2024年初中升学考试真题卷湖南省长沙市天心区长郡外国语实验中学中考数学三模试卷

第1页（共1页）2023年湖南省长沙市天心区长郡外国语实验中学中考数学三模试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）实数﹣2的相反数是（）A．﹣2 B．2 C． D．2．（3分）地球上的陆地面积约为149000000km2，数字149000000用科学记数法表示为（）A．1.49×107 B．1.49×108 C．1.49×109 D．1.49×10103．（3分）下列垃圾分类标识的图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．4．（3分）下列运算正确的是（）A．3a4﹣2a4＝a4 B．（a4）2＝a6 C．（2a4）4＝2a8 D．a4÷a4＝a5．（3分）为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、除草、浇水、剪枝、捉鱼、采摘六项实践活动，已知六个项目参与人数（单位：人）分别是：35，38，40，42，42，43．则这组数据的众数和中位数分别是（）A．38，39 B．42，40 C．42，41 D．42，426．（3分）如图所示的几何体是由6个大小相同的小正方体组成，它的俯视图是（）A． B． C． D．7．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝54°，则∠BOC的度数为（）A．27° B．108° C．116° D．128°8．（3分）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马六匹、牛五头，共价四十四两；马二匹、牛三头，共价二十四两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（）A． B． C． D．9．（3分）若点A（﹣2，a），B（﹣1，b），C（3，c）在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a10．（3分）在一次数学活动课上，某数学老师将三张不同的牌分别发给甲、乙、丙三个同学，其中有一张牌是红桃A．甲说：“红桃A在我手上”；乙说：“红桃A不在我手上”；丙说：“红桃A肯定不在甲手上”．三个同学中只有一个说对了，则红桃A在（）的手上A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分。）11．（3分）分解因式：a3﹣ab2＝．12．（3分）若圆锥底面圆的半径3，母线长是6，则该圆锥侧面的面积为．13．（3分）已知关于x的方程x2+ax＝0，若该方程的一个根为3，则a的值为．14．（3分）在平面直角坐标系中，点A（5，1）关于x轴对称的点的坐标是．15．（3分）如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，且BE＝AB，连接CE，AE，则∠AEC的度数为．16．（3分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝4．依据尺规作图的痕迹，当CD＝3时，BC的长是．三、解答题（第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23每题9分，第24、25题每题10分。）17．（6分）．18．（6分）化简：，再从﹣1，0，1中选择一个你喜爱的x的值代入求值．19．（6分）在一次海上救援中，两艘专业救助船A、B同时收到某事故渔船P的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里．（1）求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离（结果保留根号）；（2）求救助船A、B分别以40海里/小时，30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．20．（8分）为深入贯彻“生命至上、健康第一”的理念，科学合理组织好2023年长沙市初中毕业升学体育考试，2023年长沙市体育中考方案有以下调整，（一）素质类项目：引体向上（男）或一分钟仰卧起坐（女）、实心球、立定跳远、一分钟跳绳（学生自选一项，报考前确定），分值10分．（二）技巧类项目：篮球运动、足球运动、排球向上垫球、200米游泳（学生自选一项，报考前确定），分值15分．（三）耐力跑项目：2023年取消男1000米、女800米耐力跑项目，该项目以15分满分计入总分，此项调整仅限2023年执行．某校根据学生实际情况男生可以从A（引体向上）、B（投掷实心球）、C（排球向上垫球）、D（一分钟跳绳）、E（篮球运动）、F（足球运动）、G（200米游泳）等七个项目中选考两项．据统计，某校初三男生都在“A”、“B”、“C”、“D”四个项目中选择了两项作为自己的体育中考项目．