山东省德州市八校2023-2024学年数学九年级上册期末统考试题含解析

山东省德州市八校2023-2024学年数学九上期末统考试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.如图，正六边形的边长是1cm,则线段AB和CD之间的距离为（）

A.2后cmB.6cmC----cmD.1cm

2,现有四张分别标有数字-2,-1,1,3的卡片，它们除数字外完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一

张卡片，记下数字后放回，洗匀，再随机抽取一张卡片，则第一次抽取的卡片上的数字大于第二次抽取的卡片上的数

字的概率是（）

1315

A.—B.-C.—D.一

4828

3.下列各式中属于最简二次根式的是（）

A.Vx2+1B.V27C.V02D.7^7

4.如图，在平直角坐标系中，过X轴正半轴上任意一点P作y轴的平行线，分别交函数y=〉0）、y=-1（x>0）

的图象于点A、点若C是轴上任意一点，则AA8C的面积为（）

9

A.9B.6C.-D.3

2

5.如图，正六边形ABCDEF的半径OA=OD=2,则点B关于原点O的对称点坐标为（）

C.（一百，1）D.（百，-1）

6.如图，AD//BE//CF,AB=3,BC=6,DE=2,则Ef的值为（）

A.2B.3C.4D.5

7.如图，圆心角都是90。的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起,OA=3,OC=1,分别连结AC、BD,则图中阴影部

分的面积为（）

c.2万D.4万

8,函数y=@与y=一。（。工0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（）

X

A.

9.已知正六边形的边心距是26，则正六边形的边长是（

A.472B.4A/6C.6>/2D.872

10.在下列函数图象上任取不同两点6（与%）,£（&,%），一定能使黄彳＜。成立的是（

A.y=3x-l(x<0)B.y=—jc+2x-l(x>1)

x>0)D.y=x2-4x-l(x>0)

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.自行车因其便捷环保深受人们喜爱，成为日常短途代步与健身运动首选.如图1是某品牌自行车的实物图，图2是

它的简化示意图.经测量，车轮的直径为66cm,中轴轴心C到地面的距离为33cm,后轮中心A与中轴轴心。连

线与车架中立管8C所成夹角NACB=72°,后轮切地面/于点。.为了使得车座8到地面的距离仍为90cm,应当

将车架中立管BC的长设置为cm.

（参考数据：s比72°«0.95,cos7H«0.3l,ton72°«3.1）

12.如图，在R3ABC中，ZACB=90°,ZA=a,将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC,此时点D在

AB边上，则旋转角的大小为

—(X—〃。2+1(〃?是常数)，当0WxW2时，函数N有最大值-2,则加的值为

14.如图，AB为半圆的直径，点D在半圆弧上，过点D作AB的平行线与过点A半圆的切线交于点C,点E在AB

15.已知圆锥的底面圆半径是1,母线是3,则圆锥的侧面积是

16.如图，在RtAABC中，NC=90。，NA8c=30。，AC=2,将RtAABC绕点A逆时针旋转60。得到AAOE,则8c

边扫过图形的面积为

17.点(2,3)关于原点对称的点的坐标是

18.一件商品的标价为108元，经过两次降价后的销售价是72元，求平均每次降价的百分率.若设平均每次降价的百

分率为X,则可列方程•

三、解答题(共66分)

19.(10分)在精准脱贫期间，江口县委、政府对江口教育制定了目标，为了保证2018年中考目标的实现，对九年级

进行了一次模拟测试，现对这次模拟测试的数学成绩进行了分段统计，统计如表，共有2500名学生参加了这次模拟测

试，为了解本次考试成绩，从中随机抽取了部分学生的数学成绩x(得分均为整数，满分为10()分)进行统计后得到

下表，请根据表格解答下列问题:

(1)随机抽取了多少学生?

