直线与圆的方程及位置关系（讲义）2024年高考数学二轮复习高频考点追踪与预测

专题61直线与圆的方程及位置关系

01专题网络•思维脑图（含基础知识梳理、常用结论与技巧）

02考情分析•高考

03高频考点•以考定法（五大命题方向+5道高考预测试题）

考点一直线与方程

>命题点1方程组解的个数与两直线的位置关系（共1小题）

>命题点2两条平行直线间的距离（共1小题）

>命题点3两直线的夹角（共1小题）

>高考猜题

考点二圆与方程

>命题点1圆的一般方程（共3小题）

>命题点2直线与圆的位置关系（共1小题）

>高考猜题

04仓IJ新好题•分层训练（★精选20道最新名校模拟试题+8道自招提升）

真题多维细目表

考点考向考题

直线与方程1.方程组解的个数与两直线的位（2022•上海）

置关系（共1小题）

2.两条平行直线间的距离（共1（2020•上海）

小题）

3.两直线的夹角与到角问题（共1（2021•上海）

小题）

圆与方程1.圆的一般方程（共3小题）（2023•上海）（2023•上海）（2021•上海）

2.直线与圆的位置关系（共1小（2022•上海）

题）

考点一直线与方程

命题点1方程组解的个数与两直线的位置关系

典伤•]01（2022•上海）若关于X,y的方程组".=2有无穷多解，则实数m的值为—.

lmx+16y=8

【分析】根据题意，分析可得直线1+叼=2和冽%+16V=8平行，由此求出加的值，即可得答案.

【解答】解：根据题意，若关于X,y的方程组!x.K有无穷多解，

[mx+16y=8

则直线x+my=2和mx+16y=8重合，则有1X16="?X加，BP;M2=16,解可得加=±4,

当加=4时，两直线重合，方程组有无数组解，符合题意，

当”=-4时，两直线平行，方程组无解，不符合题意，

故m—4.

故答案为：4

【点评】本题考查直线与方程的关系，注意转化为直线与直线的关系，属于基础题.

命题点2两条平行直线间的距离

典例02（2020•上海）已知直线人：x+ay=l,h：ax+y=\,若li〃b,则人与力的距离为.

【分析】由/1〃/2求得〃的值，再根据两平行线间的距离计算即可.

【解答】解：直线/i：x+ay=1,b：ax+y=1,

当/1〃/2时，a2-1=0,解得a=±l；

当〃=1时/1与/2重合，不满足题意；

当a=-l时八〃/2,此时/i：x-y-1=0,fe：x-y+l=0；

则/1与h的距离为d=1-1-11=近.

22

Vi+（-D

故答案为：近.

【点评】本题考查了平行线的定义和平行线间的距离计算问题，是基础题.

命题点3两直线的夹角

典瓶I03（2021•上海）直线x=-2与直线相工-产1=0的夹角为.

【分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角.

【解答】解：•••直线x=-2的斜率不存在，倾斜角为生，

2

直线＞1=0的斜率为F，倾斜角为2L,

3

故直线尤=-2与直线正x-y+l=0的夹角为手-5-=看，

故答案为：2L.

6

【点评】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，两条直线的夹角，属于基础题.

►高考9青弘预计2024年高考直线与方程方向进行命制•

1.平行直线乂+\^了+7^=屿6乂+3了-9=0之间的距离为.

【分析】根据已知条件，结合两条平行直线间的距离公式，即可求解.

【解答】解：XWSyW3=0,即bx+3y+3=0,

直线gx+3y+3=0与4x+3y-9=0之间的距离为J?(4)।二加.

V(V3)2+32

故答案为：2^3-

【点评】本题主要考查两条平行直线间的距离公式，属于基础题.

2.直线y=2与直线3x-y+l=0的夹角的正弦值为.

【分析】依题意得到两直线的倾斜角的正切值，设两直线夹角为。，则tan0=3,再根据同角三角函数的

基本关系，计算即可求解.

