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文档简介
专题14概率、统计、期望
二级结论1:条件概率
【结论阐述】计算条件概率有两种方法.
Z.∖P(AB)
(1)定义法:利用定义P(MA)=才"
(2)压缩事件空间法:若〃(A)表示试验中事件A包含的基本事件的个数,则以8网=1符.
【应用场景】
(1)注意:利用定义求条件概率时,事件A与事件B有时是相互独立事件,有时不是相互独立事件,
要弄清P(AB)的求法.
(2)当基本事件适合有限性和等可能性时,可借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件
数”(A),再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数,即〃(AB),
【典例指引1】
1.先后掷一枚质地均匀骰子(骰子的六个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点)两次,落在水平桌
面后,记正面朝上的点数分别为χ,y,设事件A为“x+y为偶数”,事件B为“χ,y中有偶数,且χ≠t',
则概率P(BA)=
A.—B.-C.-D.—
3456
【答案】A
【详解】设事件A为“x+y为偶数”中包含的基本事件为(1,3),(1,5),(1,1),(3,3),(5,5),(3,1),(5,1),(5,3),
(3,5),(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6)共18个,事件A中含有的B事件为
(2,4),(2,6),(4,2),(4,6),(6,2),(6,4),共有6个,所以P(BIA)=2=:,故选A.
183
【典例指引2]
2.甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球.先从甲罐中
随机取出一球放入乙罐,分别以A,4和4表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件:再从乙
罐中随机取出一球,以8表示由乙罐取出的球是红球的事件,则下列结论中正确的是(写出
所有正确结论的编号).
①P(B)=M
②P(BIA)=(;
③事件a与事件4相互独立;
④A,4,4是两两互斥的事件;
⑤P(B)的值不能确定,因为它与A,4,A中哪一个发生有关
【答案】②④
【分析】根据互斥事件的定义即可判断④;根据条件概率的计算公式分别得出A,4,4事件发生的条
件下B事件发生的概率,即可判断②;然后由P(B)=P(A8)+P(43)+P(A∕),判断①和⑤;再比
较P(AB),P(A1)P(B)的大小即可判断③.
【详解】由题意可知事件A,4,4不可能同时发生,则4,4,4是两两互斥的事件,则④正确;
544
由题意得P(BA)=AP(Bl4)=R,P(Bg)=H,故②正确;
P(B)=P(AB)+P(A25)+P(AB)=P(A)P(3∣A)+P(4)P(3∣4)+P(4)P(3∣4)
5524349t.
10111011101122
因为P(AB)=行5,P(A)P(8)=65X59=五9,所以事件B与事件Al不独立,③错;综上选②④
故答案为:②④
【点睛】本题主要考查了判断互斥事件,计算条件概率以及事件的独立性,属于中档题.
【针对训练】
(2022广西•南宁市东盟中学模拟预测(理))
3.某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,
则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N(I(X)OSO?),且各个元
件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过IOOO小时的概率为()
^^l^ɪl
一
A.-B.cd
8i∙i∙?
【答案】B
【分析】设元件1,元件2,元件3正常工作分别为事件A、B、C,求出P(A)=P(8)=P(C)=g即
得解.
【详解】解:设元件1,元件2,元件3正常工作分别为事件A、B、C,
则P(A)=P(B)=P(C)=g;
__111ɔ
故该部件能正常工作的概率为P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=-×-×-×3=-.
222o
故选:B
(2022四川成都•高三月考(理))
4.若随机事件A,B满足P(A)=针P(B)=万,P(A+B)=-,则P(A忸)=()
22
ʌ-9B-3
C.-D.-
46
【答案】D
【分析】根据P(A+8)=P(A)+P(B)-P(AB),计算得到P(AB),然后根据条件概率的计算公式计
算即可.