(2)根据表格计算：。=

分组频数频率

x<30140.07

（3）设60分（含60）以上为合格，请据此估计我县这次这次九年级数学模拟测试成绩合格的学生有多少名？

20.（6分）万州三中初中数学组深知人生最具好奇心和幻想力、创造力的时期是中学时代，经研究，为我校每一个初

中生推荐一本中学生素质数育必读书《数学的奥秘》，这本书就是专门为好奇的中学生准备的.这本书不但给于我们知

识，解答生活中的疑惑，更重要的是培养我们细致观察、认真思考、勤于动手的能力.经过一学期的阅读和学习，为

了了解学生阅读效果，我们从初一、初二的学生中随机各选20名，对《数学的奥秘》此书阅读效果做测试（此次测试

满分：100分）.通过测试，我们收集到20名学生得分的数据如下：

961008995627593868693

初一

95958894956892807890

100989695949292929292

初二

86848382787874646092

通过整理，两组数据的平均数、中位数、众数和方差如表:

年级平均数中位数众数方差

初一87.591m96.15

初二86.2n92113.06

某同学将初一学生得分按分数段（6070,70<x<80,80<x<90,90<x<100）,绘制成频数分布直方

图，初二同学得分绘制成扇形统计图，如图（均不完整），初一学生得分频数分布直方图初二学生得分扇形统计图

（注：x表示学生分数）

请完成下列问题：

（1）初一学生得分的众数m=；初二学生得分的中位数及=:

（2）补全频数分布直方图；扇形统计图中，70Wx<80所对用的圆心角为度；

（3）经过分析学生得分相对稳定（填“初一”或“初二”）；

（4）你认为哪个年级阅读效果更好，请说明理由.

k

21.（6分）如图，R3ABO的顶点A是双曲线y=-与直线y=-x-（k+l）在第二象限的交点，AB_Lx轴于B且SAABO=

x

2.

（1）求这两个函数的解析式.

（2）求直线与双曲线的两个交点A,C的坐标和AAOC的面积.

22.（8分）如图，在AA3C中，BA=BC=12cm,AC=\6cm,点P从A点出发，沿AB以每秒3cm的速度向B点

运动，同时点。从C点出发，沿C4以每秒4c搐的速度向A点运动，设运动的时间为x秒.

（1）当x为何值时，A4PQ与ACQB相似？

（2）当沁时，请直接写出学丝的值.

23.（8分）如图1,是一种自卸货车.如图2是货箱的示意图，货箱是一个底边A8水平的矩形，48=8米，8c=2米,

前端档板高OE=0.5米，底边A5离地面的距离为1.3米.卸货时，货箱底边A〃的仰角a=37。（如图3）,求此时档板最

高点E离地面的高度.（精确到0.1米，参考值：sin3730.60,cos37°=：0.80,tan37°=0.75）

D,

图3

24.（8分）已知抛物线与N轴交于A（—2,0）,3（3,0）两点，与.丫轴交于点C（0,6）.

（1）求此抛物线的表达式及顶点的坐标；

（2）若点。是x轴上方抛物线上的一个动点（与点A,C,8不重合），过点。作。尸J_x轴于点F,交直线BC于点E,

连结BD.设点D的横坐标为m.

①试用含〃?的代数式表示DE的长；

②直线8C能否把分成面积之比为1：2的两部分？若能，请求出点。的坐标；若不能，请说明理由.

（3）如图2,若点M（l,a）,N（2,h）也在此抛物线上，问在）’轴上是否存在点。，使NMQN=45。？若存在，请直

接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

m

25.（10分）如图，已知直线？=入+8与反比例函数y=-（x>0）的图象交于A（1,4）、B（4,1）两点，与x轴

x

交于C点.

(1)求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)根据图象直接回答：在第一象限内，当x取何值时，一次函数值大于反比例函数值？

mi

(3)点尸是y=—(x>0)图象上的一个动点，作轴于。点，连接尸C,当时，求点尸的坐

x2

标.

26.(10分)某商场为了方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯.如图所示，已知原

阶梯式扶梯AB长为10m,坡角NABD=30。；改造后斜坡式自动扶梯的坡角NACB=9。，请计算改造后的斜坡AC的

长度，(结果精确到0.01(sin9°=0.156,cos9°-0.988,tan9°s：0.158)

参考答案

一、选择题(每小题3分，共30分)

1、B

【分析】连接AC,过E作EF_LAC于F,根据正六边形的特点求出NAEC的度数，再由等腰三角形的性质求出NEAF

的度数，由特殊角的三角函数值求出AF的长，进而可求出AC的长.

