2023年浙江省杭州市中国美院附中中考数学冲刺模拟试卷（一）+

2023年冲刺美院附中数学模拟试卷（一）总分：150，考试时间：150分钟一、选择题：本大题有12个小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a5 B．（a2）3＝a8 C．（a2b）3＝a2b3 D．a6÷a3＝a22．如图是战机在空中展示的轴对称队形．以飞机B，C所在直线为x轴、队形的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系．若飞机E的坐标为（40，a），则飞机D的坐标为（）A．（40，﹣a） B．（﹣40，a） C．（﹣40，﹣a） D．（a，﹣40）3．如图，点的坐标为，点是轴正半轴上的一点，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段．若点的坐标为，则的值为A． B． C． D．4．在“探索函数y＝ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为（）A． B． C． D．5．已知线段AB，按如下步骤作图：①作射线AC，使AC⊥AB；②作∠BAC的平分线AD；③以点A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点E；④过点E作EP⊥AB于点P，则AP：AB＝（）A．1： B．1：2 C．1： D．1：6．已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值分别是M1和M2，若存在实数m，使得M1+M2＝0，则称函数y1和y2具有性质P．以下函数y1和y2具有性质P的是（）A．y1＝x2+2x和y2＝﹣x﹣1 B．y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1 C．y1＝﹣和y2＝﹣x﹣1 D．y1＝﹣和y2＝﹣x+17．下表是某校乐团的年龄分布，其中一个数据被遮盖了，下面对于中位数的说法正确的是（）年龄13141516频数5713■A．中位数是14 B．中位数可能是14.5 C．中位数是15或15.5 D．中位数可能是168．抛掷两枚均匀的硬币，当抛掷次数很多以后，两个硬币出现一个正面朝上一个反面朝上的频率值大约稳定在（）A．25% B．50% C．75% D．33.3%9．如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF＝2，则PE的长为（）A．2 B．2 C． D．310．从下列4个函数：①y＝3x﹣2；②y＝﹣；③y＝（x＞0）；④y＝﹣x2中任取一个，函数值y随自变量x的增大而增大的是（）A．① B．①② C．③ D．①③11．若不等式组的解为x＞2，则函数图象与x轴的交点是（）A．相交于两点 B．没有交点 C．相交于一点 D．没有交点或相交于一点12．如图1，正方形纸片ABCD边长为2，折叠∠B和∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上的一点P，EF、GH分别是折痕（图2）．设AE＝x（0＜x＜2），给出下列判断：①x＝时，EF+GH＝AC；②六边形AEFCHG面积的最大值是3.5；③六边形AEFCHG周长的值为定值．其中正确的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、填空题：本大题有7个小题，每小题3分，共21分。13．68°42′24″的余角是．14．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若tan∠DBA＝，则AD的长是．15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC+BC＝16，点O是斜边AB上一点，以O为圆心的⊙O分别与AC，BC相切于点D，E．（1）当AC＝2时，求⊙O的半径；（2）设AC＝x，⊙O的半径为y，求y与x的函数关系式是．第15题第16题16．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝6．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F．当点M与点B重合时，EF的长为；当点M的位置变化时，DF长的最大值为．17．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，底边的长为3，则腰的长为．15．（3分）一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完．在整个过程中，容器中的水量（升与时间（分钟）之间的函数关系如图所示，则图中的值为．18．如下左图，在矩形中，．动点从点出发，沿边向点匀速运动，动点从点出发，沿边向点匀速运动，连接．动点，同时出发，点运动的速度为，点运动的速度为，且．当点到达点时，，两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形沿翻折，得到四边形．若在某一时刻，点的对应点恰好与的中点重合，则的值为．