【详解】由题可知:P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
1171
所以P(AB)=P(4)+P(B)_P(A+B)=§+5_z=F
,P(AB)I
所以P(AB)=9
1P(B)6
故选:D
5.某公司为方便员工停车,租了个停车位,编号如图所示.公司规定:每个车位只能停一辆车,每
个员工只允许占用一个停车位.记事件A为“员工小王的车停在编号为奇数的车位上”,事件8为“员
工小李的车停在编号为偶数的车位上,,,则P(A∣8)=()
I23456
b∙⅛
d∙I
【答案】D
【分析】根据条件概率的计算公式P(A∣8)=今需,结合概率公式直接计算即可得解.
33
【详解】根据条件概率可得:P(AIB)=∙⅞誓=野="
/(D)ɔɔ
故选:D.
(2022福建省南平市高级中学高三月考)
6.已知在IO支铅笔中,有支正品,2支次品,从中任取2支,则在第一次抽的是次品的条件
下,第二次抽的是正品的概率是()
1C8-8c4
A.-B.—C.■-D.一
54595
【答案】C
【分析】根据条件概率的计算公式计算.
【详解】记事件A,B分别表示“第一次,第二次抽得正品“,则AB表示“第一次抽得次品,第二
次抽得正品”,
故选:C.
7.某校为宣传《中华人民共和国未成年人保护法》,特举行《中华人民共和国未成年人保护法》知
识竞赛,规定两人为一组,每一轮竞赛中,小组两人分别答两题,若答对题数不少于3,则被称为“优
秀小组”,已知甲、乙两位同学组成一组,且同学甲和同学乙答对题的概率分别为P∣,P,.若R=:,
2
P2=-,则在第一轮竞赛中他们获得“优秀小组'’的概率为()
A.IB.-C.ɪD.-
【答案】A
【分析】根据给定条件,分析甲乙所在的小组获“优秀小组''的所有可能情况,再利用互斥事件的加
法公式,相互独立事件的乘法公式计算即得.
【详解】依题意,在第一轮竞赛中甲乙所在的小组能获得“优秀小组''的所有可能的情况有:
甲答对1题,乙答对2题;甲答对2题,乙答对1题;甲答对2题,乙答对2题,且每人所答两题中
答对的1题有先后之分,
所以所求概率为P=Cχ3χ!χ(2]+(1]22
44V3)
故选:A
(2022重庆市第七中学校高三月考)
8.一个口袋中装有3个白球,4个黑球和5个红球,先摸出一个球后放回,再摸出一个球,则两次
摸出的球是1白1黑的概率是()
【答案】C
【分析】根据题意可知,可能的情况有“第一次摸出白球,第二次摸出黑球”与“第一次摸出黑球,第
二次摸出白球”两种情况,再根据概率计算公式求解即可
【详解】可能的情况有“第一次摸出白球,第二次摸出黑球''与"第一次摸出黑球,第二次摸出白球”
两种情况,设两次摸出的球是1白1黑的事件为A,则尸⑷=VXV+3V
ɪ乙ɪ乙JL4ɪ4V*
故选:C
9.甲箱中有5个红球,2个白球和3.不黑球,乙箱中有4个红球,3个白球和3个黑球.先从甲箱中
随机取出行球放入乙箱中,分别以A、4、Aj表示由甲箱中取出的是红球,白球和黑球的事件;再从
乙箱中随机取出一球,以B表示由乙箱中取出的球是红球的事件,则P(8∣A)=,
P(B)=------------------
59
【答案】πF
【分析】因为每次取一球,所以A,4是两两互斥的事件,利用古典概型计算可得P(A)=,,
p(4)=∙j^,P(A)=-,再利用条件概率和互斥的事件的和进行计算,即可得到答案;
【详解】因为每次取一球,所以A,A2,A是两两互斥的事件,
5ɪ
因为P(A)*,P(4)=⅛P(A)$,所以尸(BiA)=瑞=I⅛i='
10
2434
同理明少需=曾<,叩闯=寓=曹号,
1010
5594340
所以P(B)=P(BA)+P(BA)+P(BAj=-×-+一×-+—×一=—.
