理解若尔当标准形：读清华大学《线性代数与几何（上、下）》

理解若尔当标准形：读清华大学《线性代数与几何（上、下）》“高等代数”课程是大学数学系一门非常重要的基础课程，通过这门课程的学习，可以使大学低年级学生初步掌握线性代数的基本知识和方法，培养基本的逻辑推理能力，并且了解代数与几何之间深刻的内在关联，同时为后面学习其他数学系基础课程打下必要的基础。高等代数的主要内容是线性代数，其内容在历史上经过了较长时间的教学积累而慢慢形成的。目前已经成熟的高等代数课程主要包括了以下的内容：多项式-行列式-矩阵论初步-矩阵的秩与线性方程组-二次型-线性空间-线性变换-相似矩阵与若尔当标准形-欧氏空间高等代数课程体系的逻辑结构极其严谨，内容比较抽象。实践证明，从几何的角度来学习高等代数，非常有利于用直观的几何形象来揭示高等代数概念高度浓缩的内涵，使学生更好地理解所学的抽象理论，同时也使原来非常紧密的的高等代数课程结构得到了有效的疏解。另一方面，我们也可以在很大程度上把高等代数（特别是线性空间和线性变换的理论）看成是高维空间的“解析几何”，这样就为高等代数的抽象理论提供了几何学背景的想法。如果站在大学低年级学生的角度来考虑，对于求解线性方程组、二次型及其矩阵的特征值等问题，还是比较容易理解的。我们可以从这些历史上经典的数学题材出发，引入多项式、行列式、矩阵和二次型理论等最基本内容。但是从线性空间开始的后半部分课程的内容，一般来说就比较难以理解了，此时需要综合运用在前半部分课程中学到的内容，并且在抽象数学思维的水平上有一个相当大的提升。在线性空间与线性变换的理论中，核心的内容是将线性空间分解为不变子空间的直和，从中可以推导出矩阵对角化的一般结果——若尔当标准形。1．矩阵对角化问题的起源线性代数的历史可以给出学习线性空间与线性变换理论的思想动机。在线性代数的历史发展进程中，二次型及其矩阵的特征值起到了突出的作用，这是因为它直接引导出后续的“矩阵对角化”这一线性代数的中心主题。在18世纪，数学家们解决了二次曲面方程中的二次型化简问题。到19世纪的初期，柯西引入了一般的个变量的二次型，可以求得实对称矩阵的个实特征值及它们所对应的相互正交的单位特征向量，再以这个特征向量作为列向量，构造出阶正交矩阵.由可知从而就得到了关键的“矩阵对角化等式”：如果对二次型作正交线性替换，则由上式可得上述等式就是柯西所得到的维几何空间中的主轴定理（也称为“谱定理”），它使得在作了正交线性替换后得到的新二次型中，每个平方项的系数都是二次型矩阵的特征值。主轴定理的本质体现在了矩阵对角化等式中，即相当于是将二次型的对称矩阵相似变换成了对角矩阵。到了20世纪初，希尔伯特将实二次型的主轴定理从有限维的欧氏空间进一步推广到了无限维的希尔伯特空间，得到了自伴算子的谱分解定理，从而为接下来将要诞生的量子力学奠定了必要的数学基础。2.若尔当标准形定理及其证明的方法一般对任意阶矩阵来说，如果存在对角矩阵和可逆矩阵，使得以下等式成立那么我们就称可以对角化（也称相似于）。然而在所有的矩阵中，可以对角化的矩阵只占少数。对于不能够对角化的矩阵，法国数学家若尔当（Jordan）在1870年证明了：总是可以使其相似于一种“最接近对角矩阵的简单矩阵”，它就是若尔当标准形：其中的阶矩阵是若尔当块，也就是存在可逆矩阵，使得这个著名结论被称为若尔当标准形定理。这样就完整地解决了所有矩阵的对角化问题。若尔当标准形定理的证明可以说是高等代数课程中最复杂的一个证明，该定理的证明方法有好几种，它们大致可以分为两类：代数证明方法（即

-矩阵方法）和几何证明方法。国内大多数的高等代数教材都是用代数证明方法（其最早的来源是前苏联的高等代数教材）。代数证明方法的基本思路是：“将两个矩阵是否相似的问题转化为它们的特征矩阵是否可以运用初等变换使其等价的问题，即通过仔细化简若尔当标准形矩阵的特征矩阵，求出若尔当标准形中的所有若尔当块的初等因子，由于等价的特征矩阵具有相同的初等因子，这样就能够用初等变换的方法来求出所有阶方阵的特征矩阵的初等因子，由此就可以求出的若尔当标准形。”虽然代数证明方法的优点是比较方便若尔当标准形的计算，但是其缺点也是很明显的：那就是代数证明的过程冗长复杂（证明往往占据一章的篇幅）。即便一个学生能够完全弄明白这个代数证明的全部推导细节，他（或她）也可能不清楚这个证明背后的线性变换几何图景。为此一些主要采用代数证明方法的教材会在讲完证明后，再补充介绍若尔当标准形定理的几何证明的基本想法。