第18题第19题19．如上右图是一张矩形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连接DF，EF．若MF＝AB，则∠DAF＝度．三、解答题：本大题有10个小题，共93分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。20．（6分）已知，求的值．21．（6分）一只不透明的袋子中装有1个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同．（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球是白球的概率为；（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）22．（9分）某校九年级640名学生在“信息素养提升”培训前、后各参加了一次水平相同的测试，并以同一标准折算成“6分”、“7分”、“8分”、“9分”、“10分”5个成绩．为了解培训效果，用抽样调查的方式从中抽取了32名学生的2次测试成绩，并用划记法制成了如表表格：培训前成绩（分678910划记正正正正人数（人124754培训后成绩（分678910划记一正正正正人数（人413915（1）这32名学生2次测试成绩中，培训前测试成绩的中位数是，培训后测试成绩的中位数是，则；（填“”、“”或“”（2）这32名学生经过培训，测试成绩为“6分”的百分比比培训前减少了多少？（3）估计该校九年级640名学生经过培训，测试成绩为“10分”的学生增加了多少人？23．（8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点．（1）求与的值；（2）为轴上的一动点，当的面积为时，求的值．24．（8分）如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点．是延长线上的一点，且．（1）求证：为的切线；（2）连接，取的中点，连接．若，，求的长．25．（10分）某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如表所示：进货批次甲种水果质量（单位：千克）乙种水果质量（单位：千克）总费用（单位：元）第一次60401520第二次30501360（1）求甲、乙两种水果的进价；（2）销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果共200千克，且投入的资金不超过3360元．将其中的千克甲种水果和千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的200千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数的最大值．26．（10分）如图，二次函数是常数，且的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为．其对称轴与线段交于点，与轴交于点．连接，．（1）求，，三点的坐标（用数字或含的式子表示），并求的度数；（2）若，求的值；（3）若在第四象限内二次函数是常数，且的图象上，始终存在一点，使得，请结合函数的图象，直接写出的取值范围．27．（12分）（1）如图1，在中，，平分，交于点，，交于点．①若，，求的长；②试探究是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．（2）如图2，和是的2个外角，，平分，交的延长线于点，，交的延长线于点．记的面积为，的面积为，的面积为．若，求的值．28．（12分）在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）．（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；（2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+1的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由．（3）已知a＝b＝1，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若p+q＝2，求证：P+Q＞6．29．（12分）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连接BG．（1）求证：△ABG∽△AFC．（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．（3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD＝∠CBE，求证：BG2＝GE•GD．2023年冲刺美院附中数学模拟试卷（一）一、选择题：1．下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a5 B．（a2）3＝a8 C．（a2b）3＝a2b3 D．a6÷a3＝a2【分析】根据同底数的幂的乘除，幂的乘方与积的乘方法则逐项判断．