【解答】解：设y=2的斜率为左1，由y=2得所=tan8i=0,

设3x-y+\=0的斜率为左2,由3x-y+1=0得fo=tan02=3,

TT

设两直线夹角为仇［0,彳-］，则tane=tan82=3,

Sin22

又tan8=Q=3，且sin0+cos0=1,

cos9

,sin28Vsin?8=1，又eqo,

解得ie=2叵，

sin1Q

故答案为：3V10_.

10

【点评】本题考查直线与直线的夹角问题，方程思想，化归转化思想，属中档题.

考点二圆与方程

命题点1圆的一般方程

典例04（2023•上海）已知圆/+刀2_©-冽=0的面积为m则加=.

【分析】先把圆的一般方程化为标准方程，再结合圆的半径为1求解即可.

【解答】解：圆/+/-4x-m=0化为标准方程为：（x-2）2+y2=4+m,

•・•圆的面积为m・•・圆的半径为1,

4+m=1,

；・m=-3.

故答案为：-3.

【点评】本题主要考查了圆的标准方程，属于基础题.

典瓶］05（2023•上海）已知圆C的一般方程为/+2》+炉=0,则圆C的半径为.

【分析】把圆C的一般方程化为标准方程，可得圆C的圆心和半径.

【解答】解：根据圆C的一般方程为/+2/产=0,可得圆C的标准方程为（x+1）2+/=1,

故圆C的圆心为（-1,0）,半径为1,

故答案为：L

【点评】本题主要考查圆的一般方程和标准方程，属基础题.

典例06（2021•上海）若/+炉-2x-4y=0,求圆心坐标为.

【分析】将一般方程化为标准方程，然后确定其圆心坐标即可.

【解答】解：由f+y2-2x-4y=0,可得圆的标准方程为（x-1）?+⑶-2）2=5,

所以圆心坐标为（1,2）.

故答案为：（1,2）.

【点评】本题考查了圆的一般方程和标准方程，考查了转化思想，属于基础题.

命题点2直线与圆的位置关系

典例07（2022•上海）设集合Q={（x,y）|（x-k）2+（y-k2）2=4\k\,任Z}

①存在直线/,使得集合Q中不存在点在/上，而存在点在/两侧；

②存在直线/,使得集合。中存在无数点在/上；（）

A.①成立②成立B.①成立②不成立

C.①不成立②成立D.①不成立②不成立

【分析】分k=0,k＞0,k＜0,求出动点的轨迹，即可判定.

【解答】解：当人=0时，集合。={(X,I(x-k)2+⑶-F)2=4阂，代Z}={(0,0)},

当无＞0时，集合Q={(x,y)I(x-左)2+⑶-/)2=4阂，k€Z},

表示圆心为(k,,半径为r=2，1的圆，

圆的圆心在直线y=/上，半径厂=/(左)=24单调递增，

相邻两个圆的圆心距1=J(k+1-k)2+[(k+1)2-k2]2=Y4k2+4k+2'相邻两个圆的半径之和为/

=2Vk+2VkH-

因为d＞/有解，故相邻两个圆之间的位置关系可能相离，

当左＜0时，同左＞0的情况，故存在直线/,使得集合Q中不存在点在/上，而存在点在/两侧，故①正

确，

若直线/斜率不存在，显然不成立,

设直线/：y=mx+〃，若考虑直线/与圆(x-k)2+(y-k2)2=4固的焦点个数,

|ink+n-k2|

r=2VIkb

7m2+1

给定m,”,当人足够大时，均有1＞，,

故直线/只与有限个圆相交，②错误.

故选：B.

【点评】本题考查了动点的轨迹、直线与圆的位置关系，属于中档题.

判断直线与圆的位置关系常见的方法：

(1)几何法：利用d与厂的关系.

(2)代数法：联立方程随后利用△判断.

(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.

上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.

►高考才百于;预计2024年高考圆与方程方向进行命制.

3.以抛物线r=4x的焦点为圆心、且与该抛物线的准线相切的圆的方程为

【分析】先确定出圆的圆心及半径，进而可求圆的方程.

