2023-2024学年陕西省西安交大附中高二（下）第一次月考数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年陕西省西安交大附中高二（下）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a=(2,3)，A.2 B.2 C.17 2.下列各式中结果为零向量的是(

)A.AB+MB+BO+O3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2=bA.π6 B.π3 C.2π4.已知tanα，tanβ是方程x2+3A.π3 B.−23π C.π3或−5.已知向量a，b不共线，且向量c=λa+b，d=a+(2A.1 B.−12 C.1或−12 6.如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥BD，△BCA.[−6,0]

B.[−7.已知O是△ABC所在平面内一点，且点O满足OA⋅(ABA.外心 B.重心 C.内心 D.垂心8.平面内不同的三点O，A，B满足|OA|=|AB|=4，若A.6 B.23 C.2二、多选题：本题共4小题，共16分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.cos2α=1+cos210.设θ∈(0,π)，向量aA.a,b必不互为平行向量 B.a,b必不互为垂直向量

C.存在θ，使a11.如图，设Ox，Oy是平面内相交成120°角的两条数轴，e1,e2分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量.若向量OP=a=xe1+yeA.a⋅b=−6 B.|a|=312.已知点P是△ABC所在平面内一点，且AP=2xAA.若x=y=12，则点P是边BC的中点

B.若点P是边BC上靠近B点的三等分点，则x=y=13

C.若2x+y=2，则三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。13.若sin(x−π6)=14.若向量a=(4,0)，b=(115.已知向量a=(1,2)，b=(x,116.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=π6，a=2，⊙O为△ABC的外接圆，OP=mOB+nOC．

(1)四、解答题：本题共6小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

在平面直角坐标系xOy中，已知点A(4,0)，B(1,m)(m>0)，|AB18.(本小题8分)

已知在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且cosA(3sinA−c19.(本小题10分)

如图，A，B，C为山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得这三点的俯角分别为α=30°，β=45°，γ=30°，现计划沿直线AC开通一条穿山隧道DE，经测量AD=100m，BE=33m，BC=100m20.(本小题10分)

在△ABC中，点D，E分别在边BC和边AB上，且DC=2BD，BE=2AE，AD交CE于点P，设BC=a，BA=b．

(1)若EP=tEC，试用a，b和实数21.(本小题10分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2sinA−sinCsinC=a2+b2−c2a222.(本小题10分)

已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示，点B，D，F为f(x)与x轴的交点，点C，E分别为f(x)的最高点和最低点，而函数f(x)的相邻两条对称轴之间的距离为2，且其在x=−12处取得最小值．

(1)求参数ω和φ的值；

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：∵a=(2,3)，b=(3,2)，

∴22.【答案】D

【解析】解：对A，∵AB+MB+BO+OM=AB+MB+BM=AB，∴A错误；

对B，∵AB−AD−D3.【答案】C

【解析】【分析】

本题给出三角形边的平方关系，求角A的大小．考查了余弦定理和特殊角的三角函数值等知识，属于基础题．

由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA的式子与题中等式加以比较，可得cosA=−12，结合A是三角形的内角，可得A的大小．4.【答案】B

【解析】解：依题意可知tanα+tanβ=−33，tanα⋅tnaβ=4

∴tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=5.【答案】B

【解析】解：∵向量a，b不共线，且向量c=λa+b，d=a+(2λ−1)b，c与d反向，

∴存在实数k使c=kd(k<0)，

于是λa+b=k[a+(2λ−1)b].

