详解】当分组为1人,1人,3人时，有种，当分组为1人，2人，2人时有种，所以共有种排法.故选：C7．（2022·山东潍坊·高三期末）如图，某类共享单车密码锁的密码是由4位数字组成，所有密码中，恰有三个重复数字的密码个数为（

）A．90 B．324 C．360 D．400【答案】C【解析】【分析】先考虑重复的那个数字在其中三个位置上，再安排剩下的那个位置上的数字，根据分步乘法原理可得答案.【详解】根据题意，四个位置上恰有三个重复数字，可分两步完成，第一步从10个数字中任选一个安排在三个位置上，共有种情况，第二步在剩下的9个数字中任选一个安排在剩下的那个位置上，有9种情况，故共有种，即密码个数为360个，故选：C8．（2022·辽宁沈阳·高二期末）有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（

）A．分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有15种分法；B．分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有180种分法；C．分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，共有90种分法；D．分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有1080种分法；【答案】D【解析】【分析】根据题意，分别按照选项说法列式计算验证即可做出判断.【详解】选项A，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有种分配方法，故该选项错误；选项B，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，一人4本，另两人各1本，先将6本书分成4-1-1的3组，再将三组分给甲乙丙三人，有种分配方法，故该选项错误；选项C，6本不同的书分给甲乙每人各2本，有种方法，其余分给丙丁每人各1本，有种方法，所以不同的分配方法有种，故该选项错误；选项D，先将6本书分为2-2-1-1的4组，再将4组分给甲乙丙丁4人，有种方法，故该选项正确.故选：D.二、多选题9．（2022·福建·莆田第二十五中学高二期末）在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有（

）A．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种B．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种C．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种D．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种【答案】ACD【解析】【分析】根据给定条件利用含有限制条件的组合问题，逐一分析各选项判断作答.【详解】对于A，B，抽1件不合格品有种，再抽2件合格品有种，由分步计数乘法原理知，抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种，A正确，B不正确；对于C，至少有1件是不合格品有两类：1件是不合格品的抽法有种，2件是不合格品的抽法有种，由分类加法计数原理知，抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种，C正确；对于D，至少有1件是不合格品的抽法可以用排除法，从100件产品中任意抽出3件有种，抽出3件全是合格品有种，抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有()种，D正确.故选：ACD10．（2022·福建漳州·高二期末）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某校计划在社会实践中开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每天开设一门，连续开设6天，则下列结论正确的是（