【解答】解：a2•a3＝a5，故A正确，符合题意；（a2）3＝a6，故B错误，不符合题意；（a2b）3＝a6b3，故C错误，不符合题意；a6÷a3＝a3，故D错误，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查同底数的幂的乘除，幂的乘方与积的乘方，解题的关键是掌握相关运算的法则．2．如图是战机在空中展示的轴对称队形．以飞机B，C所在直线为x轴、队形的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系．若飞机E的坐标为（40，a），则飞机D的坐标为（）A．（40，﹣a） B．（﹣40，a） C．（﹣40，﹣a） D．（a，﹣40）【分析】根据轴对称的性质即可得到结论．【解答】解：∵飞机E（40，a）与飞机D关于y轴对称，∴飞机D的坐标为（﹣40，a），故选：B．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．3．如图，点的坐标为，点是轴正半轴上的一点，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段．若点的坐标为，则的值为A． B． C． D．【解答】解：过作轴于点，轴于点，如图：轴，轴，，四边形是矩形，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，，，是等边三角形，，，，，，，，，在中，，在中，，，，化简变形得：，解得或（舍去），，故选：．4．在“探索函数y＝ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为（）A． B． C． D．【分析】比较任意三个点组成的二次函数，比较开口方向，开口向下，则a＜0，只需把开口向上的二次函数解析式求出即可．【解答】解：由图象知，A、B、D组成的点开口向上，a＞0；A、B、C组成的二次函数开口向上，a＞0；B、C、D三点组成的二次函数开口向下，a＜0；A、D、C三点组成的二次函数开口向下，a＜0；即只需比较A、B、D组成的二次函数和A、B、C组成的二次函数即可．设A、B、C组成的二次函数为y1＝a1x2+b1x+c1，把A（0，2），B（1，0），C（3，1）代入上式得，，解得a1＝；设A、B、D组成的二次函数为y＝ax2+bx+c，把A（0，2），B（1，0），D（2，3）代入上式得，，解得a＝，即a最大的值为，故选：A．5．已知线段AB，按如下步骤作图：①作射线AC，使AC⊥AB；②作∠BAC的平分线AD；③以点A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点E；④过点E作EP⊥AB于点P，则AP：AB＝（）A．1： B．1：2 C．1： D．1：【分析】直接利用基本作图方法得出AP＝PE，再结合等腰直角三角形的性质表示出AE，AP的长，即可得出答案．【解答】解：∵AC⊥AB，∴∠CAB＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠EAB＝×90°＝45°，∵EP⊥AB，∴∠APE＝90°，∴∠EAP＝∠AEP＝45°，∴AP＝PE，∴设AP＝PE＝x，故AE＝AB＝x，∴AP：AB＝x：x＝1：．故选：D．6．已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值分别是M1和M2，若存在实数m，使得M1+M2＝0，则称函数y1和y2具有性质P．以下函数y1和y2具有性质P的是（）A．y1＝x2+2x和y2＝﹣x﹣1 B．y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1 C．y1＝﹣和y2＝﹣x﹣1 D．y1＝﹣和y2＝﹣x+1【分析】根据题干信息可知，直接令y1+y2＝0，若方程有解，则具有性质P，若无解，则不具有性质P．【解答】解：A．令y1+y2＝0，则x2+2x﹣x﹣1＝0，解得x＝或x＝，即函数y1和y2具有性质P，符合题意；B．令y1+y2＝0，则x2+2x﹣x+1＝0，整理得，x2+x+1＝0，方程无解，即函数y1和y2不具有性质P，不符合题意；C．令y1+y2＝0，则﹣﹣x﹣1＝0，整理得，x2+x+1＝0，方程无解，即函数y1和y2不具有性质P，不符合题意；D．令y1+y2＝0，则﹣﹣x+1＝0，整理得，x2﹣x+1＝0，方程无解，即函数y1和y2不具有性质P，不符合题意；故选：A．7．下表是某校乐团的年龄分布，其中一个数据被遮盖了，下面对于中位数的说法正确的是（）年龄13141516频数5713■A．中位数是14 B．中位数可能是14.5 C．中位数是15或15.5 D．中位数可能是16【分析】根据列表，由中位数的概念计算即可．【解答】解：5+7+13＝25，由列表可知，人数大于25人，则中位数是15或（15+16）÷2＝15.5或16．故选：D．8．抛掷两枚均匀的硬币，当抛掷次数很多以后，两个硬币出现一个正面朝上一个反面朝上的频率值大约稳定在（）A．25% B．50% C．75% D．33.3%【分析】抛掷两枚均匀的硬币，可能会出现四种情况，而出现出现一个正面朝上一个反面朝上的机会为二分之一，据此可估计抛掷次数足够大时，两个硬币出现一个正面朝上一个反面朝上的频率值．