根据学生选择情况，进行了数据整理，并绘制成如下统计图，结合图中信息，解答下列问题：（1）扇形统计图中C所对应的圆心角的度数是；（2）请补全条形统计图；（3）为了学生能考出好成绩，该校安排每位体育老师负责指导A、B、C、D项目中的两项，若张老师随机选两项作为自己的指导项目，请用列表法或画树状图的方法求所选的项目恰好是A和C的概率．21．（8分）如图，已知AD平分∠BAC，且AD⊥BC．（1）求证：△ABD≌△ACD；（2）若AB＝5，BD＝4，求△ABC的面积．22．（9分）世界旅游城市联合会长沙香山旅游峰会由世界旅游城市联合会和长沙市人民政府共同主办，来自世界各地的嘉宾齐聚山水洲城长沙，共话全球旅游复苏新机遇，助力世界旅游业扬帆再起航．今年以来，长沙文旅各项数据增长强劲，长沙也是国内热门旅游目的地之一．4月29日，五一商圈累计客流量将近120万人次，其中外地游客占比65%左右．长沙新消费品牌因人流量大也业绩喜人，文和友5天接待客人约30万人次．长沙在2021年五一假期，共接待游客约200万人次，而在2023年五一假期，共接待游客约288万人次．（1）请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确．（对的打“√”，错的打“×”）①4月29日当天，长沙五一商圈本地游客占比45%左右．②长沙文和友五一期间平均每天接待客人约6万人次．③2021年至2023年，长沙五一假期接待游客人次的平均增长率为20%．（2）茶颜悦色也已经成为外地游客在长沙的打卡地，其中幽兰拿铁和声声乌龙是游客最爱的两款产品．已知幽兰拿铁的单价18元一杯，声声乌龙单价15元一杯，某旅游团一共10人，每人一杯奶茶，花费不超过165元购买以上两种奶茶，请问最多可以购买多少杯幽兰拿铁？23．（9分）如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE∥BD，BE∥AC．（1）求证：四边形AEBO是菱形；（2）若AB＝2，OB＝3，求AD的长及四边形AEBO的面积．24．（10分）如图1：在⊙O中，AB为直径，C是⊙O上一点，AC＝3，BC＝4．过O分别作OH⊥BC于点H，OD⊥AC于点D，点E、F分别在线段BC、AC上运动（不含端点），且保持∠EOF＝90°．（1）OC＝；四边形CDOH是（填矩形/菱形/正方形）；S四边形CDOH＝；（2）当F和D不重合时，求证：△OFD∽△OEH；（3）①在图1中，⊙P是△CEO的外接圆，设⊙P面积为S，求S的最小值，并说明理由；②如图2：若Q是线段AB上一动点，且QA：QB＝1：n，∠EQF＝90°，⊙M是四边形CEQF的外接圆，则当n为何值时，⊙M的面积最小？最小值为多少？请直接写出答案．25．（10分）我们约定：图象关于y轴对称的函数称为偶函数．（1）下列函数是偶函数的有（填序号）；①y＝x+2023；②y＝﹣2001x2+2020；③；④y＝2000x2﹣2023x+6.19．（2）已知二次函数y＝（k+1）x2+（k2﹣1）x+1（k为常数）是偶函数，将此偶函数向下平移得到新的二次函数y＝ax2+bx+c，新函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，若以AB为直径的圆恰好经过点C，求平移后新函数的解析式；（3）如图，已知偶函数y＝ax2+bx+c（a≠0）经过（1，2），（2，5），过点E（0，2）的一次函数的图象与二次函数的图象交于A，B两点（A在B的左侧），过点AB分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，取AB的中点Q，连接CQ、DQ，分别用S1，S2，S3表示△ACQ，△QCD，△QDB的面积，若S2＝S1•S3．①证明：；②求直线AB的解析式．

2023年湖南省长沙市天心区长郡外国语实验中学中考数学三模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）实数﹣2的相反数是（）A．﹣2 B．2 C． D．【答案】B【分析】根据相反数的定义解答即可．【解答】解：﹣2的相反数是2．故选：B．2．（3分）地球上的陆地面积约为149000000km2，数字149000000用科学记数法表示为（）A．1.49×107 B．1.49×108 C．1.49×109 D．1.49×1010【答案】B【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：149000000＝1.49×108，故选：B．3．（3分）下列垃圾分类标识的图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；B．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；C．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：A．4．（3分）下列运算正确的是（）A．