【详解】如图，连接AC,过E作EF_LAC于F,

VAE=EC,

AAAEC是等腰三角形,

AAF=CF,

•・•此多边形为正六边形，

180°x4

/•ZAEC==120°，

6

120°

AZAEF=—-=60°,

2

ZEAF=30°,

/a/O

:.AF=AEXcos30°=1X—=上，

22

.,.AC=5

故选：B.

【点睛】

本题考查了正多边形的应用，等腰三角形的性质和锐角三角函数，掌握知识点是解题关键.

2、B

【分析】画树状图得出所有等可能结果，从找找到符合条件得结果数，在根据概率公式计算可得.

【详解】画树状图如下：

由树状图知共有16种等可能结果，其中第一次抽取的卡片上的数字大于第二次抽取的卡片上的数字的有6种结果，

所以第一次抽取的卡片上的数字大于第二次抽取的卡片上的数字的概率为二=■1.

168

故选B.

【点睛】

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法

适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之

比.

3、A

【分析】根据最简二次根式的定义解答即可.

【详解】A.J7W是最简二次根式；

B.V后=3出，：•后不是最简二次根式；

C.VVO2=1V5，二不是最简二次根式：

D.Vyjx2y-Xyfy,•不是最简二次根式；

故选A.

【点睛】

本题考查了最简二次根式的识别，如果二次根式的被开方式中都不含分母，并且也都不含有能开的尽方的因式，像这

样的二次根式叫做最简二次根式.

4、C

【分析】连接04、0B,利用A的几何意义即得答案.

3-„

r

【详解】解：连接。4、0B,如图，因为AJ?_Lx轴，则AB〃y轴，,SABOP=3,^AABC=所以

39

S…耳+3=天

故选C.

【点睛】

本题考查了反比例函数系数左的几何意义，属于常考题型，熟知女的几何意义是关键.

5、D

【分析】根据正六边形的性质，解直角三角形即可得到结论.

【详解】解：连接OB,

,正六边形ABCDEF的半径OA=OD=2,

.*.OB=OA=AB=6,ZABO=Z60°,

.•.ZOBH=60°,

.,.BH=-OB=LOH=—OB=J3,

22

AB（-G，1）,

•••点B关于原点。的对称点坐标为（g,-1）.

故选：D.

【点睛】

本题考查了正六边形的性质和解直角三角形的相关知识，解决本题的关键是熟练掌握正六边形的性质，能够得到相应

角的度数.

6、C

【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得出答案.

ADnp

【详解】•：AD//BE//CF,/.­=­.

BCEF

32

"：AB=3>,BC=6,DE=2,=—,：.EF=1.

6EF

故选C.

【点睛】

本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容是解题的关键.

7,C

【详解】由图可知，将AOAC顺时针旋转90。后可与AODB重合,

•••SAOAC=SAOBI）；

因此S阴影=SBIKOAB+SAOBD-SAOAC-S南彩OCI>=S就形OAB-S南彩OCD=-JTX（9-1）=2n.

4

故选C.

8、B

【分析】分a>0与a<0两种情况分类讨论即可确定正确的选项.

【详解】解：当a>o时，函数y=幺的图象位于一、三象限，、=一0?一以。工0）的开口向下，交y轴的负半轴，选

X

项B符合；

当a<o时，函数y=q的图象位于二、四象限，,=一办2一°（。彳0）的开口向上，交y轴的正半轴，没有符合的选项.

X

故答案为：B.

【点睛】

本题考查的知识点是反比例函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象的性质是解此题的关键.

9、A

【分析】如图所示：正六边形ABCDEF中，OM为边心距，OM=26,连接OA、OB,然后求出正六边形的中心角，

证出△OAB为等边三角形，然后利用等边三角形的性质和锐角三角函数即可求出结论.

【详解】解：如图所示：正六边形ABCDEF中，OM为边心距，OM=2«,连接OA、OB

正六边形的中心角NAOB=360°4-6=60°

.•.△OAB为等边三角形

AZAOM=-ZAOB=30°,OA=AB

2

.OMrr

在RtZkOAM中，OA=----------------=4V2

cosZAOM

即正六边形的边长是4夜.

