江苏省南京市第29中学2023-2024学年数学九年级上册期末联考试题含解析

江苏省南京市第29中学2023-2024学年数学九上期末联考试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）

k

1.如图，在同一直角坐标系中,正比例函数方kx+3与反比例函数y=一的图象位置可能是（）

x

2.如图，直线等腰RfA3C的直角顶点。在4上，顶点A在4上，若/夕=14。，则Na=（）

4.如图，在矩形45a）中，AD=2yf2AB.将矩形4BCD对折，得到折痕MN,沿着CM折叠，点。的对应点为E,

ME与BC的交点为F；再沿着折叠，使得AM与EM重合,折痕为MP,此时点B的对应点为G.下列结论:①

是直角三角形；②AB=V2BP；③PN=PG；®PM=PF；⑤若连接PE,则其中正确的个数为（）

A.5个B.4个C.3个D.2个

12

5.如图，在x轴的上方，直角NBOA绕原点0按顺时针方向旋转.若NBOA的两边分别与函数y=--、y=—的图象

xx

交于B、A两点，则NOAB大小的变化趋势为（）

A.逐渐变小B.逐渐变大C.时大时小D.保持不变

6.在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

，★抬。▼生

7.如图，四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且将这个四边形分成①@③④四个三角形.若

OA'JOC=OBJ-OD,则下列结论中一定正确的是（）

A.①和②相似B.①和③相似C.①和④相似D.③和④相似

8.下列二次函数的开口方向一定向上的是（）

,1,1,

A.y=-3x2-lB.y=--x2+lC.y=—x2+3D.y=-x2-5

9.二次函数y=av2+"+c的图象如右图所示，那么一次函数y=&一。的图象大致是（）

,7

3x+5〉一

10.从｛-3,-2,-1,0,1,2,3｝这七个数中随机抽取一个数记为。，则。的值是不等式组1’的解，但不是方程

x1

一＜一+X

132

Y—3x+2=0的实数解的概率为（）.

11.如图，在RtZXA5c中，ZACB=90°,CDJ_AB于点D,CD=2,BD=1,则AD的长是（）

A.1.B.y/2C.2D.4

12.已知一个三角形的两个内角分别是40。，60。，另一个三角形的两个内角分别是40。，80。，则这两个三角形（

A.一定不相似B.不一定相似C.一定相似D.不能确定

二、填空题（每题4分，共24分）

13.如图，菱形OAAf的边长为1,NAOB=60。，以对角线。4为一边，在如图所示的一侧作相同形状的菱形

再依次作菱形。4&与，菱形。434名......则菱形。40194020层019的边长为

14.若方程x2-2x-1=0的两根分别为Xl,X2,则X1+X2-X1X2的值为.

15.方程(x+1)(x-2)=5化成一般形式是.

16.如图，在AABC中，点2E分别是边上的点，DE//BC,AD=1,BD=AE=2,则EC的长为.

17.如图，在平面直角坐标系X。)，中，点A8的坐标分别为(2,0)、(2,1),以原点。为位似中心，把线段A3放大，点

A的对应点A'的坐标为(4,0),则点8的对应点B'的坐标为.

B

OAA'

18.烟花厂为春节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是九=

-三产+12/+30,若这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间是.

2

三、解答题(共78分)

19.(8分)小红想利用阳光下的影长测量学校旗杆AB的高度.如图，他在某一时刻在地面上竖直立一个2米长的标

杆CD,测得其影长DE=0.4米.

BDE

(1)请在图中画出此时旗杆AB在阳光下的投影BF.

(2)如果BF=L6,求旗杆AB的高.

20.(8分)定义：无论函数解析式中自变量的字母系数取何值，函数的图象都会过某一个点，这个点称为定点.例如,

在函数y=丘中，当x=O时，无论k取何值，函数值y=O,所以这个函数的图象过定点(0,0).

求解体验

(1)①关于X的一次函数y=3k(k丰0)的图象过定点.

②关于X的二次函数y=丘2-日+2020伏牛0)的图象过定点和.

知识应用

(2)若过原点的两条直线。4、08分别与二次函数［，=」/交于点4(加」小)和点3("一〃2)(相〃<0)且

-222

OALOB,试求直线AB所过的定点.

拓展应用

(3)若直线CD-.y=kx+2k+5与抛物线y=f交于C(c,c?)、。(4屋)(cd<0)两点，试在抛物线y=/上找一

定点E，使NCED=90°，求点E的坐标.