3a4﹣2a4＝a4 B．（a4）2＝a6 C．（2a4）4＝2a8 D．a4÷a4＝a【答案】A【分析】利用合并同类项法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方与积的乘方法则对每个选项进行分析，即可得出答案．【解答】解：∵3a4﹣2a4＝a4，∴选项A符合题意；∵（a4）2＝a8≠a6，∴选项B不符合题意；∵（2a4）4＝16a16≠2a8，∴选项C不符合题意；∵a4÷a4＝1≠a，∴选项D不符合题意；故选：A．5．（3分）为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、除草、浇水、剪枝、捉鱼、采摘六项实践活动，已知六个项目参与人数（单位：人）分别是：35，38，40，42，42，43．则这组数据的众数和中位数分别是（）A．38，39 B．42，40 C．42，41 D．42，42【答案】C【分析】根据一组数据中出现次数最多的数据为众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数即可得出答案．【解答】解：将这组数据由小到大排列为：35，38，40，42，42，43．（40+42）÷2＝41．众数为42，中位数为41．故选：C．6．（3分）如图所示的几何体是由6个大小相同的小正方体组成，它的俯视图是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：从上边看，底层右边是一个小正方形，上层是四个小正方形．故选：D．7．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝54°，则∠BOC的度数为（）A．27° B．108° C．116° D．128°【答案】B【分析】直接由圆周角定理求解即可．【解答】解：∵∠A＝54°，∴∠BOC＝2∠A＝108°，故选：B．8．（3分）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马六匹、牛五头，共价四十四两；马二匹、牛三头，共价二十四两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用总价＝单价×数量，结合“马六匹、牛五头，共价四十四两；马二匹、牛三头，共价二十四两”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：∵马六匹、牛五头，共价四十四两，∴6x+5y＝44；∵马二匹、牛三头，共价二十四两，∴2x+3y＝24．∴根据题意可列方程组．故选：D．9．（3分）若点A（﹣2，a），B（﹣1，b），C（3，c）在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a【答案】B【分析】由反比例函数的增减性判断即可．【解答】解：∵k＞0，∴函数在一，三象限内的函数值y随x的增大而减小，且当x＜0时，y＜0，当x＞0时，y＞0，∴b＜a＜0＜c，故选：B．10．（3分）在一次数学活动课上，某数学老师将三张不同的牌分别发给甲、乙、丙三个同学，其中有一张牌是红桃A．甲说：“红桃A在我手上”；乙说：“红桃A不在我手上”；丙说：“红桃A肯定不在甲手上”．三个同学中只有一个说对了，则红桃A在（）的手上A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断【答案】B【分析】分别假设甲、乙、丙说的是真话，结合题意推论，得出结论．【解答】解：假设甲说的是真话，则红桃A在甲手上，所以乙说的是真话，不合题意，假设乙说的是真话，甲说的是假话，则丙说的是真话，不合题意，假设丙说的是真话，则甲说的是假话，则乙说的就是假话了，符合题意，所以红桃A在乙手上．故选：B．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分。）11．（3分）分解因式：a3﹣ab2＝a（a+b）（a﹣b）．【答案】见试题解答内容【分析】首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：a3﹣ab2＝a（a2﹣b2）＝a（a+b）（a﹣b）．故答案为：a（a+b）（a﹣b）．12．（3分）若圆锥底面圆的半径3，母线长是6，则该圆锥侧面的面积为18π．【答案】18π．【分析】利用扇形的面积公式计算圆锥侧面积．【解答】解：圆锥侧面积＝×2π×3×6＝18π．故答案为18π．13．（3分）已知关于x的方程x2+ax＝0，若该方程的一个根为3，则a的值为﹣3．．【答案】﹣3．【分析】根据题意可得：把x＝3代入方程x2+ax＝0中得：32+3a＝0，然后进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：把x＝3代入方程x2+ax＝0中得：32+3a＝0，∴3a＝﹣9，∴a＝﹣3，故答案为：﹣3．14．