故选A.

【点睛】

此题考查的是根据正六边形的边心距求边长，掌握中心角的定义、等边三角形的判定及性质和锐角三角函数是解决此

题的关键.

10、B

【分析】根据各函数的增减性依次进行判断即可.

【详解】A.Vk=3>0

.,.y随X的增大而增大，即当X2>X1时，必有y2>y1•

y-y.

・••当xWO时,」2~~—>0

故A选项不符合;

B.\•抛物线开口向下,对称轴为直线x=l,

...当x'l时y随x的增大而减小，即当x2>x1时泌有y2<y1

.,.当xml时,>一兀V0

々一天

故B选项符合;

C.当x>0时,y随x的增大而增大，即当x2>x1时，必有y2>yr

此时江

故C选项不符合;

D.•.•抛物线的开口向上，对称轴为直线x=2,

当0<x<2时y随x的增大而减小，此时当X2>xi时泌有yv

必一y

・•・当0<x<2时,----1V0

X2-Xj

当x22时,y随x的增大而增大，即当x2>x1时，必有y2>y2,

此时tu>。

所以当x>0时D选项不符合.

故选:B

【点睛】

本题考查的是一次函数、反比例函数、二次函数的增减性，增减区间的划分是正确解题的关键.

二、填空题（每小题3分，共24分）

11、60

【分析】先计算出AD=33cm,结合已知可知AC〃DF,由由题意可知BEJ_ED,即可得到BE_LAC,然后再求出BH的

长，然后再运用锐角三角函数即可求解.

【详解】解：•••车轮的直径为66cm

AD=33cm

,:CF=33cm

AAC/7DF

AEH=AD=33cm

VBE±ED

/.BE±AC

,:BH=BE-EH=90-33=57cm

,・BH57

・・Z^sinACB=sin72°=-----=------=0.95

BCBC

・・・BC=57旬・95=60cm

故答案为60.

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用，将实际问题中抽象成数学问题是解答本题的关键.

12、2a

【解析】分析：由在RSABC中，NACB=90。，NA=a,可求得：ZB=90°-a,由旋转的性质可得：CB=CD,根据

等边对等角的性质可得NCDB=NB=90。-%然后由三角形内角和定理，求得答案：

•在RtAABC中，ZACB=90°,NA=a,ZB=90°-a.

由旋转的性质可得：CB=CD,AZCDB=ZB=90°-a.

ZBCD=180°-ZB-NCDB=2a,即旋转角的大小为2a.

13、（2+@或

【分析】由题意，二次函数的对称轴为x=m,且开口向下，则可分为三种情况进行分析，分别求出m的值，即可得

到答案.

【详解】解：：y=—（x—mP+1,

二对称轴为工=〃2,且开口向下，

•.•当owxV2时，函数y有最大值-2,

①当机《0时，抛物线在x=0处取到最大值-2,

.,.-（0-m）2+l=-2,

解得：〃z=—G或机=G（舍去）；

②当时，函数有最大值为1；不符合题意；

③当/"22时，抛物线在x=2处取到最大值-2,

.,.-（2-W）2+1=-2,

解得：m=2+6或〃2=2-百（舍去）；

...m的值为：（2+G）或-J5；

故答案为：（2+班）或-6.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，以及二次函数的最值，解题的关键是掌握二次函数的性质，确定对称轴的位置，进行分

类讨论.

【分析】连接CE,过点B作BHJ_CD交CD的延长线于点H,可证四边形ACHB是矩形，可得AC=BH,AB=CH,

由垂直平分线的性质可得BE=CE,CD=BD,可证CE=BE=CD=DB,通过证明RtZ\ACEgRtZ\HBD,可得AE

=DH,通过证明△ACDs/XDHB,可得AC2=AE・BE,由勾股定理可得BE?-AE?=AC2,可得关于BE,AE的方程,

即可求解.