【解答】解：因为抛物线f=4x的焦点(1,0),准线x=-l,

故所求圆的圆心(1,0),半径为2,

故圆的方程为（X-1）2+y2=4.

故答案为：（x-1）2+/=4.

【点评】本题主要考查了抛物线的性质，直线与圆相切的性质，圆方程的求解，属于基础题.

4.（2023•浦东新区校级一模）圆-2x+4y=0的圆心到直线3x+4y-5=0的距离等于.

【分析】根据题意，由圆的方程求出圆的圆心，由点到直线的距离公式计算可得答案.

【解答】解：根据题意，圆f+y2-2x+4y=0的圆心为（1,-2）,

则点（1,-2）到直线3x+4y-5=0的距离

V9+16

故答案为：2.

【点评】本题考查圆的一般方程和点到直线距离的计算，注意求出圆的圆心坐标，属于基础题.

5.已知曲线Ci：[y[=x+2与曲线C2：（x-°）2+/=4恰有两个公共点，则实数a的取值范围

为.

【分析】求出圆的圆心与半径，利用圆心到直线的距离小于半径求解即可.

【解答】解：曲线。2：（x-a）2+J?=4的圆心（°,0）,半径为2,

曲线Cl：例=x+2与曲线。2：（x-a）2+产=4恰有两个公共点

可得」a?I=2,

V2

解得a=2&-2，或-4<a<0,

故答案为：{a|a=2&-2，或-4<a<0}.

【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题.

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A°新题速递

1.（2023•黄浦区校级三模）若直线歹=3x的倾斜角为a,则sin2a的值为.

【分析】根据已知条件，结合直线的斜率与倾斜角的关系，以及三角函数的恒等变换，即可求解.

【解答】解：直线歹=3x的倾斜角为a,

贝tana=3,

2sinCLcosG-.2tan。=2X3=6_3

故sin2a=2sinacosQ-10

sin2a+cos2atan2CI+l32+l后

故答案为：1.

5

【点评】本题主要考查直线的斜率与倾斜角的关系，以及三角函数的恒等变换，属于基础题.

2.（2023•浦东新区校级三模）若3=-4）是直线/的一个方向向量，则直线/的倾斜角大小

为.

【分析】先求出直线/的斜率左=二支=-2,由此能求出直线I的倾斜角大小.

2

【解答】解：-4）是直线/的一个方向向量，

，直线/的斜率a=二支=-2,

2

，直线I的倾斜角大小为7T-arctan2.

故答案为：TT-arctan2.

【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，考查直线的方向向量、斜率、倾斜角等基础知识，考查运算求

解能力，是基础题.

3.（2023•闵行区校级一模）若直线I的一个法向量为二=（73,则直线I的倾斜角为.

【分析】先根据直线的法向量，求出直线的一个方向向量，由此求出直线的斜率，进而求得直线/的倾

斜角.

【解答】解：•.•直线/的一个法向量为1）,则直线/的一个方向向量为（-1,«）,设直

线/的倾斜角为a,

则有tana=2^_=--\/3，又OWaCir,；.a=2兀,

-13

故答案为：22L.

3

【点评】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，直线

的法向量和方向向量的定义.

4.（2023•浦东新区校级模拟）过点（3,-2）且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为.

【分析】分截距为0和不为0两种情况讨论即可得解.

【解答】解：由题知，若在x轴、y轴上截距均为0,

即直线过原点，又过（3,-2）,则直线方程为丫=上X，

3

若截距不为0,设在X轴、丁轴上的截距为4,

则直线方程为三2=1,

aa

又直线过点（3,-2）,

则3二_=1,解得。=1,

aa

所以此时直线方程为x+y=l.

故答案为：2x+3y=0或x+y=1.

【点评】本题主要考查了直线的一般方程，属于基础题.

5.（2023•徐汇区校级三模）已知直线4：（冽-2）x-3歹-1=0与直线，2：冽%+（冽+2）y+1=0相互平行,

则实数/的值是.

