2024年高考数学高频考点题型总结一轮复习讲义 第24讲 平面向量的数量积及其应用

2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结

第24讲平面向量的数量积及其应用(精讲)

题型目录一览

①平面向量的数量积的运算

②平面向量的模长

③平面向量的夹角

④两个向量的垂直问题

⑤平面向量的投影数量'投影向量

⑥平面向量的应用

、知识点梳理

一'平面向量的数量积

(1)平面向量数量积的定义

已知两个非零向量与方,我们把数量|。||切cos夕叫做。与b的数量积(或内积),

记作al,即a小=|a|S|cos。，规定：零向量与任一向量的数量积为0.

(2)平面向量数量积的几何意义

投影向量：设a,8是两个非零向量，如图(1)(2),云表示向量a,彷表示向量仇过点4作防所在直线的垂线,

垂足为点4.我们将上述由向量a得到向量况।的变换称为向量a向向量》投影，向量况1称为向量a在向量b上的

投影向量.

b_

，向量a在向量b上的投影向量为(|a|cos6)面.

二、数量积的运算律

已知向量a、b、c和实数彳，则：

@ab-ba；②(2a)-b=2(<zb)=a-(2Z>)；®[a+b)c=ac+bc.

三、数量积的性质

设a、方都是非零向量，e是与6方向相同的单位向量，。是“与e的夹角，则

@e-a=a-e^a\cos0.®al.b<^>a-b=0.

③当。与〃同向时，a-b^a\\b\；当。与〃反向时，a-b=-\a^b\.

特别地，〃♦a=|a/或|〃|=daa.

@cos6»=-^-(|a||/>k0).⑤|a-"W|a|S|.

IaII*I

四'数量积的坐标运算

已知非零向量a=(%,%),/>=(%,%),e为向量。、分的夹角.

结论几何表示坐标表示

模\a\=y/a~al«1=G+y2

数量积a-b=\a\\b\cos0ab=x,x2+必必

卫cos”,…产

夹角cose=

\a\\b\Jx；+y；•+£

aD的充要

=0

ab=0占了2+X%

条件

。〃方的充要

a=九从bw0)%y2fx=。

条件

|a•川与|。||十leblSalSI(当且仅当

1占尤2+%%wJw+y；-

的关系a//b时等号成立)

【常用结论】

(1)6在。上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0.

(2)两个向量a,5的夹角为锐角Ci山>0且a,方不共线；

两个向量a,6的夹角为钝角Ci仍〈。且a,6不共线

二、题型分类精讲

题型一平面向量的数量积的运算

畲策略方法平面向量数量积的三种运算方法

已知向量的模与夹角时，可直接使用

定义法数量积的定义求解，即a-b=\a\\b

I,cos8（8是a与b的夹角）

计算由基底表示的向量的数量积时,

基向量法应用相应运算律，最终转化为基向量

的数量积，进而求解

碧而亶蓬拜正标形一或；血而亶茁薮喜

坐标法

积可应用坐标的运算形式进行求解

【典例1】已知向量&力的夹角为¥，且|a|=l,|%|=g,贝|（2。一＞＞（。+＞）=（）

O

A.一1一立B.-cD

22-i-4

【答案】D

【分析】根据数量积公式和运算律计算即可.

［详解］(2a-Z>).(a+b)=2忖+|a,|-|z?|cos-^--|/?|=2+lx>/3xI--j-3=-y.

故选：D.

【典例2]已知:ABC的外接圆圆心为。，S.2AO=AB+AC＞|AO|=|AB|=2,则朋.8。=（）

A.0B.2C.4D.473

【答案】C

【分析】根据题意可知AABC为直角三角形，AA03为等边三角形，即可求出848C的值.

【详解】由2Ao=A2+AC知。是BC边中点，

因为。是△A3c的外接圆圆心，所以△A3C为直角三角形，

且A=],因为|AO|=|Aq=2,所以△AQB为等边三角形，

JT

所以NABC=§,3c=4,

所以BA.BC=B4gcosZABC=4.