【详解】解：连接CE,过点B作BH_LCD交CD的延长线于点H,

VAC是半圆的切线

AACIAB,

：CD〃AB,

.,.AC±CD,且BHJ_CD,AC±AB,

二四边形ACHB是矩形，

，AC=BH,AB=CH,

VDE垂直平分BC,

r.BE=CE,CD=BD,且DEJ_BC,

.•,ZBED=ZCED,

VAB/7CD,

NBED=NCDE=ZCED,

.,.CE=CD,

；.CE=BE=CD=DB,

VAC=BH,CE=BD,

ARtAACE^RtAHBD(HL)

.,.AE=DH,

・“E2-AE』AC2,

ABE2-AE2=AC2,

•；AB是直径，

.,.ZADB=90°,

:.ZADC+ZBDH=90°,且NADC+NCAD=90。,

.*.ZCAD=ZBDH,且NACD=NBHD,

/.△ACD^ADHB,

.ACCD

••=9

DHBH

.,.AC2=AE»BE,

ABE2-AE2=AE«BE,

，BE="石AE,

2

.AE亚-1

••-----=---------

CD2

故答案为：避二L

2

【点睛】

本题考察垂直平分线的性质、矩形的性质和相似三角形，解题关键是连接CE,过点B作BH±CD交CD的延长线于

点H,证明出四边形ACHB是矩形.

15^37r.

【解析】•••圆锥的底面圆半径是1,••.圆锥的底面圆的周长=2n,则圆锥的侧面积=工*2nX3=3",

2

故答案为3n.

16、27r

【分析】根据BC边扫过图形的面积是：S®«DAB+SAABC-SAADE-SS®ACE,分别求得：扇形BAD的面积、SAABC以及扇

形CAE的面积，即可求解.

【详解】VZC=90°,ZBAC=60°,AC=2,

6()jtx42_8^

扇形BAD的面积是:

3603'

在直角△ABC中，BC=AB«sin60°=4x»26，AC=2,

2

*e•SAABC=SAADE=-AC*BC=­x2x2拒=25/3.

22

扇形CAE的面积是：60-2-=三,

3603

则阴影部分的面积是：SmDAB+SAABC-SAADE-S用彩ACE

_8乃一2%

3~

=2n.

故答案为：2k.

【点睛】

本题考查了扇形的面积的计算，正确理解阴影部分的面积是：S扇彩0人1$+$八1}(：£人旬叱5用彩人0£是关键.

17、(-2,-3).

【解析】根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”可知：

点P(2,3)关于原点对称的点的坐标是(-2,-3).

故答案为(-2,-3).

18、108(1-%)2=72

【分析】设平均每次降价的百分率为x,根据“一件商品的标价为108元，经过两次降价后的销售价是72元”即可列

出方程.

【详解】解：设平均每次降价的百分率为x,

根据题意可得：108(1—x)2=72,

故答案为：108(1—x)2=72.

【点睛】

本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意，找出等量关系是解题的关键.

三、解答题(共66分)

19、(1)200名;(2)124,0.16；(3)1925名

【分析】(1)由题意根据频数分布表中的数据，可以计算出随机抽取的学生人数；

(2)由题意根据(1)中的数据和频数分布表中的数据，可以计算出a和b的值；

(3)根据频数分布表中的数据，即可计算出我县这次这次九年级数学模拟测试成绩合格的学生有多少名.

【详解】解：(1)14+0.07=200(名)，

即随机抽取了200名学生；

（2）a=200x0.62=124,b=32+200=0.16,

故答案为：124,0.16；

（3）2500x（0.62+0.15）

=2500x0.77

=1925（名），

答：我县这次这次九年级数学模拟测试成绩合格的学生有1925名.

【点睛】

本题考查频数分布表和用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意并求出相应的数据.

20、（1）95分，92分；（2）54；（3）初一；（4）初一，见解析

【分析】（D根据众数和中位数知识计算即可；

（2）根据总人数为20人，算出80Wx<90的人数，补全频数分布直方图；再根据表格得出70Wx<80的人数，求

出所占的百分比，算出圆心角度数即可；

（3）根据初一，初二学生得分的方差判断即可；

（4）根据平均数和方差比较，得出结论即可.