'J∖VI13)10ɪɪι0ɪɪioɪɪ22
_59
故答案为:ɪɪ;—
(2022福建・福州四中高三月考)
10.东北育才高中部高一年级开设游泳、篮球和足球三门体育选修课,高一某班甲、乙、丙三名同学
每人从中只选修一门课程.设事件A为“甲独自选修一门课程”,B为"三人选修的课程都不同”,则概
率P(BIA)=.
【答案】T##0.5
【分析】分别求出事件:A="甲独自选修一门课程",AB=''甲独自选修一门课程且三人选修的课程都
不同”对应的基本事件个数,然后套用条件概率公式求解.
【详解】由题意知,甲独自选修一门,则有3门课程可选,乙、丙只能从剩余的两门课程中选择,可
能性为2x2=4∙所以〃(A)=3χ2χ2=12.
三人选修的课程各不相同的可能性为:3×2×1=6,即w(A8)=6.
故P(3∣A)=约"=色=L
故答案为:4##0.5
(2022北京市八一中学高三开学考试)
11.设某工厂有两个车间生产同型号家用电器,第一车间的次品率为0.15,第二车间的次品率为0.12,
两个车间的成品都混合堆放在一个仓库,假设第1,2车间生产的成品比例为2:3,今有一客户从成品
仓库中随机提一台产品,求该产品合格的概率为.
【答案】0.868
【分析】设B={从成品仓库中随机提一台产品是合格品},A={提出的一台是第,车间生产的产品},
/=1,2,由P(B)=P(4)∙P(BlA)+P(4)∙P(B∣4)求解.
【详解】设B={从成品仓库中随机提一台产品是合格品},a={提出的一台是第i车间生产的产品},
z=1,2,
则B=A2B,
因为第1,2车间生产的成品比例为2:3,
所以P(A)=O4,P(4)=0.6,
又因为第一车间的次品率为0.15,第二车间的次品率为0.12,
所以P(BlA)=I-0.15=0.85,P(B∣4)=1—0.12=0.88,
所以P(B)=P(4)∙P(BIA)+P(4)∙P(5∣4),
=0.4X0.85+0.6×0.88=0.868,
故答案为:0.868
(2022黑龙江・哈尔滨市第六中学校模拟预测(理))
12.投掷红、蓝两颗均匀的骰子,设事件A:蓝色骰子的点数为5或6;事件8:两骰子的点数之和
大于9,则在事件5发生的条件下事件A发生的概率P(AlB)=.
【答案】I
O
【分析】首先根据古典概型的概率计算公式,求得尸(B)=τ⅛=:,再求尸(AB)=三,由
36636
P(Al=即可得解.
【详解】设红蓝两颗骰子的点数分别为X,九基本事件用(χ,y)表示,
共有6x6=36种情况,
事件8包含基本事件(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6),共6种,
则P(B)=2=:,
ɔθO
事件A和事件B同时发生的基本事件为(4,6),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6),共5种,
贝IJP(AB)=巳
36
5
故事件B发生的条件下事件A发生的概率尸(AlB)==2T=T.
P(B)ɪ6
6
故答案为:7,
6
二级结论2:常见分布的数学期望和方差
【结论阐述】
二项分布:超几何分布:
典型分布两点分布:X成
XB[n,p)XH(n,M,N)
数字特征
功概率为P
数学期望E(X)=PE(X)=叩E(X)=-
`7N
D(X)=叩(1
NTN-I)
方差D(X)=p(l-p)-Pl
【应用场景】有放回抽取问题对应二项分布,不放回抽取问题对应超几何分布,当总体容量很大时,
超几何分布可近似为二项分布来处理.
【典例指引1】
13.若随机变量X服从参数为4,;的二项分布,则()
A.P(X=I)=P(X=3)B.P(X=2)=3P(X=1)
C.P(X=O)=2P(X=4)D.P(X=3)=4P(X=I)
【答案】BD
【分析】利用二项分布的概率计算公式即可求解.