）A．从六门课程中选两门的不同选法共有20种B．课程“数”不排在最后一天的不同排法共有600种C．课程“礼”、“书”排在相邻两天的不同排法共有240种D．课程“乐”、“射”、“御”排在都不相邻的三天的不同排法共有72种【答案】BC【解析】【分析】根据给定条件利用排列、组合知识，逐项分析计算判断作答.【详解】对于A，从六门课程中选两门的不同选法有种，A不正确；对于B，前5天中任取1天排“数”，再排其它五门体验课程共有种，B正确；对于C，“礼”、“书”排在相邻两天，可将“礼”、“书”视为一个元素，不同排法共有种，C正确；对于D，先排“礼”、“书”、“数”，再用插空法排“乐”、“射”、“御”，不同排法共有种，D不正确.故选：BC11．（2022·福建宁德·高二期末）使不等式成立的n的取值可以是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】ABC【解析】【分析】根据给定条件结合组合的意义、组合数公式列式解不等式作答.【详解】在中，，在中，，即有，因，则有，即，解得，因此有，，所以n的取值可以是3或4或5.故选：ABC12．（2022·全国·高二）下列等式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】【分析】根据排列组合数的计算公式依次对选项整理变形，分析可得答案.【详解】根据组合数公式得，则A错误；根据排列数公式得．，则B正确；根据排列数公式得，则C正确；根据组合数公式得，，即，则D正确．故选：BCD三、填空题13．（2022·贵州铜仁·模拟预测（理））在2022年北京冬奥会和冬残奥会城市志愿者的招募项目中，有一个“国际服务”项目截止到2022年1月25日还有8个名额空缺，需要分配给3个单位，则每个单位至少一个名额且各单位名额互不相同的分配方法种数是_____________.【答案】12【解析】【分析】首先确定各单位名额互不相同的分配方式种数，再应用全排列求每种方式的分配方法数，即可得结果.【详解】各单位名额互不相同，则8个名额的分配方式有、两种，对于其中任一种名额分配方式，将其分配给3个单位的方法有种，所以每个单位至少一个名额且各单位名额互不相同的分配方法种数为种.故答案为：12.14．（2022·北京八中高三开学考试）某个密室逃脱游戏的一个环节是要打开一个密码箱，已知该密码箱的密码由四个数字组成（每格都可以出现0~9十个数字），且从之前的游戏环节得知，该密码的四个数字互不相同，且前两个数字均大于6，最后两个数字均小于5.该密码的可能的情况数为______（请用数字作答）.【答案】120【解析】【分析】根据给定条件求出密码的前两个与后两个的排法数，再利用分步计数乘法原理计算作答.【详解】依题意，从7，8，9中任取2两个不同数字排前两位有种，从0，1，2，3，4中任取2两个不同数字排后两位有，由分步计数乘法原理得：，所以该密码的可能的情况数为120.故答案为：12015．（2022·福建龙岩·高二期末）已知，则正整数___________.【答案】6【解析】【分析】根据组合数和排列数的运算即可求得答案.【详解】由题意，，得.故答案为：6.16．（2022·全国·高三专题练习）我们想把9张写着1~9的卡片放入三个不同盒子中，满足每个盒子中都有3张卡片，且存在两个盒子中卡片的数字之和相等，则不同的放法有___________种.【答案】198【解析】【分析】首先列出至少有两个卡片之和相等的盒子的情况，然后利用全排列即可求解.【详解】由题意可知，设存在的这两个盒子中卡片的数字之和相等，设其相等的和为．当时，共有1种情况，即；当时，共有3种情况，即，，{(1，5，6)，(2，3，7)}；当时，共有5种情况，即，，，，；当时，共有7种情况，即，，，，，，；当时，共有2种情况，即，；当时，共有7种情况，即，，，，，，；当时，共有5种情况，即，，，，{(1，7，9)，(3，6，8)}；当时，共有2种情况，即，；当x＝19时，共有1种情况，即{(3，7，9)，(5，6，8)}；综上所述，共有1＋3＋5＋7＋2＋7＋5＋2＋1＝33(种)情况，∴不同的放法共有：种．故答案为：198．四、解答题17．（2022·全国·高三专题练习）某城市由条东西方向的街道和条南北方向的街道组成一个矩形街道网，要从处走到处，使所走的路程最短，有多少种不同的走法？【答案】【解析】【分析】利用分步计数原理即可求解.【详解】解：将相邻两个交点之间的街道称为一段，那么从到需要走段，而这些段中，必须有东西方向的段，其余的为南北方向的段，所以共有种走法.18．（2022·全国·高二）已知一个两位数中的每个数字都从1，2，3，4中任意选取.(1)如果两位数中的数字不允许重复使用，那么能得到多少个不同的两位数？(2)如果两位数中的数字允许重复使用，那么能得到多少个不同的两位数？【答案】(1)12个(2)16个【解析】【分析】（1）因为数字不允许重复，所以可用排列数公式求解；（2）因为数字允许重复，所以用分步相乘计数原理计算求解即可.(1)因为两位数中的数字不允许重复使用，所以一个两位数相当于从1，2，3，4中任意取2个数的排列，故有个，所以可以得到12个不同的两位数.(2)因为两位数中的数字允许重复使用，所以确定两位数分两步，每步有4种方法，利用分步相乘原理有个，所以可以得到16个不同的两位数.19．（2022·全国·高二）把6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中，求下列方法的种数．(1)每个盒子都不空；(2)恰有一个空盒子；(3)恰有两个空盒子．【答案】(1)10(2)40(3)30【解析】【分析】（1）先把6个相同的小球排成一行，在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，结合组合数的计算公式，即可求解.（2）先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，即可求解.（3）先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙插一块隔板，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒，结合组合数的计算公式，即可求解.(1)解：先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，共有（种）方法．(2)解：恰有一个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如，有种插法；然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如，有种插法，故共有（种）方法．(3)解：恰有两个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙插一块隔板，有种插法，如，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒．①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，如，有种插法．②将两块板与前面三块板之一并放，如，有种插法．故共有（种）方法．20．（2022·全国·高三专题练习）从1到6的六个数字中取两个偶数和两个奇数组成没有重复数字的四位数.试问：(1)能组成多少个不同的四位数？(2)四位数中，两个偶数排在一起的有几个？(3)两个偶数不相邻的四位数有几个？（所有结果均用数值表示）【答案】(1)216(2)108(3)108【解析】【分析】（1）分三步完成：第一步，取两个偶数，第二步，取两个奇数，第三步，将取出的四个数全排列，最后利用分步计数原理求解；（2）分三步完成：第一步，取两个偶数，第二步，取两个奇数，第三步，将两个偶数看作一个整体与两个奇数排列，最后利用分步计数原理求解；（3分三步完成：第一步，取两个偶数，第二步，取两个奇数，第三步，先将两个奇数排列，再从三个空中选两个空，将两个偶数排列上，最后利用分步计数原理求解.(1)解：分三步完成：第一步，取两个偶数，有种方法，第二步，取两个奇数，有种方法，第三步，将取出的四个数全排列，有种方法，由分步计数原理得：共能组成个不同的四位数；(2)解：分三步完成：第