【详解】解：（1）初一学生得分的众数加=95（分），

初二年级得分排列为60,64,74,78,78,82,83,84,86,92,92,92,92,92,92,94,95,96,98,100,

92+92

初二学生得分的中位数〃=-------=92（分），

2

故答案为：95分，92分；

（2）804%<90的人数为:20-2-2-11=5（人）

3

扇形统计图中，70Wx<80人数为3人，贝！1所对用的圆心角为360x—=54,

20

故答案为：54；

（3）初一得分的方差小于初二得分的方差，

二初一学生得分相对稳定，

故答案为：初一；

（4）初一阅读效果更好，

•••初一阅读成绩的平均数大于初二阅读成绩的平均数，初一得分的方差小于初二得分的方差，

•••初一阅读效果更好（答案不唯一，言之有理即可）.

【点睛】

本题是对统计知识的综合考查，熟练掌握频数分布直方图，扇形统计图，及方差知识是解决本题的关键.

3

21、（1）y=-----sy=-x+1（1）4.

x

313

【解析】试题分析：（I）根据即51M•|y|=］，所以W・|y|=3,又因为图象在二四象限，所以xy=-3

即《=-3,从而求出反比例函数解析式将仁-3代入>=一%-（攵+1）,求出一次函数解析式；

3

（1）将两个函数关系式y=--和尸-x+1联立，解这个方程组，可求出两个交点A,。的坐标；

x

（3）将x=0代入y=-x+l中，求出。点坐标，根据△AOC的面积=△ADO的面积+△CDO的面积求解即可.

解：（1）设A点坐标为（x,y）,且xVO,y>0

贝（JSAABO=1|OB|・|AB|=*・（-X）^=-1

•*.xy=-3

又Yy=四Ak=-3

x

3

・•・所求的两个函数的解析式分别为y=-y=-x+l

3

y二一一

X

y=-x+2

=

Xj-1x2=3

解得

y.=3

二交点A为（-1,3）,C为（3,-1）

（3）由y=-x+L令x=0,得y=l.

...直线y=-x+l与y轴的交点D的坐标为（0,1）

=X

,.SAQ=SA^1N♦-2X1♦—X2XJ=4

点睛：本题考查了待定系数法求函数关系式，反比例函数与一次函数的综合，割补法求不规则图形的面积.将已知点的

坐标代入解析式，求出未知系数，从而求出函数解析式；将两个函数关系式联立，解所得到的方程组，可求出函数的

交点坐标；求不规则图形的面积，一般采用割或补的方式求解.

7SQ

22、（1）当％=—或—2+2君时，A4PQ与ACBQ相似；（2）-^-=4

45AA叱16

【分析】（1）A4PQ与ACQ8相似，分两种情况：当NAPQ=N8QC时，AAPQbCQB；当NAPQ=NQBC

时，A4PQ\CBQ.分情况进行讨论即可；

S1

（2）通过詈丝=:求出P,Q运动的时间，然后通过作为中间量建立所求的两个三角形之间的关系，从而比

SMBC4

值可求.

【详解】（1）由题意得

AP=3x,QC=4x,AQ=16-4x

BA=BC

:.ZA=ZC

①当AAPQ\CQB时

AP_AQ

~CQ~~BC

3x16-4x

n即rl一=-------

4x12

7

解得：x=j

4

②当\APQ\CBQ时

AQ_AP

~CQ~~BC

„16-4x3x

即n-------=—

4x12

解得：％=-2+2石，々=一2-2石（舍去）

7

综上所述，当X或—2+2道时，AAPQ与ACBQ相似

B

p

AQC

（2）当沁=；时，SABQ^SABC

•.•-BQC和ABC等高，

J.QC」AC=4

4

此时运动的时间为1秒

贝！|AP=3,5P=AB—AP=12-3=9

V8PQ和△ABQ等高

：•SBPQ

=产82

9

：•5BPQ=--5A8C

16

.S、BPQ9

S^ABC16,

【点睛】

本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.

23、点E离地面的高度为8.1米

【分析】延长。A交水平虚线于尸，过E作尸于”，根据题意，在R3AB厂中，求出AF,从而得到EF,结合

Rt^EFH,求出EH即可求得结果.