（3分）在平面直角坐标系中，点A（5，1）关于x轴对称的点的坐标是（5，﹣1）．【答案】（5，﹣1）．【分析】直接利用关于x轴对称点的性质进而得出答案．【解答】解：在平面直角坐标系中，点A（5，1）关于x轴对称的点的坐标是（5，﹣1）．故答案为：（5，﹣1）．15．（3分）如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，且BE＝AB，连接CE，AE，则∠AEC的度数为135°．【答案】135°．【分析】根据正方形的性质，得到BE＝AB＝BC，进而得到∠AEB＝∠BAE，∠BEC＝∠BCE，利用三角形的内角和定理，进行求解即可．【解答】解：∵正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，且BE＝AB，∴BE＝AB＝BC，∠ABE＝∠EBC＝45°，∴，，∴∠AEC＝∠BEA+∠BEC＝135°；故答案为：135°．16．（3分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝4．依据尺规作图的痕迹，当CD＝3时，BC的长是8．【答案】8．【分析】先利用基本作图得到DE垂直平分AB，则根据线段垂直平分线的性质得到AD＝BD，接着利用勾股定理计算出AD＝5，则BD＝5，然后计算CD+BD即可．【解答】解：由作图痕迹得DE垂直平分AB，∴AD＝BD，∵∠ACB＝90°，AC＝4，CD＝3，∴AD＝＝5，∴BD＝5，∴BC＝CD+BD＝3+5＝8．故答案为：8．三、解答题（第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23每题9分，第24、25题每题10分。）17．（6分）．【答案】﹣2．【分析】根据有理数的乘方，绝对值的性质，零指数幂，特殊锐角的三角函数值进行计算即可．【解答】解：原式＝﹣1﹣﹣1+4×＝﹣1﹣2﹣1+2＝﹣2．18．（6分）化简：，再从﹣1，0，1中选择一个你喜爱的x的值代入求值．【答案】，﹣2．【分析】利用分式的相应的法则对式子进行货物间，再结合分式有意义的条件选取合适的数代入运算即可．【解答】解：＝＝，∵x2﹣1≠0，∴x≠±1，∴当x＝0时，原式＝＝﹣2．19．（6分）在一次海上救援中，两艘专业救助船A、B同时收到某事故渔船P的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里．（1）求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离（结果保留根号）；（2）求救助船A、B分别以40海里/小时，30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．【答案】（1）60（海里），（2）救助船B先到达．【分析】（1）作PC⊥AB于C，则∠PCA＝∠PCB＝90°，由题意得：PA＝120海里，∠A＝30°，∠BPC＝45°，由直角三角形的性质得出PC＝PA＝60海里，△BCP是等腰直角三角形，得出PB＝PC＝60海里即可；（2）求出救助船A、B所用的时间，即可得出结论．【解答】解：（1）作PC⊥AB于C，如图所示：则∠PCA＝∠PCB＝90°，由题意得：PA＝120海里，∠A＝30°，∠CBP＝45°，在Rt△ACP中，∵∠CAP＝30°，∠PCA＝90°，∴PC＝PA＝60海里，在Rt△BCP中，∵∠PCB＝90°，∠CBP＝45°，sin∠CBP＝，∴PB＝＝＝60（海里），答：收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离为60海里；（2）∵PA＝120海里，PB＝60海里，救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，∴救助船A所用的时间为＝3（小时），救助船B所用的时间为＝2（小时），∵3＞2，∴救助船B先到达．20．（8分）为深入贯彻“生命至上、健康第一”的理念，科学合理组织好2023年长沙市初中毕业升学体育考试，2023年长沙市体育中考方案有以下调整，（一）素质类项目：引体向上（男）或一分钟仰卧起坐（女）、实心球、立定跳远、一分钟跳绳（学生自选一项，报考前确定），分值10分．（二）技巧类项目：篮球运动、足球运动、排球向上垫球、200米游泳（学生自选一项，报考前确定），分值15分．（三）耐力跑项目：2023年取消男1000米、女800米耐力跑项目，该项目以15分满分计入总分，此项调整仅限2023年执行．某校根据学生实际情况男生可以从A（引体向上）、B（投掷实心球）、C（排球向上垫球）、D（一分钟跳绳）、E（篮球运动）、F（足球运动）、G（200米游泳）等七个项目中选考两项．据统计，某校初三男生都在“A”、“B”、“C”、“D”四个项目中选择了两项作为自己的体育中考项目．