整理得λa+b=ka+(26.【答案】C

【解析】解：由题意可知，△BCD为等边三角形，则有∠DBC=60°，∠ABD=30°，

在Rt△ABD中，AD=BD×tan30°=23×33=2,AB=2AD=4；

如图以B为原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，

则有A(0,4)7.【答案】C

【解析】解：因为OA⋅(AB|AB|−AC|AC|)=0，所以OA⋅AB|AB|=OA⋅AC|AC|，

则|OA|⋅|AB||AB|cos(π−∠OAB)=8.【答案】C

【解析】解：如图，设OC=mOB(0≤m≤1)，则点C在线段OB上运动，

所以|mOB−OA|=|OC−OA|=|AC|，

设BD=14BA，则|BD|=14|BA|=1，

所以|(1−m)BO−14BA|=|(m−1)BO−BD|=9.【答案】AB【解析】解：对于A，右边=1+2cos2α−12=cos2α，正确；

对于B，右边=sin2α2+cos2α2−2sinα2cosα2=10.【答案】AD【解析】解：若a//b，则sinθcos2θ−cosθsin2θ=0，即sin(θ−2θ)=0，可得sin(−θ)=0，即sinθ=0，

结合θ∈(0,π)，可知不存在满足条件的角θ，使a//b，故A项正确；

若a⊥b，则sinθsin2θ+cosθcos2θ=0，即cos(θ−2θ)11.【答案】AB【解析】解：由向量e1,e2分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量且<e1,e2>=120°，

可得e1⋅e2=|e1||e2|cos120°=−12，

因为a=(2,1)=2e1+e2,b=12.【答案】BC【解析】解：对于A，若P为边BC的中点，则2x=y=12，即x=14，y=12，A错误；

对于B，若点P是边BC上靠近B点的三等分点，则2x=23，y=13，

即x=y=13，故B正确；

对于C，若2x+y=2，则y=2−2x，

所以AP=2xAB+yAC=2xAB+(2−2x)AC，

延长AB到点D使得AB=BD，延长AC到点E使得AC=CE，则B，C分别为AD，AE的中点，

所以AD=2AB，AE=2AC，

所以AP13.【答案】79【解析】解：若sin(x−π6)=−13，

则sin(14.【答案】(1【解析】【分析】本题考查了投影向量的计算公式，向量数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题．

根据投影向量的计算公式求出答案即可．【解答】

解：∵a=(4,0),b=(115.【答案】{x【解析】解：∵<a,b>为锐角，

∴a⋅b>0，且a,b不共线，

∴x+2>01−2x≠0，解16.【答案】23

【解析】解：∵A=π6,a=2，圆O为△ABC的外接圆，

∴2R=asinA=212=4⇒R=2,∠BOC=2∠A=60°,OB=OC=2，

(1)若m=n=1，则OP=OB+OC，

OP2=(OB+OC)2=OB2+OC2+2OB⋅OC=12⇒|OP|=23，

(2)若m，n∈[0,1]，则点P17.【答案】解：(1)因为A(4,0)，B(1,m)，所以AB=(−3,m)，

故|AB|2=9+【解析】(1)先求出AB=(−3,18.【答案】解：(1)因为cosA(3sinA−cosA)=12，

即3sinAcosA−cos2A=32sin2A−12(1+cos【解析】(1)由二倍角的正弦公式和余弦公式、两角差的正弦公式化简已知等式，由特殊角的正弦函数值可得所求角；

(2)由三角形的面积公式和余弦定理，解方程可得b，19.【答案】解：(1)由题意知，∠BPC=β−γ=45°−30°=15°，∠PBC=180°−β=135°，

所以∠PCB=180°−15°−135°=30°；

在△【解析】本题考查了解三角形的实际应用问题，也考查了数学建模、数学运算的数学核心素养，是中档题．

(1)根据题意求出∠PCB，在△PCB中运用正弦定理求出PB的长；20.【答案】解：(1)由题意BE=23BA=23b，所以EC=EB+BC=a−23b，

BP=BE+EP=BE+tEC=23b+t(a−23b)=ta【解析】(1)根据向量加减法运算即可；

(2)根据向量相等，列方程组即可表示BP；21.【答案】解：(1)∵2sinA−sinCsinC=a2+b2−c2a2+c2−b2，

∴2a−cc=a2+b2−c2a2+c2−b2，

∴a2+c2−b2=ac，

∴cosB=a2+c2−b22ac=1【解析】(1)由正弦定理化简2sinA−sinCsinC=a2+b2−c2a222.【答案】解：(1)∵f(x)的相邻两条对称轴之间的距离为2，

∴T2=2⇒T=4，