【解答】解：抛掷2枚硬币时，所有可能情况列表如下：正反正（正，正）（反，正）反（正，反）（反，反）由表知所有等可能的情况有4种，其中一个正面朝上，一个反面朝上的情况有2种，所以两个硬币出现一个正面朝上一个反面朝上的概率为＝，当抛掷次数足够大时，两个硬币出现一个正面朝上一个反面朝上的频率值大约稳定在＝50%，故选：B．9．如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF＝2，则PE的长为（）A．2 B．2 C． D．3【分析】先根据△ABC是等边三角形P是∠ABC的平分线可知∠EBP＝∠QBF＝30°，再根据BF＝2，FQ⊥BP可得出BQ的长，再由BP＝2BQ可求出BP的长，在Rt△BEF中，根据∠EBP＝30°即可求出PE的长．【解答】解：∵△ABC是等边三角形P是∠ABC的平分线，∴∠EBP＝∠QBF＝30°，∵BF＝2，QF为线段BP的垂直平分线，∴∠FQB＝90°，∴BQ＝BF•cos30°＝2×＝，∴BP＝2BQ＝2，在Rt△BEP中，∵∠EBP＝30°，∴PE＝BP＝．故选：C．10．从下列4个函数：①y＝3x﹣2；②y＝﹣；③y＝（x＞0）；④y＝﹣x2中任取一个，函数值y随自变量x的增大而增大的是（）A．① B．①② C．③ D．①③【分析】利用一次、二次函数，以及反比例函数的性质判断即可．【解答】解：①y＝3x﹣2，y随着x的增大而增大；②y＝﹣，在每一象限内，y随着x的增大而增大；③y＝（x＞0），y随着x的增大而减小；④y＝﹣x2，当x＜0时，y随着x的增大而增大，则函数值y随自变量x的增大而增大的是①，故选：A．11．若不等式组的解为x＞2，则函数图象与x轴的交点是（）A．相交于两点 B．没有交点 C．相交于一点 D．没有交点或相交于一点【分析】根据不等式组的解集求得a的取值范围，并令＝0，通过解该方程的根的判别式的符号即可判断二次函数与x轴的交点的个数．【解答】解：解不等式组，得；∵不等式组的解为x＞2，∴a≤2，∴a﹣2≤0；令＝0，则△＝1﹣4×（6﹣2a）×＝a﹣2≤0；∴二次函数图象与x轴没有交点或相交于一点．故选：D．12．如图1，正方形纸片ABCD边长为2，折叠∠B和∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上的一点P，EF、GH分别是折痕（图2）．设AE＝x（0＜x＜2），给出下列判断：①x＝时，EF+GH＝AC；②六边形AEFCHG面积的最大值是3.5；③六边形AEFCHG周长的值为定值．其中正确的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【分析】由△BEF∽△BAC，得出EF＝AC，同理得GH＝AC，得结论①，由六边形AEFCHG面积＝正方形ABCD的面积﹣△EBF的面积﹣△GDH的面积，得出函数关系式，利用二次函数性质求最大值即可判断②，根据六边形AEFCHG周长＝AE+EF+FC+CH+FG+AG＝（AE+CH）+（FC+AC）+（EF+GH）得出定值即可得证结论③．【解答】解：由题知，正方形纸片ABCD边长为2，折叠∠B和∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上的一点P，EF、GH分别是折痕，∴△BEF∽△BAC，∵x＝，∴BE＝2﹣＝，∴＝＝＝，∴EF＝AC，同理，GH＝AC，∴EF+GH＝AC，故①正确；六边形AEFCHG面积＝正方形ABCD的面积﹣△EBF的面积﹣△GDH的面积，∵AE＝x，∴六边形AEFCHG面积＝22﹣BE•BF﹣GD•DH＝4﹣＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3，∴六边形AEFCHG面积最大值为3，故②不正确；∵EF+GH＝AC，∴六边形AEFCHG周长＝AE+EF+FC+CH+FG+AG＝（AE+CH）+（FC+AC）+（EF+GH）＝2+2+2＝4，故③正确；故选：B．二、填空题：13．68°42′24″的余角是21°17′36″．【分析】根据互为余角的两个角的和为90°作答．【解答】解：根据余角的定义可知，68°42′24″的余角是：90°﹣68°42′24″＝21°17′36″．故答案为：21°17′36″．14．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若tan∠DBA＝，则AD的长是2．【分析】过D作DH⊥AB于H，由tan∠DBA＝，设DH＝m，则BH＝5m，AB＝6m，根据三角形ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，AC＝6，可得AB＝6，从而可得6m＝6，解得m，即可得到答案．【解答】解：过D作DH⊥AB于H，如图：Rt△BDH中，tan∠DBA＝，∴＝，设DH＝m，则BH＝5m，∵三角形ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，AC＝6，∴∠A＝45°，AB＝AC＝6，∴△AHD是等腰直角三角形，∴AH＝m，AD＝m，∴AB＝AH+BH＝6m，∴6m＝6，解得m＝，∴AD＝m＝2．