故选：C.

【题型训练】

一、单选题

1.（2023・广东•校联考模拟预测）将向量。尸=（"3）绕坐标原点。顺时针旋转75。得到op,则（）

V6-V2

A.B.y/6—V2

C.V6+V2D.^±2/2

2

【答案】B

【分析】利用向量的坐标求出模长，再利用向量的数量积公式即可求解.

【详解】因为8=("月，所以|诩=，(及『+(0)2=2,

因为向量。尸绕坐标原点0顺时针旋转75。得到0P,

所以向量。尸与向量0P的夹角为75。，且|。制=2,

所以OP3=MHM<OS75=2X2XCOS(30+45)

=4(S也二义乌="_0.

2222

故选：B

2.(2023•辽宁朝阳•朝阳市第一高级中学校考模拟预测)已知向量二=(1,2),8=(3,4),c=(5,〃z)(加")，贝I]

(2a-b}c=()

A.5B.-5C.5mD.—5m

【答案】B

【分析】求出向量2a-b的坐标，根据数量积坐标表示，即可求得答案.

【详解】由题意向量4=(1,2),6=(3,4),c=(5,间可得2°->=(一1,0),

故(2。一6>c=(-l,0)-(5,加)=一5,故选：B

3.(2023•黑龙江哈尔滨•哈尔滨市第四中学校校考模拟预测)如图，已知C的半径为2,卜q=2,则AB.AC=()

【答案】C

【分析】判断ABC形状可得，。皿，然后根据数量积定义直接求解即可.

JT7T

【详解】由题知，一ABC为正三角形，所以=所以ABAC=2X2COST=2.

故选：c

4.（2023春・海南•高三海南中学校考阶段练习）已知向量a力满足|。|=2,|切=5,且a与心夹角的余弦值为g,贝。

（〃+20）.（3Q-/?）=（）

A.-28B.-18C.12D.72

【答案】A

【分析】运用平面向量的数量积运算可求得结果.

【详解】因为|a|=2,|6|=5,且d与b夹角的余弦值为：，

^Tiy.（d+2Z?）-（3G-Z?）=3|fl|2+5fl-Z?-2|z>|2=3x22+5x2x5x1-2x52=-28.

故选：A.

19

5.（2023广东深圳・统考模拟预测）若等边_皿。的边长为2,平面内一点“满足。1=/3+]04,则"/4・知5=（）

人8「13〃8-13

A.-B.——C.——D.

9999

【答案】C

【分析】利用平面向量基本定理完成向量的分解与合成，再利用向量的数量积运算求解即可.

【详解】MA=CA-CM=CA-f^CB+^CA^=^CA-^CB=^BA,

（12\222

MB=CB-CM=CB-\-CB+-CA\=-CB——CA=-ABf

133J333

122228

:.MA-MB=-BA—AB=——AB=——x29=——.

33999

故选：C.

6.（2023•山西朔州・怀仁市第一中学校校考模拟预测）已知菱形ABCD的边长为2,且N8AO=],贝ij（A8+AC>AO

的值为（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【分析】根据向量的数量积公式及运算律，结合菱形图形特征，计算求解可得.

【详解】由条件可知乙BA。=g,所以NABC=g,

在ABC中，由余弦定理AC2=4+4-2x2x2xcos1=12,可得卜o=2有，

7TTT

NBAD）,菱形ABCD的对角线互相垂直，则向量AC与向量A。的夹角为二，

36

/uunUIDHXuuuuunuumuumuum冗冗

贝！]AB+AC-AO=A5-AO+AC-AD=2x2xcos—+2x28xcos—=8.

\，36

故选：D.

7.（2023•全国•模拟预测）在，ABC中，M是BC的中点，=1,点尸在4Wr上且满足AP=2PAf，贝UP4（P8+PC）

等于（）

4444

A.——B.——C.-D.-

9339

【答案】A

【分析】先根据向量的加法求出依+PC=2PM,然后求出网，,M|,进而可直接求解.