【详解】由题意,根据二项分布中概率的计算公式P(X=A)=GPYl-P)T,Z=(U
I)W
则P(X=O)=c:U
2
p(χ=4)=C
因此P(X=2)=3P(X=1),P(X=3)=4P(X=1),
P(X=4)=16P(X=0).
故选:BD.
【典例指引2]
14.学校要从5名男教师和2名女教师中随机选出3人去支教,设抽取的人中女教师的人数为X,求
P(X≤1)=.
【答案】I
【分析】本题主要考查了超几何分步的概率计算,属于基础题.
根据题意,X的取值为。或1,代入超几何分布公式求出对应概率,再相加即可.
【详解】解:由题意可得
P(X=O)=罟吟号
e)=詈=IH
246
-+=
所以P(X≤1)=P(X=O)+P(X7-7-7-
故答案为:y.
【针对训练】
(2022・陕西•渭南市临渭区教学研究室二模)
15.设随机变量X,Y满足:Y=3X-∖,X8(2,"),若P(X21)q,则。(丫)=
A.4B.5C.6D.7
【答案】A
【详解】由题意可得:P(X≥l)=l-P(X=0)=l-C∏l-p)-=∣.
解得:P=;,则:Z)(X)=叩(I-P)=2χgχ∣qθ(y)=36(X)=4.
本题选择A选项.
(多选题)(2022•湖南岳阳•一模)
16.若随机变量X服从两点分布,其中P(X=O)=g,则下列结论正确的是()
A.P(X=I)=E(X)B.E(3X+2)=4
C.θ(3X+2)=4D.D(X)=-
【答案】AB
【分析】求出P(X=O),P(X=1),E(X),D(X),即得解.
1ɔ
【详解】解:依题意P(X=O)=5,P(X=I)=],
所以E(X)=OXg+lx∣=g,°(x)=(θ-∣∫×→(>-∣∫×∣=∣∙
7O
所以P(X=I)=E(X),E(3X+2)=3×-+2=4,D(3X+2)=32×∙^=2
所以AB选项正确,CD选项错误.
故选:AB
(2022•河南洛阳•模拟预测)
17.已知随机变量X~3(4,p),若P(X≥1)=黑,则DX=_____.
O1
Q
【答案】I
【分析】X~B(4,p),二项分布的性质,算出P=;,在使用DX=〃p(l—p)即可.
【详解】因为X~8(4,p),P(X≥1)=黑,
O1
所以P(X=O)=I噌=2,
o1o1
所以C:p°(l—p)4=t,
o1
2
所以I-P=§,
所以P=;,
所以OX=4x;x(l-;)=[.
答案为:S
(2022∙浙江省新昌中学模拟预测)
18.在一次投篮游戏中,每人投蓝3次,每投中一次记10分,没有投中扣5分,某人每次投中目标
的概率为I,则此人恰好投中2次的概率为,得分的方差为.
4
【答案】-150
【分析】根据二项分布的计算公式及二项分布方差的性质即可求解.
【详解】由题意可知,记X为击中目标的次数,得分为y分,则X
所以在3次射击中,此人恰好投中2次的概率为:
P(X=2)=G图21W
由题意可知,y=15X-15,所以得分的方差为:
Q(Y)=Q(15X-15)=SQ(X)=15xl5x3x∙∣x(l-∙∣)=150.
4
故答案为:150.
(2022・湖南永州•一模)
19.我市为了解学生体育运动的时间长度是否与性别因素有关,从某几所学校中随机调查了男、女生
各IOO名的平均每天体育运动时间,得到如下数据:
分钟
(0,40](40,601(60,90](90,120]
性别
女生10404010
男生5254030
根据学生课余体育运动要求,平均每天体育运动时间在(60,120]内认定为“合格”,否则被认定为“不
合格”,其中,平均每天体育运动时间在(90,12OJ内认定为“良好”.