【分析】根据两直线平行可得出关于实数冽的等式与不等式，解之即可.

【解答】解：因为直线/l：（m-2）x-3y-1=0与直线b：rnx+（m+2）y+1=0相互平行，

2

则［（m-2）（m+2）=-3m,即,m+3m-4=0?

1m-2卉-m12m-2#0

解得m=-4.

故答案为：-4.

【点评】本题主要考查了两直线平行的斜率关系，属于基础题.

6.（2023•奉贤区二模）“0=2”是“直线y=-办+2与直线y号x-l垂直”的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分也非必要条件

【分析】当a=2时两直线的斜率都存在，故只要看是否满足所•后2=-1即可.利用直线垂直的性质求出

。的值，然后判断充要条件即可.

【解答】解：当。=2时直线y=-ox+2的斜率是-2,直线>=9乂-1的斜率是2，

4

满足所•左2=-1,

'.a—1时直线y=-ax+2与歹=曳乂-1垂直，

4

直线y=-ax+2与^=包*-1垂直，则--1，解得a=±2,

44

“a=2”是“直线y=-ax+2与>=区*-1垂直”的充分不必要条件.

4

故选：A.

【点评】本题通过逻辑来考查两直线垂直的判定，必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查基本知

识的应用.

7.(2023•黄浦区二模)若直线(a-1)x+y-1=0与直线3x-砂+2=0垂直，则实数0的值为()

A.AB.3C.工D.3

2244

【分析】直接利用直线垂直的充要条件求出结果.

【解答】解：直线(tz-1)x+y-1=0与直线3x-ay+2=0垂直，

则3(a-1)-a—0,解得a=3.

2

故选：B.

【点评】本题考查的知识要点：直线垂直的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础

题.

8.(2023•长宁区校级三模)已知直线/i：x+y=0和52x-ay+3=0(aGR),若/」，2,则a=.

【分析】根据题意，由直线垂直的判断方法可得关于。的方程，解可得答案.

【解答】解：根据题意，直线/i：x+y=0和及：2x-ay+3=0(aGR),

若则有2-a=0,解可得a=2.

故答案为：2.

【点评】本题考查直线垂直的判断，涉及直线的一般式方程，属于基础题.

9.(2023•徐汇区校级三模)已知直线/i：x+y=0,b：ax+2y+\=0,若/1U2,则a=.

【分析】直接利用直线垂直的充要条件建立方程，进一步求出。的值.

【解答】解：由于直线/i：x+y—0,h：ax+2y+l=0,若

故a+2=0,解得a=-2.

故答案为：-2.

【点评】本题考查的知识要点：直线垂直的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础

题.

10.(2023•青浦区二模)过点尸(-1,3),与直线x+\Qy+l=0垂直的直线方程为.

【分析】设过点尸(7,3),与直线xW^y+l=0垂直的直线方程为禽x-尹c=0.把尸(-1,3)代

入，能求出结果.

【解答】解：设过点尸(-1,3),与直线XS行y+l=0垂直的直线方程为：

-y+c—0,

把P（-1,3）代入，得：-,\/~3~3+c—0,

解得C=M+3，

过点尸（-1,3）,与直线xW§y+l=0垂直的直线方程为4泉-”通+3=0.

故答案为：_J;+Vs+3=o.

【点评】本题考查直线方程的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基

础题.

11.（2023•浦东新区校级模拟）已知⑷山|=1，当"》2时，4升1是线段的中点，点尸在所有的线

段4,4+1上，则31Pl=.

