2024年中考数学复习（全国版）专题12 一次函数的图像与性质【十大题型】（举一反三）（原卷版）

专题12一次函数的图像与性质【十大题型】TOC\o"1-3"\h\u【题型1一次函数的相关概念】 2【题型2判断一次函数图象】 3【题型3探究一次函数经过的象限与系数之间关系】 4【题型4一次函数与坐标轴交点问题】 5【题型5探究一次函数的增减性与系数之间关系】 6【题型6求一次函数解析式】 6【题型7一次函数的规律探究问题】 7【题型8一次函数的新定义问题】 9【题型9求两直线与坐标轴围成的图形面积】 10【题型10探究函数与方程、不等式之间的关系】 11【知识点一次函数的图像与性质】1.定义定义1：一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。定义2：一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数叫做一次函数。当b=0时，y=kx+b即y=kx，是正比例函数。所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。2.一次函数的图象及其性质正比例函数的图象及性质：正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，称为直线y=kx。y=kx图像经过象限升降趋势增减性k＞0三.一从左向右上升y随着x的增大而增大k＜0二.四从左向右下降y随着x的增大而减小一次函数的图象及性质：一次函数y=kx+b(k.b是常数，k≠0)的图象是一条直线，称为直线y=kx+b。当k＞0时，直线y=kx+b从左向右上升，即y随着x的增大而增大；当k＜0时，直线y=kx+b从左向右下降，即y随着x的增大而减小。y=kx+b图像经过象限升降趋势增减性k＞0，b＞0一二三从左向右上升y随着x的增大而增大k＞0，b＜0一三四k＜0，b＞0一二四从左向右下降y随着x的增大而减小k＜0，b＜0二三四3.待定系数法定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法。函数解析式函数解析式y=kx+b满足条件的两定点(x1，y1)与(x2，y2)一次函数的图象直线l4.一次函数与方程(组)及不等式(组)方程(组)的解与相应函数的交点坐标是相对应的。找到函数的交点坐标，也就找到了对应方程(组)的解，反之一样。对于不等式(组)的解集也可以通过其对应的函数图象来解决。【题型1一次函数的相关概念】【例1】（2023·湖南邵阳·校联考二模）若一次函数y=kx+b的图像如图所示，则下列说法正确的是（

）A．k>0 B．b=2 C．y随x的增大而增大 D．x【变式1-1】（2023·陕西西安·校考一模）若正比例函数的图象经过点4m,3mA．(-1,-43) B．(-12,-1) C．(1,【变式1-2】（2023·江苏扬州·统考二模）已知一次函数y=x-1的图象经过点m【变式1-3】（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）若方程2x-6=0的解，是一个一次函数的函数值为2A．y=2x-4 B．y=-2x【题型2判断一次函数图象】【例2】（2023·浙江丽水·统考一模）将一圆柱体从水中匀速提起，从如图所示开始计时，直至其下表面刚好离开水面，停止计时．用x表示圆柱体运动时间，y表示水面的高度，则y与x之间函数关系的图象大致是（

）A． B．C． D．【变式2-1】（2023·北京延庆·统考一模）如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，它的邻边长为ym，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（

A．一次函数关系 B．二次函数关系C．正比例函数关系 D．反比例函数关系【变式2-2】（2023·陕西·统考中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数y=ax和y=A． B． C． D．【变式2-3】（2023·福建漳州·统考模拟预测）如图表示光从空气进入水中前、后的光路图，若按如图建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为y1=k1x,y

A．k2<0<k1 B．k1<0<【题型3探究一次函数经过的象限与系数之间关系】【规律方法】对于y=kx+b与y轴交于(0,b)，当b>0时，(0,b)在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b<0时，(0,b)在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴；当k>0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；k>0，b<0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；k<0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；k<0，b<0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限.【例3】（2023·贵州毕节·统考中考真题）已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象经过一、三、四象限，则下列结论正确的是(

)A．kb＞0 B．kb＜0 C．k+b＞0 D．k+b＜0【变式3-1】（2023·陕西·中考真题）若一次函数y=（2m﹣1）x+3﹣2m的图象经过一、二、四象限，则m的取值范围是．【变式3-2】（2023·天津·统考中考真题）若一次函数y=x+b（b是常数）的图象经过第一、二、三象限，则b的值可以是【变式3-3】（2023·广东·中考真题）已知直线y=kx+b，若k+b=－5，kb=6，那么该直线不经过第象限.【题型4一次函数与坐标轴交点问题】【例4】（2023·陕西西安·校考二模）在平面直角坐标系中，将函数y=-2x-4的图象向右平移3个单位长度，则平移后的图象与A．(-1,0) B．(1,0) C．(-5,0) D．(5,0)【变式4-1】（2023·陕西咸阳·校考三模）若一次函数y=kx+b与y=-2x+1【变式4-2】（2023·河北唐山·模拟预测）已知，一次函数的图象经过点3,3和点1,-1，(1)求这个一次函数的表达式，并求出图象与x轴、y轴的交点坐标，(2)如果正比例函数y=k1(3)在同一平面直角坐标系中画出（1），（2）中的一次函数图象和正比例函数图象．【变式4-3】（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）如图，直线y=43x+4交两坐标轴于A，B两点，点P

