人教B版高一数学必修第三册单元测试题含答案

试卷第=page66页，共=sectionpages66页试卷第=page11页，共=sectionpages66页人教B版高一数学必修第三册单元测试题含答案第七章综合测试一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列函数是偶函数且在上单调递增的是（

）A． B． C． D．2．如图，函数的图像是由正弦曲线或余弦曲线经过变换得到的，则的解析式可以是（

）A． B．C． D．3．函数的图像（

）A．关于直线对称 B．关于直线对称C．关于点对称 D．关于点对称4．已知函数（，，）的部分图像如图所示，下列说法中错误的是（

）A．函数的图像关于点对称B．函数的图像关于直线对称C．函数在上单调递增D．函数在的取值范围为5．勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.如图，勒洛三角形ABC的周长为π，则该勒洛三角形ABC的面积为（

）A． B． C． D．6．已知，则（

）A． B．C． D．7．已知方程，则（

）A． B． C． D．8．已知定义域是全体实数的函数满足，且函数，函数，现定义函数，为：，，其中，那么下列关于函数,叙述正确的是（

）．A．都是奇函数且周期为 B．都是偶函数且周期为C．均无奇偶性但都有周期性 D．均无周期性但都有奇偶性二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9．下列大小关系正确的是（

）A． B．C． D．10．已知某时钟的分针长4cm，将快了5分钟的该时钟校准后，则（

）A．时针转过的角为B．分针转过的角为C．分针扫过的扇形的弧长为D．分针扫过的扇形的面积为11．已知函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（

）A．的图像关于点对称B．在区间的最小值为C．为偶函数D．的图像向右平个单位后得到的图像12．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为R的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时60秒，当，盛水筒M位于点，经过t秒后运动到点，点P的纵坐标满足（，，），则下列叙述正确的是（

