第34讲 函数y=Asin(ω+ψ)的图象（学生版）-高一数学同步讲义

第12讲函数y=Asin（＜9x+Q）的图象

号目标导航

课程标准课标解读

1.掌握图象的变换规律，解决三角函数

的变换问题.

2.灵活掌握平移、伸缩变换规律，掌握

通过本节课的学习，要求会画函数的图象，会结合图象

与函数y=Asin（azr+0）中变换量

解决与函数有关的性质问题，会求函数的解析式，掌握

之间的关系.

函数图象的变换规律.

3.会利用图象的特点求函数的解析式，

会求图象变换前后函数的解析式.

4.会解决与三角函数有关的综合问题.

及’知识精讲

丞、知识点

一、°,3,4对函数丁=45皿（5+°）的图象的影响

1.0（。#0）对函数.丫=$m0+9）的图象的影响

y=sin（x+°）（其中9川）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向右（当夕＜0时）或向左（当

9＞0时）平行移动陷个单位长度而得到的.

2.3（3＞0）对函数y=sin（0x+e）的图象的影响

函数y=sin（0x+0）（其中。＞0）的图象，可以看作是把函数y=sin（x+0）的图象上所有点的横坐标伸

长（当0<3<1时）或缩短（当”>1时）到原来的,倍（纵坐标不变）而得到的.

CO

3.A（A>0）对函数y=Asin（«yx+°）的图象的影响

函数y=Asin（s+Q）（其中4>0）的图象，可以看作是把函数y=sin（（yx+°）的图象上所有点的纵

坐标伸长（当4>1时）或缩短（当0<4<1时）到原来的4倍（横坐标不变）而得到的.

4.函数y=sinx到函数y=Asin（0x+0）（其中A>0,<w>0）的图象变换

将函数y=sinx的图象变换得到函数y=Asin（的+。）（其中A>0,3>0）的图象的过程为:

（1）作出函数^=sinx在长度为2兀的某闭区间上的简图；

（2）将图象沿x轴向左或向右平移两个单位长度，得到函数丁=$皿（>+0）的简图；

（3）把曲线上各点的横坐标伸长或缩短到原来的工倍，得到函数丁=411（。工+0）的简图；

（0

（4）把曲线上各点的纵坐标伸长或缩短到原来的A倍，得到函数丁=45抽（如+。）的简图;

（5）沿x轴扩展得到函数丁=人411（8+。），xwR的简图.

由y=sinx变换得到y=Asin(<yx+e)(A>0,(w>0)的方法:

（1）先平移后伸缩:

（2）先伸缩后平移:

横坐标变为原来的七倍

函数y=sinx函数y=sincox向左（右）二号

、的图象以第|个单位

的图象纵坐标不变

二、函数y=Asin（3x+0）,xe[O,+oo）（其中A>0,@>0）中各量的物理意义

物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与函数^=Asin（⑻+。）中的常数有关：

A：它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离，称为振幅（amplitudeofvibration）.

2兀

T.T=——,它表示做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间，称为周期（period）.

CD

f./=-=—,它表示做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数，称为频率（frequency）.

T2兀

COX+（p：称为相位（phase）.

cp：x=0时的相位，称为初相initialphase）.

简记图象变换名称及步骤

（1）函数y=sinx到y=sin（x+p）的图象变换称为相位变换；

（2）函数尸sinx到尸sincox的图象变换称为周期变换；

（3）函数y=sinx到y=Asinx的图象变换称为振幅变换.

（4）函数丁=而工到了=4皿5+9）的图象的变换途径为相位变换一周期变化一振幅变换或周期变换一

相位变化一振幅变换.

7T

【即学即练1】要得到函数y=sin（4x—§）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（）

IT7T

A.向左平移一个单位B.向右平移一个单位

1212

C.向左平移四个单位D.向右平移四个单位

33

兀

【即学即练2】将函数y=sinx的图象沿x轴向右平移一个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原

10

来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（）

y=sin(2x-^)

A.y=sin(2x-—)B.