根据学生选择情况，进行了数据整理，并绘制成如下统计图，结合图中信息，解答下列问题：（1）扇形统计图中C所对应的圆心角的度数是108°；（2）请补全条形统计图；（3）为了学生能考出好成绩，该校安排每位体育老师负责指导A、B、C、D项目中的两项，若张老师随机选两项作为自己的指导项目，请用列表法或画树状图的方法求所选的项目恰好是A和C的概率．【答案】（1）108°；（2）图形见解析；（3）．【分析】（1）由360°乘以扇形统计图中C所占的百分比即可；（2）由C的人数除以所占百分比得出某校初三男生的人数，即可解决问题；（3）画树状图，共有12种等可能的结果数，其中张老师所选的项目恰好是A和C的结果有2种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）扇形统计图中C所对应的圆心角的度数是：360°×30%＝108°，故答案为：108°；（2）某校初三男生为：180÷30%＝600（人），∴选“A”项目的人为：600﹣（60+180+120）＝240（人），补全条形统计图如下：（3）画树状图如下：共有12种等可能的结果数，其中张老师所选的项目恰好是A和C的结果有2种，∴张老师所选的项目恰好是A和C的概率为＝．21．（8分）如图，已知AD平分∠BAC，且AD⊥BC．（1）求证：△ABD≌△ACD；（2）若AB＝5，BD＝4，求△ABC的面积．【答案】（1）证明过程见解答；（2）12．【分析】（1）利用ASA证明△ABD≌△ACD即可；（2）结合（1）利用勾股定理求出AD，进而可以求△ABC的面积．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（ASA）；（2）解：∵△ABD≌△ACD，∴BD＝CD＝4，∴BC＝2BD＝8，∵AB＝5，∴AD＝＝3，∴△ABC的面积＝BC•AD＝×8×3＝12．22．（9分）世界旅游城市联合会长沙香山旅游峰会由世界旅游城市联合会和长沙市人民政府共同主办，来自世界各地的嘉宾齐聚山水洲城长沙，共话全球旅游复苏新机遇，助力世界旅游业扬帆再起航．今年以来，长沙文旅各项数据增长强劲，长沙也是国内热门旅游目的地之一．4月29日，五一商圈累计客流量将近120万人次，其中外地游客占比65%左右．长沙新消费品牌因人流量大也业绩喜人，文和友5天接待客人约30万人次．长沙在2021年五一假期，共接待游客约200万人次，而在2023年五一假期，共接待游客约288万人次．（1）请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确．（对的打“√”，错的打“×”）①4月29日当天，长沙五一商圈本地游客占比45%左右．×②长沙文和友五一期间平均每天接待客人约6万人次．√③2021年至2023年，长沙五一假期接待游客人次的平均增长率为20%．√（2）茶颜悦色也已经成为外地游客在长沙的打卡地，其中幽兰拿铁和声声乌龙是游客最爱的两款产品．已知幽兰拿铁的单价18元一杯，声声乌龙单价15元一杯，某旅游团一共10人，每人一杯奶茶，花费不超过165元购买以上两种奶茶，请问最多可以购买多少杯幽兰拿铁？【答案】（1）①×；②√；③√；（2）最多可以购买5杯幽兰拿铁．【分析】（1）①利用4月29日当天长沙五一商圈本地游客占比＝1﹣4月29日当天长沙五一商圈外地游客占比，可求出4月29日当天长沙五一商圈本地游客占比35%左右；②利用长沙文和友五一期间平均每天接待客人人次数＝文和友5天接待客人人次数÷5，即可求出长沙文和友五一期间平均每天接待客人约6万人次；③设2021年至2023年，长沙五一假期接待游客人次的平均增长率为x，利用长沙2023年五一假期接待游客人次数＝长沙2021年五一假期接待游客人次数×（2021年至2023年，长沙五一假期接待游客人次的平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；（2）设可以购买y杯幽兰拿铁，则购买（10﹣y）杯声声乌龙，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过165元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．【解答】解：（1）①∵1﹣65%＝35%，∴4月29日当天，长沙五一商圈本地游客占比35%左右，说法①不正确．故答案为：×；②∵30÷5＝6（万人次），∴长沙文和友五一期间平均每天接待客人约6万人次，说法②正确，故答案为：√；③设2021年至2023年，长沙五一假期接待游客人次的平均增长率为x，根据题意得：200（1+x）2＝288，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去），∴2021年至2023年，长沙五一假期接待游客人次的平均增长率为20%，说法③正确．故答案为：√；（2）设可以购买y杯幽兰拿铁，则购买（10﹣y）杯声声乌龙，根据题意得：18y+15（10﹣y）≤165，解得：y≤5，∴y的最大值为5．答：最多可以购买5杯幽兰拿铁．23．（9分）如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE∥BD，BE∥AC．