【详解】因为M是8c的中点，所以PB+PC=2PM,

。1

又因为点尸在W上且满足AP=2尸M，AM=1,所以网=5，，M=],

所以PA•（尸2+PC）=2PA-PM=2,4卜,“上0$兀=_2xgx；=_1.

故选：A.

8.（2023•湖南长沙•周南中学校考二模）已知菱形A8CD的边长为1,ABAD=-^-,G是菱形ABC。内一点，若

2

GA+GB+GC=0,则AG.AB=（）

A.gB.1C.-D.2

22

【答案】A

【分析】由题意可得出N3AD=120。，点G为ABC的重心，所以|AG|=g|AM|=半，ZBAM=30°,再由向量的

数量及定义求解即可.

【详解】在菱形ABCD,菱形ABCD的边长为1,ABAD=-^,

所以AB•AD=1AB,AD|cosZBAD=cos/BAD=一；，

所以N3AD=120。，贝!）ABC为等边三角形，因为GA+G2+GC=0，

所以G4=-（GB+GC）,设点M为BC的中点，贝!）G4=-2G£>,所以G4〃G。，

所以G,A,M三点共线，所以AM为BC的中线，

所以

同理可得点AB,AC的中线过点G,

所以点G为一ABC的重心，故|AG|=g|AM|=¥，

在等边ABC中，M为BC的中点，则NBA"=30°,

所以AG-AB=|AGHA@1：05/加加=¥*1*¥=J

故选：A

9.（2023・陕西咸阳•统考模拟预测）已知向量。涉满足|a|=l,|b|=2,c=2a+b,且a,6夹角为120,则a.c=（）

A.0B.1C.y/2D.2

【答案】B

【分析】根据向量的数量积的运算律结合数量积的定义，即可求得答案.

【详解】由向量满足|a|=l,g|=2,c=2a+6,且夹角为120,

可得。-c=a-（2a+方）=2a+a-b-2xI2+Ix2xcosl20

=2—1=19

故选：B

10.（2023・吉林长春•东北师大附中校考模拟预测）在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,AC与8。相交于点。，过点A作

AELBD于E,则（）

,12r24〃12r4

A.—B.—C.—D.一

252555

【答案】D

【分析】建立直角坐标系，设片（无,V）,由AEL8D和3E//B。可列方程求出点E,再根据数量积坐标运算即可求解.

【详解】建立如图所示直角坐标系：

则A(0,l),8(0,0),。(2,0),0(2,1),

设E(x,y),则=(%,y-1),BE=(x,y),%>=(2,1)

AE±BDAE_LBD且BE/IBD，

2

x=—

二2x+y-l。=O，解,得5

1

y=-

5

21248」

•e-£（不二）,4£二（不-？£。二55"5

在矩形ABC。中，。为3。的中点,

所以由4（0,1）,

二、多选题

11.（2023•福建泉州•校联考模拟预测）圆。为锐角ABC的外接圆，AC=2AB=2,则0A08的值可能为（）.

A.；B.—C.-D.-

21688

【答案】BC

【分析】利用正弦定理表示出R,借助角C表示出所求，根据ABC为锐角三角形，结合图形可得sinC范围，然

后可得.

【详解】记圆。的半径为R,则心高

l-2sin2C1j_

又ZAOB=2C,所以。=------x------xcos2C=

2sinC2sinC4sin2C4sin2C2

因为ABC为锐角三角形，如图，易知A<sinC<]4

所以《＜4sin2c＜1,

11313

所以即］＜OA.O8＜：

4sin2c24

12.（2023•全国•模拟预测）在菱形ABC。中，钻=2,NZMB=60,点E为线段CD的中点，AC和80交于点O,

则（）

A.AC-BD=0B.ABAD=2

C.<9EBA=-1D.OEAE=^

【答案】ABD

【分析】以。为坐标原点可建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算依次验证各个选项即可.