71、71、

C.y=x----)D.y=尤—)

1020

【即学即练3】已知函数段）=Asin（sx+0）（A、3、夕为常数，A>0,。>0）的部分图象如图所示，则人0）的值

是________

【即学即练4】为了得到函数y=2sin2%一方的图象，可以将函数y=2sin2x+；的图象（）

7兀771

A.向左平移;：B.向右平移一

2424

,.771D.向右平移办

C.向左平移一

1212

JTTT

【即学即练5】已知函数f(x)=2sin(5+。3>0)的最小正周期为且/(幻图象向右平移(个单位长

度后得到g(幻的图象，则g(%)的对称中心为()

舁葛，。(hZ)

A.

k7l71八)/1、、

C.—+-,0(IGZ)

46；

兀

【即学即练6］如图是函数y=Asin(s+9)A>0,”>0,侬<万的图象的一部分，求此函数的解析式.

Q能力拓展

考法01

函数图象的变换

函数图象的平移变换解题策略：

(1)对函数y=sinx,y=Asin(0叶⑶或产ACOS(3+B)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸

缩再平移，只要平移刷个单位，都是相应的解析式中的x变为壮|夕|,而不是0X变为。x±|°|.

(2)注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.

(3)确定函数丁=豆11》的图象经过变换后所得图象对应的函数的解析式，关键是明确左右平移的方向和

横纵坐标伸缩的量,确定出的值.

(4)由丁二人豆成0叶⑼的图象得到丁=411》的图象，可采用逆向思维，将原变换反过来逆推得到.

【典例1］把函数y=3sin2x的图象向左平移7个单位长度，再将所得图象向上平移1个单位长度，可得到

O

函数“X)的图象，则()

/(x)=3sin(2x+?J+l

A.B.〃x)的最小正周期为2万

C.上单调递增D.的图象关于直线x与对称

考法02

由函数图象确定函数解析式

结合图象及性质求解析式产Asin(s+9)+8(A>0,m>0)的方法：

(1)求A,B,已知函数的最大值〃和最小值肛则A=上M一—m々3二M上一+m”.

22

2兀

(2)求。，已知函数的周期7,则O=学.

(3)求外常用方法有：

①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A,。，B已知).

②五点法：确定"值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点(-2,0)作为突破口，具体如下：

(0

"第一点''(即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点)为3x+0=o;

“第二点”(即图象的“峰点”)为@v+9=5；

“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为<ox+(p=n；

3兀

“第四点”(即图象的“谷点”)为a)x+<p=G；"第五点”为a)x+(p=1it.

【典例2】已知函数/(x)=Asin(s+s)(0>O,O<°<5)的部分图象如图所示.

(1)求)(X)的解析式.

(2)将函数y=f(x)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的再将所得函数图象向右平移

聿个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，求不等式g(x)>2的解集.

【典例3］某同学用“五点法”画函数/。)=公皿8+夕)3>0,冏<乡在某一个周期内的图象时，列表并填

入了部分数据，如下表：

7131

（ox+（p兀

07T27r

715"

X

①②~6③

Asin（0x+e）02④-20

(1)请将上表数据补充完整，并写出函数/(X)的解析式；

(2)将y=/G)的图象上所有点向左平行移动。(，>0)个单位长度，得到y=g(x)的图象，若函数y=g(x)

图象的一个对称中心为(£,0),求。的最小值.

4

考法03

函数y=Asin(a)x+。)的性质的应用

函数y=Asin（69x+0）（A>0,（o>0）的性质:

兀

(1)奇偶性：。=女兀时，函数y=Asin(0x+。)为奇函数；(p=kn+-B'j-,函数y=Asin(<yx+。)为

偶函数.

2兀

(2)周期性：y=Asin(5+°)存在周期性，其最小正周期为丁二一.

co

(3)单调性：根据y=sim和片5+9的单调性来研究，由一^+2左兀<ox+0W5+2Z私人eZ得单调

TT37r

增区间；由］+2攵兀<3X+eK彳+2攵n,%eZ得单调减区间.

(4)对称性：

①对称轴

与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y=Asin(ft>x+°)和y=Acos(sx+9)的图象的对称轴通过函数图象的最

值点且垂直于x轴.

TI

函数y=Asin(ctzx+8)对称轴方程的求法：令sin(cox+^9)=±l,得a)x+(/)=kTi+则x=

(2"+1)"二2?(&WZ),所以函数y=Asin(Sx+p)的图象的对称轴方程为x=0"+1)"一?,收④.

2co2a)

Z冗一0

函数y=Acos(①x+p)对称轴方程的求法：令cos(①x+9)=±l，得cox+(p=lai(k^Z),则x=----匕(kG

co

kn—(p

Z),所以函数)，=Acos(0x+0)的图象的对称轴方程为x=---------伏eZ).