(1)完成下列22列联表,并依据小概率值α=0.005的独立性检验,分析学生体育运动时间与性别因素
有无关联;
不合格合格合计
女生
男生
合计
⑵从女生平均每天体育运动时间在(0,40],(40,60((60,90],(90,120]的100人中用分层抽样的方法抽
取20人,再从这20人中随机抽取2人,记X为2人中平均每天体育运动时间为“良好”的人数,求X
的分布列及数学期望;
(3)从全市学生中随机抽取100人,其中平均每天体育运动时间为“良好”的人数设为4,记“平均每天
体育运动时间为‘良好'的人数为我”的概率为尸石=外,视频率为概率,用样本估计总体,求尸七=Q的
表达式,并求Pe=Q取最大值时对应”的值.
2
2n{ad-bc)廿,
*=(α+%)(c+d)(α+c)S+d)'、中n=a+b+c+d
a0.0100.0050.001
Xa6.6357.87910.828
【答案】(1)列联表见解析,认为性别因素与学生体育运动时间有关联,此推断犯错误的概率不大于
0.005;
(2)分布列见解析,数学期望为(;
oo
(3)P[ξ=k)=Cf00X0.2*×O.8'^*(0≤jt≤100,⅛∈N),(=20
【分析】(1)通过题意可得列联表,计算/的值,可得结论;
(2)根据分层抽样的比例可得抽取的女生平均每天体育运动时间在(0,401(40,60],(60,90卜(90,120]
的人数,确定X的取值,根据超几何分布可求得每个值对应的概率,即得分布列,从而计算数学期
望;
(3)通过题意可得4满足二项分布,能得到「片=幻,然后通过作商法可得到当%≤19时,
P(J=%+1)>P(J=Z),当%之20时,P(ξ=k+l)<P(ξ=k),即可得到答案
(1)
由题意可知,22列联表如下表
不合格合格合计
女生5050100
男生3070100
合计80120200
零假设为“°:性别与学生体育运动时间无关联.
根据列联表中的数据,经计算得到
n{ad-bc)2200(50×70-30×50)225
Z28.333>7.879,
(α+⅛)(c+J)(a+c)(⅛+√)—80×120×100×100-T'
根据小概率值a=0.005的独立性检验,我们推断H0不成立即认为性别因素与学生体育运动时间有关
联,此推断犯错误的概率不大于0.005;
(2)
抽取的20人中,女生平均每天运动时间在(0,40],(40,60],(60,90],(90,120]的人数分别为2人,8人,
8人,2人,易知X的所有可能取值为01,2,
P(X=O)=警=器,P(X=I)=警*,p(χ=2)=警=高,
所以X的分布列为
1CO1Q1
所以数学期望为E(X)=OX—÷1×-+2×—=-;
、7190951905
(3)
平均每天运动时间在(90,120]的频率为喘ɪ=0.2,
由题意可知J~B(100,0∙2),
所以P(4=jl)=C‰χ02*χ08wo^*(θ≤)l≤10(U∈N),
一(g=%+l)Cf(X0.2g∣x0.899-*l(X)-⅛1,
山P(g=k)-CXO.2"Xo.8*---------×->l得女V19.2,
OO2+14
所以,当A≤19时,P(J=k+l)>P(D,即尸(g=20)>P(g=19)>>P(<=0),
当A≥20时,P(ξ=k+l)<P(ζ=k),即P(g=20)>P(g=21)>>P(⅞=100),
所以Pe=QmaX=P仁=20),即P(J=Z)取最大值时,A=20.