）A．筒车转动的角速度B．当筒车旋转50秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为C．当筒车旋转50秒时，盛水筒M和初始点的水平距离为D．盛水筒M第一次到达最高点需要的时间是25秒三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）13．已知函数在定义域为，值域为，则实数的取值范围为_________.14．若是钝角，，则____________．15．函数的最大值为______.16．已知函数．则函数的一个零点为__________；若，使得，则的最小值与最大值之和为__________．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，记，求当取何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积．某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表：00100000(1)请写出表格中空格处的值，写出函数的解析式，并画出函数的大致图像；将函数的图像向右平移个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求的单调减区间.19．已知函数（，）的图像关于直线对称，且的相邻两个零点间的距离为．(1)求的值；(2)将函数的图像向左平移个单位长度后，得到的图像，求函数的单调递减区间.20．计算下列两个小题(1)计算；(2)已知角终边上有一点，求的值．21．长春某日气温y（℃）是时间t（，单位：小时）的函数，该曲线可近似地看成余弦型函数的图像．(1)根据图像，试求（，，）的表达式；(2)大数据统计显示，某种特殊商品在室外销售可获3倍于室内销售的利润，但对室外温度要求是气温不能低于23℃．根据（1）中所得模型，一个24小时营业的商家想获得最大利润，应在什么时间段（用区间表示）将该种商品放在室外销售，单日室外销售时间最长不能超过多长时间？（忽略商品搬运时间及其它非主要因素，理想状态下！）22．若函数满足，且，，则称为“型函数”.(1)判断函数是否为“型函数”，并说明理由；(2)已知为定义域为的奇函数，当时，，函数为“型函数”，当时，，若函数在上的零点个数为9，求的取值范围.试卷第=page44页，共=sectionpages44页试卷第=page1111页，共=sectionpages1616页参考答案：1．D【分析】根据正弦函数、余弦函数和正切函数的奇偶性和单调性依次判断各个选项即可.【详解】对于A，定义域为，，为奇函数，A错误；对于B，定义域为，，为偶函数；由余弦函数性质知：在上单调递减，B错误；对于C，定义域为，，为奇函数，C错误；对于D，定义域为，，为偶函数；当时，，由正弦函数性质知：在上单调递增，即在上单调递增，D正确.故选：D.2．B【分析】将图像上特殊点的坐标代入选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】对于A选项，由于，不正确；对于C选项，由于，不正确；对于D选项，由于，不正确；函数的图像上特殊点代入B检验，都满足，故B正确.故选：B3．B【分析】根据选项，采用代入法，判断选项.【详解】A.，所以函数不关于直线对称，故A错误；B.，所以函数关于直线对称，故B正确；C.，所以函数不关于点对称，故C错误；D.，所以函数不关于点对称，故D错误；故选：B4．D【分析】根据题图得，，由可得，故，再逐项分析即可.【详解】由题意可得,，解得.由，得.因为，所以，所以.,所以函数的图像关于点对称，故A正确；，故函数的图像关于直线对称，故B正确；时，，所以函数在上单调递增，故C正确；时，，所以,所以，故D错误.故选:D.5．C【分析】由题意可得曲边三角形的面积为3个扇形面积减去2个三角形的面积．【详解】因为勒洛三角形ABC的周长为π，所以每段圆弧长为，解得，即正三角形的边长为1，由题意可得，故选：C6．A【分析】利用三角函数单调性结合中间值即可比较大小.【详解】因为函数在上单调递增，所以，因为函数在上单调递减，所以，因为函数在上单调递增，所以，所以，即.故选：A7．B【分析】由，变形为，得到，再由，利用商数关系求解.【详解】解：因为方程，所以，即，则或（舍去），所以，所以，，故选：B8．B【分析】利用周期函数的等价表达式，分别化简，，，，结合奇偶性的定义即可求解答案.【详解】由得.对于函数，当时，显然具有周期性和奇偶性；当时，；显然，所以函数是偶函数；又,所以为函数的一个周期.对于函数，当时，，显然具有周期性和奇偶性；当时，，所以，所以函数是偶函数；又,所以是函数的一个周期.综上所述，函数，都是偶函数且周期为.故选：B9．ABD【分析】根据正弦函数、余弦函数和正切函数的单调性及函数值的范围依次判断各个选项即可.【详解】对于A，在上单调递减，，又，，A正确；对于B，在上单调递减，，，B正确；对于C，当时，；当时，；，C错误；对于D，，，，D正确.故选：ABD.10．BC【分析】根据分针转一圈为60分，时针转一圈为12小时，分别求得其圆周角，再利用弧长公式和面积公式求解.【详解】由题意，得时针转过的角为，分针转过的角为，分针扫过的扇形的弧长为，面积为.故选：BC.11．BC【分析】由图像可求得的解析式，对于A：验证是否为的零点；对于B先求出的范围再求的值域；对于C，求出的解析式判断奇偶性；对于D：根据图像的平移求出平移后的解析式判断.