【题型5探究一次函数的增减性与系数之间关系】【例5】（2023·甘肃兰州·统考中考真题）一次函数y=kx-1的函数值y随x的增大而减小，当x=2A．2 B．1 C．－1 D．－2【变式5-1】（2023·内蒙古包头·中考真题）在一次函数y=-5ax+b(a≠0)中，y的值随xA．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限【变式5-2】（2023·陕西宝鸡·统考一模）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是一次函数y＝（a－2）x＋1图象上不同的两个点，若（x1－x2）（y1－y2）＜0，则a的取值范围是（）A．a＜0 B．a＞0 C．a＜2 D．a＞2【变式5-3】（2023·广东广州·统考模拟预测）若A2，yA．y1≤y2 B．y1<【题型6求一次函数解析式】【例6】（2023·北京·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+bk≠0的图象经过点A0,1和B(1)求该函数的解析式及点C的坐标；(2)当x<3时，对于x的每一个值，函数y=23x+n【变式6-1】（2023·江苏苏州·统考中考真题）已知一次函数y=kx+b的图象经过点1,3和-【变式6-2】（2023·山东·统考中考真题）一辆汽车在行驶过程中，其行驶路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示．当0≤x≤0.5时，y与x之间的函数表达式为y=60x；当0.5≤x≤2时，

【变式6-3】（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点P0,1，点A4,1，以点P为中心，把点A按逆时针方向旋转60°得到点B，在M1-1,-3，M2

A．M1 B．M2 C．M3【题型7一次函数的规律探究问题】【例7】（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在直线l1:y=33x上，顶点B在x轴上，AB垂直x轴，且OB=22，顶点C在直线l2:y=3x上，BC⊥l2；过点A作直线l2的垂线，垂足为C1，交x轴于B1，过点B1作A1B1垂直x轴，交l1于点A1，连接A1C1，得到第一个△【变式7-1】（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=3x-3与x轴交于点A1，以OA1为边作正方形A1B1C1O点C1在y轴上，延长C1B1交直线l于点A2

【变式7-2】（2023·湖北荆门·统考中考真题）如图，过原点的两条直线分别为l1：y＝2x，l2：y＝﹣x，过点A（1，0）作x轴的垂线与l1交于点A1，过点A1作y轴的垂线与l2交于点A2，过点A2作x轴的垂线与l1交于点A3，过点A3作y轴的垂线与l2交于点A4，过点A4作x轴的垂线与l1交于点A5，⋯，依次进行下去，则点A20的坐标为．【变式7-3】（2023·山东东营·统考中考真题）如图，△AB1A1,△A1B2A2,△【题型8一次函数的新定义问题】【例8】（2023·上海杨浦·统考二模）定义：对于函数y＝f（x），如果当a≤x≤b时，m≤y≤n，且满足n﹣m＝k（b﹣a）（k是常数），那么称此函数为“k级函数”．如：正比例函数y＝﹣3x，当1≤x≤3时，﹣9≤y≤﹣3，则﹣3﹣（﹣9）＝k（3﹣1），求得k＝3，所以函数y＝﹣3x为“3级函数”．如果一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5）为“k级函数”，那么k的值是．【变式8-1】（2023·广东深圳·统考二模）定义：点A（x,y）为平面直角坐标系内的点，若满足x=y，则把点A叫做“平衡点”．例如：M(1,1)，N(-2,-2)，都是“平衡点”．当-1≤x≤3时，直线y=2x+m上有“A．0≤m≤1 BC．-3≤m≤3【变式8-2】（2023·广西钦州·统考一模）定义一种运算：a⊗b=a-A． B．C． D．【变式8-3】（2023·四川成都·统考二模）定义：点P与图形W上各点连接的所有线段中，若线段PA最短﹐则线段PA的长度称为点P到图形W的距离，记为d（P，图形W）．例如，在图1中，原点O0,0与直线l:x=3的各点连接的所有线段中，线段OA最短，长度为3，则d（O，直线x=3）=3．特别地，点P在图形W上，则点P到图形的距离为0，即d（P①在平面直角坐标系中，原点O0,0与直线l:y=②如图2，点P的坐标为0,m且dp,y【题型9求两直线与坐标轴围成的图形面积】【例9】（2023·河北石家庄·统考三模）如图，直线y=x+3与坐标轴分别交于点A，C，直线BC与直线AC

(1)求直线BC的解析式．(2)若点Pm,2在△ABC(3)若过点O的直线L将△ABC分成的两部分的面积比为1:3【变式9-1】（2023·天津·模拟预测）如果直线y=-2x+k与两坐标轴所围成的三角形的面积是9，那么【变式9-2】（2023·重庆渝中·统考二模）如图，在长方形．ABCD中，AB=4cm，BC=3cm，点P从点A出发，沿折线A→B→C→D运动，到点D停止；点P以每秒1cm的速度运动5秒，之后以每秒2cm的速度运动，设点

(1)请直接写出y与x的函数表达式以及对应的自变量x的取值范围，并在指定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；(2)请根据这个图象，写出该函数的一条性质；(3)根据函数图象，直接写出当y=3时x【变式9-3】（2023·江苏苏州·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，A1，4，B5，0，AB的中点M的坐标为3，2，若一次函数

【题型10探究函数与方程、不等式之间的关系】【例10】（2023·宁夏·统考中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数y1=ax+b

A．y1随xB．bC．当x<2时，D．关于x，y的方程组ax-y【变式10