(2022∙四川省内江市第六中学模拟预测)
20.国内某大学有男生6000人,女生4000人,该校想了解本校学生的运动状况,根据性别采取分层
抽样的方法从全校学生中抽取100人,调查他们平均每天运动的时间(单位:小时),统计表明该校
学生平均每天运动的时间范围是[0,3],若规定平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达
人”,低于2小时的学生为“非运动达人”.根据调查的数据按性别与“是否为,运动达人”,进行统计,得
到如下2×2列联表:
运动时间
运动达人非运动达人合计
性别
男生36
女生26
合计100
(1)请根据题目信息,将2x2列联表中的数据补充完整,并通过计算判断能否在犯错误概率不超过0.025
的前提下认为性别与“是否为,运动达人有关;
(2)将此样本的频率估计为总体的概率,随机调查该校的3名男生,设调查的3人中运动达人的人数
为随机变量X,求X的分布列和数学期望E(X)及方差O(X).
附表及公式:
PgNko)0.150.100.050.0250.010
ko2.0722.7063.8415.0246.635
n(ad-bc)2
其中“=α+"c+d.
(«+b)(c+d){a+c)(⅛+d)
【答案】(1)列联表答案见解析,在犯错误概率不超过0.025的前提下,可以认为性别与“是否为‘运动
达人有关
9|8
⑵分布列答案见解析,£(X)=1,O(X)=-
【分析】(1)根据题意完善2x2列联表,根据卡方公式计算出K2,结合临界表即可得出结论;
(2)根据题意可知随机变量X满足二项分布,求出对应事件的概率,列出随机变量的分布列,结合二
项分别的数学期望和方差公式直接计算即可.
【详解】(1)由题意,该校根据性别采取分层抽样的方法抽取的I(X)人中,有60人为男生,
40人为女生,据此2x2列联表中的数据补充如下.
运动时间性别运动达人非运动达人合计
男生362460
女生142640
合计5050IOO
所以小FKS
又6>5.024,
所以在犯错误概率不超过0.025的前提下,可以认为性别与“是否为'运动达人有关.
(2)由题意可知,该校每个男生是运动达人的概率为某=:,
605
故X可取的值为0,1,2,3,
所以P(X=O)=喏∏3°=τ⅛,P(X=D=Cd)'嗯,
尸“TInlJ喂,gY(IAI)Y∙
X的分布列为:
393218
.∙.E(X)=3χ-=-,D(X)=3×-×~=
555525
(2022•广东广州・一模)
21.某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个“A/作业”项目,并且在甲、乙两个学校的高一学
生中做用户测试.经过一个阶段的试用,为了解“A/作业”对学生学习的促进情况,该公司随机抽取了
200名学生,对他们的“向量数量积”知识点掌握的情况进行调查,样本调查结果如下表:
甲校乙校
使用4作不使用A/作使用4作不使用A/作
业业业业
基本掌握32285030
没有掌握8141226
假设每位学生是否掌握“向量数量积”知识点相互独立.
(1)从样本中没有掌握“向量数量积”知识点的学生中随机抽取2名学生,用J表示抽取的2名学生中使
用“A/作业”的人数,求J的分布列和数学期望;
(2)用样本频率估计概率,从甲校高一学生中抽取一名使用“A/作业”的学生和一名不使用“A/作业”的
学生,用“X=l”表示该名使用“A/作业”的学生基本掌握了响量数量积”,用“X=0”表示该名使用“4作
业”的学生没有掌握“向量数量积”,用“丫=1”表示该名不使用“A/作业''的学生基本掌握了“向量数量
积",用“丫=0”表示该名不使用“A/作业”的学生没有掌握“向量数量积”.比较方差OX和DY的大小关系.
【答案】(1)分布列见解析,f(⅞)=j;
(2)DX<DY.
【分析】(1)根据超几何分布列分布列,求解期望;
(2)由二项分布的方差公式求解.