故答案为：2．15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC+BC＝16，点O是斜边AB上一点，以O为圆心的⊙O分别与AC，BC相切于点D，E．（1）当AC＝2时，求⊙O的半径；（2）设AC＝x，⊙O的半径为y，求y与x的函数关系式是y＝﹣x2+x（0＜x＜16）．【分析】（1）连接OE，OD，根据切线的性质、正方形的判定定理得到四边形OECD是正方形，进而得到DC＝OD，证明△ADO∽△ACB，根据相似三角形的性质列式计算即可；（2）根据相似三角形的性质列出比例式，把含x、y的式子代入，化简即可．【解答】解：（1）连接OE，OD，在△ABC中，∠C＝90°，AC+BC＝16，∵AC＝2，∴BC＝14，∵以O为圆心的⊙O分别与AC，BC相切于点D，E，∴∠ODC＝∠OEC＝90°，∵∠C＝90°，OD＝OE，∴四边形OECD是正方形，∴DC＝OD，∵OD∥BC，∴△ADO∽△ACB，∴＝，即＝，解得，OD＝，即⊙O的半径为；（2）∵AC+BC＝16，AC＝x，∴BC＝16﹣x，由（1）可知，＝，即＝，整理得，y＝﹣x2+x（0＜x＜16），故答案为：y＝﹣x2+x（0＜x＜16）．16．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝6．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F．当点M与点B重合时，EF的长为3；当点M的位置变化时，DF长的最大值为6﹣3．【分析】如图1中，求出等边△ADB的高DE即可．如图2中，连接AM交EF于点O，过点O作OK⊥AD于点K，交BC于点T，过点A作AG⊥CB交CB的延长线于点G，取AD的中点R，连接OR．证明OK＝，求出AF的最小值，可得结论．【解答】解：如图1中，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝BC＝CD，∠A＝∠C＝60°，∴△ADB，△BDC都是等边三角形，当点M与B重合时，EF是等边△ADB的高，EF＝AD•sin60°＝6×＝3．如图2中，连接AM交EF于点O，过点O作OK⊥AD于点K，交BC于点T，过点A作AG⊥CB交CB的延长线于点G，取AD的中点R，连接OR．∵AD∥CG，OK⊥AD，∴OK⊥CG，∴∠G＝∠AKT＝∠GTK＝90°，∴四边形AGTK是矩形，∴AG＝TK＝AB•sin60°＝3，∵OA＝OM，∥AOK＝∠MOT，∠AKO＝∠MTO＝90°，∴△AOK≌△MOT（AAS），∴OK＝OT＝，∵OK⊥AD，∴OR≥OK＝，∵∠AOF＝90°，AR＝RF，∴AF＝2OR≥3，∴AF的最小值为3，∴DF的最大值为6﹣3．故答案为：3，6﹣3．【点评】本题考查菱形的性质，矩形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会填空常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．12．（3分）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，底边的长为3，则腰的长为6．【解答】解：等腰是“倍长三角形”，或，若，则三边分别是6，6，3，符合题意，腰的长为6；若，则，三边分别是1.5，1.5，3，，此时不能构成三角形，这种情况不存在；综上所述，腰的长是6，故答案为：6．17．一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完．在整个过程中，容器中的水量（升与时间（分钟）之间的函数关系如图所示，则图中的值为．【解答】解：设出水管每分钟排水升．由题意进水管每分钟进水10升，则有，，分钟后的放水时间，，，故答案为：．18．如图，在矩形中，．动点从点出发，沿边向点匀速运动，动点从点出发，沿边向点匀速运动，连接．动点，同时出发，点运动的速度为，点运动的速度为，且．当点到达点时，，两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形沿翻折，得到四边形．若在某一时刻，点的对应点恰好与的中点重合，则的值为．【解答】解：如图，设交于点．设．，可以假设，，四边形是矩形，，，，在中，，，，，，由翻折的性质可知，，，，，△，，，，，，△，，设，则，，，，，解法二：连接，过点作于点．设，，设，则，，，由△，可得，，，故答案为：．19．如图是一张矩形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连接DF，EF．若MF＝AB，则∠DAF＝18度．【分析】连接DM，利用斜边上的中线等于斜边的一半可得△AMD和△MCD为等腰三角形，∠DAF＝∠MDA，∠MCD＝∠MDC；由折叠可知DF＝DC，可得∠DFC＝∠DCF；由MF＝AB，AB＝CD，DF＝DC，可得FM＝FD，进而得到∠FMD＝∠FDM；利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，可得∠DFC＝2∠FMD；最后在△MDC中，利用三角形的内角和定理列出方程，结论可得．