【详解】四边形ABCD为菱形，

则以。为坐标原点，。（7,。£）正方向为羽，轴，可建立如图所示平面直角坐标系，

AB^AD=2,ZDAB=60,:.BD=2,OA=OC=722-I2=>/3>

.0(0,0),A(-V3,0),B(0,-l),0(0,1),

对于A,ACABD,ACBD=0,A正确；

对于B,AB=(A/3,-1),A£)=(V3,1),.-.AB-AD=3-1=2,B正确；

对于C,=,胡=卜6,1),.-.OEBA=-|+!=-1,C错误;

对于D,

故选：ABD.

13.（2023秋•山西大同•高三统考阶段练习）设。为一ABC的外心，AB=2,AC=4,/BAC的角平分线AM交BC

于点"，则()

A.AM=-AB+-ACB.AM=-AB+-AC

3333

C.AB-AO=2D.AM-AO=6

【答案】AC

【分析】对于A、B：根据题意结合正弦定理可得筹二:‘结合平面向量的线性运算求AM；对于C、D：根据外

心的性质结合平面向量的数量积运算求解.

ABBM一㈤BMsinZBAM

【详解】在45M中，有正弦定理可得可得——二---------

sinZAMBsinZBAMABsinZAMB

ACCMCMsinZCAM

在△AOW中，有正弦定理可得,可得

sinZAMCsinZCAMAC-sinZAMC?

因为AB=2,AC=4,AM为-84C的角平分线,

可知ZBAM=ZCAM,ZAMB=7i-ZAMC,

贝！jsinZBAM=sinZCAM,sinZAMB=sin（兀一Z/4A/C）=sinZAMC,

—NsinZBAMsinZCAAf

可得---------二---------，

sinZAMBsinZAMC

nBMCMnnBMAB1

ABACCMAC2

-t1r\i

=AB+BM=AB+^BC=AB+^AC-AB^=^AB+^AC,

故A正确，B错误;

分别取AB,AC的中点£E,连接OE,OR,可知OE，AC,OF，AB,

uunuunluunilUumiilUimp

因为。为..ABC的外心，则ARAO=|A8,AOkosNBAO=5Hq=2,

uuuuuu|UUU||UUU|i|Uuni|2

AC-AO=|AC|-|AO|cosZCAO=-1AC|=8,

<2]、ouunuuiniuunuumoi

所以AMAO=[mAB+]ACjAO=jAB-AO+|AC-AO=|x2+jx8=4,

故C正确；D错误.

故选：AC.

三、填空题

14.(2023•河南洛阳•洛宁县第一高级中学校考模拟预测)已知向量机=(羽1),〃=(-3,2),若2加+〃=(1,4),则沅・2=

【答案】-4

【分析】根据平面向量线性运算和数量积的坐标运算可得答案.

【详解】因为根=(尤,1),"=(一3,2),所以2戊+»=(2x-3,4)=(1,4),

所以2x—3=1,即％=2,

所以帆•〃=—3x+2=—3x2+2=T.

故答案为：-4.

15.（2023・山东威海•统考二模）己知向量；=（2,1）,6=（0,1）,c=a+tb>若a-c=6，贝1.

【答案】1

【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示可得c=（2,l+r）,结合向量数量积的坐标公式计算即可求解.

【详解】由题意知，C=4+仍=（2,1+%）,

因为=6，

所以q,c=2x2+（l+%）=6,解得，=1,

即t的值为1.

故答案为：1.

16.（2023•全国•高三专题练习）已知非零向量），》的夹角为60。，忖=1,a-（a-2b）=-X,则（a+2b>6=

【答案】9

【分析】根据数量积的定义结合数量积的运算律，即可求得答案.

【详解】由卜|=1及a,夹角为60。可知<2力=忖|际60。=胴，

又-26）=忖-2°%=1-忖=-1,解得W=2,则。力=1，

故（。+26）.6=0.6+2恸2=1+8=9,

故答案为：9

17.（2023•河北•校联考一模）已知。为一ABC的外心，若04=2,且N"4c=75。，则OB.OC=

【答案】-273

【分析】由平面向量数量积公式进行求解.