【详解】解：如图3所示，延长ZM交水平虚线于R过E作尸于"，

VZBAF=90°,ZABF=37°,

:.RtAABF中，4F=tan37°x43uO.75x8=6（米），

：.EF=AF+AD+DE=8.5,

'：ZEHF=9Q°=ZBAF,NBFA=NEFH,

二ZE=37°,

RtAEFH中，EH=cos37°xEPu0.80x8.5=6.8（米），

又V底边AB离地面的距离为1.3米，

...点E离地面的高度为6.8+1.3=8.1（米），

故答案为：8.1米.

图3

【点睛】

本题考查了直角三角形中锐角三角函数值的应用，同角的余角相等，仰角的定义，掌握锐角三角函数值的应用是解题

的关键.

(IV2525、\-nr+3m(0<m<3)

24、(1)y=-\x--+—，顶点坐标为：不-r;(2)®DE=\②能，理由见解析，

\24y[in2-3m\-2<m<Q)

点。的坐标为(1,6)；(3)存在，点。的坐标为：(0,3)或(0,6).

【分析】(D根据待定系数法即可求出抛物线的解析式，然后把一般式转化为顶点式即可得出抛物线的顶点坐标；

(2)①先利用待定系数法求出直线的函数表达式，再设出点E的坐标，然后分点。在y轴右侧和)，轴左侧利

用力-K或%-切列式化简即可；

DF1DF

②根据题意容易判断：点。在y轴左侧时，不存在这样的点当点。在y轴右侧时，分——=—或一=2两种情

EF2EF

况，设出E、尸坐标后，列出方程求解即可；

(3)先求得点N的坐标，然后连接CM,过点N作NGJ_CM交CM的延长线于点G,即可判断NMCN=45。，则

点C即为符合题意的一个点Q,所以另一种情况的点。应为过点C、M、N的。〃与y轴的交点，然后根据圆周角定

理的推论、等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求出C。的长，进而可得结果.

【详解】解：(1)•••抛物线与％轴交于点A(—2,0),3(3,0),

.•.设抛物线的表达式为：y=a(x+2)(x—3),

把点C(0,6)代入并求得：a=-l,

二抛物线的表达式为：y=—(x+2)(x—3)=一/+》+6，

即y=-X-_+三，.•.抛物线的顶点坐标为：彳,二;

<2J4124；

6=Z?\k=-2

⑵①设直线的表达式为：y=kx+b9贝ij解得：\

0=3左+〃[b=6

，直线8。的表达式为：y=-2x+6,

设+m+6),则E(m,-2m+6),

当0<根<3时，:.DE--ITT+m+6+2m-6=-nr+3m,

当一2<相<0时，DE=-2m+6+m2-m-6=nr-3m,

-nr+37/1(0<m<3)

综上：DE={

m2-3m(-2</n<0)

②由题意知：当—2vmv0时，不存在这样的点O；

匹」或匹=2

当0＜根＜3时,

EF2EF

VE(m,-2m+6),F(m,0),/.EF=—2m+6,

-m+3m=J.>解得i,,名=3(舍去)，。。,6),

-2m+62~''

或一"+3〃?=2,解得班=4（舍去），加2=3（舍去）,

-2m+6

综上，直线8C能把AS/年分成面积之比为1：2的两部分，且点。的坐标为（1,6）；

（3）•.•点M（l,a）,N（2,b）在抛物线y=-x?+x+6上，.••。=6,。=4,.•.M（1,6）,N（2,4）,

连接MC,如图，；C（0,6）,M（1,6），MC_Ly轴，过点N作NG_LCM交CM的延长线于点G,TN（2,4）,

...CG=NG=2,...△CNG是等腰直角三角形，，NMCN=45。，则点C即为符合题意的一个点Q,.•.另一种情况的点。

应为过点C、M.N的。”与y轴的交点，连接mV,

•••M（1,6）,N（2,4）,:.MN/=石,CM=1,

,：4MQN=45°,:.NMHN=90°,则半径MH=NH=—MN=,