【解答】解：连接DM，如图：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°．∵M是AC的中点，∴DM＝AM＝CM，∴∠FAD＝∠MDA，∠MDC＝∠MCD．∵DC，DF关于DE对称，∴DF＝DC，∴∠DFC＝∠DCF．∵MF＝AB，AB＝CD，DF＝DC，∴MF＝FD．∴∠FMD＝∠FDM．∵∠DFC＝∠FMD+∠FDM，∴∠DFC＝2∠FMD．∵∠DMC＝∠FAD+∠ADM，∴∠DMC＝2∠FAD．设∠FAD＝x°，则∠DFC＝4x°，∴∠MCD＝∠MDC＝4x°．∵∠DMC+∠MCD+∠MDC＝180°，∴2x+4x+4x＝180．∴x＝18．故答案为：18．三、解答题：20．已知，求的值．【解答】解：原式，，，原式．21．一只不透明的袋子中装有1个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同．（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球是白球的概率为；（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）【解答】解：（1）一只不透明的袋子中装有1个白球和3个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，则摸出白球的概率为：．故答案为：；（2）画树状图如图所示：共有16种不同的结果数，其中两个球颜色不同的有6种，次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率为．22．某校九年级640名学生在“信息素养提升”培训前、后各参加了一次水平相同的测试，并以同一标准折算成“6分”、“7分”、“8分”、“9分”、“10分”5个成绩．为了解培训效果，用抽样调查的方式从中抽取了32名学生的2次测试成绩，并用划记法制成了如表表格：训前成绩（分678910划记正正正正人数（人124754培训后成绩（分678910划记一正正正正人数（人413915（1）这32名学生2次测试成绩中，培训前测试成绩的中位数是，培训后测试成绩的中位数是，则；（填“”、“”或“”（2）这32名学生经过培训，测试成绩为“6分”的百分比比培训前减少了多少？（3）估计该校九年级640名学生经过培训，测试成绩为“10分”的学生增加了多少人？【解答】解：培训前测试成绩的中位数，培训后测试成绩的中位数，；故答案为：；（2）培训前：，培训后：，，答：测试成绩为“6分”的百分比比培训前减少了；（3）培训前：，培训后：，，答：测试成绩为“10分”的学生增加了220人．23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点．（1）求与的值；（2）为轴上的一动点，当的面积为时，求的值．【解答】解：（1）把代入，得，，把代入，得，，把代入，得，，；（2）当时，，，为轴上的动点，，，，，，或．24．如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点．是延长线上的一点，且．（1）求证：为的切线；（2）连接，取的中点，连接．若，，求的长．【解答】（1）证明：如图，连接，，，，，，，是直径，是的中点，，，，即，是半径，是的切线．（2）解：过点作于点．设，则，在中，，，，，，，，，为的中点，，，，，．25．某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如表所示：进货批次甲种水果质量（单位：千克）乙种水果质量（单位：千克）总费用（单位：元）第一次60401520第二次30501360（1）求甲、乙两种水果的进价；（2）销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果共200千克，且投入的资金不超过3360元．将其中的千克甲种水果和千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的200千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数的最大值．【解答】解：（1）设甲两种水果的进价为每千克元，乙两种水果的进价为每千克元．由题意，得，解得，答：甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元．（2）设第三次购进千克甲种水果，则购进千克乙种水果．由题意，得，解得．设获得的利润为元，由题意，得，，随的增大而减小，时，的值最大，最大值为，由题意，得，解得，的最大整数值为22．26．如图，二次函数是常数，且的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为．其对称轴与线段交于点，与轴交于点．连接，．（1）求，，三点的坐标（用数字或含的式子表示），并求的度数；（2）若，求的值；（3）若在第四象限内二次函数是常数，且的图象上，始终存在一点，使得，请结合函数的图象，直接写出的取值范围．【解答】解：（1）当时，，解方程，得，，点在点的左侧，且，，，当时，，，，，；（2）如图1中，连接．，，，，，，，，关于对称轴对称，，，，，，即，，，，或，，；（3）如图，设交轴于点．当点