21.(8分)求下列各式的值：

(1)2sin30°-3cos60°

(2)16COS245°tan260°.

2

22.(10分)如图，在梯形ABC。中，DC//AB,AD=BC9E是。C延长线上的点，连接AE,交BC于点F.

(1)求证：AABF0°AECF

(2)如果AD=5cm,AB=867/Z,CF=2cm,求CE的长.

23.（10分）正面标有数字-1,-2,3,4背面完全相同的4张卡片，洗匀后背面向上放置在桌面上.甲同学抽取一张卡

片，正面的数字记为a,然后将卡片背面向上卷回桌面，洗匀后，乙同学再抽取一张卡片，正面的数字记为b.

（1）请用列表或画树状图的方法把（。，份所有结果表示出来；

（2）求出点（。,勿在函数y=-x+2图象上的概率.

24.（10分）如图，45与CQ相交于点O,4OBDs/\OAC,—=OB=6,S“oc=50,

OC5

求：（1）40的长；

（2）求ShBOD

25.（12分）万州区某民营企业生产的甲、乙两种产品，已知2件甲商品的出厂总价与3件乙商品的出厂总价相同，3

件甲商品的出厂总价比2件乙商品的出厂总价多150元.

（1）求甲、乙商品的出厂单价分别是多少元？

（2）为促进万州经济持续健康发展，为商家搭建展示平台，为行业创造交流机会，2019年万州区举办了多场商品展

销会.外地一经销商计划购进甲商品200件，购进乙商品的数量是甲的4倍，恰逢展销会期间该企业正在对甲商品进行

降价促销活动，甲商品的出厂单价降低了a%,该经销商购进甲的数量比原计划增加了2a%,乙的出厂单价没有改变，

该经销商购进乙的数量比原计划减少了誓％,结果该经销商付出的总货款与原计划的总货款恰好相同，求。的值

（a>0）.

26.已知关于x的一元二次方程X?—（2m+3）x+m2+2=0,>

（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；

（2）若方程两实数根分别为\，x2,且满足X；+X；=31+X1X2,求实数m的值。

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、A

【解析】先根据一次函数的性质判断出k取值，再根据反比例函数的性质判断出k的取值，二者一致的即为正确答案.

【详解】当k>0时，有丫=1«+3过一、二、三象限，反比例函数y=人的过一、三象限，A正确；

X

由函数产kx+3过点（0,3）,可排除B、C；

k

当kVO时，y=kx+3过一、二、四象限，反比例函数y=一的过一、三象限，排除D.

x

故选A.

【点睛】

本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限.

2、A

【分析】过点B作BD〃h,,再由平行线的性质即可得出结论.

【详解】解：过点B作BD//11,贝！|Na=/CBD.

ABD///,,

:.ZB=NDBA,

VZCBD+ZDBA=45°,

二Na+/B=45°,

•.•//=14°

Za=45°-ZP=31°.

故选A.

【点睛】

本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键.

3、D

【分析】根据AVO,结合两个函数的图象及其性质分类讨论，然后再对照选项即可.

【详解】解：分两种情况讨论：

①当AVO时，反比例函数在二、四象限，而二次函数7=履2一及开口向下，故A、B、C、。都不符合题意；

X

②当A>0时，反比例函数y=A在一、三象限，而二次函数>=履2_4开口向上，与7轴交点在原点下方，故选项。

X

正确；

故选：D.

【点睛】

本题主要考查反比例函数与二次函数的图象，掌握A对反比例函数与二次函数的图象的影响是解题的关键.

4、B

【分析】根据折叠的性质得到NDMC=N£MC,ZAMP=ZEMP,于是得到/尸腔+/。0e=工乂180°=90°,

2

求得二CMP是直角三角形；设A5=x,贝ljAO=2百x,由相似三角形的性质可得C4逑x,可求BP=PG=^x=PN,

22

可判断②③，由折叠的性质和平行线的性质可得NPMF=NFPM,可证尸由——=——，且NG=ND=90°,

GEMG

可证△PEGs^CMZ),则可求解.