(O

②对称中心

与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y=Asin(Gx+e#Dy=Acos(ftzx+8)图象的对称中心即函数图象与x轴

的交点.

函数y=Asin(s+3)对称中心的求法：令sin(69x+^)=0,得GX+9=E(攵WZ),则x=~—"(ZGZ),

CO

所以函数y=Asin(cwx+3)的图象关于点(幺——,0)(攵eZ)成中心对称.

CD

7T

函数y=Acos(cox+8)对称中心的求法：令COS(69X+9)=0,得cox+(p=k7l+y(fcZ),则x=

(2'+1)"-20/G0,所以函数尸Acos(s+9)的图象关于点((2左+1)兀-2"，0)收Z)成中心对称.

2a>2co

TTTT

【典例4】已知函数./(x)=sin(s:+9)(①>0,|夕|<,)的最小正周期为兀，图象关于直线对称.

(1)求函数7U)的解析式;

(2)求函数yw的单调递增区间;

(3)在给定的坐标系中画出函数y=«r)在区间［0,兀］上的图象.

y

；--T~-i----ii-

।।।।।।।।।(I

o

z••..........................................................1••i»•

，—T————A——>——J————4——逐——d——I*一—4——4——4——A—J

1：：：：：：：：：:：：：：：：

【典例5】已知函数/(x)=2gsinxcos尤一2cos0+1,xeR.

(1)求函数的最小正周期；

(2)将八耳的图像向左平移弓个单位得到函数g(x)的图像，求g")的单调减区间.

【典例6］己知函数/(x)=4sin(<yx+9)+1>0,|夕|<］)的最小正周期为",且/(0)=3.

(1)求0和8的值.

(2)将函数f(x)的图象向右平移三个单位长度(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象,

①求函数g(x)的单调递增区间；

②求函数g(x)在0,1上的最大值.

羔分层提分

题组A基础过关练

1.为了得到函数y=2sin12x-]J的图象，可以将函数y=2sin12x+：J的图象(

7兀7兀

A.向左平移一B.向右平移一

2424

7兀771

C.向左平移一D.向右平移——

1212

2.要得到函数/(x)=2cos2》+野的图象，只需g(x)=sin[2x+m)的图象()

TT

A.向左平移一个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)

2

兀1

B.向左平移一个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的一倍(横坐标不变)

22

兀1

C.向左平移一个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的7倍(横坐标不变)

42

兀

D.向左平移了个单位,再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)

3.已知函数〃x)=Asin(3x+e)(A>0,3>0,陷<曰的部分图象如图所示,

A.

2

C.-D.—且

22

4.将函数/(x)=2sin(tox+£)(o>0)的图象向右平移卷个单位长度，得到函数y=g(x)的图象.若y=g(x)在

一/f上为增函数，则3的最大值为()

35

32C--

A.B.2D.4

5.给出下列四种图象的变换方法：①将图象向右平移£个单位长度；②将图象向左平移；个单位长度；③

44

将图象向左平移苧个单位长度；④将图象向右平移苧个单位长度.利用上述变换中的某种方法能由函数

OO

y=sin4x的图象得到函数丫=-$访4》的图象，则这种变换方法的序号是()

A.①②B.②③C.①④D.③④

6.将函数〃x)=cos(2x+()的图象向左平移93>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)为

奇函数，则夕的最小值是()

〜兀

A.HD.一

3

7.把函数/(x)=5sin[x-r

图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍得到函数g(x)的图象，再把g(x)的图

象向左平移/单位得到函数〃⑶的图象，则函数也)图象的一条对称轴为()

3171

C.x=——D.x=—

44

詈,。)，则(

8.如图，函数y=2sin(tux+协3>0,|同v)

51

B.CD=2,(p=一

~6

c2兀145万

C.0=­、(p=—D.(D--，。二一

116116

9.函数/(x)=sin(azr+e)(其中。>(),0<e</)的图象如图所示，为了得到、=$也》的图象，则需将

y=/(x)的图象()

A.横坐标缩短到原来的T，再向右平移太个单位

B.横坐标缩短到原来的;，再向右平移2个单位

C.横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移？个单位

D.横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移3个单位

10.若函数/(x)=3sin(@x+e)®>0)的图像的相邻两个对称中心的距离是且图像过点则下

列结论不正确的是()