【分析】不妨设点出（0,0）、42（1,0）,设点A（a,0）（n€N*）-可得出a

推导出数列｛斯+1-。"｝为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列｛斯+1-斯｝的通项公式，利用

累加法求出数列｛如｝的通项公式，由此可得出|A[P]=nfQa.即可得解.

lim

【解答】解：不妨设点小（0,0）、42（1，0）,设点A（an，o）（n€N*）^

&nanF1

则数列｛斯｝满足。1=0,。2=1，a9=(n6N*),

n+N2

所以,

an+2-an+l--2

所以，数列｛即+1-即｝是首项为=公比为总的等比数列，

1n-1[n-1

所以，

an+l.-aan=1X(--)=(--)，

、/11n-2

+＜，+

当后2时，an=a(a2-a1)+(a3~a2),(an-an_1)=0+1+(-y)+…+(-5)

1nT

卜(丁)91n-1

——字i-(»)L

1%

n-191hl

ai=0也满足]故对任意的«eN*,2广大[1-（节）1-

所以‘IA”|=nfQ(-J)])=1-

limJ乙15

故答案为：1.

3

【点评】本题主要考查数列的应用，考查转化能力，属于中档题.

3

12.（2023•徐汇区校级三模）已知两个函数f（x）士2,g（x）=a（x-l）+l,a声0的图像相交于4

X-1

8两点，若动点P满足I五+说|=2）则I而|（。为坐标原点）的最小值为.

【分析】直接利用中点坐标公式和向量的运算的应用求出结果.

【解答】解：函数f（X）=口函数g（x）=a（X-1）3+1相交于Z和2,

X-1X-1

由于关于（L1）点对称，

设4（xo»yo），B（2-xo,2-泗）设。（x,y）,

由于IPA+PB1=2.

所以港+由=（2-2x,2-2y）-

整理得M（2-2x）2+（2-2y）2=2,

故（X-1）2+（歹-1）2=1,

所以原点到（1,1）的距离

所以点P到原点的距离的最小值为&-1.

故答案为：V2-1.

【点评】本题考查的知识要点：中点坐标公式，向量的运算，主要考查学生的运算能力和数学思维能力,

属于基础题.

13.（2023•闵行区校级一模）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内

到两个定点/、8的距离之比为定值入（入W1）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，

称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知动点P（加，»）在圆O：x2+f=l上，若点A（蒋，0），点C

（1,1）,则2|E4|+|尸C|的最小值为.

【分析】先利用阿氏圆定义设出B（xo,次），由|尸引=2E得到8（-2,0）,利用2\PA\v\PC\=\PB^\PC\

^\BC\,即可求出最小值.

【解答】解：设尸（》,y）,不妨取5（xo，yo）,

因为|尸引=2阳1|,

_H2_

所以（X-X。）2+（y-y0）2=4[（X巧）+y2],

22

2+1

2yXoyO±

整理得：24+2X.OXyy

X++'+-3

此方程与w+f=1为同一方程,

即3(-2,0).

7o=0

所以2|口|+/。=下身+|尸。》|8。（当且仅当p、B、c三点共线时等号成立），

止匕时BC=V（-2-1）2+（0-1）2=V10-

所以2|以出尸。的最小值为近3.

故答案为：V10-

【点评】本题考查圆的几何性质，方程思想，化归转化思想，属中档题.

14.（2023•普陀区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：«+/_6x+5=0,点/,8在圆上,

且N2=2近K0IOA+而］的取值范围是.

【分析】本题可利用中点M去研究，先通过坐标关系，将赢+而转化为石J,根据NB=2正得到M

点的轨迹，由图形的几何特征，求出百1模的最值，得到本题答案.

【解答】解：设4（xi,yi），B（%2,歹2）,AB中点M（x‘，歹’）.

•・x，=X1+X2,=y1+了2

•A---------,y-------------

22

0A+0B=(xi+%2，刃+y2)=20儿,

圆C：，+产-6x+5=0,

，(x-3)2+^=4,圆心C(3,0),半径C4=2.

:点/,3在圆C上，48=2近，

：.CA2-。肝=(n8)2,

2

即CM^l.

点〃在以C为圆心，半径r=l的圆上.

：.OM，OC-r=3-1=2,OM〈OC+r=3+l=4.

•••2W|3W4,

­•.4^|0A+0B|=C8.

故答案为：[4,8].

【点评】本题考查了数形结合思想和函数方程的思想，可利用中点M去研究，先通过坐标关系，将

K+赢化为而，根据/8=2我得到M点的轨迹，由图形的几何特征，求出疏模的最值，得到本题

答案.