（1）求证：四边形AEBO是菱形；（2）若AB＝2，OB＝3，求AD的长及四边形AEBO的面积．【答案】（1）见解答；（2）4，4．【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形AEBO是平行四边形，根据矩形的性质得出AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，求出OA＝OB，再根据菱形的判定得出即可；（2）根据矩形的性质得出∠DAB＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，求出OA＝OB＝OC＝DO＝3，求出BD，根据勾股定理求出AD，再求出△BAD的面积，求出△ABO的面积即可．【解答】（1）证明：∵AE∥BD，BE∥AC，∴四边形AEBO是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，∴OA＝OB，∴四边形AEBO是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，∴OA＝OB＝OC＝DO，∵OB＝3，∴BD＝6，由勾股定理得：AD＝＝4，∵BO＝DO，∴S△AOB＝S△AOD＝S△BAD＝AD×AB＝×42＝2，∵四边形AEBO是菱形，∴AE＝AO＝BO＝BE＝3，∴△AEB≌△BOA（SSS），∴△AEB的面积＝△AOB的面积＝2，∴四边形AEBO的面积是2×2＝4．24．（10分）如图1：在⊙O中，AB为直径，C是⊙O上一点，AC＝3，BC＝4．过O分别作OH⊥BC于点H，OD⊥AC于点D，点E、F分别在线段BC、AC上运动（不含端点），且保持∠EOF＝90°．（1）OC＝2.5；四边形CDOH是矩形（填矩形/菱形/正方形）；S四边形CDOH＝3；（2）当F和D不重合时，求证：△OFD∽△OEH；（3）①在图1中，⊙P是△CEO的外接圆，设⊙P面积为S，求S的最小值，并说明理由；②如图2：若Q是线段AB上一动点，且QA：QB＝1：n，∠EQF＝90°，⊙M是四边形CEQF的外接圆，则当n为何值时，⊙M的面积最小？最小值为多少？请直接写出答案．【答案】（1）2.5；矩形；3；（2）见解答；（3）①，理由见解答；②n＝时，S有最小值为．【分析】（1）根据圆周角定理及勾股定理得出AB＝5，再由直角三角形斜边中线的性质得出OC＝2.5；利用矩形的判定得出四边形CDOH的形状，再由相似三角形的判定和性质及矩形的面积求法即可得出结果；（2）圆周角定理及等量代换得出∠FOD＝∠EOH，再由相似三角形的判定即可证明；（3）①由（2）得∠ACB＝90°，∠EOF＝90°，确定圆P经过C、F、O、E，即为△COE的外接圆，且EF为直径，由（1）得出EF取得最小值为AB＝2.5，利用圆的面积求解即可；②根据题意得：当GE⊥AC，GF⊥BC时，圆M的直径EF有最小值，再由三角函数得出EG＝，GF＝，利用勾股定理及二次函数的性质求解即可．【解答】（1）解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝5．∴OC＝AB＝2.5；∵OD⊥AC，OH⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形CDOH是矩形；∴OD⊥AC，ACB＝90°，∴OD∥BC，∴△OAD∽△BAC，∴，∴OD＝2，同理得OH＝1.5，∴S四边形CDOH＝2×1.5＝3；故答案为：2.5；矩形；3；（2）证明：∵OD⊥AC，OH⊥CB，∴∠FDO＝∠EHO＝90°，又∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠DOH＝90°＝∠EOF，即∠FOD+∠DOE＝∠DOE+∠EOH，∴∠FOD＝∠EOH，∴△OFD∽△OEH．（3）①如图，∵∠ACB＝90°，∠EOF＝90°，∴圆P经过C、F、O、E，即为△COE的外接圆，且EF为直径，当EF最小时，圆P的面积S有最小值，当F和D重合、E和H重合时，由（1）得OF＝2，OE＝1.5取得最小值，EF也取得最小值为AB＝2.5，此时S＝π•（）2＝为最小值．②根据题意得：当GE⊥AC，GF⊥BC时，圆M的直径EF有最小值，此时AG＝，BG＝，∠AGE＝∠ABC，EG＝cos∠AGE•AG＝，GF＝sin∠AGB•BG＝．∴EF2＝EG2+GF2＝，∴S＝π•（）2＝EF2，当EF最小时，S最小，令t＝n+1，则EF2＝＝25（）2﹣+9为关于的二次函数，当，即n＝时，s有最小值，代入得S最小值为．25．（10分）我们约定：图象关于y轴对称的函数称为偶函数．（1）下列函数是偶函数的有②③（填序号）；①y＝x+2023；②y＝﹣2001x2+2020；③；④y＝2000x2﹣2023x+6.19．（2）已知二次函数y＝（k+1）x2+（k2﹣1）x+1（k为常数）是偶函数，将此偶函数向下平移得到新的二次函数y＝ax2+bx+c，新函数的图象与x轴交于A，B两点