【详解】•••沿着CM折叠，点。的对应点为E,

，ZDMC=ZEMC,

•再沿着MP折叠，使得AM与重合，折痕为MP,

:.ZAMP=ZEMP,

VZAMD=1SO°,

AZPME+ZCME=-X180°=90°,

2

.•.△CMP是直角三角形；故①符合题意；

,:AD=26AB,

.•.设A8=x,贝!JAO=3C=2&x,CD=x,

,••将矩形ABCD对折，得到折痕MN；

：.AM=DM=-AD=72x=BN=NC,

•••CM=yjMD2+CD2=+x2=百工，

VZP/WC=90°=ZCNM,NMCP=NMCN,

:AMCNsgiCP,

:.CgCN-CP,

；.3x2=OxXCP,

：.CP=^3LX,

2

，BP=BC-CP=2足-^x=昱x

22

:.AB=OBP,故②符合题意;

,:PN=CP-CN=^!^X-正x=-x,

22

■:沿着MP折叠，使得AM与EM重合,

5

：.Bl^PG=—x,

2

:.PN=PG,故③符合题意；

'：AD//BC,

：.ZAMP^ZMPC,

V沿着MP折叠，使得AM与EM重合,

二ZAMP^ZPMF,

：.NPMF=NFPM,

；.PF=FM,故④不符合题意，

■:沿着MP折叠，使得AM与EM重合，

历

：.AB=GE=x,BP=PG=—x,ZB=ZG=90°

2

PG二丘,

~GE~x-V

..CD_x_V2

,砺一忘一三

PGCDr

---=----,且NG=NZJ=90°,

GEMD

:APEGs4cMD,故⑤符合题意,

综上：①@③⑤符合题意，共4个,

故选：B.

【点睛】

本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，直角三角形的性质，矩形的性质等

知识，利用参数表示线段的长度是解题的关键.

5,D

【解析】如图，作辅助线：首先证明△BEOsaOFA,,得到kBE=OE设B为（a,-1-）,A为（b,7，），得到OE=-a,

OFAFab

EB=--,OF=b,AF=|,进而得到小〃=2,此为解决问题的关键性结论；运用三角函数的定义证明知tanNOAB=Y^

ab2

为定值，即可解决问题.

【详解】解：分别过B和A作BEJ_x轴于点E,AF_Lx轴于点F,

则△BEOSAOFA,

.BEOE

••=9

OFAF

1?

设点B为（a,--），A为（b,4）,

ab

则OE=-a,EB=--,OF=b,AF=-,

ab

7

可代入比例式求得a2b2=2,即/=3,

根据勾股定理可得：OBNOE'EB。=0k=ylOF2+AF2

：.ZOAB大小是一个定值，因此NOAB的大小保持不变.

故选D

【点睛】

该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线,

将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答.

6、B

【解析】由题意根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图

形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.

7、B

【解析】由题图可知，ZAOB=NCOD,由。4。。=。8功，可得益=器即可得出

【详解】由题图可知，ZAOB=ZCOD,结合Q40c=03'OD,可得

故选B.

【点睛】

当题中所给条件中有两个三角形的两边成比例时，通常考虑利用“两边成比例且夹角相等”的判定方法判定两个三角

形相似一定要记准相等的角是两边的“夹角”，否则，结论不成立（类似判定三角形全等的方法“SAS"）.

8、C

【解析】根据二次函数图象的开口方向与二次项系数的关系逐一判断即可.

【详解】解:A.y=-3x2-l中,-3<0,二次函数图象的开口向下，故A不符合题意;

B.y=-1x2+l中,-g<0,二次函数图象的开口向下，故B不符合题意；

C.y=；x2+3中，；>0,二次函数图象的开口向上，故C符合题意；

D.y=-x2-5中,-K0,二次函数图象的开口向下，故D不符合题意；

故选:C.

【点睛】

此题考查的是判断二次函数图像的开口方向，掌握二次函数图象的开口方向与二次项系数的关系是解决此题的关键.

9、D

【分析】可先根据二次函数的图象判断a、b的符号，再判断一次函数图象与实际是否相符，判断正误.

【详解】解：由二次函数图象，得出a>0,-A*b<0,

A、由一次函数图象，得a<0,b>0,故A错误;

B、由一次函数图象，得a>0,b>0,故B错误;

C、由一次函数图象，得aVO,b<0,故C错误;

D、由一次函数图象，得a>0,b<0,故D正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查了二次函数图象，应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质:

开口方向、对称轴、顶点坐标等.

10、B

【分析】先解不等式，再解一元二次方程，利用概率公式得到概率

3x+5>土①

2

【详解】

32

解①得，x>—2,

3

解②得，x>――.

4

._3

・・xr>7•

4

3x+5〉一

2

的值是不等式组f的解,

x1

—<—+X

32

:.«=0,1,2,3.

方程/一3%+12=0，

解得玉

=1,I2=2.

Va不是方程Y一3》+2的解，

/•a=0或3.