15.(2023•嘉定区校级三模)若P,。分别是抛物线/=>与圆(x-3)2+/=1上的点，则|尸。的最小值

为.

【分析】设圆(x-3)2+y2=1的圆心为C(3,0),半径为r=l,当尸C垂直于抛物线在点尸处的切线

时，|尸。|取得最小值，为利用导数的几何意义求得切线的斜率，再根据两直线垂直的条件，求

得点尸的坐标，然后计算|PC|-r的值，即可.

【解答】解：设圆(x-3)2+f=l的圆心为C(3,0),半径为r=l,

当尸C垂直于抛物线在点尸处的切线时，|尸。取得最小值，为如图所示，

设点PG”，»),则直线PC的斜率为标°=二二且川=小

m-3

由，—y知，y1=2x,

所以过点P的切线的斜率为k=2m,

因为直线PC与切线垂直，所以二二。・2加=7,所以2川=3-加，

m-3

32

所以(3m-3)-(冽3-加)=0,即(m-1)(2m+2m+3)=0,

因为2加2+2冽+3>0恒成立，所以冽-1=0,即加=1,

此时P(1,1),

所以|PC|-^=7(1-3)2+(1-0)2-1=遥-1，即|尸@的最小值为遥-1.

故答案为：VB■1•

【点评】本题考查直线与圆的位置关系，导数的几何意义等，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档

题.

16.(2023•浦东新区校级三模)已知三条直线3x-2j+2=0,/2：x-2=0,/3：x+@=0将平面分为六个

部分，则满足条件的人的值共有()

A.1个B.2个C.3个D.无数个

【分析】由已知可得三条直线交于一点或两条平行线与第三条直线相交，结合直线的位置关系可求.

【解答】解：因为三条直线/1：x-2y+2=0,Z2：x-2=0,如x+⑶=0将平面分为六个部分,

所以三条直线交于一点或两条平行线与第三条直线相交，

当三条直线交于一点时，联立（x-2v+2=0可得了二^二？，止匕时2+2左=0,即4=-1,

lx-2=0

当两条平行线与第三条直线相交时，可得h//h或h//h，

所以左=-2或k=0.

故选：C.

【点评】本题主要考查了直线位置关系的应用，属于基础题.

17.（2023•静安区二模）设直线/i：%-2厂2=0与/2关于直线/：2%-厂4=0对称，则直线力的方程是

A.\\x+2y-22=0B.llx+y+22=0

C.5x+y-11=0D.1Ox+jv-22=0

【分析】直接利用到角公式求出直线/2的斜率，进一步利用二元一次方程组求出交点的坐标，最后利用

点斜式求出直线/2的方程.

【解答】解：直线/1：x-2y-2=0的斜率k1,，直线/2的斜率为左2,直线/：2x-y-4=0的斜率上

=2,

由于直线/1与直线h关于直线I对称，

k2~22方

利用到角公式：-4—=———，解得左2=工，

1+2k

2l+2x|2

由于b-2y-2=0,解得［x=2,

l2x-y-4=0{y=0

故直线h的方程为丫=^^(x-2＞整理得Ux+2y-22=0.

故选：A.

【点评】本题考查的知识要点：直线的方程的求法，到角公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，

属于中档题.

18.（2023•宝山区校级模拟）如图所示，圆心为原点。的单位圆的上半圆周上，有一动点P（x,y）（y

>0）.设/（1,0）,点8是尸关于原点。的对称点.分别连结B4、PB、AB,如此形成了三个区域，

标记如图所示.使区域I的面积等于区域n、iii面积之和的点p的个数是（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【分析】设射线OP对应的角为。且（0,n）,由题设可得sin8=，上，故可得满足条件的尸的个数.

4

【解答】解：设射线OP对应的角为。且g（0,Tt）,

故区域I的面积为2X/Xixixsin0=sin&

区域III的面积为看X（兀-8）XF蒋XIXlXsin（K-0）=兀1--j-ginQ,

区域II的面积为£X9Xl2-yxIX1Xsin9-1―^sinO，

由题设有sin8=兀08卷8+-^-^'sin6，

整理得到sin8=?L，因为（0,n）,故此时。仅有两解，

4

故选：C.

