2024年中考数学复习（全国版）专题04 二次根式【八大题型】（举一反三）（原卷版）

专题04二次根式【八大题型】TOC\o"1-3"\h\u【题型1二次根式有意义的条件】 1【题型2二次根式的乘除及化简】 2【题型3应用乘法公式计算二次根式的值】 2【题型4二次根式的混合运算】 3【题型5二次根式的估值】 4【题型6二次根式中的开放性试题】 4【题型7二次根式中的规律探究】 4【题型8与二次根式有关的新定义问题】 5【知识点二次根式】1.二次根式的定义一般地，形如(a≥0)的式子叫做二次根式。2.二次根式的基本性质①(a≥0)；②(a≥0)；③(a取全体实数)。3.二次根式的乘除(1)二次根式的乘法：①；②(a≥0，b≥0)。(2)二次根式的除法：①；②(a≥0，b＞0)。4.最简二次根式最简二次根式满足的条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。5.二次根式的加减二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。【题型1二次根式有意义的条件】【规律方法】此类问题的解决方法：先根据被开方数（式）大于等于零，列出关于字母的不等式（组），然后求出不等式（组）的解集，即字母的取值范围，若分母中有字母，还要考虑分母不能为零。【例1】（2023·湖南·统考中考真题）使代数式-x2+2x-1有意义的x的取值范围是．【变式1-1】（2023·辽宁·统考中考真题）若1x-3有意义，则实数【变式1-2】（2023·黑龙江绥化·统考二模）在函数y=1x+3+xA．x≥-3 B．x>-3 C．x≠3 D．【变式1-3】（2023·广东茂名·校考一模）式子2x+tan45°xA．x≥-12且x≠1 B．x≠1 C．x【题型2二次根式的乘除及化简】【例2】（2023·湖南常德·统考模拟预测）计算18÷34A．32 B．43 C．42【变式2-1】（2023·辽宁·统考中考真题）若a=2，b=7【变式2-2】（2023下·江苏·八年级专题练习）计算ab÷abA．1ab2ab B．1abab【变式2-3】（2023·山东潍坊·统考中考真题）从-2、3，6中任意选择两个数，分别填在算式□+○2÷2里面的“□”与【题型3应用乘法公式计算二次根式的值】【例3】（2023·吉林·统考中考真题）下面是小文同学进行二次根式混合运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务：解：3=3-26+2×5+2=5-26×5+26=25-12

…第3步=13.

…第4步任务：(1)上述解答过程中，第1步依据的乘法公式为（用字母表示）；(2)上述解答过程，从第步开始出错，具体的错误是；(3)计算的正确结果为．【变式3-1】（2023·天津·统考中考真题）计算7+67【变式3-2】（2023·天津河北·统考一模）计算2+322-32【变式3-3】（2023·四川·统考中考真题）我们知道：乘法公式：a2+2ab+b2=a±b2，则有a2±2ab+b2=例如：化简3+22∵3=1+2，∴3+22∴3+22=|1+2|=1+2，由此对于任意一个双重二次根式，只要可以化成a±2b的形式且能找到两个数m，nm>0，(1)填空：5+26=________；12-2(2)化简：16-415(3)计算：3-5【题型4二次根式的混合运算】【例4】（2023·甘肃武威·统考中考真题）计算：27÷【变式4-1】（2023·山东聊城·统考中考真题）计算：48-3【变式4-2】（2023·上海·统考中考真题）计算：3【变式4-3】（2023·陕西西安·西安市第六中学校考模拟预测）计算：(1)6(2)|-(3)2(4)24【题型5二次根式的估值】【例5】（2023·山东临沂·统考中考真题）设m=515-45A．m<-5 B．-5<m<-4 C．【变式5-1】（2023·山东济南·校考三模）估计43+32×1【变式5-2】（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知k=25A．2 B．3 C．4 D．5【变式5-3】（2023·河北邯郸·统考三模）如图，数轴上有O，A，B，C，D四点，根据图中各点表示的数，表示数2×12-

A．点O和A之间 B．点A和B之间 C．点B和C之间 D．点C和D之间【题型6二次根式中的开放性试题】【例6】（2023·湖北黄冈·统考中考真题）请写出一个正整数m的值使得8m是整数；m=【变式6-1】（2023·湖南永州·统考中考真题）已知x为正整数，写出一个使x-3在实数的范围内没有意义的x值是【变式6-2】（2023·河南南阳·统考二模）写出一个实数x，使x-3是最简二次根式，则x可以是【变式6-3】（2023·山东·统考中考真题）如果一个无理数a与8的积是一个有理数，写出a的一个值是．【题型7二次根式中的规律探究】【例7】（2023下·安徽·九年级模拟预测）观察下列各式：①1×2×3×4+1=5②2×3×4×5+1=11③3×4×5×6+1=19…(1)观察①②③等式，那么第⑤个等式为；(2)根据上述规律，猜测写出n×n+1n【变式7-1】（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）观察下列等式：第1个等式：a1第2个等式：a2第3个等式：a3…根据以上等式给出的规律，计算：a1+【变式7-2】（2023·四川·统考中考真题）观察下列各式及其验证过程：2+23=223（1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想4+4（2）针对上述各式反映的规律，直接写出用a（a≥2的整数）表示的等式．【变式7-3】（2023·内蒙古·统考中考真题）观察下列各式：S1=1+112请利用你所发现的规律，计算：S1+【题型8与二次根式有关的新定义问题】【例8】（2023·湖南娄底·统考一模）定义一种运算：cosα+β=cosαcosβ-sinαsinβ，A．6+24 B．6-24【变式8-1】（2023·广西·中考真题）对于任意的正数m，n定义运算※为：m※n＝m-n(m≥nA．2－46 B．2 C．25 D．20【变式8-2】（2023·河南洛阳·校联考一模）定义新运算：a⊗b=ab+a+b+1，