满足条件的。的值为1,2（2个）.

概率、为，2.

故选B.

11,D

【分析】由在RtAABC中，NACB=90。，CD_LAB,根据同角的余角相等，可得NACD=NB,又由NCDB=NACB=90。,

可证得△ACDs^CBD,然后利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案.

【详解】••,在R3ABC中,NACB=90。，CD±AB,

.,.ZCDB=ZACB=90°,

:.ZACD+ZBCD=90°,ZBCD+ZB=90°,

/.ZACD=ZB,

/.△ACD^ACBD,

.ADCD

,•布一访’

VCD=2,BD=1,

.AD2

"'~iT，

.*.AD=4.

故选D.

【点睛】

此题考查相似三角形的判定与性质，解题关键在于证得AACDS2XCBD.

12、C

【解析】试题解析：•••一个三角形的两个内角分别是40,60，

...第三个内角为80,

又•.•另一个三角形的两个内角分别是40,80，

...这两个三角形有两个内角相等,

...这两个三角形相似.

故选C.

点睛：两组角对应相等，两三角形相似.

二、填空题（每题4分，共24分）

13、斤

【解析】过点A作4。垂直OA的延长线与点根据“直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半”求出。4,

同样的方法求出OA?和。&的长度，总结规律即可得出答案.

过点A作AA垂直OA的延长线与点。

根据题意可得，^AlADl=60°,M=1

则/A41A=30°,AA=g

在RSAAQ中，A,D,=—

又。4为菱形的对角线

...3=24〃=V3，故菱形OA44的边长为V3；

过点A作42垂直。4的延长线与点D2

则/443=60。，人24=。4=百

.•./442=30。，.••42邛

在RTZXAaA中，=#

又。4为菱形的对角线

/.OA2=2&Q=也，故菱形04A遇的边长为百；

过点人作人A垂直。4的延长线与点2

则/442=60°,&&=。4=囱

.•./4A32=30。，.•.44=¥

在RT444N中，A3D3=

又。4为菱形的对角线

•••04=2AA=V27，故菱形。44鸟的边长为V27；

/.菱形0AA川B”的边长为7F；

故答案为护3.

【点睛】

本题考查的是菱形，难度较高，需要熟练掌握“在直角三角形中，30。的角所对的直角边等于斜边的一半”这一基本

性质.

14、1

【解析】根据题意得X1+X2=2,X1X2=-1,

所以X1+X2-X1X2=2-(-1)=1.

故答案为1.

15、X2-X-7=1.

【分析】一元二次方程以2+bx+c=0(a,b,c是常数且。00)的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项.

【详解】解：方程(x+1)(x-2)=5化成一般形式是好-x-7=1,

故答案为：

【点睛】

本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且存1)特别要注意存1的条件.这是在做题过

程中容易忽视的知识点.在一般形式中方之叫二次项，bx叫一次项，c是常数项.其中a,b,c分别叫二次项系数,

一次项系数，常数项.

16、1

【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题.

【详解】VBC//DE,AD=1,BD=AE=2,

...MDE〜AABC,AB=AD+DB=i+2=3,

ADAE12

则一=—,-=—,

ABAC3AC

:.AC=6，

,:AE=2,

EC=AC-AE=6-2=4.

故答案为：L

【点睛】

本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

17、（4,2）

【分析】由题意可知：OA=2,AB=1,。4'=4,AOAB-AOA'B',根据相似三角形的性质列出比例式即可求出

A3'=2,从而求出点的坐标.

【详解】由题意可知：OA=2,AB=L04=4,△0AB^AO4,B,

.0A_AB

••市一同

解得：AB'-2

.•.点8,的坐标为（4,2）

故答案为：（4,2）.

【点睛】

此题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解决此题的关键.

18、48

【分析】将二次函数化为顶点式，顶点横坐标即为所求.

【详解】解：Vh=-1z2+12/+30=-1（Z-4）+54,

.•.当t=4时，h取得最大值，

二从点火升空到引爆需要的时间为4s.

故答案为：4s.

【点睛】

本题考查二次函数的实际应用问题，判断出所求时间为二次函数的顶点坐标的横坐标是关键.

三、解答题(共78分)

19、(1)见解析(2)8m

【详解】试题分析：(1)利用太阳光线为平行光线作图：连结CE,过A点作AF〃CE交BD于F,则BF为所求;

(2)证明△ABFs/iCDE,然后利用相似比计算AB的长.