(1)
依题意,没有掌握“向量数量积''知识点的学生有60人,其中,使用"4作业''的人数为20人,不使用
“4作业”的人数为40,
所以4=0,I,2,且P(g=o)=笔0=||,
Ceo39
尸*-八_CH_80^2o^4o-ɪ9
P(I)一丁一方‘W一2)-丁-布‘
所以J的分布列为:
生√GI80_192
故Ec(J)=Ix——+2×——=
`,1771773
(2)
由题意,易知X服从二项分布X~q1,T,D(X)=P(I-P)=(,
y服从二项分布y~B(1∙∣),D(y)=p(l-p)=∣,DX<DY.
二级结论3:二项分布概率的最值
【结论阐述】
下图是不同参数的二项分布的图象
,^l-
•pɪθʒandn=2O
•p=0.7andn=2O
科-∙p=O.5andn=40
图].不同参数下的二项分布的图象
从图1中可以看出,对于固定的"及。,当女增加时.,概率尸(X=Z)先是单调递增到最大值,随后单
调减少.可以证明,一般的二项分布也具有这一性质,且:
(1)当(〃+1).不为整数时,概率P(X=&)在k=[5+ι)p]时达到最大值;
(2)当(〃+l)P为整数时,概率P(X=Z)在Z=5+l)p和A=("+l)p-l同时达到最大值.
注:卜]为取整函数,即为不超过X的最大整数.
【应用场景】可以利用该结论方便地计算出相应地最大值.
【典例指引1】
22.某市居民用天然气实行阶梯价格制度,具体见下表:
阶梯年用气量(立方米)价格(元/立方米)
第一阶梯不超过228的部分3.25
第二阶梯超过228而不超过348的部分3.83
第三阶梯超过348的部分4.70
从该市随机抽取10户(一套住宅为一户)同一年的天然气使用情况,得到统计表如下:
居民用气编号12345678910
年用气量(立方米)95106112161210227256313325457
(1)求一户居民年用气费y(元)关于年用气量X(立方米)的函数关系式;
(2)现要在这10户家庭中任意抽取3户,求抽到的年用气量超过228立方米而不超过348立方米的
用户数的分布列与数学期望;
(3)若以表中抽到的IO户作为样本估计全市居民的年用气情况,现从全市中依次抽取10户,其中
恰有/户年用气量不超过228立方米的概率为P(Z),求P(Z)取最大值时的值.
"3.25X4(0,228]
【答案】(1)y=<3.83x-132.24ze(228,348];(2)分布列见解析,数学期望为2;(3)6.
4.7x-435,x∈(348,+∞)0
【分析】(1)由表格中的数据结合题意,即可求得一户居民年用气费y(元)关于年用气量X(立方
米)的函数关系式;
(2)由题意知10户家庭中年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户有3户,得到随机变
量4可取0,1,2,3,利用超凡何分布求得相应的概率,得到随机变量的分布列,进而求得期望;
Y"求…
⑶由P⑻=CCmg列出不等式组由
琮(I)(I)
即可求解.
【详解】(1)由题意,当XW(0,228]时,y=3.25x;
当xe(228,348]时,y=3.83x732.24;
当xe(348,⅛w)时,y=4.7x-435,
'3.25XXe(0,228]
所以年用气费y关于年用气量X的函数关系式为V=3.83x-132.24√ce(228,348].
4.7Λ-435√C∈(348,+∞)
(2)由题知10户家庭中年用I气量超过228立方米而不超过348立方米的用户有3户,
设取到年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数为久则看可取0,1,2,3,
31x
贝IJP(J=O)=与C7P(J=I)=SCφC=K91,
V,品242,如40
123
P(g=2)=*CC='7,尸偌=3)=鼻C1
,
。C^)40'eʒ120
故随机变量4的分布列为:
ξO123
7217I
P
244040T20
72171O
所以E(j)=0x-+lx-+2x-+3x——=—
v724404012010
(3)由题意知P(A)=Ct©nr(4=0,1,2,3,10),
,曰28,,,33*
,解An得—≤⅛≤—,Z∈N,
所以当k=6时,概率P(A)最大,所以Z=6.
【点睛】本题主要考查了分段函数模型的性质及其应用,以及离散型随机变量的分布列与期望的求解,
着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于中档试题.