【详解】，由图像可知，即，又，所以，由五点作图法可得，解得，所以，对于A：，所以的图像关于对称，故A错误；对于B：当时，，即在区间上的最小值为，故B正确；对于C：，为偶函数，故C正确.对于D：的图像向右平移个单位后得到的图像，故D错误；故选:BC.12．ABD【分析】根据题意，结合正弦型函数的性质逐一判断即可.【详解】A：因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时秒，所以，因此A正确；B：因为当时，盛水筒位于点，所以，所以有，因为，所以，即，所以，因此B正确；C：由B可知：盛水筒的纵坐标为，设它的横坐标为，所以有，因为筒车旋转秒时，所以此时盛水筒在第三象限，故，盛水筒和初始点的水平距离为，因此C错误；D：因为，所以筒车在秒的旋转过程中，盛水筒第一次到达最高点所需要的时间是，因此D正确.故选：ABD.13．【分析】由定义域和对应的值域即可求出实数的取值范围.【详解】由题意，在中，定义域为，值域为，周期为，∴，解得：，故答案为：.14．/【分析】由诱导公式求得，再由同角关系式求得．【详解】，因为是钝角，所以，．故答案为：.15．/【分析】利用二次函数性质即可求得函数的最大值【详解】又，则当时，函数的最大值为故答案为：16．（和均可）【分析】令，即可得出函数的零点，作出函数的图像，结合图像分别求出的最小值和最大值，即可得解.【详解】由，得，令，则或或，所以或或，即函数的一个零点为（和均可），如图，作出函数的图像，当的图像与直线相交时，前个交点依次为，此时最小，令，解得，所以的最小值为，当的图像与直线相交时，交点依次为，此时最大，令，解得，所以的最大值为，所以的最小值与最大值之和为.故答案为：（和均可）；.17．，矩形的面积最大，为．【分析】由题意可得，，从而可得矩形的面积，再由可得，由此可得当时，取得最大值.【详解】在中，，，在中，，所以，所以，设矩形的面积为，则，由，得，所以当，即时，，因此，当时，矩形的面积，最大面积为.18．(1)，，，图像见解析(2)【分析】（1）根据表中的数据以及五点作图的规律直接求解即可；（2）根据平移变换及周期变换的规则可得函数的解析式,求出定义域，再由复合函数的单调性求解即可.【详解】（1）设第一行两个数分别为，第四行待求数为，依题意可知，，解得，又，所以，故由，，解得，又，综上：，，,函数图像为：（2）函数的图像向右平移个单位，得到，再将所得图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数，函数中，，即，所以，即，所以，即函数的定义域为，因为为减函数，所以当为增函数时，即时，函数为减函数.即函数的单调减区间为.19．(1)(2)【分析】（1）根据题意可得的最小正周期，由公式求出.根据三角函数的对称轴求出，进而得出函数的解析式；（2）根据三角函数图像的平移变换可得，利用整体代换法即可求解.【详解】（1）因为的相邻两个零点间的距离为，所以的最小正周期，从而．又的图像关于直线对称，所以．因为，所以，即，得，所以，则；（2）将函数的图像向左平移个单位长度后得到的图像，所以，令，解得，所以的单调递减区间为20．(1)(2)【分析】（1）利用诱导公式直接化简求解即可；（2）先利用三角函数的定义求，再利用诱导公式代入求解即可.【详解】（1）（2）因为角终边上有一点，所以，，，所以.21．(1)，(2)应在时间段将该种商品放在室外销售，单日室外销售时间最长不能超过（小时）【分析】（1）结合函数图像，由求得A，b，再由求得T，再将，代入求解；（2）由（1）得到解析式，令求解.【详解】（1）解：根据以上数据知，，解得，；由，解得，所以；由时，，即，解得，即，；所以，；由，解得；所以，；（2）令，得，即，；解得，；当时，，所以24小时营业商家想获得最大利润，应在时间段将该种商品放在室外销售，且单日室外销售时间最长不能超过（小时）．22．(1)函数是“型函数”，理由见解析(2)【分析】（1）判断出关于直线对称，且最小正周期为，由定义可判断出答案；（2）由题意得到的零点为，0，1，即或或，由对称性和周期性画出在上的图像，数形结合求出.【详解】（1）由，得，所以的周期为，由，，得的图像关于直线对称，因为，所以的图像关于直线对称，又的最小正周期为，所以函数是“型函数”.（2）令，得，因为是定义域为的奇函数，所以的零点为，0，1.令，所以或0或1，即或或.画出在上的图像，由的图像关于直线对称，可画出在上的图像.由的最小正周期为，可画出在上的图像.故在上的图像如图所示，所以函数在上的零点个数等于在上的图像与直线，，的交点个数之和.当，即时，在上的图像与直线，，的交点个数之和为9.故的取值范围为【点睛】函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图像交点问题，将代数问题几何化，借助图像分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图像，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图像的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图像的对称性进行解决.第八章综合测试一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知，是夹角为60°的单位向量，则（