试题解析：(1)连结CE,过A点作AF〃CE交BD于F,则BF为所求，如图；

(2)VAF/7CE,

:.NAFB=NCED,

而NABF=NCDE=90。，

.,.△ABF<»ACDE,

ABBFAB1.6

:.——=——,即nn一=—，

CDDE20.4

/.AB=8(m),

答：旗杆AB的高为8m.

20、(1)①(一3,0)；②(1,2020),(0,2020)；(2)直线A3上的定点为(0,2)；(3)点七为(2,4)

【分析】⑴①由仇=。+3左由V0)可得y=k(x+3),当x=-3时，y=0,故过定点(-3,0),即可得出答案.

@^y=kx2-2020=k(x2-x)+2020,当x=0或x=l时，可得y=2020,即可得出答案.

(2)由题意可得，直线AB的函数式丫=-1(m+n)x+|mn,根据相似三角形的判定可得AAMOAONB,

进而根据相似三角形的性质可得;〃z〃=-2,代入即可得出直线AB的函数式y=；(m+〃)x+2,当x=0时，y=-2

进而得出答案.

(3)由C(c,，2)、。(乩42)(4<0)可得直线。。的解析式为旷=9+1口一加，又由直线CD:y=^+2Z+5,

可得c+d和cd的值，最后根据相似三角形的性质以及判定，列出方程，即可得出E的坐标.

【详解】解：⑴①(-3,0)；②(1,2020),(0,2020).

提示：①y=Ax+3左=&(x+3),当x=—3时，＞'=0,故过定点(一3,0).

②,=红2_辰+2020=%(/一幻+2020,当x=0或1时，y=2020,

故过定点（1,2020）,（0,2020）.

（2）设直线A3的解析式为），="+力，将点A5的坐标代入并解得直线AB的解析式为y=go〃+〃）x-g，〃〃.

如图，分别过点A,B作x轴的垂线于点M,N,

/.ZAMO=40NB=90°,ZAOM+ZMAO=90°.

'：OA±OB,

•••ZAOM+N8ON=90°，

：.ZMAO^ABON,

:.MMObONB,

.AM_OM

''~ON~^N'

—m2i

„2-mf13

D即/=-：—,解得一〃"2=-2,

〃1〃22

2

故直线AB的解析式为y=^(m+n)x+2.

当x=0时，y=2,故直线AB上的定点为(0,2).

(3)•.•点C,。的坐标分别为卜,H),(以屋)，

同（2）可得直线CO的解析式为y=（c+d）x-〃，

Vy=kx+2k+5,

:.c+d=k.cd=-2k-5.

设点如图，过点E作直线///X轴，过点C,。作直线/的垂线与直线/分别交于点G,H.

.CGGE

••一9

EHDH

2,2

即，

d-td2T2

化简得产+(c+t/)f+cd=-l,

即产一4+(f-2)Z=0,

当，=2时，上式恒成立，

故定点E为(2,4).

【点睛】

本题主要考察二次函数的综合运用，熟练掌握并灵活运用一次函数、相似三角形的判定以及性质是解题的关键.

113

21、(1)---；(2)一・

22

【分析】(1)直接把特殊角的三角函数值代入求出答案；

(2)直接把特殊角的三角函数值代入求出答案.

【详解】(1)2sin30°-3cos60°

11

=2X——3X—

22

3

1

=-5；

(2)16cos245°--tan260°

2

=16X(孝)2_；x(73)2

^13

【点睛】

此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键.

1A

22、（1）详见解析；（2）CE=—

3

【分析】（1）根据三角形相似的判定定理，即可得到结论；

BABF

（2）由产，得——=——，进而即可求解.

CECF

【详解】（1）VDC//AB,

:.NB=/ECF,ZBAF=ZE，

：.^ABFs.CF；

（2）解：AD=BC,AD-5cm,AB=8cm,CF=2cm,

:.BF=3cm.

由（1）知，sAECF,

BABF83

:.---=----,即nn—=一

CECFCE2

/.CE=—cm.

3

【点睛】

本题主要考查相似三角形的判定和性质定理，掌握相似三角形对应边成比例，是解题的关键.

23、（1）共有16种机会均等的结果；（2）P（点（。,勿在函数＞=—x+2的图象上）=-

【分析】（1）列出图表,图见详解，

（2）找出在y=-x+2上的点的个数，即可求出概率.

【详解】（1）解：列表如下：

-1-234

(T'T)（T3）（T4）

-1

(-2,1)(-2,2)(-2,3)(-2,4)

-2

(3,-0