【点评】本题考查圆中三角形的面积的求法及圆中弓形面积的求法，属于中档题.

19.（2023•黄浦区模拟）已知圆C：/+产=4,点夕（2,2）.

（1）直线/过点P且与圆c相交于a3两点，若瓦•温=0，求直线/的方程；

（2）若动圆。经过点P且与圆C外切，求动圆的圆心D的轨迹方程；

（3）是否存在异于点尸的点0,使得对于圆C上任意一点均有_叫=入为常数？若存在，求出

MQI

点。坐标和常数人的值；若不存在，也请说明理由.

【分析】⑴设直线/方程为厂2=左G-2）,由在.而=0,结合C4=CB可得圆心到直线的距离为

近,从而可求的左，即可得解；

（2）设动圆的圆心。的坐标为（x,y）,由动圆。经过点尸且与圆C外切，可得CD=2+PD,从而可

得出所求；

（3）设y'）,Q（xi,二），由点。异于点尸，得入W1,根据两点之间的距离公式及已知化简整

理即可得出结论.

【解答】解：（1）由题意知，直线/的斜率必存在，设为左，

则直线/方程为厂2=左（x-2）=依-厂2左+2=0,

■■兀

CA-CB=O,,,,ZACB=-^--

又CA=CB,则圆心到直线的距离为J5，

则|-2k+2|m，k=2士

则直线I的方程为(2^3)x-y-2-2V3=0或(2-V3)x-y-2+2遥=0；

(2)设动圆的圆心。的坐标为(x,了)，

221

由题意知。。=2+尸£>,^/x2+y2=2+V(x-2)+(y-2)

化简得：2x+2y-2xy-1=0,即y=^-i-,

由于CD>P。，所以歹>-x+2,所以|^^>_*+2，解得x>l,

所以动圆的圆心。的轨迹方程为2x+2y-2砂-1=0(%>1)；

(3)设M(%',y),Q(xi,yi),则%心炉=4,

因为点。异于点P,则入W1

入2」MP|2(x，-2)+(y，-2)2_x，2_4X，_4y，+g

IMQ|2(x?-X[)2+(/-y])2x，2+y'2-2xzX[+x；-2/+y

______-4x'-4y'+12_______

y/+

-2xx1_2yYixi+yf+4

-4-412、2.

..•人为常数且M为任意一点，则12

~2x।T不不T

-------------------=入2>入2=2,...入>0,...人班,

1)+言+4

•«xi=yi=1,

则当。的坐标为(1,1)时，为常数入增.

【点评】本题主要考查了求动点轨迹方程，考查了点到直线距离公式，同时考查了学生的计算能力，属

于中档题.

20.(2023•松江区校级模拟)在平面直角坐标系中，已知OC的方程为x2+/-2加x+(10-2My+10m-

29=0,平面内两定点E(1,0)、G(6,3).当0c的半径取最小值时：

2

(1)求出此时加的值，并写出。。的标准方程；

(2)在x轴上是否存在异于点E的另外一个点R使得对于OC上任意一点P,总有料工为定值？若

IPFI

存在，求出点尸的坐标，若不存在，请说明你的理由；

(3)在第(2)间的条件下，求尸4|PG2-y号产4'El_2阿的取值范围.

2PG|-|PE|-2

【分析】(1)运用配方和二次函数的最值求法，即可得到所求圆的方程；

(2)设尸(x,y),定点厂(m,0)(优为常数)，运用两点的距离公式，化简整理，再由恒等式的性

质，即可得到定点厂的坐标和一理一的定值；

PF

(3)由上问可知对于OC上任意一点尸总有一点P总有，可得||PG|-|PF||W|FG|(当P、

F、G三点共线时取等号)，又|FG|=5,故2|PG|-忙[-5,5].化简日的关系式，结合对勾函数的单

2

调性，即可得到所求范围.