）A．7 B．13 C． D．2．已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，点O为其外接圆的圆心，已知，则边（

）A．5 B．6 C．7 D．83．点O在ABC所在的平面内，若，则O为ABC的（

）A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心4．设，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B．C． D．5．已知，其中，则（

）A． B． C． D．6．若，则（

）A． B． C．或 D．或17．已知向量，，则下列说法正确的是（

）A． B．向量在向量上的投影向量是C． D．与向量方向相同的单位向量是8．已知函数，以下说法中正确的是（

）①函数关于直线对称；②函数在上单调递增；③当时，的取值范围为；④将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的解折式为．A．①③ B．②③④ C．①④ D．②二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9．如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则（

）A． B．C．存在最大值 D．的最大值为10．平行四边形中，，，，点在边上，则的取值可能是（

）A． B． C． D．11．已知，，，则（

）A． B．C． D．12．已知函数，则下列说法错误的是（

）A．函数的最小正周期为B．是函数图像的一个对称中心C．将函数的图像向右平移个单位后得到一个偶函数D．函数在上有7个零点三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）13．已知，请写出一个满足条件的角；_______.14．设非零向量，的夹角为．若，且，则____________．15．已知，则=___________.16．一般地，存在一个次多项式，使得，这些多项式称为切比雪夫多项式．由，知，通过运算，可以得到的切比雪夫多项式______．结合上述知识计算______．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知．(1)若的终边位于第三象限角，求的值；(2)求的值．18．如图，在中，D是线段上的点，且，O是线段的中点延长交于E点，设．(1)求的值；(2)若为边长等于2的正三角形，求的值．19．向量，向量．(1)求；(2)若向量与向量共线，，求的模的最小值．20．已知向量，在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题(1)若______，求实数t的值；(2)若向量，且，求.21．已知函数+.(1)当x∈时，求的值域；(2)若x∈时，方程=m恰有两个不同的数，求实数m取值范围.22．对于函数，若存在非零常数M，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“M函数”；对于函数，若存在非零常数M，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“严格M函数”.(1)求证：，是“M函数”；(2)若函数，是“函数”，求k的取值范围；(3)对于定义域为R的函数对任意的正实数M，均是“严格M函数”，若，求实数a的最小值.参考答案：1．C【分析】对表达式直接平方，结合数量积的运算进行求解.【详解】，于是.故选：C2．C【分析】取AC的中点D，得到OD⊥AC，利用向量的数量积可得，即可求解.【详解】设AC的中点为D，因为点O为其外接圆的圆心，所以OA=OB=OC，连接OD，由三线合一得：OD⊥AC，则即，由，解得.故选：C.3．D【分析】根据已知条件作出图形，利用向量的线性运算及数量积运算，结合向量垂直的条件及三角形外心的定义即可求解.【详解】分别取AB的中点为D，BC的中点为E，如图所示则，，由得，所以，所以垂直平分线段，由得,所以，所以垂直平分线段，所以点O为ABC的外心.故选：D．4．B【分析】运用和角、差角公式（辅助角公式）、二倍角公式、诱导公式及三角函数的单调性可比较大小.【详解】因为，，，因为，所以．故选：B.5．C【分析】先利用三角函数的基本关系式求得，再利用正切的倍角公式和两角差的正切公式，即可求解.【详解】因为，其中，则，可得，又因为，所以．故选：C.6．A【分析】利用二倍角余弦公式及商数关系可得，即可求，最后由和角正切公式求值.【详解】由，所以，得，所以.故选：A7．D【分析】利用向量平行的坐标表示判断A；根据投影向量定义求向量在向量上的投影向量判断B；应用向量数量积运算律求判断C；由单位向量定义求与向量方向相同的单位向量判断D.【详解】A：由，故不成立，错；B：由，错；C：，则，错；D：与向量方向相同的单位向量是，对.故选：D8．D【分析】根据倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，利用正弦函数的性质及函数的平移变换即可求解．【详解】由题意可得，，，所以图像的关于中心对称，故①错误；因为，所以，所以在是单调递增区间，故②正确；因为，所以，所以，即，所以的取值范围为，故③错误；将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的解折式为，故④错误．故选：D.9．ABC【分析】对于AB，将分别用表示，再结合数量积的运算律即可判断；对于CD，以点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设，根据平面向量的坐标表示及坐标运算即可判断.【详解】对于A，因为，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，所以，则，故A正确；，则，故B正确；如图，以点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则，因为点在以的中点为圆心，为半径的单位圆上，且在轴的下半部分，设，则，所以，因为，所以，所以当，即时，取得最大值，故C正确；因为，所以，即，所以，所以，因为，所以当时，取得最大值，故D错误.故选：ABC.10．BC【分析】作，以为坐标原点可建立平面直角坐标系，利用向量夹角运算可求得，由此可得各点坐标；设，利用数量积坐标运算可将转化为关于的二次函数的形式，结合二次函数性质可求得的取值范围，由此可得结果.【详解】作，垂足为，以点为原点，正方向为轴可建立如图所示平面直角坐标系，，，在中，，，则，，则，，设，，，，开口向上，对称轴为，且，当时，取最小值；当时，取最大值；的取值范围为，可能的取值为和.故选：BC.11．BD【分析】化简得到，得到，确定，计算得到，依次计算每个选项得到答案.【详解】，故，，故；，则，，解得或（舍）.对选项A：，错误；对选项B：，正确；对选项C：，错误；对选项D：，正确；故选：BD12．ABC【分析】首先利用二倍角公式及辅助角公式化简函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可.【详解】，即，故最小正周期，故A错误；又，，即，所以不是函数图像的的一个对称中心，故B错误；将函数的图像向右平移个单位得到，显然该函数不是偶函数，故C错误；令，即，即，所以或，，所以或，，因为，所以函数在上有个零点分别为，，，，，，，故D正确；故选：ABC13．（答案不唯一）【分析】由得，写出一个满足条件的角即可.【详解】，所以，则，故满足条件的一个角为.故答案为：（答案不唯一）.14．60°/【分析】由向量垂直的表示，应用数量积的运算律及定义求夹角即可.【详解】由题设，所以，又，所以.故答案为：15．【分析】运用二倍角进行化简，将其转为其次式即可求出结果.【详解】注意到，则，又，则.故答案为：.16．【分析】方法一：把变为，然后利用两角和余弦公式及二倍角公式化简即可得到；结合及，建立的方程求解即可.【详解】[方法一]：，∴；设，∵，∴，即，∴（舍去）或或（舍去），∴.故答案为：；.[方法二]：，∵，∴，∵，∴，，，解得或（舍去），∴，．故答案为：；.17．(1)(2)【分析】（1）先利用两角差的正切公式计算的值，再利用同角三角函数关系求得的值，最后求出的值；（2）利用二倍角的余弦、正弦