【详解】由圆的性质可得NBOC=2NA4C=150。，OA=OB=OC=2,

故08-OC=.|oc|cosABAC=2x2xcos150°=-273.

故答案为：-273

18.（2023・陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测）已知菱形跳6〃中，归尸-E”|=2,则“=

【答案】-2

【分析】根据菱形对角线互相垂直，结合平面向量数量积公式求出答案.

【详解】设EG与切交于。，则且。是线段制的中点，

H

：.\HF|=|EF-EH[=2,由平面向量数量积的几何意义知，

HGFH=-HGHF=-|HG|.阿COSZFHG=-|HF|-|HO|==-2.

故答案为：-2

19.（2023•河南・襄城高中校联考三模）已知正六边形AAAA4AA的边长为1,P为边44的中点，。为正六边形

的中心，则。尸。&=.

【答案】-4

【分析】利用平面向量数量积公式进行求解.

【详解】根据题意得，|。耳=1,幺。尸=150。，

3

故OP.Q4=|0尸忸4卜05（。尸,。4）=xlxcosl50°

24

3

故答案为：下

20.（2023•北京通州・统考三模）已知等边三角形A8C的边长为2,的半径为1,尸。为。A的任意一条直径，则

BPCQ-AP-CB=.

【答案】1

【分析】根据平面向量基本定理并借助圆心和圆内AP,A。向量互为相反向量即可求解.

【详解】

BPCQ—APCB

=(BA+AP)-(CA+AQ^-AP\AB-AC)

=BACA+BAAQ+APCA+APAQ-APAB+APAC

=BACA-BAAP+APCA-APAP-APAB+APAC

=|BA||CA|cos60°-BA-AP+APCA-12-AP-AB-APCA

19

=2X2X-+ABAP+APCA-]2-APAB-APCA

2

=2X2X^-12+(ABAP-APAB)+(APCA-APCA)

=2x2x--l2

2

=1.

故答案为:1.

21.(2023•广东汕头・统考三模)在..ABC中，AB=2,AC=1,Zfi4c=60。，CD=；BC,求AZ).C£>=

3

【答案】7

4

【分析】根据已知条件得出A。=；(3AC-AB),CD=1BC,化简AD.CD应用数量积公式计算求解即得.

【详解】AB=2,AC=1,ZBAC=60°,AB-AC=|AB|-|AC|COSZBAC=2xlx^=1,

AB2=|AB|2=22=4,AC2=|AC|2=12=1.

CD=^BC:.^AD-AC)=^AC-AB),

AD=1(3AC-AB),

ADC£>=1（3AC-AB）|BC

=^-（3AC-AB）-（AC-AB）

1/2-2

=-（3AC-4ABAC+AB

=；（3xl—4x1+4）

3

4

、3

故答案为：z

22.(2023•全国•高三专题练习)如图，圆M为..ABC的外接圆，AB=5,AC=7,N为边BC的中点，则

【答案】一37

【分析】由三角形中线性质可知4V=g(A3+AC),再由外接圆圆心为三角形三边中垂线交点可知

|AM|COSZBAM=1|AB|,同理可得|AM|COSNCAV=1AC,再由数量积运算即可得解.

【详解】N是BC中点，

:.AN=^AB+AC),

M为ABC的外接圆的圆心，即三角形三边中垂线交点，

AM-AB=|AM||AB|COSZBAM=||AB|2=1x52=y,

同理可得=1|_.i2=]49,

AM•AN=AM-(AB+AC\=-AMAB+-AM•AC=-x—+-^—=—.

2、>2222222

37

故答案为：y.

题型二3面向量的模长

畲策略方法求向量模的方法

(1)。2=〃.°=同2或同=犯々.

(2)|a±b\=y/a±b2=y^^la-b+b1.

(3)若a=(x,y),则⑷=M?+y2.

【典例1]已知a，6均为单位向量，且。与6夹角为60。，则卜-20=()

A.3B.夜C.2D.6

【答案】D

【分析】先求°小，再利用模长公式可得答案.