22

【解答】解(1)。。的标准式为：(》-机)2+口,-(w-5)]=2Cm-5)+4,

当加=5时，OC的半径取最小值，此时OC的标准方程为：(x-5)2+)2=4；

.।22

(2)设尸(x,y),定点尸Cm,0)。〃为常数)，则入2=(-PEL)2=.(尸)._+J

22

所(x-m)+y

：(x-5)2+y2=4,•'•y2=4-(x-5)2,代入上式，

得：则#=9.二！)2+义2=______8X-20_____

(x-m)+y(10-2m)x-(21-m^)

由于入取值与x无关，.•.一—=200加=4(机=i舍去).

10-2m21-m2

此时点尸的坐标为(4,0),入2=4即入=2；

(3)由上问可知对于。C上任意一点尸总有"尸券即.故2|尸G|-|P£|=2(|PG|-|PF|)

而||PG|-/G|(当尸、F、G三点共线时取等号)，

又pG|=§,故2|PG|-\PE\E[-5,5].

22

p=4|PG|-PE|-4|PE|,2m

2IPG-|PE|-2

=(2|PG)2-(|PE+2产+4_2|即

2PG|-|PE-2

=C2\PG\-\PE\-2)+cI.।\1c+4

2IPGI-IPEI-2

令f=2|PG|-|P£|-2e[-7,0)U(0,3],则四=刍+什4,

t

根据对勾函数的单调性可得："6(-8,0]U[8,+8).

【点评】本题考查圆的方程的一般式和标准式，考查线段长的比为定值的求法，以及实数的取值范围，

注意运用两点的距离公式和转化思想，考查化简整理的运算能力，属于中档题.

IB。自招提升

1.（2020•上海自主招生）已知边长为a的正三角形ABC,D,E分别在边N5,2c上，满足4D=BE=包,

3

联结CD,则/£和CD的夹角为

【分析】以3c的中点为坐标原点O,建立直角坐标系xOy,分别求得/,B,C,D,E的坐标，以及直

线AE,CA的斜率，由两直线的夹角公式，计算可得所求值.

【解答】解：以2C的中点为坐标原点。，建立直角坐标系xQy,

可得/(0,YL/),8(-1,0),c(L0),

222

由曳，可得石（-［，0）

36

一1一51（/方1a近

又AD=°DB，可得。（

2

即为（-1，返力，

63

风

亍a

则直线AE的斜率为^£=——=3近，

*6a

V3_a

直线CD的斜率为kcD=——=-

石苇

可得两直线CD的夹角的正切为|

则所求夹角为60°.

故答案为：60°.

【点评】本题考查两直线的夹角的求法，运用坐标法是解题的关键，考查直线的斜率和两直线的夹角公

式，考查化简运算能力，属于中档题.

2.（2020•上海自主招生）△43C的顶点坐标分别为/（3,4）,3（6,0）,C（-5,-2）,则角/的

平分线所在的直线方程为

【分析】求出|/引、MG的长，利用定比分点坐标公式求出点7的坐标，即可写出/T所在的直线方程.

【解答】解：由/(3,4),2(6,0),C(-5,-2),

所以|/凶=V(6-3)2+(O-4)2=5,

\Ac\=V(-5-3)2+(-2-4)2=10,

设角A的平分线AT交8c于点T,

|AB|_1

则点T分8C所成的比为人=

IACI21

G-+4-X（-5）

由定比分点坐标公式，得仃=-----=L

H3

x(-2)

yr-2

所以点T（工，-2）

33

所以/T所在的直线方程为一^土=尸

--4--3

即7x-y-17=0.

【点评】本题考查了线段的定比分点和直线方程的应用问题，是中档题.

3.（2020•上海自主招生）当实数x、y满足/+72=1时，|x+2y-a|+|a+6-x-2y|的取值与x、y均无关，则

实数a的取值范围是

【分析】根据x,y满足的表达式可设工=85仇y=sin。，进而求出x+29