【典例指引2]
23.某省2021年开始将全面实施新高考方案.在门选择性考试科目中,物理、历史这两门科目采用
原始分计分;思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分,将每科考生的原始分从高
到低划分为A,B,C,D,E共个等级,各等级人数所占比例分别为15%、35%、35%、13%和2%,
并按给定的公式进行转换赋分.该省组织了一次高一年级统一考试,并对思想政治、地理、化学、生
物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分.
(1)某校生物学科获得A等级的共有10名学生,其原始分及转换分如下表:
原始分9190898887858382
转换分IOO99979594918886
人数11212111
现从这10名学生中随机抽取3人,设这3人中生物转换分不低于95分的人数为X,求X的分布列和
数学期望;
(2)假设该省此次高一学生生物学科原始分F服从正态分布M75.8,36).若令η=±±
σ
则7~MO,1),请解决下列问题:
①若以此次高一学生生物学科原始分C等级的最低分为实施分层教学的划线分,试估计该划线分大约
为多少分?(结果保留为整数)
②现随机抽取了该省800名高一学生的此次生物学科的原始分,若这些学生的原始分相互独立,记J
为被抽到的原始分不低于71分的学生人数,求P(ξ=k)取得最大值时k的值.
附:若"N(OJ),则P(η,,().8)≈0.788,PE„1.04)a0.85.
【答案】(1)分布列详见解析,数学期望为g;(2)①69分;②左=631.
【分析】(1)写出随机变量X的所有可能的取值,根据超几何分布求出X的每个值对应的概率,列
出分布列,求出数学期望;
(2)①设该划线分为机,由丫~N(75.8,36)求出由”3,得Y=6〃+758.由题意P(Y⅛m)≈0.85,
σ
又P(41.04)≈0∙85,"M0,l),故PezT.04)=0.85,故史答一.04,即可求出掰;②由题意
6
4;:二二二,,根据独立重复实验的概率计算公式,求出P(J=Z),P(4=01),P信=z+l),
代入不等式组,即求k的值.
【详解】(1)随机变量X的所有可能的取值为Q123.
C;C_50_5
由题意可得:P(X=O)=音=粽=5'P(X=I)=
^cξ^-120-i2
CC=505IO1
P(X=I)==P(X=3)=
"CT12O12
随机变量X的分布列为
X2
1551
P
n1212Vl
^≡f∞=0×⅛+l×⅛+2×⅛+3×⅛=l
(2)①设该划线分为用,由y~N(75∙8,36)得〃=75.8,b=6,
令"=3=上誉,则y=6γ+75.8,
σ6
由题意,P(yem)≈0∙85,即P(6"+75.8》WJ)=P1》也拜卜0.85,
QV~N(O,1),P(7,,1.04)≈0.85,ΛP(7>-∣∙04)≈0.85,
mT518%_104,.∙.t∏≈69.56,取团=69.
②由①讨论及参考数据得
P(y⅛71)=P(6η+75.8⅛7i)=P(77⅛-0.8)=P(η≤0.8)≈0.788,
即每个学生生物统考成绩不低于71分的事件概率约为0.788,
soλ
ξ~β(800,0.788),P(ξ=k)=COOO.788«(I-O.788)"^.
P(ξ=k)≥P(ξ=k-l),
由,
P(⅞=⅛)>P(⅞=⅛+1),
Λ8O0lil8θlt
HΠ[C*IO0.788(1-0.788)^*≥C*^O.788^(l-O.788)^,
即《
80Aλ+,799A
[c;OOo.788*(1-0.788)°-'≥C鼠0.788(1-0.788)-,
解得630.188WRW631.188,
ZGN,.4=631,
二当%=631时,PC=Z)取得最大值.
【点睛】本题考查超几何分布、二项分布及正态分布,考查学生的数据处理能力和运算求解能力,属
于较难的题目.
【针对训练】
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