【详解】因为a,b均为单位向量，且。与b夹角为60。，所以a%=|耶|cos60o=:；

因为卜-2目=a-Aa-b+^b=l-4x^+4=3,所以=6.

故选：D.

【典例2]|已知向量生6满足同=1,忖=应，0-6=(石,血)，则,+〃=()

A.272B.V10C.1D.275

【答案】C

【分析】根据向量坐标运算和数量积运算的性质，结合卜-叱=5可求得a.b，由此可得卜+万:，进而求得结果.

【详解】"b=(6网,...卜一6卜,阴2+(可=有,

|fz-Z?|=|。|-2tz,h+|=3-2a,b=5，解得：a-b=-l，

|a+Z?|=|«|~+2a-Z?+|/?|=l-2+2=l,解得：\a+b\^=1.

故选：C.

【题型训练】

一、单选题

1.(2023春・安徽•高三校联考开学考试)已知向量5=(2,-3),6=(1,4),d=(4-2),若卜+26+c|=5,则实数彳=

().

A.1或TB.-1或4

C.0或8D.0或-8

【答案】D

【分析】根据向量模的坐标表示求解.

【详解】由题意得，。+26+。=(2,-3)+2(1,4)+(4—2)=(4+43),

/.\a+2b+c\=^(4+2)2+32=5,解得久=0或-8.

故选：D.

2.(2023・全国•高三专题练习)平面向量。与6的夹角为45,a=(Ll),叫=2,则南+可等于()

A.13+6后B.2逐C.屈D.734

【答案】D

【分析】由向量。=(1/)，求得卜卜友,再结合|3。+闿=79«2+6a-b+b,即可求解.

【详解】由题意，向量。=(1,1),可得卜卜志，

又由向量0与b的夹角为45,忖=2,

贝!I13a+0=^9a+6a-b+b=J9x2+6x后x2cos45+4=5/34.

故选：D.

3.(2023•河北衡水•模拟预测)已知平面向量a1满足|a|=2,|b|=l,a-6=(后-2),则囚-加卜()

A.715B.4A/2C.V21D.33

【答案】C

【分析】根据题意，由平面向量模长的计算公式，代入计算即可得到结果.

【详解】因为"6=(后-2),所以|a-b|2=|a|2-2a^+S『=5-2a/=7,则£%=一1,

所以|2a—b『=4|a/_4a力+也『=21,即|2<7—切=@.故选：C.

4.(2023•全国•高三专题练习)已知向量a,b，c满足a=(2,l),b=(—1,1),a-c=10,b-c=\>则|c|=()

A.3B.5/17C.2A/5D.5

【答案】D

【分析】设出向量c=(x,y),根据向量的数量积和向量的模的公式，即可求出向量|c|.

【详解】设c=(x,y),因为4=(2/)，6=(-1,1),

所以a-c=2x+y=10①，b-c=-x+y=l②，由①②解得x=3,y=4,

所以c=(3,4),Ic|=J32+42=5•

故选：D.

5.(2023・四川遂宁某中学校考模拟预测)己知平面向量|a|=2,\b\=l,。)的夹角为60,卜+仍卜石(teR),

则实数f()

A.—1B.1C.—D.+1

2

【答案】A

【分析】对卜+闭=石两边平方，再由数量积公式计算可得答案.

【详解】因为卜+法卜有，所以@+2a.bi+/忖2=3,

即4+2x2xcos60.+/=3,解得，=一1.

故选：A.

6.(2023・河北唐山•开滦第二中学校考模拟预测)已知向量。=。,加)，6=(-1,0),且卜-司=。/+6,则向=()

A.75B.

C.y/22D.276

【答案】C

【分析】根据卜-可=。m+6求得m,再利用向量的模公式求解.