为了使学生能够真正理解若尔当标准形的几何内涵，一个比较理想和自然的讲法是：在讲完线性空间和线性变换的基本理论后，直接运用线性变换的语言来讲若尔当标准形定理的几何证明。由清华大学俞正光、鲁自群、林润亮这三位老师编写的《线性代数与几何（上、下）》就是这样一套比较理想的高等代数教材，它在讲完线性空间和线性变换后，直接运用了线性变换的语言，来给出若尔当标准形定理的几何证明，并且从这个几何证明中，我们还可以具体地看到导致了若尔当标准形的线性空间的一组循环基究竟是怎样产生的。3.清华大学《线性代数与几何（上、下）》的内容介绍《线性代数与几何（上）》的第1版由清华大学出版社在2008年出版，第2版在2014年出版，而《线性代数与几何（下）》的第1版在2009年出版，第2版在2015年出版。该套教材经过了清华大学数学科学系“线性代数”教学团队十几年的精心打造和反复的修改，将几何与代数密切地结合在一起，层次清晰，论证严谨，例题典型丰富，习题适中（难题比较少）。在笔者看来，该套教材非常适合高等代数的初学者，特别是很多中等程度的数学系的学生们。即便是作为与课本配套的参考书，它也能够使学生们收益很多，这是因为该书的作者们总是从学生的角度来考虑教学的安排和教材的编写，从具体的例子出发，简单扼要，循序渐进，尽量使用平易的数学语言，对各个最基本的要点充分地展开解说，并且避免比较专门的技巧。图1：《线性代数与几何（上）》《线性代数与几何（上、下）》将高等代数课程分成了内容从具体到抽象的上、下两册。上册包括了第1、2、3、4、5、6、7章，主要讲授阶行列式及其计算方法、矩阵的代数运算与相抵、3维空间中的平面与直线方程、维向量空间中的线性相关理论、矩阵的秩与线性方程组解的结构、一般的线性空间理论与欧氏空间初步理论、线性变换理论、矩阵的特征值与相似、二次型与二次曲面等内容。图2：《线性代数与几何（下）》《线性代数与几何》的下册包括了第8、9、10、11、12章，主要讲授一元多项式理论、阶矩阵的若尔当标准形、欧氏空间进一步理论和酉空间、矩阵分析初步理论、射影几何基础等内容，它们大部分都是高等代数课程中比较深入的内容。4.《线性代数与几何（下）》中对若尔当标准形定理的几何证明过程在《线性代数与几何》下册的第9章中，作者完整地给出了关于线性空间分解的基本理论，用线性变换的几何方法严格证明了若尔当标准形定理。首先在第1节用具体的低阶矩阵例子引入了若尔当标准形的重要概念，其中着重讲解了幂零变换、循环基和循环子空间等基本概念，并且对一个具体的3阶矩阵，详细计算了它的若尔当标准形及其循环基，这个开头对于初学者来说是非常合适的，他们需要通过具体的例子，建立起若尔当标准形、幂零变换和循环子空间等新概念。接着在第2、3节中，作者详细介绍了如何把一个有限维线性空间分解成它的一系列子空间的直和，使得线性变换限制到这些子空间上是幂零变换，并且还进一步又找到了循环基，使得线性变换所对应的矩阵是若尔当标准形，这样便完成了对若尔当标准形定理的几何证明。具体来说，作者将这个几何证明分成了以下三个步骤：（一）首先证明定理一（即书上的定理9.12）“对于复数域上线性空间的任意线性变换，可以分解为的根子空间的直和其中的是的全部相异的特征值。”根子空间是实际上特征子空间的一种自然推广，它们都是线性变换的不变子空间，因此如果用各个根子空间中的基向量来组成的一个基，那么在此基下的矩阵就是比较简单的准对角矩阵（若尔当标准形是最简单的准对角矩阵）。作者通过仔细证明根子空间的基本性质，特别是“根子空间的和是直和”的引理，并且运用了商空间的基本概念来证明“根子空间的维数等于特征值的代数重数”，这样就容易推导出定理一的结论。（二）其次是证明定理二（实际上就是书上的定理9.7，这里对记号稍作改动）“对每个根子空间的幂零变换，必可分解为循环子空间的直和使得限制在每个循环子空间上是循环变换。”当我们把线性变换（是恒等变换）限制在根子空间上时，所得到的变换是一个幂零变换。作者在定理二的证明过程中，非常仔细地考察了一系列的值域子空间（或像空间）从中抽丝剥茧般地分离出了一连串的循环基，从而就能构造出一连串的循环子空间。在阅读定理二的证明时，读者需要仔细体会和欣赏作者所采用的很精细的带有上下标的基向量记号。（三）现在将以上这两个定理的结论合在一起，也就是把（2）式代入（1）式，便证明了线性空间可以进一步分解为循环子空间的直和。由于线性变换在每个循环基下的矩阵是若尔当块，所以立即得到了下面的若尔当标准形定理（即书上的定理9.13）：“对于复数域上线性空间的任意线性变换，存在的一个基，使得在这个基下的矩阵是若尔当标准形（即的矩阵与相似）。”为了能实际计算