TTTT

A.函数/(x)在一上是减函数

_OO

B.函数f(x)的图像的一条对称轴为x=-1

C.将函数〃x)的图像向右平移g个单位长度后的图像关于y轴对称

D.函数/(*)的最小正周期为乃

II.已知函数/(x)=sin(0x+9)(0>O,O<夕<])的部分图象如图所示，则下列结论正确的是()

A.“X)的图象关于点(-§0)对称

B./(x)的图象向右平移2个单位后得到y=sin2x的图象

C./（X）在区间o,^的最小值为一日

D./卜+£）为偶函数

12.已知/（x）=As加®x+0（A>O,0>O,|d<万）的一段图象如图所示,则（

B./（X）的图象的一个对称中心为0）

C./（x）的单调递增区间是+左肛苧+&万］,keZ

OO

Sn

D.函数/（x）的图象向左平移9个单位后得到的是一个奇函数的图象

O

题组B能力提升练

1.将函数〃x）=sin（s+夕）,>0,0<夕<方|的图象向右平移专个单位长度后，所得函数图象关于原点对

称，向左平移已个单位长度后，所得函数图象关于y轴对称，且/（x）在区间H，］）上单调，则。的最大

值为（）

A.11B.9C.7D.5

2.已知函数/（x）=sin（0x+0）（G>O,O<0<万）的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为

将/（X）的图象向右平移？个单位长度得到函数g（x）的图象.若函数g（x）的图象在区间上是增函

数，则。的取值范围为（）

兀乃715万7T24713万

A.9B.c.D.5

~6~27'TFT4T

3.已知函数/（x）=Asin（ox+。）（A>0,。>0,|初<引的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（

)

A..f(x)的最小正周期为2万

B./(x)=2sin^x-yj

C.点(等,0)是/(x)图象的一个对称中心

D.直线x=2乃是f(x)图象的一条对称轴

4.函数/(X)=ACOS(0X+*)[A>O,0>O,|9|<|^的部分图象如图所示，则下列叙述错误的是()

4Jt

B.函数/⑶在区间-彳，值上是单调递增的

C.函数f(x)在区间-三,0上的值域为[-2,6]

D.x=7是函数f(x)图象的一条对称轴

0

5.已知函数y=4面(5+功+机的最大值是4,最小值是0,最小正周期是直线x=(是其图象的一条

对称轴，则下面各解析式符合条件的是()

A.y=4sin(4x+F)+2B,y=2sin^2x+y^+2

C.y=2sin|4x+-|+2D.y=2sin|4x+-|+2

6.将函数f(x)=2sin(s+@go,⑷杉)的图象向左平移/个单位长度后得到的部分图象如图所示，有

下列四个结论：①"0)=1；②y=/(x)-百在［0,兀］上有两个零点；③/(x)的图象关于直线x=-J对称；

6

-2乃x冗一

④在区间y,y上单调递减，其中所有正确结论的个数为

A.1B.2C.3D.4

7.(多选题)设函数/(1)=百cos2x-sin2R,则下列选项正确的是()

A.f(x)的最小正周期是乃

B.〃力在［。问上单调递减，那么b-。的最大值是］

c./⑺满足/，++/仁_1

11万

D.y=〃x)的图象可以由y=2cos2x的图象向右平移号个单位得到

8.(多选题)已知函数/(x)=Asin(ox+4夕)(4>0,。>0,0<*<(J的部分图象如图所示，若将函数AM的

图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的!，再向右平移［个单位长度，得到函数g*)的图象，则下列命题

46

A.函数/⑶的解析式为/(x)=2sin&+高

B.函数g(x)的解析式为g(x)=2sin(2xq)

TT

C.函数/(X)图象的一条对称轴是直线x=

D.函数g(x)在区间孔47个r上单调递增

9.函数f（x）=3sin（2崂J的图象为C,有以下结论：

1TT

①图象C关于直线x=,\对称；

②图象C关于点（整,0）对称；

③函数"X）在区间（4，卷）内是增函数；

④由y=3sin2x的图象向右平移3个单位可以得到图象C.其中正确的结论是.（写出所有正

确结论的序号）

10.函数〃x）=sinx的图象向左平移5个单位得到函数g（x）的图象，则下列函数g（x）的结论：①一条对称

轴方程为犬=今；②点（葛,0）是对称中心；③在区间（05）上为单调增函数；④函数g（x）在区间%"上

的最小值为一;.其中所有正确的结论为.（写出正确结论的序号）

II.设函数/。）=25出（0火+。）［。>0,0<9<1^的图象关于直线》