【详解】解：因为向量“=。,〃2),。=(-1,0),

所以Q-Z?=(2,m),a・Z?=—1,

又因为卜=〃2+6,

所以^2?+疗=5，

解得4-21,

所以同=+/=-\/22,

故选：C

7.(2023・重庆•校联考三模)在△ABC中，ABAC=2,忖叶=1且点。满足=,则()

3

A.y/5B.-\/6C.y/sD.—

【答案】D

【分析】根据向量线性运算和题干条件得到AB2+AC2=5>从而得到卜|.

【详解】由题意得—=平方得A/-ZAB.AC+AC?=c/=1，

^AB2+AC2=1+2AB-AC=5>

因为点D满足8D=DC,所以AO=:(A8+AC),

平方得+2,ABAC+AC)=-x(5+4)=1,

故|叫《

故选：D

8.(2023广东深圳・统考模拟预测)向量〃也。满足〃+匕+°=0,(〃—b),c,〃，若=则|d+W+,=()

A.1B.2C.4D.8

【答案】C

【分析】运用向量垂直的条件，即数量积为0,结合向量的平方即为模的平方，化简整理，计算即可得到所求值.

【详解】由Q+0+c=0，得。=—〃—0，

又(。―Z?)±C，

所以（〃_»•（_〃_人）=0，

又a_Lb，则〃•0=()，|。|=1，

所以=_卜|-£.1+£力+忖=0,即M=|«|=1,

所以卜卜W=i,

3s,c=—a—b9

所以卜|=(-a-b)2=\c^+2tz-Z?+|/?|=2,

综上，|^|+网+卜|=l+l+2=4,

故选：C.

9.(2023•河南•校联考模拟预测)如图，在ABC中，AB=2,AC=1,cosZBAC=；M为线段8C的中点，则14M

4।

()

A.3B.-C.75D.—

22

【答案】B

【分析】根据给定条件，可得AM=g(AB+AC),再利用数量积的定义及运算律求解作答.

【详解】在ABC中，M为线段BC的中点，贝惰AM=；(AB+AC),

由AB=2,AC=1,cosZBAC=-,AB-AC=\AB\\AC\cosZBAC=2xlx-=-,

442

1122113

所以|AM『=—(AB+AC)2=—(AB~+AC+2AB-AC)=-(22+12+2X-)=-.

44422

故选：B

二、填空题

10.(2023春・广西•高三校联考阶段练习)已知a=(-2,1),6=(4/),若lb=2,贝中

【答案】80

【分析】根据数量积的坐标表示求出入即可求出的坐标，再利用坐标法求出模.

【详解】因为。=(一2,1),8=(4,。且〃.力=2,

所以2x4+ly=2,解得，=10,所以b=(4,10),

所以2a—b=2(—2』)—(4,10)=(-8,-8),

所以8一4=J(一8『+(一8)2=872.

故答案为：872

11.(2023・四川南充・闿中中学校考二模)已知a,b为单位向量，且满足k-后|=",贝"2。+6卜

【答案】75

【分析】将卜-‘豆卜布两边平方可得°包=0,进而可得忖+4.

【详解】“力为单位向量，且满足卜-屉/而，所以/一2氐4+5/=6,

即1一2氐/+5=6,解得°m=0，

所以忸+*y/4a2+4a-b+b2=小•

故答案为：下.

12.(2023•安徽亳州•高三校考阶段练习)已知向量i=(f,2),6=(V,1),满足|。-@=卜+@,贝「=

【答案】土立/夜或-0或百

【分析】利用卜-6|=卜+母，求出〃力的值，利用平面向量坐标表示建立方程求解即可

【详解】因为。=«,2),6=(-f,l),卜-6|=卜+0,

所以(a-b)2=(a+6)2=>a+。-2a-b=a+b+2a-b^a-b=0>

a-b=tx(—t)+2x1=-+2=0,

得/=±直.

故答案为：土垃

13.(2023・全国•高三专题练习)已知向量满足卜-.=若，,+可=124?-可，则忖=.

【答案】V3

【分析】应用向量|d=片的性质即可列方程组求解.

【详解】由卜小5得/一2口心+片=3,即2a/=J+/_3①.

又由”卜忤一年得入2荽+九/一。+二

.2/.2-2\

即31-6。/=0，代入①，得3。--3卜+6--3)=°，

整理，得『=3,所以W=K.

故答案为：V3

14.(2023・全国•高三专题练习)已知向量a=(cos0,sin0),6=(点,0),则|“-b|的最大值为.

【答案】V2+1

【分析】利用向量模的坐标形式可求|。-们的最大值.

【详解】T=(cos。-及,sin。)，所以

|<2-&|=^COS^-A/2^+sin2^=^cos20+cos26-2^/2cos0+1=J-20cos6+3

当cos6=-l时，|〃-万|的最大值为：［2应+3=应+1.

故答案为：^2+1.

15.(2023・全国•高三专题练习)已知忖=1,卜+4卜|6-4|=4,则的最小值是.

【答案】空

4

【分析】设。4=o=(L0),O5="=(x,y),根据条件1+。|+卜-。|=4得出点2满足的条件，然后由向量的模长公式

求匕-%的最小值.

【详解】设A(l,0),5(%,y。OA=a=(1,0),OB=b=(x,y)

贝！|Z?+a=(1+%,y),Z?_a=(%_1,y)

由|6+4卜忸一〃卜4,则J(x+l『+y2+J(x-i1+y2=4>2

即点3在以(LO),(T,0)为焦点，长轴为2a=4的椭圆上

22

所以3(x,y)满足?+q=l

则人m=Jx［：+y2且一2<xW2

故当x=l时，b-；。有最小值述，故答案为：通

444

题型三平面向量的夹角

畲策略方法求向量夹角问题的方法

当力是非坐标形式时，求。与〃的夹角化

需求出a•8及1al,16或得出它们之间

的关系，由cos0=|[|求何

\a\\b\

若已知a=（％，八）与b=（三，>2），则

/_”产2+八八

COS\U.U)—.\/U,£/\/

'，/.22/22'''/

收+%•M+%

e[0,F]

可以把所求两向量的夹角放到三角形中

进行求解

【典例1】已知非零向量3，b，c满足忖=1，（。-6）«+6）=-1,（2力=1，1=-26.则向量♦与c的夹角（）

A.45°B.60°C.135°D.150°

【答案】C

【分析】由向量的数量积运算公式，再应用向量夹角公式求夹角，最后结合向量反向共线求出夹角即可.

【详解】,.•（。一6）.（。+6）=-1,片工=-1，

M=>/2.a-b=l>

••C0SH=q^=^=T-同。兀】，则"）=%

设向量。与。的夹角为e,。=-24,与6反向，则。=兀-2=4.

44

故选：C.

【题型训练】

一、单选题

1.（江西省重点中学协作体2023届高三第二次联考数学（文）试卷）已知a,b为单位向量，且忖-6卜石，则d与

2b的夹角为（）

A.四B.qC.女D.女

6336

【答案】C

【分析】由卜-q=3,根据向量数量积定义和运算律可求得.涉夹角，即为。,2b的夹角.

【详解】,一可=a2-2a-b+b2-2|tz|-|/?|cos<d,b>+|/?|=2-2cos<a,b>=3,

/.cos<a,b>=-g，又。与2。同向，cos<a,2b>=一g，

2兀

<a,1b>e[0,7r],:.<a,2b>=—.

故选：C.

2.（河南省青桐鸣大联考2023届高三下学期5月考试文科数学试卷）在中，AC=2,AB=4,。为AC的

中点，BDAC=-2,则4=（）

A.90B.60C.45D.30

【答案】B

【分析】由向量的数量积公式及向量夹角的范围可得答案.

【详解】BD-AC=^AC-AB^AC=^AC2-AB-AC=2-4X?.COSA=-2,

贝!|cosA=；,又0<A<180,贝!lA=60.

故选:B.

3.（华大新高考联盟2023届高三名校预测卷全国数学文科试卷）已知平面向量a,b满足卜|=3,忖=1,卜+2目=4,

则a-3b，b夹角的余弦值为（）